1、1.(2019北京,13,2分)在平面直角坐标系xOy中,点A(a,b)(a0,b0)在双曲线y= 上,点A关于x轴的对称点B在 双曲线y= 上,则k1+k2的值为 .,北京中考题组,答案 0,解析 点A(a,b)(a0,b0)在双曲线y= 上,k1=ab.点B与点A关于x轴对称,点B坐标为(a,-b),同理有k2 =-ab.k1+k2=0.,解题关键 解决本题的关键是通过表示对称点的坐标求出k1和k2与ab的关系,进而化简得到答案.,2.(2017北京,23,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y= (x0)的图象与直线y=x-2交于点A(3,m). (1)求k,m的值. (2)已知点
2、P(n,n)(n0),过点P作平行于x轴的直线,交直线y=x-2于点M,过点P作平行于y轴的直线,交函数y= (x0)的图象于点N. 当n=1时,判断线段PM与PN的数量关系,并说明理由; 若PNPM,结合函数的图象,直接写出n的取值范围.,解析 (1)直线y=x-2经过点A(3,m),m=1. 又函数y= (x0)的图象经过点A(3,1),k=3. (2)PM=PN.理由:当n=1时,点P的坐标为(1,1), 点M的坐标为(3,1),点N的坐标为(1,3), PM=PN=2. n的取值范围是0n1或n3.,3.(2015北京,23,5分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k0)与双
3、曲线y= 的一个交点为P(2,m),与x轴、 y轴分别交于点A,B. (1)求m的值; (2)若PA=2AB,求k的值.,由直线经过点P,B,可得k=1. 当直线经过第一、三、四象限时,如图2. 同理,由PA=2AB,可得点B的坐标为(0,-2). 由直线经过点P,B,可得k=3.综上所述,k=1或k=3.,图2,思路分析 (1)由点P(2,m)在双曲线y= 上求m的值. (2)通过PA与AB的数量关系画出正确的示意图,同时要关注P,A,B这三个点的相对位置关系,即要考虑分类 讨论.,解题关键 解决本题的关键是要画出正确的示意图,并通过相似三角形的判定与性质求解.,考点一 反比例函数的图象和性
4、质,教师专用题组,1.(2019安徽,5,4分)已知点A(1,-3)关于x轴的对称点A在反比例函数y= 的图象上,则实数k的值为 ( ) A.3 B. C.-3 D.-,答案 A 点A关于x轴的对称点A(1,3)在反比例函数y= 的图象上,则3= ,k=3,故选A.,2.(2019河北,12,2分)如图,函数y= 的图象所在坐标系的原点是 ( ) A.点M B.点N C.点P D.点Q,答案 A 当x0时,y= 0,y= (x0)的图象在第一象限,当x0,y=- (x0)的图象在第二象限,所 以坐标系的原点应为点M,故选A.,3.(2018江西,6,3分)在平面直角坐标系中,分别过点A(m,0
5、),B(m+2,0)作x轴的垂线l1和l2,探究直线l1,直线l2与双 曲线y= 的关系,下列结论中 的是 ( ) A.两直线中总有一条与双曲线相交 B.当m=1时,两直线与双曲线的交点到原点的距离相等 C.当-2m0时,两直线与双曲线的交点在y轴两侧 D.当两直线与双曲线都有交点时,这两交点的最短距离是2,答案 D 由于m、m+2不同时为零,所以两直线中总有一条与双曲线相交,选项A中结论正确;当m=1时,点A 的坐标为(1,0),点B的坐标为(3,0),当x=1时,y= =3,直线l1与双曲线的交点坐标为(1,3);当x=3时,y= =1, 直线l2与双曲线的交点坐标为(3,1). = ,当
6、m=1时,两直线与双曲线的交点到原点的距离相等,选项B中结论正 确;当-2m0时,0m+22,故两直线与双曲线的交点在y轴两侧,选项C中结论正确;当两直线与双曲线都有 交点时,不可能出现两个交点的纵坐标相同,而两直线的距离为2,故这两交点的距离一定大于2,选项D中结 论错误.故选D.,解题关键 正确求出点的坐标及由点的坐标求相关线段的长度是分析四个选项正误的关键.,4.(2018云南昆明,14,4分)如图,点A在双曲线y= (x0)上,过点A作ABx轴,垂足为点B,分别以点O和点A为 圆心,大于 OA的长为半径作弧,两弧相交于D,E两点,作直线DE交x轴于点C,交y轴于点F(0,2),连接AC
7、,若AC =1,则k的值为 ( ) A.2 B. C. D.,答案 B 设DE与AO交于点G, 由题意知,DE为线段OA的垂直平分线, DEAO,OG=AG,OC=AC=1, 在RtFOC中,CF= = , OG= ,AO= . 易证FOCOBA, = ,SOBA= . k=2SOBA= ,故选B.,思路分析 根据作图方法可以判定DE垂直平分线段OA,则OC=AC=1,在RtFOC中求得CF的长,从而求出 OG的长,进而求出AO的长,再判定FOCOBA,通过相似三角形面积比等于相似比的平方求出SOBA,即 可得到k的值.,解后反思 本题考查了基本作图,勾股定理,相似三角形的性质和判定以及反比例
8、函数y= 中k的几何意义. 根据题意求得OBA的面积即可求得k的值.,5.(2016天津,11,3分)若点A(-5,y1),B(-3,y2),C(2,y3)在反比例函数y= 的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 ( ) A.y1y3y2 B.y1y2y3 C.y3y2y1 D.y2y1y3,答案 D y= 的图象过第一、三象限,且在每一个象限内,y随x的增大而减小, A、B在第三象限,且-50,y2y1y3.故选D.,6.(2015江苏连云港,7,3分)如图,O为坐标原点,菱形OABC的顶点A的坐标为(-3,4),顶点C在x轴的负半轴上,函 数y= (x0)的图象经过顶点B,则k的值为 (
9、 ) A.-12 B.-27 C.-32 D.-36,答案 C 过点A作菱形ABCO的高AE,在RtAEO中,AE=4,EO=3,由勾股定理得AO=5,所以AB=5,所以B点 坐标为(-8,4),又点B在y= (x0)的图象上,所以4= ,得k=-32,故选C.,7.(2015天津,9,3分)已知反比例函数y= ,当16,答案 C 由反比例函数的性质可得,当1x3时,y随x的增大而减小,故2y6.故选C.,8.(2015江苏苏州,6,3分)若点A(a,b)在反比例函数y= 的图象上,则代数式ab-4的值为 ( ) A.0 B.-2 C.2 D.-6,答案 B 因为点A(a,b)在反比例函数y=
10、 的图象上,所以b= ,即ab=2,因此ab-4=-2,故选B.,9.(2015甘肃兰州,12,4分)若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)在反比例函数y= (k0)的图象上,且x1=-x2,则 ( ) A.y1y2 D.y1=-y2,答案 D 由题意,得xy=k,因为k是定值,所以当x1=-x2时,y1=-y2,故选D.,10.(2018陕西,13,3分)若一个反比例函数的图象经过点A(m,m)和B(2m,-1),则这个反比例函数的表达式为 .,答案 y=,解析 设反比例函数的表达式为y= (k0),反比例函数的图象经过点A(m,m)和B(2m,-1),k=m2=-2m,解 得m1=-2
11、,m2=0(舍去),k=4,反比例函数的表达式为y= .,方法指导 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标的特点,熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题的 关键.,11.(2016广西南宁,17,3分)如图所示,反比例函数y= (k0,x0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D, 若矩形OABC的面积为8,则k的值为 .,答案 2,解析 设D(xD,yD),xD0,yD0,过D分别作DEOA,DFOC,则DF=xD,DE=yD,且DFOA,DEOC,点D为AC 的中点,OA=2DF=2xD,OC=2DE=2yD.矩形OABC的面积等于8,OAOC=8,即2xD2yD=8,xDyD=2.
12、又点D在反比例函数y= (k0,x0)的图象上,k=xDyD=2.,12.(2015甘肃兰州,19,4分)如图,点P、Q是反比例函数y= 图象上的两点,PAy轴于点A,QNx轴于点N,作 PMx轴于点M,QBy轴于点B,连接PB、QM,ABP的面积记为S1,QMN的面积记为S2,则S1 S2. (填“”或“”或“=”),答案 =,解析 由反比例函数的性质得,S矩形APMO=S矩形BONQ.同时减去公共部分后,所得两个矩形的面积仍相等,即2SABP= 2SMNQ,故S1=S2.,考点二 反比例函数的应用,1.(2019内蒙古包头,19,3分)如图,在平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(0,
13、2),将ABO沿直线AB翻折后得到 ABC,若反比例函数y= (x0)的图象经过点C,则k= .,答案 -,解析 如图,作CDx轴于点D,连接CO交AB于点E,由翻折得ABOC,OE=CE,A(-1,0),B(0,2),在RtAOB中, 由勾股定理得,AB= = ,OE= = ,CO= .易证OEAODC, = , OD= ,CD= = ,点C的坐标为 ,k=- .,2.(2018内蒙古包头,19,3分)以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点,以平行于两边的直线为坐标轴,建 立如图所示的平面直角坐标系,BEAC,垂足为E.若双曲线y= (x0)经过点D,则OBBE的值为 .,答案 3,解析
14、 根据题意得,矩形ABCD的顶点B在双曲线y= 上,顶点A,C在双曲线y=- 上.设AB与x轴交于点M, BC与y轴交于点N,则SAMO=SCNO= ,S矩形BMON= ,SABC=3. OB= BD= AC,BEAC,SABC= BEAC= BE2OB=3,即OBBE=3.,思路分析 根据图形的对称性可得点A、C在双曲线y=- 上,点B在双曲线y= 上,由反比例函数y= 中k 的几何意义得SABC=2|k|=3,即SABC= BEAC= BE2OB=BEOB=3.,解后反思 本题主要考查矩形的性质,反比例函数中比例系数k的几何意义.要根据k的几何意义求得SABC,SABC 可以表示为 BEA
15、C,又因为OB= AC,进而求得OBBE的值.,3.(2018福建,16,4分)如图,直线y=x+m与双曲线y= 相交于A,B两点,BCx轴,ACy轴,则ABC面积的最小 值为 .,答案 6,解析 令 =x+m,整理得x2+mx-3=0, 则xA= ,xB= , BCx轴,ACy轴,且直线AB为y=x+m, AC=BC=xA-xB= , SABC= (m2+12)6,当且仅当m=0时取“=”. 故ABC面积的最小值为6.,解题关键 由y=x+m知直线AB与x轴所成的锐角为45,且ABC为等腰直角三角形是解本题的关键.,4.(2017福建,16,4分)已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=
16、 的图象上,且点A的横坐标是2,则矩形 ABCD的面积为 .,答案,解析 点A在反比例函数y= 的图象上,且点A的横坐标是2,y= ,即点A的坐标为 . 如图,双曲线y= 和矩形ABCD都是轴对称图形和中心对称图形,点A、B关于直线y=x对称,则B ,同 理,C ,D . AB= = . AD= = .S矩形ABCD=ABAD= .,解题思路 本题主要结合双曲线和矩形的对称性求出B,C,D的坐标,再用两点之间的距离公式求出矩形的 长和宽,即可求矩形的面积.,5.(2016新疆乌鲁木齐,14,4分)如图,直线y=-2x+4与双曲线y= 交于A,B两点,与x轴交于点C,若AB=2BC,则k= .,
17、答案,6.(2019四川成都,19,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y= x+5和y=-2x的图象相交于点A,反比 例函数y= 的图象经过点A. (1)求反比例函数的表达式; (2)设一次函数y= x+5的图象与反比例函数y= 的图象的另一个交点为B,连接OB,求ABO的面积.,解析 (1)由 解得 点A的坐标为(-2,4). 把(-2,4)代入y= 中,得4= ,k=-8. 反比例函数的表达式为y= . (2)由 解得 B(-8,1),直线BO的解析式为y=- x. 过点A作ACx轴交BO于点C,则yC= , SABO= AC(xO-xB)= (0+8)=15.,思路分析 (
18、1)联立两直线解析式得方程组,方程组的解即为点A的坐标;(2)联立直线与反比例函数解析式, 求得点B坐标,进而得到直线BO的解析式,用“铅垂法”求得ABO的面积.,7.(2019辽宁大连,22,9分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(3,2)在反比例函数y= (x0)的图象上,点B在OA 的延长线上,BCx轴,垂足为C,BC与反比例函数的图象相交于点D,连接AC,AD. (1)求该反比例函数的解析式; (2)若SACD= ,设点C的坐标为(a,0),求线段BD的长.,8.(2019贵州贵阳,22,10分)如图,已知一次函数y=-2x+8的图象与坐标轴交于A,B两点,并与反比例函数y= 的
19、图象相切于点C. (1)切点C的坐标是 ; (2)若点M为线段BC的中点,将一次函数y=-2x+8的图象向左平移m(m0)个单位后,点C和点M平移后的对应 点同时落在另一个反比例函数y= 的图象上时,求k的值.,解析 (1)令-2x+8= ,得x2-4x+4=0(x0),解得x1=x2=2,则y=4,切点C的坐标为(2,4).故填(2,4). (2)由(1)可知C(2,4), 直线y=-2x+8与x轴交于点B,B(4,0), 线段BC的中点M(3,2). 直线AB向左平移m(m0)个单位, 点C平移后的对应点的坐标为(2-m,4), 点M平移后的对应点的坐标为(3-m,2), 平移后的对应点同
20、时落在反比例函数y= 的图象上, 解得 k的值是4.,思路分析 (1)联立两个解析式求出点C的坐标;(2)首先求出平移后点C和点M对应点的坐标(用含m的代数 式表示横坐标),然后根据两点落在另一反比例函数图象上列出二元一次方程组,求出m和k的值.,方法指导 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题的关键.,9.(2018湖北武汉,22,10分)已知点A(a,m)在双曲线y= 上且m0)沿y轴折叠得到双曲线y=- (x0),将线段OA绕点O旋转,点A刚好落在 双曲线y=- (x0)上的点D(d,n)处,求m和n的数量关系.,解析 (1)C(1,3). 依
21、题意,得点C的坐标是(t,t+2). 双曲线y= 经过点C,t(t+2)=8,解得t=2或-4. (2)点A,D分别在双曲线y= 和y=- 上, m= ,n=- ,即a= ,d=- . OA=OD,a2+m2=d2+n2, +m2= +n2, (m-n)(m+n)(mn+8)(mn-8)=0, m0,m-n0,mn-80,m+n=0或mn=-8. m和n的数量关系是m+n=0或mn=-8.,思路分析 (1)当t=1时,求出PB的长即可得出点C的坐标;由题意可知点C的坐标为(t,t+2),把点C的坐标 代入y= 即可得解. (2)由题意可得a= 和d=- .由OA=OD可得 +m2= +n2,最
22、后可知mn=-8或m+n=0.,方法归纳 解答反比例函数与几何图形相结合问题的最常用的方法是由点的坐标求相关线段的长度,用相 关线段的长度表示点的坐标.,10.(2018江西,17,6分)如图,反比例函数y= (k0)的图象与正比例函数y=2x的图象相交于A(1,a),B两点,点C 在第四象限,CAy轴,ABC=90. (1)求k的值及点B的坐标; (2)求tan C的值.,思路分析 (1)先把A(1,a)代入y=2x得a的值,再利用待定系数法求得反比例函数解析式,然后解方程组 得点B的坐标; (2)利用同角的余角相等推出C=AOD,在RtAOD中利用正切的定义求解即可.,方法指导 在一次函数
23、的图象与反比例函数的图象相交求函数解析式的过程中,通常是把交点坐标代入其 中一个函数解析式,求得字母的值,再利用待定系数法求另一个函数的解析式.,11.(2017内蒙古呼和浩特,23,7分)已知反比例函数y= (k为常数). (1)若点P1 和点P2 是该反比例函数图象上的两点,试利用反比例函数的性质比较y1和y2的大小; (2)设点P(m,n)(m0)是其图象上的一点,过点P作PMx轴于点M,若tanPOM=2,PO= (O为坐标原点),求k 的值,并直接写出不等式kx+ 0的解集.,考点 反比例函数的图象与性质,1.(2019北京门头沟二模,6)已知点A(1,m)与点B(3,n)都在反比例
24、函数y= (k0)的图象上,那么m与n的关系是 ( ) A.mn C.m=n D.不能确定,答案 B y= (k0),在第一象限内y随x的增大而减小.0n.故选B.,2.(2017北京西城二模,7)已知反比例函数y= ,当1x2时,y的取值范围是 ( ) A.1y3 B.2y3 C.1y6 D.3y6,答案 D 当1x2时,y随x的增大而减小.当x=1时,y=6;当x=2时,y=3.所以3y6.故选D.,3.(2018北京丰台一模,10)有一个反比例函数,它满足:图象经过点(1,1);在第一象限内y随自变量x的增大 而减小,则这个函数的表达式为 .,答案 y=,解析 设该函数为y= (k0),
25、因为其图象过点(1,1),所以k=1,即y= ,经检验,y= 满足题意,故y= .,4.(2017北京西城一模,12)若函数的图象经过点A(1,2),点B(2,1),写出一个符合条件的函数解析式: .,答案 答案不唯一,如:y=,解析 12=21, 所以可以设函数的解析式为y= (k0), 所以k=2,即y= .答案不唯一.,5.(2017北京门头沟一模,13)如果一个函数的图象与坐标轴无交点,那么它的表达式可以为 .,答案 答案不唯一.如y=,6.(2018北京顺义一模,22)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x+4与曲线y= (k0)相交于A(-3,a),B两点. (1)求k的值;
26、 (2)过点P(0,m)作直线l,使直线l与y轴垂直,直线l与直线AB交于点M,与曲线y= (k0)交于点N,若点P在点M 与点N之间,直接写出m的取值范围.,解析 (1)点A(-3,a)在直线y=2x+4上,a=2(-3)+4=-2,点A的坐标为(-3,-2).点A(-3,-2)在曲线y= (k 0)上,-2= ,k=6. (2)m的取值范围是04时,点P不在点M与点N之间,不合题意;当m0时,点P不在点M与点N之间,也不合题意.因为曲线y = (k0)与坐标轴没有交点,所以m的取值范围是0m4.,7.(2017北京丰台一模,21)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-3x+m与双曲线y
27、= 相交于点A(m,2). (1)求双曲线y= 的表达式; (2)过动点P(n,0)且垂直于x轴的直线与直线y=-3x+m及双曲线y= 的交点分别为B和C,当点B位于点C下方 时,求出n的取值范围.,解析 (1)点A(m,2)在直线y=-3x+m上, 2=-3m+m,m=-1.A(-1,2). 点A在双曲线y= 上,2= ,k=-2.y=- . (2)令-3x-1=- ,得x1=-1,x2= . 由点B位于点C下方,知反比例函数的函数值大于一次函数的函数值,-1 .,8.(2019北京房山一模,23)已知一次函数y=2x的图象与反比例函数y= (k0)在第一象限内的图象交于点A(1,m). (
28、1)求反比例函数的表达式; (2)点B在反比例函数的图象上,且点B的横坐标为2.若在x轴上存在一点M,使MA+MB的值最小,求点M的坐标.,解析 (1)A(1,m)在一次函数y=2x的图象上,m=2, (1分) 将A(1,2)代入反比例函数y= ,得k=2, 反比例函数的表达式为y= . (3分) (2)作点A关于x轴的对称点A,连接AB交x轴于点M, 此时MA+MB最小, (4分) A关于x轴的对称点为A(1,-2),易知B(2,1).直线AB的表达式为y=3x-5, (5分) 点M的坐标为 . (6分),解题关键 解决本题的关键是借助轴对称和两点之间线段最短寻找到两线段和的最小值.,9.(
29、2019北京平谷一模,21)如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y= (x0)的图象经过点A,作ACx轴于点C. (1)求k的值; (2)直线AB:y=ax+b(a0)经过点A交x轴于点B.横、纵坐标都是整数的点叫做整点.线段AB,AC,BC围成的区 域(不含边界)为W. 直线AB经过(0,1)时,直接写出区域W内的整点个数; 若区域W内恰有1个整点,结合函数图象,求a的取值范围.,解析 (1)观察函数图象可知A(2,2),代入y= ,可得k=4. (1分) (2)1个. (2分) 当直线AB经过点A(2,2),(0,1)时区域W内恰有1个整点,此时a= . 当直线AB经过点A(2,2),(1
30、,1)时区域W内没有整点, 此时a=1. (3分) 当 a1时区域W内恰有1个整点. (5分),10.(2019北京昌平二模,22)如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y= (x0)的图象与直线y=2x-2交于点A(2,m). (1)求k,m的值; (2)点B为函数y= (x0)的图象上的一点,直线AB与y轴交于点C,当AC=2AB时,求点C的坐标.,解析 (1)y=2x-2过点A(2,m). m=22-2=2,即A(2,2). (2分) y= (x0)过点A(2,2).k=4. (3分) (2)当点B在点A左侧时,AC=2AB,点B的横坐标为1. 点B的坐标为(1,4).直线AB的表达式为y
31、=-2x+6.点C的坐标为(0,6); 当点B在点A右侧时,AC=2AB,点B的横坐标为3.点B的坐标为 .直线AB的表达式为y=- x+ , 点C的坐标为 . (5分),11.(2018北京海淀一模,22)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(2,2),Q(-1,2),函数y= (m0). (1)当函数y= (m0)的图象经过点P时,求m的值; (2)若P,Q两点中恰有一个点的坐标满足不等式组 (m0),求m的取值范围.,解析 (1)函数y= (m0)的图象经过点P(2,2), 2= ,即m=4. (2)当点P(2,2)满足 (m0)时,由不等式组 得00)时,由不 等式组 得m3. P,Q两
32、点中恰有一个点的坐标满足 (m0), m的取值范围是0m3或m4.,思路分析 本题的第二问需要通过解不等式组解决,且要关注“恰有一个点”的含义.,解题关键 解决本题的关键是要理解“恰有一个”的含义有且只有一个.,一、填空题(每小题2分,共2分) 1.(2017北京海淀一模,15)如图,在平面直角坐标系xOy中,A(1,1),B(2,2),双曲线y= 与线段AB有公共点,则k的 取值范围是 .,50分钟 60分,答案 1k4,解析 将A(1,1)代入y= ,可得k=1;将B(2,2)代入y= ,可得k=4.因为双曲线与线段AB有公共点,所以1k4.,二、解答题(共58分) 2.(2019北京延庆
33、一模,22)在平面直角坐标系xOy中,函数y= (x0)的图象经过边长为2的正方形OABC的顶 点B,直线y=mx+m+1与y= (x0)的图象交于点D(点D在直线BC的上方),与x轴交于点E. (1)求k的值; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记y= (x0)的图象在点B,D之间的部分与线段AB,AE,DE围成的区域 (不含边界)为W. 当m= 时,直接写出区域W内的整点个数; 若区域W内恰有3个整点,结合函数图象,求m的取值范围.,解析 (1)由题意可知:边长为2的正方形OABC的顶点B的坐标为(2,2), 函数y= (x0)的图象经过B(2,2), k=4. (2分) (2)2个.
34、由图象可知,当m= 时,区域W内有两个整点,坐标为(0,1),(1,1).,当m大于 时,直线以(-1,1)为中心逆时针旋转,新生成的第一个整点的坐标为(1,2);当m=1时,如图所示, 此时整点数也为3.综上,m的取值范围是 m1. (5分),解题关键 解决本题的关键是要发现直线y=mx+m+1是绕着点(-1,1)旋转的. 因为y=mx+m+1=m(x+1)+1,所以当x=-1时,无论m为何值,均有y=1,即直线绕着点(-1,1)旋转.,3.(2019北京石景山一模,23)如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y= (x0)的图象经过点A(-1,6),直线y=mx-2 与x轴交于点B(-1,0
35、). (1)求k,m的值; (2)过第二象限的点P(n,-2n)作平行于x轴的直线,交直线y=mx-2于点C,交函数y= (x0)的图象于点D. 当n=-1时,判断线段PD与PC的数量关系,并说明理由; 若PD2PC,结合函数的图象,直接写出n的取值范围.,4.(2019北京怀柔一模,23)在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k0)的图象交于A,B两点. (1)求直线的表达式; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记函数y= (x0)的图象在点A、B之间的部分与线段AB围成的区域 (不含边界)为W. 当m=2时,直接写出区域W内的整点的坐标 ; 若区域W内恰有3个整点,结合函数图象,
36、求m的取值范围.,解析 如图, (1)设直线与y轴的交点为C(0,b), 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是9, 6|b|=9,b=3.,k0,b=3. 直线y=kx+b经过点(6,0)和(0,3), 直线的表达式为y=- x+3. (2分) (2)(3,1). (4分) 当y= 的图象经过点(1,1)时,可得m=1. 当y= 的图象经过点(2,1)时,可得m=2.所以,1m2. (6分),5.(2019北京顺义一模,25)有这样一个问题:探究函数y= +x的图象与性质. 小亮根据学习函数的经验,对函数y= +x的图象与性质进行了探究. 下面是小亮的探究过程,请补充完整: (1)函数y= +x
37、中自变量x的取值范围是 ; (2)下表是y与x的几组对应值.,求m的值; (3)在平面直角坐标系xOy中,描出以上表中各组对应值为坐标的点,根据描出的点,画出该函数的图象; (4)根据画出的函数图象,发现下列特征: 该函数的图象是中心对称图形,对称中心的坐标是 ; 该函数的图象与过点(2,0)且平行于y轴的直线越来越靠近而永不相交,该函数的图象还与直线 越来越靠近而永不相交.,6.(2018北京西城一模,22)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+m与x轴的交点为A(-4,0),与y轴的交点为B, 线段AB的中点M在函数y= (k0)的图象上. (1)求m,k的值; (2)将线段AB向左
38、平移n个单位长度(n0)得到线段CD,A,M,B对应的点分别为C,N,D. 当点D落在函数y= (x0)的图象上时,求n的值; 当MDMN时,结合函数的图象直接写出n的取值范围.,思路分析 本题第(2)问的第小问需要表示出线段MD、MN的长,然后通过不等式解决.,7.(2018北京石景山一模,22)在平面直角坐标系xOy中,函数y= (x0)的图象与直线l1:y=x+b交于点A(3,a-2). (1)求a,b的值; (2)直线l2:y=-x+m与x轴交于点B,与直线l1交于点C,若SABC6,求m的取值范围.,解析 (1)函数y= (x0)的图象过点A(3,a-2), a-2= ,解得a=3.
39、 直线l1:y=x+b过点A(3,1),b=-2. (2)设直线y=x-2与x轴交于点D,则D(2,0), 直线y=-x+m与x轴交于点B(m,0), 与直线y=x-2交于点C . 当SABC=SBCD+SABD时,如图1,此时m0. 令 (2-m)2+ (2-m)16,解得m-2或m8(舍去).,当SABC=SBCD-SABD时,如图2,此时m0. 令 (m-2)2- (m-2)16, 解得m8或m-2(舍去). 综上所述,当SABC6时,m8或m-2.,8.(2018北京朝阳一模,22)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B,与反比例函 数y= (k0)的图象
40、在第四象限交于点C,CDx轴于点D,tanOAB=2,OA=2,OD=1. (1)求该反比例函数的表达式; (2)点M是这个反比例函数图象上的点,过点M作MNy轴,垂足为点N,连接OM、AN,如果SABN=2SOMN,直接 写出点M的坐标.,解析 (1)AO=2,OD=1,AD=AO+OD=3.CDx轴于点D,ADC=90. 在RtADC中,CD=ADtanOAB=6, C(1,-6).点C在反比例函数y= (k0)的图象上,k=-6, 该反比例函数的表达式是y=- . (2)点M的坐标为(-3,2)或 . 提示:由k的几何意义可知SOMN= 6=3.设点M的坐标为 ,则点N的坐标为 ,又易知
41、点B的坐标 是(0,-4),则SABN= 2,由SABN=2SOMN,解得a=-3或a= .所以点M的坐标为(-3,2)或 .,思路分析 本题的第(2)问需要借助点M的坐标表示出三角形ABN的面积.,解题关键 解决本题的关键是列出与面积有关的方程,进而通过解方程解决问题.,9.(2017北京石景山一模,22)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k0)与双曲线y= (m0)交于点 A(2,-3)和点B(n,2). (1)求直线与双曲线的表达式; (2)横、纵坐标都是整数的点叫整点.动点P是双曲线y= (m0)上的整点,过点P作垂直于x轴的直线,交直 线AB于点Q,当点P位于点Q下方
42、时,请直接写出整点P的坐标.,解析 (1)双曲线y= (m0)经过点A(2,-3), m=-6. 双曲线的表达式为y=- . 点B(n,2)在双曲线y=- 上, 点B的坐标为(-3,2). 直线y=kx+b(k0)经过点A(2,-3)和点B(-3,2), 解得 直线的表达式为y=-x-1. (2)(-6,1),(1,-6)(提示:根据xy=-6得出整点,从中选出点P位于点Q下方的整点).,10.(2019北京朝阳一模,23)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴上,点B在第一象限内,OAB=90,OA= AB,OAB的面积为2,反比例函数y= 的图象经过点B. (1)求k的值; (2)已知
43、点P坐标为(a,0),过点P作直线OB的垂线l,点O,A关于直线l的对称点分别为O,A,若线段OA与反比例 函数y= 的图象有公共点,直接写出a的取值范围.,解题思路 本题第二问可以通过多画几个示意图发现线段OA与线段OA的关系.,解题关键 解决本题第二问的关键是通过画图发现对称后图象的规律,进而通过方程解决.,1.(2018重庆,11,4分)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B在反比例函数y= (k0,x0)的图象上, 横坐标分别为1,4,对角线BDx轴.若菱形ABCD的面积为 ,则k的值为 ( ) A. B. C.4 D.5,答案 D 连接AC,设AC与BD、x轴分别交于点E
44、、F. 已知A、B的横坐标分别为1,4,BE=3,BD=6.四边形ABCD为菱形,S菱形ABCD= ACBD= ,AC= , AE= .设点B的坐标为(4,m),则A点坐标为 . 点A、B都在函数y= 的图象上,4m=1 , m= .B点坐标为 ,k=5,故选D.,思路分析 根据A、B的横坐标求出BD的长,利用菱形的面积公式求出AC的长,设点B的坐标为(4,m),用m表 示出点A的坐标 .利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为k构造方程求出m,进而求出k.,2.(2017河北,15,2分)如图,若抛物线y=-x2+3与x轴围成封闭区域内(边界除外)整点(点的横、纵坐标都是整 数)的个数为k,则
45、反比例函数y= (x0)的图象是 ( ),答案 D 对于y=-x2+3,当y=0时,x= ;当x=1时,y=2;当x=0时,y=3,所以抛物线y=-x2+3与x轴围成封闭区域 内(边界除外)的整点(点的横、纵坐标都是整数)为(-1,1),(0,1),(0,2),(1,1),共有4个,k=4,反比例函数y= 的图象经过点(4,1),故选D.,3.(2018四川成都,25,4分)设双曲线y= (k0)与直线y=x交于A,B两点(点A在第三象限),将双曲线在第一象限 的一支沿射线BA的方向平移,使其经过点A,将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移,使其经过点 B,平移后的两条曲线相交于P,Q两
46、点,此时我们称平移后的两条曲线所围部分(如图中阴影部分)为双曲线 的“眸”,PQ为双曲线的“眸径”,当双曲线y= (k0)的眸径为6时,k的值为 .,答案,思路分析 以PQ为边,作矩形PQQP交双曲线在第一象限的一支于点P,点Q,联立直线AB及双曲线解析式 得方程组,即可求出点A,点B的坐标,由PQ的长度以及对称性可得点P的坐标,根据平移的性质得AB=PP,求 出点P的坐标,代入y= ,得出关于k的方程,解之得k值.,疑难突破 本题考查了反比例函数与一次函数的图象交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形 的性质,难点是点P的坐标确定,关键是根据平移的性质判断AB=PP,由A,B两点的坐标确定平移方向和距离 是突破点,再把点P进行相同的平移可以求出点P的坐标.,4.(2018河南,18,9分)如图,反比例函数y= (x0)的图象过格点(网格线的交点)P. (1)求反比例函数的解析式; (2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件: 四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P; 矩形的面积等于k的值.,解析 (1)点P(2,2)在反比例函数y= (x0)的图象上, =2,即k=4.反比例函数的解析式为y= . (3分) (2)(答案不唯一,正确画出两个矩形即可) (9分) 举例:如图,矩形OAPB,矩形OPCD.,
