1、1.(2018安徽,19,10分)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面 上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测 到旗杆顶A(此时AEB=FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3,平面镜E的俯角为45,FD=1.8米,问旗杆 AB的高度约为多少米?(结果保留整数) (参考数据:tan 39.30.82,tan 84.310.02),A组 安徽中考题组,解析 解法一:由题意知,AEB=FED=45,AEF=90. 在RtAEF中, =tanAFE=tan 84.3, 在ABE和FDE中,A
2、BE=FDE=90,AEB=FED, ABEFDE, = =tan 84.3, AB=FDtan 84.31.810.02=18.03618(米). 答:旗杆AB的高度约为18米. (10分) 解法二:作FGAB于点G,由题意知,ABE和FDE均为等腰直角三角形, AB=BE,DE=FD=1.8, FG=DB=DE+BE=AB+1.8,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8. 在RtAFG中, =tanAFG=tan 39.3,即 =tan 39.3, 解得AB=18.218(米). 答:旗杆AB的高度约为18米. (10分),思路分析 思路一:由题意可确定AEF=90,从而可推出ABEF
3、DE,最后由相似三角形中对应边的 比相等求解;思路二:作FGAB于点G,由题意可推出ABE和FDE均为等腰直角三角形,在直角三角形 AFG中由锐角三角函数求出AB.,2.(2017安徽,17,8分)如图,游客在点A处坐缆车出发,沿ABD的路线可至山顶D处.假设AB和BD都是直线 段,且AB=BD=600 m,=75,=45,求DE的长. (参考数据:sin 750.97,cos 750.26, 1.41),解析 在RtBDF中,由sin = 可得, DF=BDsin =600sin 45=600 =300 423(m). (3分) 在RtABC中,由cos = 可得, BC=ABcos =60
4、0cos 756000.26=156(m). (6分) 所以DE=DF+EF=DF+BC=423+156=579(m). (8分),3.(2016安徽,19,10分)如图,河的两岸l1与l2相互平行,A、B是l1上的两点,C、D是l2上的两点.某人在点A处测得 CAB=90,DAB=30,再沿AB方向前进20米到达点E(点E在线段AB上),测得DEB=60,求C、D两点间 的距离.,解析 如图,过D作l1的垂线,垂足为F. DEB=60,DAB=30, ADE=DEB-DAB=30, ADE为等腰三角形, DE=AE=20(米). (3分) 在RtDEF中,EF=DEcos 60=20 =10
5、(米). (6分) DFAF,DFB=90, ACDF,已知l1l2,CDAF, 四边形ACDF为矩形. CD=AF=AE+EF=30(米). 答:C、D两点间的距离为30米. (10分),4.(2015安徽,18,8分)如图,平台AB高为12米,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45,底部点C的俯角为30, 求楼房CD的高度.( 1.7),解析 作BECD于点E,则CE=AB=12. 在RtBCE中,BE= = =12 . (3分) 在RtBDE中,DE=BEtanDBE=12 tan 45=12 . (6分) CD=CE+DE=12+12 32.4. 楼房CD的高度约为32.4米. (8分
6、),考点一 锐角三角函数,B组 20152019年全国中考题组,1.(2019天津,2,3分)2sin 60的值等于 ( ) A.1 B. C. D.2,答案 C 根据特殊角的三角函数值,可得sin 60= ,则2sin 60=2 = ,故选C.,2.(2018天津,2,3分)cos 30的值等于 ( ) A. B. C.1 D.,答案 B 根据特殊角的三角函数值可知,cos 30= ,故选B.,3.(2017甘肃兰州,3,4分)如图,一个斜坡长130 m,坡顶离水平地面的距离为50 m,那么这个斜坡与水平地面夹 角的正切值等于 ( ) A. B. C. D.,答案 C 在直角三角形中,根据勾
7、股定理可知水平的直角边长为120 m,故这个斜坡与水平地面夹角的正 切值等于 = ,故选C.,思路分析 先利用勾股定理求得第三边的长,再利用正切的定义求正切值.,4.(2016天津,2,3分)sin 60的值等于 ( ) A. B. C. D.,答案 C sin 60= .故选C.,5.(2016福建福州,9,3分)如图,以O为圆心,1为半径的弧交坐标轴于A,B两点,P是 上一点(不与A,B重合),连 接OP,设POB=,则点P的坐标是 ( ) A.(sin ,sin ) B.(cos ,cos ) C.(cos ,sin ) D.(sin ,cos ),答案 C 过P作PQOB,交OB于点Q
8、, 在RtOPQ中,OP=1,POQ=, sin = ,cos = ,即PQ=sin ,OQ=cos , 点P的坐标为(cos ,sin ).故选C.,评析 熟练掌握锐角三角函数的定义是解本题的关键.,6.(2019吉林,21,7分)墙壁及淋浴花洒截面如图所示.已知花洒底座A与地面的距离AB为170 cm,花洒AC的长 为30 cm,与墙壁的夹角CAD为43,求花洒顶端C到地面的距离CE(结果精确到1 cm). (参考数据:sin 43=0.68,cos 43=0.73,tan 43=0.93),解析 如图,过点C作CFAB于点F,则AFC=90. (1分) 在RtACF中,AC=30 cm,
9、CAF=43, cosCAF= , AF=ACcosCAF =30cos 43 =300.73=21.9(cm). (5分) CE=BF=AB+AF =170+21.9=191.9192(cm). 因此,花洒顶端C到地面的距离CE约为192 cm. (7分),评分说明:(1)计算过程与结果中,写“=”或“”均不扣分;(2)计算过程不加单位不扣分 .,考点二 解直角三角形,1.(2018湖北孝感,4,3分)如图,在RtABC中,C=90,AB=10,AC=8,则sin A等于 ( ) A. B. C. D.,答案 A 由勾股定理可得BC= = =6,sin A= = = .,2.(2016辽宁沈
10、阳,9,2分)如图,在RtABC中,C=90,B=30,AB=8,则BC的长是( ) A. B.4 C.8 D.4,答案 D C=90,B=30,AC= AB=4,由勾股定理得BC= = =4 ,故选D.,3.(2018贵州贵阳,7,3分)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长都为1,则tanBAC的值为 ( ) A. B.1 C. D.,答案 B 如图,连接BC. 在ABD和BCE中, ABDBCE(SAS), AB=BC,ABD=BCE. BCE+CBE=90, ABD+CBE=90,即ABC=90, tanBAC= =1,故选B.,4.(2019黑龙江齐齐哈尔,17,3分
11、)如图,直线l:y= x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1,过点A1作A1B1l,交x轴 于点B1,过点B1作B1A2x轴,交直线l于点A2;过点A2作A2B2l,交x轴于点B2,过点B2作B2A3x轴,交直线l于点A3, 依此规律,若图中阴影A1OB1的面积为S1,阴影A2B1B2的面积为S2,阴影A3B2B3的面积为S3,则Sn= .,答案 ,解析 在y= x+1中, 令x=0,得y=1,即OA1=1, 令y=0,得x=- ,即OA= . 在RtAOA1中,tanA1AO= , A1AO=30,AA1O=60, A1B1l,OA1B1=30, OB1=OA1tan 30= , = , =
12、+1= ,即A2B1= ,同理可得B1B2= ,A3B2= ,B2B3= , S1= OB1OA1= 1= , S2= B1B2A2B1= = , S3= B2B3A3B2= = , Sn= .,5.(2017黑龙江哈尔滨,20,3分)如图,在矩形ABCD中,M为BC边上一点,连接AM,过点D作DEAM,垂足为E,若 DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为 .,答案,解析 BAM+EAD=90,EAD+EDA=90, BAM=EDA. 又B=AED=90, ADEMAB. = ,即 = . AE=BM.由AE=2EM可设AE=2x,EM=x(x0),则BM=2x, 在RtABM中,由勾股定
13、理可知(2x+x)2=12+(2x)2, 解得x= (舍负),BM=2x= .,考点三 解直角三角形的应用,1.(2019河北,3,3分)如图,从点C观测点D的仰角是 ( ) A.DAB B.DCE C.DCA D.ADC,答案 B 点C观测点D的仰角是视线与过点C的水平线的夹角,故选B.,2.(2018辽宁大连,13,4分)如图,小明为了测量校园里旗杆AB的高度,将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6 m的位置,在D处测得旗杆顶端A的仰角为53,若测角仪的高度是1.5 m,则旗杆AB的高度约为 m.(精 确到0.1 m.参考数据:sin 530.80,cos 530.60,tan 531.33
14、),答案 9.5,解析 过点D作DEAB,垂足为E. 在D处测得旗杆顶端A的仰角为53, ADE=53, DE=BC=6 m, AE=DEtan 5361.33=7.98 m, AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.489.5 m.,3.(2017山西,14,3分)如图,创新小组要测量公园内一棵树的高度AB,其中一名小组成员站在距离树10米的点 E处,测得树顶A的仰角为54.已知测角仪的架高CE=1.5米,则这棵树的高度为 米(结果保留一位小 数.参考数据:sin 54=0.809 0,cos 54=0.587 8,tan 54=1.376 4).,答案 15.3,解析 由题意知
15、BD=CE=1.5米,CD=BE=10米,在RtADC中,由锐角三角函数可得AD=CDtanACD=10tan 54=101.376 4=13.764米,所以AB=AD+BD=13.764+1.5=15.26415.3米.,4.(2019河南,19,9分)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝塑 像DE在高55 m的小山EC上.在A处测得塑像底部E的仰角为34,再沿AC方向前进21 m到达B处,测得塑像顶 部D的仰角为60,求炎帝塑像DE的高度.(精确到1 m.参考数据:sin 340.56,cos 340.83,tan 340.67, 1.73),解析
16、在RtACE中,A=34,CE=55, AC= 82.1. BC=AC-AB=82.1-21=61.1. (4分) 在RtBCD中,CBD=60, CD=BCtan 6061.11.73105.7. (7分) DE=CD-CE=105.7-5551. 所以炎帝塑像DE的高度约为51 m. (9分),思路分析 已知EC=55,A=34,先解RtACE,求得AC的长,由BC=AC-AB得BC的长,再解RtBCD,求得 CD的长,可得DE=CD-CE51 m.,5.(2019天津,22,10分)如图,海面上一艘船由西向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角 为31,再向东继续航行30
17、m到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45.根据测得的数据,计算这座灯塔的 高度CD(结果取整数). 参考数据:sin 310.52,cos 310.86,tan 310.60.,解析 根据题意,CAD=31,CBD=45,CDA=90,AB=30, 在RtACD中,tanCAD= , AD= , 在RtBCD中,tanCBD= , BD= =CD, 又AD=AB+BD, =30+CD, CD= =45. 答:这座灯塔的高度CD约为45 m.,思路分析 在RtACD中利用CAD的三角函数表示出AD;在RtBCD中利用CBD的三角函数表示出 BD,进而根据AD=BD+30,求得CD的高度.,解
18、题关键 解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确画出图形.,6.(2018江苏南京,23,8分)如图,为了测量建筑物AB的高度,在D处树立标杆CD,标杆的高是2 m,在DB上选取 观测点E、F,从E测得标杆和建筑物的顶部C、A的仰角分别为58、45,从F测得C、A的仰角分别为22、 70.求建筑物AB的高度(精确到0.1 m.参考数据:tan 220.40,tan 581.60,tan 702.75),解析 在RtCED中,CED=58, tan 58= , DE= = . 在RtCFD中,CFD=22, tan 22= ,DF= = , EF=DF-DE= -
19、. 同理,EF=BE-BF= - . - = - , 解得AB5.9(m). 因此,建筑物AB的高度约为5.9 m.,7.(2018湖北黄冈,21,7分)如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角DCE=30,楼高AB=60米,在斜坡下的点 C处测得楼顶B的仰角为60,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45,其中点A,C,E在同一直线上. (1)求坡底C点到大楼距离AC的值; (2)求斜坡CD的长度.,解析 (1)在RtABC中,AB=60米,ACB=60, AC= =20 米. (2)过点D作DFAB于点F,则四边形AEDF为矩形, AF=DE,DF=AE. 设CD=x米,在RtCDE中,DE=
20、 x米,CE= x米, 在RtBDF中,BDF=45,BF=DF=AB-AF= 米, DF=AE=AC+CE,20 + x=60- x, 解得x=80 -120,即CD=(80 -120)米.,8.(2018四川成都,18,8分)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海 上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达A处时,测得小岛C位于它的北偏东70方向,且与航母相距80海里, 再航行一段时间后到达B处,测得小岛C位于它的北偏东37方向.如果航母继续航行至小岛C的正南方向的 D处,求还需航行的距离BD的长. (参考数据:sin 700.94,cos 700.34,
21、tan 702.75,sin 370.60,cos 370.80,tan 370.75),解析 由题意可知ACD=70,BCD=37,AC=80. 在RtACD中,cosACD= , 0.34 ,CD27.2, 在RtBCD中,tanBCD= , 0.75 ,BD20.4. 答:还需要航行的距离BD的长为20.4海里.,9.(2017天津,22,10分)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东64方向,距离灯塔120海里的A处,它沿正南方向航 行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处,求BP和BA的长(结果取整数). 参考数据:sin 640.90,cos 640.44,tan 642.0
22、5, 取1.414.,解析 如图,过点P作PCAB,垂足为C, 由题意可知,A=64,B=45,PA=120, 在RtAPC中,sin A= ,cos A= , PC=PAsin A=120sin 64, AC=PAcos A=120cos 64. 在RtBPC中,sin B= ,tan B= , BP= = 153(海里),BC= = =PC=120sin 64, BA=BC+AC=120sin 64+120cos 641200.90+1200.44161(海里). 答:BP的长约为153海里,BA的长约为161海里.,思路分析 在RtAPC中,利用A的三角函数求出PC和AC;在RtPCB中
23、,利用B的三角函数求出BC和 PB即可解决问题.,解题关键 解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确画出图形,找准 三角形.,考点一 锐角三角函数,C组 教师专用题组,1.(2016广东,8,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),那么cos 的值是 ( ) A. B. C. D.,答案 D 过点A作AB垂直x轴于B,则AB=3,OB=4. 由勾股定理得OA=5.cos = = .故选D.,2.(2015内蒙古包头,4,3分)在RtABC中,C=90,若斜边AB是直角边BC的3倍,则tan B的值是 ( ) A. B.3 C. D.2,答案 D 在
24、RtABC中,设BC=x(x0),则AB=3x, AC= =2 x.则tan B= =2 .故选D.,3.(2018山东滨州,15,5分)在ABC中,C=90,若tan A= ,则sin B= .,答案,解析 在RtABC中,C=90,tan A= = , 设a=x,则b=2x,则c= = x, sin B= = = .,4.(2016福建福州,18,4分)如图,6个形状、大小完全相同的菱形组成网格,菱形的顶点称为格点.已知菱形的 一个角(O)为60,A,B,C都在格点上,则tanABC的值是 .,答案,解析 如图,连接EA,EC,易知E、C、B三点共线.设小菱形的边长为a,由题意得AEF=3
25、0,BEF=60,AE= a,EB=2a, AEB=90, tanABC= = = .,考点二 解直角三角形,1.(2016广西南宁,6,3分)如图,厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC=10米,B=36,则中柱AD(D为底 边中点)的长是 ( ) A.5sin 36米 B.5cos 36米 C.5tan 36米 D.10tan 36米,答案 C tan B= ,AD=BDtan B=5tan 36米.故选C.,2.(2017山西,15,3分)一副三角板按如图方式摆放,得到ABD和BCD,其中ADB=BCD=90,A=60, CBD=45.E为AB的中点,过点E作EFCD于点F.若AD=
26、4 cm,则EF的长为 cm.,答案 ( + ),解析 如图,连接DE,过点E作EMBD于点M,设EF交BD于点N,AD=4 cm,A=60,AB=8 cm,DB=4 cm,点E为AB的中点,EMBD,DE= AB=4 cm,EM= AD=2 cm,由等腰直角三角形的性质可知ENM= FND=45,在RtENM中,EN= EM=2 cm,MN=EM=2 cm,DN=DM-MN= DB-MN=(2 -2)cm,在 RtDFN中,FN= DN=( - )cm,EF=EN+FN=2 + - =( + )cm.,3.(2015辽宁沈阳,16,4分)如图,正方形ABCD绕点B逆时针旋转30后得到正方形B
27、EFG,EF与AD相交于点H, 延长DA交GF于点K,若正方形ABCD边长为 ,则AK= .,答案 2 -3,解析 如图,延长BA交GF于点N.由旋转的性质得GBN=EBC=30,GB=AB= .在RtGBN中,GB= , GBN=30,BN= = =2,AN=BN-AB=2- .NAK=G=90,KNA+NKA=90, KNA+GBN=90,NKA=GBN=30(同角的余角相等).在RtKAN中,AN=2- ,NKA=30,AK= = =2 -3.,评析 本题考查正方形的性质、旋转的性质和解直角三角形的有关知识,综合性较强.,4.(2015江西南昌,12,3分)图1是小志同学书桌上的一个电子
28、相框,将其侧面抽象为如图2所示的几何图形,已 知AB=AC=15 cm,BAC=40,则点A到BC的距离为 cm(参考数据:sin 200.342,cos 200.940, sin 400.643,cos 400.766.结果精确到0.1 cm,可用科学计算器).,答案 14.1,解析 过点A作ADBC于点D,因为AB=AC,BAC=40,所以DAC= BAC=20.在RtADC中,AD=AC cos 20150.940=14.1 cm.,5.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干 支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围
29、内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低 杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答. 如图所示,底座上A,B两点间的距离为90 cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155 cm,高杠上点D到直 线AB的距离DF的长为234 cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角CAE为82.4,高杠的支架BD与直线AB 的夹角DBF为80.3.求高、低杠间的水平距离CH的长. (结果精确到1 cm.参考数据:sin 82.40.991,cos 82.40.132,tan 82.47.500,sin 80.30.983,cos 80.30.168,tan 80.35.850),解析 在RtCA
30、E中,AE= = 20.7. (3分) 在RtDBF中,BF= = =40. (6分) EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7151. 四边形CEFH为矩形,CH=EF=151. 即高、低杠间的水平距离CH的长约是151 cm. (9分),思路分析 根据RtCAE和RtDBF中的边和角的数值,用正切函数分别求得AE,BF的长度,得EF=AE+AB+ BF,由矩形的性质可知CH=EF,可以求出问题的答案.,方法总结 解直角三角形的应用问题,一般根据题意抽象出几何图形,结合所给的线段或角,借助边角关 系、三角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件构造直角三角形,
31、再解直角三角形, 求出实际问题的答案.,考点三 解直角三角形的应用,1.(2018江苏苏州,8,3分)如图,某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行 至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B处,测得岛屿P在其北偏西30方向,保持 航向不变又航行2小时到达C处,此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为 ( ) A.40海里 B.60海里 C.20 海里 D.40 海里,答案 D 由题意可知APB=30,A=90,AB=20,BC=40, 在RtPAB中,PB=2AB=40,PBA=60,PA=20 , PB=BC,BPC=C=30,PC=2
32、PA=40 , 海监船与岛屿P之间的距离是40 海里. 故选D.,2.(2018重庆,10,4分)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底 部E点处测得旗杆顶端的仰角AED=58,升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米,升旗台坡面CD的坡度i =10.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米,则旗杆AB的高度约为 ( ) (参考数据:sin 580.85,cos 580.53,tan 581.6) A.12.6米 B.13.1米 C.14.7米 D.16.3米,答案 B 如图,延长AB交ED的延长线于M,作CJDM于J.则四边形BMJ
33、C是矩形. 在RtCJD中, = = ,设CJ=4k,DJ=3k,k0,已知CD=2, 则有9k2+16k2=4,解得k= , BM=CJ= ,DJ= , 又BC=MJ=1, EM=MJ+DJ+DE= , 在RtAEM中,tanAEM= ,tan 58= 1.6, 解得AB13.1(米),故选B.,3.(2017重庆A卷,11,4分)如图,小王在长江边某瞭望台D处,测得江面上的渔船A的俯角为40,若DE=3米,CE= 2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=10.75,坡长BC=10米,则此时AB的长约为 ( ) (参考数据:sin 400.64,cos 400.77,tan 400.8
34、4) A.5.1米 B.6.3米 C.7.1米 D.9.2米,答案 A 延长DE交AB于G,作CFAB交AB于点F, 在RtBCF中,设CF=4x米,则BF=3x米, BF2+CF2=BC2, (3x)2+(4x)2=102, x=2(负值舍去), CF=8米,BF=6米. 在矩形FGEC中,FG=CE=2米,EG=CF=8米,BG=BF+FG=8米,DG=DE+EG=11米. DHAB,DAB=HDA=40. 在RtAGD中,AG= 13.1米, AB=AG-BG=13.1-8=5.1米. 故选A.,4.(2016重庆,11,4分)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动.如图,
35、在点A处测得直立于 地面的大树顶端C的仰角为36.然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处,然后再沿水平方向行走6 米至大树底端D处,斜面AB的坡度(或坡比)i=12.4,那么大树CD的高度约为(参考数据:sin 360.59,cos 360.81,tan 360.73) ( ) A.8.1米 B.17.2米 C.19.7米 D.25.5米,答案 A 作BFAE于F,如图所示, 易知四边形BDEF为矩形,则FE=BD=6米,DE=BF, 斜面AB的坡度i=12.4,AF=2.4BF, 设BF=x米,则AF=2.4x米, 在RtABF中,x2+(2.4x)2=132,解得x=5, DE=B
36、F=5米,AF=12米,AE=AF+FE=18米,在RtACE中,CE=AEtan 36180.73=13.14米, CD=CE-DE=13.14-58.1米, 故选A.,5.(2018辽宁葫芦岛,15,3分)如图,某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上,一架无人机在空中沿MN方 向水平飞行进行航拍作业,MN与AB在同一铅直平面内,当无人机飞行至C处时,测得景点A的俯角为45,景 点B的俯角为30,此时C到地面的距离CD为100米,则两景点A、B间的距离为 米(结果保留根号).,答案 (100+100 ),解析 MCA=45,NCB=30, ACD=45,DCB=60,B=30. CD=10
37、0米,AD=CD=100米,DB= CD=100 米, AB=AD+DB=(100+100 )米, 故两景点A、B间的距离为(100+100 )米.,6.(2019四川成都,18,8分)2019年,成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事,这大幅提升了成都市 的国际影响力.如图,在一场马拉松比赛中,某人在大楼A处,测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35,底部D的 俯角为45,如果A处离地面的高度AB=20米,求起点拱门CD的高度.(结果精确到1米;参考数据:sin 350.57, cos 350.82,tan 350.70),解析 如图,作CEAB于点E,AEC=CEB=90, 由题意得CD
38、B=EBD=90,1=35,2=45. 四边形CDBE为矩形. CD=BE,CE=DB. 在RtABD中,BD=AB=20米,CE=20米. 在RtACE中,AE=CEtan1. BE=AB-AE=20-20tan 356米. CD6米. 答:起点拱门CD的高度约为6米.,解题关键 本题为解直角三角形的实际问题,过点C作CEAB构造出直角三角形和矩形是解题关键.,7.(2019内蒙古呼和浩特,20,7分)如图(1),已知甲地在乙地的正东方向,因有大山阻隔,由甲地到乙地需要绕行 丙地.已知丙地位于甲地北偏西30方向,距离甲地460 km,丙地位于乙地北偏东66方向,现要打通穿山隧道, 建成甲乙两
39、地直达高速公路.如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C,可抽象成图(2)所示的三角形,求 甲乙两地之间直达高速线路的长AB(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可).,解析 过C作CDAB,垂足为D, 在RtACD中,ACD=30, AD=ACsin 30=460 =230 km, CD=ACcos 30=460 =230 km, 在RtBCD中,tanBCD= ,而BCD=66, BD=CDtan 66=230 tan 66 km, AB=AD+DB=230(1+ tan 66)km. 答:甲乙两地之间直达高速线路的长为230(1+ tan 66)km.,方法总结 解直角三角形的应用,要
40、根据题意抽象出数学图形,构造适当的直角三角形,解直角三角形,得出 实际问题的答案.,8.(2019湖北黄冈,22,7分)如图,两座建筑物的水平距离BC为40 m,从A点测得D点的俯角为45,测得C点的 俯角为60.求这两座建筑物AB,CD的高度.(结果保留小数点后一位, 1.414, 1.732),解析 延长CD交过A点的水平线于点M, 则AMC=90,AM=BC=40 m. 在RtADM中,tan = ,DM=AMtan =40tan 45=40 m, 在RtACM中,tan = ,CM=AMtan =40tan 60=40 m, AB=CM,AB=40 401.73269.3 m. 则CD
41、=CM-DM=40 -40=69.3-40=29.3 m. 答:建筑物AB的高度约为69.3 m,建筑物CD的高度约为29.3 m.,思路分析 先延长CD交过A点的水平线于点M,然后分别在RtADM和RtACM中由正切求出DM和CM, 进而求出AB,CD的高度.,9.(2017陕西,20,7分)某市一湖的湖心岛有一棵百年古树,当地人称它为“乡思柳”,不乘船不易到达,每年初 春时节,人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳.小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离. 于是,有一天,他们俩带着测倾器和皮尺来测量这个距离.测量方案如下:如图,首先,小军站在“聚贤亭”的A 处,用测倾器测得“乡思柳”
42、顶端M点的仰角为23,此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米;然后,小 军在A处蹲下,用测倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24,这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1 米.请你利用以上所测得的数据,计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长(结果精确到1米).(参考 数据:sin 230.390 7,cos 230.920 5,tan 230.424 5,sin 240.406 7,cos 240.913 5,tan 24 0.445 2),解析 作BDMN,垂足为D,作CEMN,垂足为E. 设AN=x米,则BD=CE=x米. 在RtMBD中,MD=xtan 23米. 在RtMCE中
43、,ME=xtan 24米. (4分),ME-MD=DE=BC, xtan 24-xtan 23=1.7-1. x= . x34. “聚贤亭”到“乡思柳”之间的距离约为34米. (7分),解后反思 解决此类问题的步骤如下:(1)根据题目中的已知条件,将实际问题抽象为解直角三角形的数学 问题,画出平面几何图形,弄清已知条件中各量之间的关系;(2)若三角形是直角三角形,根据边角关系进行计 算,若三角形不是直角三角形,可通过添加辅助线构造直角三角形来解决.解直角三角形的实际应用问题关 键是要根据实际情况建立数学模型,正确画出图形,找准三角形.,10.(2018天津,22,10分)如图,甲、乙两座建筑物
44、的水平距离BC为78 m,从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的 俯角为48,测得底部C处的俯角为58,求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整数). 参考数据:tan 481.11,tan 581.60.,解析 如图,过点D作DEAB,垂足为E. 则AED=BED=90. 由题意可知,BC=78,ADE=48,ACB=58,ABC=90,DCB=90. 可得四边形BCDE为矩形. ED=BC=78,DC=EB. 在RtABC中,tanACB= ,AB=BCtan 58781.60125. 在RtAED中,tanADE= , AE=EDtan 48. DC=EB=AB-AE=BCtan 58-EDt
45、an 48781.60-781.1138. 答:甲建筑物的高度AB约为125 m,乙建筑物的高度DC约为38 m.,11.(2018内蒙古呼和浩特,21,7分)如图,一座山的一段斜坡BD的长度为600米,且这段斜坡的坡度i=13(沿 斜坡从B到D时,其升高的高度与水平前进的距离之比).已知在地面B处测得山顶A的仰角为33,在斜坡D处 测得山顶A的仰角为45.求山顶A到地面BC的高度AC是多少米.(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示 即可),解析 过点D作DHBC,垂足为H. 斜坡BD的坡度i=13, DHBH=13. 在RtBDH中,BD=600, DH2+(3DH)2=6002, DH=6
46、0 ,BH=180 . 设AE=x米,在RtADE中,ADE=45,DE=AE=x, 又HC=DE,EC=DH, HC=x,EC=60 , 在RtABC中,tan 33= = , x= , AC=AE+EC= +60 = . 答:山顶A到地面BC的高度为 米.,12.(2016新疆乌鲁木齐,20,10分)如图,建筑物AB的高为6 m,在其正东方向有一个通信塔CD,在它们之间的地 面点M(B,M,D三点在一条直线上)处测得建筑物顶端A、塔顶C的仰角分别为37和60,在A处测得塔顶C的 仰角为30,求通信塔CD的高度.(精确到0.01 m),解析 过点A作AECD于E,由题意,易知四边形ABDE是矩形,AB=DE=6 m,AE=BD. 设CE=x m,在RtAEC中,AEC=90,CAE=30, AE= = x m. 在RtCDM中,CD=CE+
