1、1.(2019北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx- 与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长 度,得到点B,点B在抛物线上. (1)求点B的坐标(用含a的式子表示); (2)求抛物线的对称轴; (3)已知点P ,Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.,令抛物线上的点C . 当x- . 令抛物线上的点D(xD,2)(xD1). 当x1时,y随着x的增大而减小, xD2. 结合函数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点. (ii)当a=- 时,A(0,2),B(2,2),P ,Q(2,2),如图3.,图3,图4,思路分析 本题第
2、(3)问需要对a的大小进行分类讨论,同时要关注抛物线与y轴的交点坐标.,解题关键 解决本题的关键是分情况讨论后精准画图,要在探究的过程中发现点P与点A,B纵坐标相等的 关系,进而关注点Q与抛物线的关系.,2.(2018北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经 过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C. (1)求点C的坐标; (2)求抛物线的对称轴; (3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.,将x=5代入抛物线的解析式得y=12a, 12a4,a . a0,且抛物线顶点不在线段BC上
3、时,如图2.,图2,将x=0代入抛物线得y=-3a, 抛物线与线段BC恰有一个公共点, -3a4, a- . 若抛物线的顶点在线段BC上,则顶点为(1,4),如图3.,图3,将点(1,4)代入抛物线的解析式得4=a-2a-3a, a=-1. 综上所述,a 或a- 或a=-1.,思路分析 (1)先求B点坐标,由B点向右平移5个单位长度确定C点坐标. (2)确定A点坐标,代入抛物线的解析式,利用公式确定对称轴. (3)结合图象和抛物线的对称性解答.,解题关键 解决本题第(3)问的关键是要先确定题目中抛物线所过的定点,进而通过临界点求出a的取值范 围.同时不要忽略抛物线顶点是公共点的情况.,3.(2
4、017北京,27,7分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交 于点C. (1)求直线BC的表达式; (2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),与直线BC交于点N(x3,y3).若x1x2x3,结合函数的图象, 求x1+x2+x3的取值范围.,解析 (1)令y=0,即0=x2-4x+3, 解得x=1或x=3. 抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧), 点A,B的坐标分别为(1,0),(3,0). 令x=0,得y=3. 抛物线y=x2-4x+3与y轴交于点C, 点C的坐标为(0,3
5、). 设直线BC的表达式为y=kx+b,k0, 解得 直线BC的表达式为y=-x+3. (2)y=x2-4x+3=(x-2)2-1, 抛物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2.,由题意可知,点P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1x2)关于直线x=2对称, x2-2=2-x1, x1+x2=4. 由x1x2x3,结合函数的图象,可得-1y30, 即-1-x3+30, 解得3x34. 7x1+x2+x38.,思路分析 (1)求出点B、C的坐标,用待定系数法求直线BC的表达式.(2)先借助抛物线的对称性确定x1+x2的 值,再画出函数图象,确定x3的范围,从而得解.,4.(2019北京
6、西城一模,26)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2-mx+n. (1)当m=2时, 求抛物线的对称轴,并用含n的式子表示顶点的纵坐标; 若点A(-2,y1),B(x2,y2)都在抛物线上,且y2y1,则x2的取值范围是 ; (2)已知点P(-1,2),将点P向右平移4个单位长度,得到点Q.当n=3时,若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合 函数图象,求m的取值范围.,解析 (1)m=2, 抛物线为y=x2-2x+n. x=- =1, 抛物线的对称轴为直线x=1. (1分) 当x=1时,y=1-2+n=n-1, 顶点的纵坐标为n-1. (2分) 由开口方向向上可知当x2y1;由对称轴为
7、x=1可知,当x24时,y2y1,所以x24. (4分) (2)点P(-1,2)向右平移4个单位得到点Q, 点Q的坐标为(3,2). n=3,抛物线为y=x2-mx+3. 当抛物线经过点Q(3,2)时,2=32-3m+3,解得m= . 当抛物线经过点P(-1,2)时,2=(-1)2+m+3,解得m=-2.,当抛物线的顶点在线段PQ上时, =2,解得m=2. 结合图象可知(图略),m的取值范围是m-2或m=2或m . (6分),思路分析 本题(1)需要关注对称轴与顶点的关系;(2)中恰有一个公共点,有两种情况,一种是相交,另一 种是相切,即顶点在线段PQ上.,解题关键 解决本题的关键是画出y=x
8、2-mx+3的示意图:画出的图象开口方向、大小都不变,与y轴交点也不 变,进而借助图象进行观察.,5.(2019北京东城一模,26)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=mx2-6mx+9m+1(m0). (1)求抛物线的顶点坐标; (2)若抛物线与x轴的两个交点分别为A和B(点A在点B的左侧),且AB=4,求m的值; (3)已知四个点C(2,2),D(2,0),E(5,-2),F(5,6),若抛物线与线段CD和线段EF都没有公共点,请直接写出m的取值 范围.,解析 (1)y=mx2-6mx+9m+1 =m(x2-6x+9)+1=m(x-3)2+1. 抛物线的顶点坐标为(3,1). (2分)
9、 (2)对称轴为x=3,且AB=4,A(1,0),B(5,0), 将A(1,0)代入抛物线,可得m=- . (4分) (3)m . (6分) 提示:分别将C(2,2),F(5,6)代入抛物线表达式得m=1,m= ,将D(2,0),E(5,-2)代入抛物线表达式得m=-1,m=- , 因为没有公共点,所以图象开口应更小,即m的绝对值更大,所以m .,6.(2019北京朝阳一模,26)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2-2x+a-3,当a=0时,抛物线与y轴交于点A, 将点A向右平移4个单位长度,得到点B. (1)求点B的坐标; (2)将抛物线在直线y=a上方的部分沿直线y=a翻折,图象
10、的其他部分保持不变,得到一个新的图象,记为图形 M,若图形M与线段AB恰有两个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围.,思路分析 本题(2)要理解“在直线y=a上方的部分沿直线y=a翻折”的含义,尝试画出各种情况的示意图.,7.(2019北京丰台一模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c过原点和点A(-2,0). (1)求抛物线的对称轴; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点B ,记抛物线与直线AB围成的封闭区域(不含边界)为W. 当a=1时,求出区域W内的整点个数; 若区域W内恰有3个整点,结合函数图象,直接写出a的取值范围.,解析 (1)抛物线y=ax2+bx
11、+c过原点(0,0)和点A(-2,0), 抛物线的对称轴为x=-1. (1分) (2)抛物线y=ax2+bx+c经过原点(0,0)和点A(-2,0), c=0,b=2a. 抛物线解析式可化为y=ax2+2ax. a=1时,抛物线解析式为y=x2+2x. (2分) 抛物线的顶点为(-1,-1). 由图象知(图略),区域W内的整点个数为2. (3分) a0时,图象经过(-1,-2),则a=2,1a2;图象经过(1,2),(1,1),分别得到a= ,a= , a ;(2)当a0时,图象经过(-1,4),(-1,3)时,分别得到a=-4,a=-3,-4a-3.,8.(2019北京石景山一模,26)在平
12、面直角坐标系xOy中,直线y=kx+1(k0)经过点A(2,3),与y轴交于点B,与抛物 线y=ax2+bx+a的对称轴交于点C(m,2). (1)求m的值; (2)求抛物线的顶点坐标; (3)N(x1,y1)是线段AB上一动点,过点N作垂直于y轴的直线与抛物线交于点P(x2,y2),Q(x3,y3)(点P在点Q的左侧). 若x2x1x3恒成立,结合函数的图象,求a的取值范围.,9.(2019北京通州一模,26)已知二次函数y=x2-ax+b在x=0和x=4时的函数值相等. (1)求二次函数y=x2-ax+b的对称轴; (2)过P(0,1)作x轴的平行线与二次函数y=x2-ax+b的图象交于不
13、同的两点M、N. 当MN=2时,求b的值; 当PM+PN=4时,请结合函数图象,直接写出b的取值范围.,解析 (1)二次函数y=x2-ax+b在x=0和x=4时的函数值相等.对称轴为直线x=2. (1分) (2)不妨设点M在点N的左侧.对称轴为直线x=2,MN=2, 点M的坐标为(1,1),点N的坐标为(3,1). (2分) - =2,1=1-a+b.a=4,b=4. (4分) 1b5. (6分) (提示:当函数图象经过(0,1)时,b=1;经过(2,1)时,b=5,又因为此时M,N重合所以舍去5.),10.(2019北京门头沟一模,26)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+4的图象与x
14、轴交于点A,与过点(0,5)且 平行于x轴的直线l交于点B,点A关于直线l的对称点为点C. (1)求点B和点C坐标; (2)已知某抛物线的表达式为y=x2-2mx+m2-m. 如果该抛物线顶点在直线y=x+4上,求m的值; 如果该抛物线与线段BC有公共点,结合函数图象,直接写出m的取值范围.,解析 (1)直线y=x+4与x轴交于点A, 点A坐标为(-4,0). 直线y=x+4与过点(0,5)且平行于x轴的直线l交于点B, 点B的坐标为(1,5). (1分) 点A关于直线l的对称点为点C, 点C坐标为(-4,10). (2分) (2)抛物线的表达式为y=x2-2mx+m2-m=(x-m)2-m,
15、 顶点坐标为(m,-m). (3分) 抛物线顶点在直线y=x+4上, -m=m+4,m=-2. (4分) -6m4. (6分) (提示:当抛物线经过点C时,m=-6或m=-1;当抛物线经过点B时,m=4或m=-1,所以m的取值范围是-6m4.),11.(2019北京燕山一模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-2ax-3a(a0)的顶点为D,与x轴交于A,B两 点(A在B的左侧). (1)当a=1时,求点A,B,D的坐标; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(不含边界) 恰有7个整点,结合函数图象,求a的取值范围.,12.(
16、2019北京大兴一模,26)在平面直角坐标系中xOy中,已知抛物线y=ax2-4ax+1. (1)求抛物线的对称轴; (2)若抛物线过点A(-1,6),求二次函数的表达式; (3)将点A(-1,6)沿x轴向右平移7个单位得到点B,若抛物线与线段AB始终有两个公共点,结合函数的图象,求a 的取值范围.,13.(2019北京石景山二模,26)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2-2mx+m2-1. (1)求抛物线的对称轴(用含m的式子表示); (2)若点(m-2,y1),(m,y2),(m+3,y3)都在抛物线y=x2-2mx+m2-1上,则y1,y2,y3的大小关系为 ; (3)直线y=
17、-x+b与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y=x2-2mx+m2-1有两个 交点,在抛物线对称轴右侧的点记为P,当OAP为钝角三角形时,求m的取值范围.,解析 (1)抛物线为y=x2-2mx+m2-1, 抛物线的对称轴为直线x= =m. (1分) (2)y3y1y2. (3)当OAP=90时,抛物线经过点P(3,3), m1=1,m2=5(舍). (4分) 当AOP=90时,抛物线经过点P(0,3), m1=-2,m2=2(舍). 若OAP为钝角三角形,m的取值范围为m1或m-2.,14.(2019北京平谷二模,26)已知:二次函数C1:y1=ax2+
18、2ax+a-1(a0). (1)把二次函数C1的表达式化成y=a(x-h)2+b(a0)的形式,并写出顶点坐标; (2)已知二次函数C1的图象经过点A(-3,1). 求a的值; 点B在二次函数C1的图象上,点A,B关于C1的对称轴对称,连接AB.二次函数C2:y2=kx2+kx(k0)的图象与线 段AB只有一个交点,求k的取值范围.,15.(2019北京怀柔二模,26)在平面直角坐标系xOy中,直线y=x与抛物线y=ax2-(3+a)x+3(a0)交于A,B两点,并 且OAOB. (1)当a=1时,求抛物线与x轴的交点坐标; (2)当2 OB4 时,求a的取值范围.,解析 (1)把a=1代入y
19、=ax2-(3+a)x+3,得y=x2-4x+3. 令y=0,解得x1=1,x2=3. 抛物线与x轴的交点坐标是(1,0),(3,0). (2分) (2)当a0,OB=4 时,B(4,4).可得a= . 当a0,OB=2 时,B(2,2).可得a= , a . (4分) 同理可得当a0时,- a- , a 或- a- . (6分),16.(2019北京丰台二模,26)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C1:y=ax2-2ax-3a(a0)和点A(0,-3).将点A先 向右平移2个单位,再向上平移5个单位,得到点B. (1)求点B的坐标; (2)求抛物线C1的对称轴; (3)把抛物线C1沿x轴
20、翻折,得到一条新抛物线C2,抛物线C2与抛物线C1组成的图象记为G.若图象G与线段AB 恰有一个交点时,结合图象,求a的取值范围.,解析 (1)B(2,2). (1分) (2)抛物线C1对称轴为x=- =1. (3分) (3)当抛物线C1:y=ax2-2ax-3a过点A(0,-3)时, -3a=-3,解得a=1. (4分) 当抛物线C1:y=ax2-2ax-3a过点(0,-2)时,-3a=-2,解得a= . (5分) 由图象知(图略),a的取值范围是-1a- 或 a1. (6分),17.(2019北京海淀二模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y=ax2-2ax+3与直线l:y=kx+
21、b交于A,B两点,且点 A在y轴上,点B在x轴的正半轴上. (1)求点A的坐标; (2)若a=-1,求直线l的解析式; (3)若-3k-1,求a的取值范围.,18.(2019北京顺义二模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2+2mx-3(m0)与x轴交于A、B两点(点A在 点B左侧),与y轴交于点C,该抛物线的顶点D的纵坐标是-4. (1)求点A、B的坐标; (2)设直线l与直线AC关于该抛物线的对称轴对称,求直线l的表达式; (3)平行于x轴的直线b与抛物线交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),与直线l交于点P(x3,y3).若x1x3x2,结合函数图象,求x1 +x2+x3
22、的取值范围.,解析 (1)抛物线y=mx2+2mx-3(m0)的顶点D的纵坐标是-4, =-4,解得m=1, y=x2+2x-3, 令y=0,则x1=-3,x2=1, A(-3,0),B(1,0). (2分) (2)由题意,抛物线的对称轴为x=-1, 点C(0,-3)的对称点坐标是E(-2,-3), 点A(-3,0)的对称点坐标是B(1,0), 设直线l的表达式为y=kx+b, 点E(-2,-3)和点B(1,0)在直线l上, 解得 直线l的表达式为y=x-1. (4分),(3)由对称性可知x2-(-1)=-1-x1,得x1+x2=-2, 结合图象可得-2x31, -4x1+x2+x3-1. (
23、6分),解题关键 解决本题最后一问的关键是发现x1+x2=-2这一数量关系,这是由抛物线的对称性得来的,同时建 议掌握中点坐标公式:若平面直角坐标系中有两点(x1,y1),(x2,y2),那么其中点坐标为 .,19.(2018北京东城一模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax+3a-2(a0)与x轴交于A,B两点(点A在 点B左侧). (1)当抛物线过原点时,求实数a的值; (2)求抛物线的对称轴; 求抛物线的顶点的纵坐标(用含a的代数式表示); (3)当AB4时,求实数a的取值范围.,解析 (1)点O(0,0)在抛物线上,3a-2=0,a= . (2)- = =2,抛物线
24、的对称轴为直线x=2. 抛物线的解析式可化为y=a(x-2)2-a-2,抛物线的顶点的纵坐标为-a-2. (3)(i)当a0时, 依题意得 解得a ; (ii)当a0时, 依题意得 解得a-2. 综上,a-2或a .,解题关键 解决本题第三问的关键是要借助抛物线的顶点坐标和与y轴的交点建立不等式组.,20.(2018北京西城一模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线G:y=mx2+2mx+m-1(m0)与y轴交于点C,抛物线 G的顶点为D,直线l:y=mx+m-1(m0). (1)当m=1时,画出直线l和抛物线G,并直接写出直线l被抛物线G截得的线段长; (2)随着m取值的变化,判断点C,D
25、是否都在直线l上,并说明理由; (3)若直线l被抛物线G截得的线段长不小于2,结合函数的图象,直接写出m的取值范围.,思路分析 解决本题最后一问需要借助勾股定理,用含m的式子表示出截得的线段长.,21.(2018北京海淀一模,26)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2-2ax+b的顶点在x轴上,P(x1,m),Q(x2,m) (x1x2)是此抛物线上的两点. (1)若a=1, 当m=b时,求x1,x2的值; 将抛物线沿y轴平移,使得它与x轴的两个交点间的距离为4,试描述出这一变化过程; (2)若存在实数c,使得x1c-1,且x2c+7成立,则m的取值范围是 .,22.(2018北京朝阳
26、一模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax-4(a0)与y轴交于点A,其对称轴与x轴 交于点B. (1)求点A,B的坐标; (2)若方程ax2-4ax-4=0(a0)有两个不相等的实数根,且两根都在1,3之间(包括1,3),结合函数的图象,求a的取 值范围.,解析 (1)y=ax2-4ax-4=a(x-2)2-4a-4. 令x=0,得y=-4,A(0,-4).抛物线的对称轴为直线x=2, B(2,0). (2)当抛物线经过点(1,0)时,a=- , 当抛物线经过点(2,0)时,a=-1. 结合函数图象可知,a的取值范围为- a-1.,23.(2018北京丰台一模,26)在平
27、面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax+3a的最高点的纵坐标是2. (1)求抛物线的对称轴及抛物线的表达式; (2)将抛物线在1x4之间的部分记为图象G1,将图象G1沿直线x=1翻折,翻折后的图象记为G2,图象G1和G2 组成图象G.过点(0,b)作与y轴垂直的直线l,当直线l和图象G只有两个公共点时,将这两个公共点分别记为 P1(x1,y1),P2(x2,y2),求b的取值范围和x1+x2的值.,解析 (1)抛物线y=ax2-4ax+3a=a(x-2)2-a, 抛物线的对称轴为直线x=2. 抛物线最高点的纵坐标是2,a=-2. 抛物线的表达式为y=-2x2+8x-6. (2)由图象可
28、知,b=2或-6b0. 由图象的对称性可得x1+x2=2.,思路分析 解决本题第二问需要先画出示意图,通过观察解决.,解题关键 解决本题第二问的关键是要根据示意图寻找临界点,求x1+x2时要借助抛物线的对称性.,24.(2018北京石景山一模,26)在平面直角坐标系xOy中,将抛物线G1:y=mx2+2 (m0)向右平移 个单位长 度后得到抛物线G2,点A是抛物线G2的顶点. (1)直接写出点A的坐标; (2)过点(0, )且平行于x轴的直线l与抛物线G2交于B,C两点. 当BAC=90时,求抛物线G2的表达式; 若60BAC120,直接写出m的取值范围.,25.(2018北京东城二模,26)
29、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx-3(a0)经过点A(-1,0)和点B(4,5). (1)求该抛物线的表达式; (2)求直线AB关于x轴的对称直线的表达式; (3)点P是x轴上的动点,过点P作垂直于x轴的直线l,直线l与抛物线交于点M,与直线AB交于点N.当PMPN时, 求点P的横坐标xP的取值范围.,26.(2018北京西城二模,26)抛物线M:y=ax2-4ax+a-1(a0)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),抛物线的顶点 为D. (1)抛物线M的对称轴是直线 ; (2)当AB=2时,求抛物线M的函数表达式; (3)在(2)的条件下,直线l:y=kx+b(k0)经过抛
30、物线的顶点D,直线y=n与抛物线M有两个公共点,它们的横坐标 分别记为x1,x2,直线y=n与直线l的交点的横坐标记为x3(x30),若当-2n-1时,总有x1-x3x3-x20,请结合函数 的图象,直接写出k的取值范围.,解析 (1)x=2. (2)抛物线y=ax2-4ax+a-1的对称轴为直线x=2,抛物线M与x轴的交点为A,B(点A在点B左侧),AB=2, A,B两点的坐标分别为A(1,0),B(3,0), 点A在抛物线M上, 将A(1,0)的坐标代入抛物线的函数表达式,得a-4a+a-1=0,解得a=- . 抛物线M的函数表达式为y=- x2+2x- . (3)k . 提示:如下图,x
31、30,直线l与y轴的交点在点(0,-2)上方,又直线l过抛物线的顶点D ,根据图象可 知,k = .,27.(2018北京海淀二模,26)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-3,1),B(-1,1),C(m,n),其中n1,以点A,B,C为顶 点的平行四边形有三个,记第四个顶点分别为D1,D2,D3,如图所示. (1)若m=-1,n=3,则点D1,D2,D3的坐标分别是( ),( ),( ); (2)是否存在点C,使得点A,B,D1,D2,D3在同一条抛物线上?若存在,求出点C的坐标;若不存在,说明理由.,解析 (1)D1(-3,3),D2(1,3),D3(-3,-1). (2)不存在.理由
32、如下: 假设存在满足条件的点C,即A,B,D1,D2,D3在同一条抛物线上,则线段AB的垂直平分线x=-2即为这条抛物线 的对称轴,而D1,D2在直线y=n上,则D1D2的中点C也在抛物线的对称轴上,故m=-2,即点C的坐标为(-2,n). 由题意得D1(-4,n),D2(0,n),D3(-2,2-n). 注意到D3在抛物线的对称轴上,故D3为抛物线的顶点. 设抛物线的表达式是y=a(x+2)2+2-n. 当x=-1时,y=1,代入得a=n-1. 所以y=(n-1)(x+2)2+2-n. 令x=0,得y=4(n-1)+2-n=3n-2=n,解得n=1,与n1矛盾.所以不存在满足条件的点C.,2
33、8.(2017北京西城一模,27)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=mx2-(2m+1)x+m-5的图象与x轴有两个公共 点. (1)求m的取值范围; (2)若m取满足条件的最小的整数. 写出这个二次函数的解析式; 当nx1时,函数值y的取值范围是-6y4-n,求n的值; 将此二次函数图象平移,使平移后的图象经过原点O.设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x-h)2+k,当 x2时,y随x的增大而减小,求k的取值范围.,解析 (1)二次函数y=mx2-(2m+1)x+m-5的图象与x轴有两个公共点, 解得m- 且m0. m的取值范围是m- 且m0. (2)m取满足条件的最小的整数,m=
34、1. 二次函数的解析式为y=x2-3x-4. 图象的对称轴为直线x= . 当nx1 时,函数值y随自变量x的增大而减小, 函数值y的取值范围是-6y4-n, 当x=1时,函数值为-6.当x=n时,函数值为4-n. n2-3n-4=4-n,解得n=-2或n=4(不合题意,舍去). n的值为-2.,由知y=x2-3x-4,故a=1. 函数图象经过原点,k=-h2, 当x2时,y随x的增大而减小,h2,k-4.,思路分析 (1)由抛物线与x轴有两个交点得 即可求出m的取值范围.(2)通过(1)可以确定m的值. 根据二次函数图象的增减性确定端点处函数值,列方程求解.画出图象,由图象过原点得k=-h2,
35、观察图象得 到h的范围,从而求得k的范围.,29.(2019北京朝阳二模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-2a2x(a0)的对称轴与x轴交于点P. (1)求点P的坐标(用含a的代数式表示); (2)记函数y=- x+ (-1x3)的图象为图形M,若抛物线与图形M恰有一个公共点,结合函数的图象,求a的 取值范围.,解析 (1)抛物线y=ax2-2a2x的对称轴是直线x=- =a,点P的坐标是(a,0). (2分) (2)由题意可知图形M为线段AB,A(-1,3),B(3,0). 当抛物线经过点A时,解得a=- 或a=1; 当抛物线经过点B时,解得a= . (3分) 如图1,当a
36、=- 时,抛物线与图形M恰有一个公共点.,图1,思路分析 本题的第二问需要画出抛物线的示意图(经过原点),同时关注对称轴与顶点的坐标之间有怎样 的数量关系.,教师专用题组 1.(2019安徽,22,12分)一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是该二 次函数图象的顶点. (1)求k,a,c的值; (2)过点A(0,m)(0m4)且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图象相交于B,C两点,点O为坐标原点,记W= OA2+BC2.求W关于m的函数解析式,并求W的最小值.,解析 (1)因为点(1,2)在一次函数y=kx+4的图象上,所以2=k+
37、4,即k=-2,因为一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2 +c图象的另一个交点是该二次函数图象的顶点,所以(0,c)在一次函数y=kx+4的图象上,即c=4.又点(1,2)也在 二次函数y=ax2+c的图象上,所以2=a+c,从而a=-2. (6分) (2)解法一:因为点A的坐标为(0,m)(0m4),过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y=-2x2+4的图象交于点B,C, 所以可设点B的坐标为(x0,m),由对称性得点C的坐标为(-x0,m),故BC=2|x0|.又点B在二次函数y=-2x2+4的图象 上,所以-2 +4=m,即 =2- ,从而BC2=4 =8-2m.又OA=m,所以W=O
38、A2+BC2=m2-2m+8=(m-1)2+7(0m4),所 以m=1时,W有最小值7. (12分) 解法二:由(1)得二次函数的解析式为y=-2x2+4,因为点A的坐标为(0,m)(0m4),过点A且垂直于y轴的直线与 二次函数y=-2x2+4的图象交于点B,C,所以令-2x2+4=m,解得x1= ,x2=- .所以BC=2 ,又OA=m, 从而W=OA2+BC2=m2+ =m2-2m+8=(m-1)2+7(0m4).所以m=1时,W有最小值7. (12分),思路分析 (1)将(1,2)代入一次函数解析式求出k,代入二次函数解析式得a+c=2,由题意可判断点(0,c)也在 一次函数图象上,从
39、而求得a,c.(2)解法一:由题意可设点B(x0,m),由二次函数的对称性可得点C(-x0,m),可得BC =2|x0|,依据B点在二次函数的图象上,得出 =2- ,从而求出W关于m的函数解析式,最后根据二次函数的性 质求出最值.解法二:由(1)可令-2x2+4=m,求出两根,从而得BC的长,从而求出W关于m的函数解析式,最后根据 二次函数的性质求出最值.,2.(2019内蒙古包头,26,12分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+2(a0)与x轴交于A(-1,0)、B (3,0)两点,与y轴交于点C,连接BC. (1)求该抛物线的解析式,并写出它的对称轴方程; (2)点D为
40、抛物线对称轴上一点,连接CD、DB,若DCB=CBD,求点D的坐标; (3)已知F(1,1),若E(x,y)是抛物线上一个动点(其中1x2),连接CE,CF,EF,求CEF面积的最大值及此时点E 的坐标; (4)若点N为抛物线对称轴上一点,抛物线上是否存在点M,使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若 存在,请直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.,解析 (1)抛物线y=ax2+bx+2(a0)过A(-1,0),B(3,0)两点, 解得 抛物线的解析式为y=- x2+ x+2. 对称轴方程是x=1. (3分) (2)过点D作DGy轴于G,作DHx轴于H. 设点D(1
41、,y0),C(0,2),B(3,0),在RtCGD中,CD2=CG2+GD2=(2-y0)2+(1-0)2, 在RtBHD中,BD2=BH2+HD2=(3-1)2+(y0-0)2. 在BCD中,DCB=CBD,CD=BD,CD2=BD2. (2-y0)2+(1-0)2=(3-1)2+(y0-0)2,4y0=1,y0= . 点D的坐标是 . (6分),(3)过点E作EQy轴于Q,过点F作FRy轴于R,过点E作EPFR于P,EQR=QRP=RPE=90,四边 形QRPE是矩形. 则SCEF=S矩形QRPE-SEQC-SCRF-SFPE,E(x,y),C(0,2),F(1,1), SCEF=EQQR
42、- EQQC- CRRF- FPEP =x(y-1)- x(y-2)- 11- (x-1)(y-1). y=- x2+ x+2,SCEF=- x2+ x,SCEF=- + . - 0,1 2, 当x= 时,CEF的面积取最大值,为 . 此时点E的坐标为 . (9分) (4)存在点M,使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形. 点M的坐标为(2,2)或 或 . (12分),思路分析 (1)根据A,B两点坐标用待定系数法求抛物线的解析式;(2)作DGy轴,DHx轴,然后分别在Rt CGD和RtBHD中求出CD2和BD2,由DCB=CBD可推出CD=BD,列方程,问题解决;(3)作EQy轴于Q
43、,FR y轴于R,EPFR于P,可证四边形QRPE是矩形,再根据SCEF=S矩形QRPE-SEQC-SCRF-SFPE得到关于x的二次函数, 最后由二次函数的性质求出最值,问题解决;(4)抛物线的对称轴方程是x=1,C,B两点在对称轴的两侧,故在对 称轴的左侧有一点,在对称轴的右侧存在两点:一点在x轴的上方,另一点在x轴的下方,然后分别求出.,3.(2019四川成都,28,12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,5),与x轴相交于B(-1,0),C(3,0)两点. (1)求抛物线的函数表达式; (2)点D在抛物线的对称轴上,且位于x轴的上方,将BCD沿直线BD翻折得到BCD,若
44、点C恰好落在抛物 线的对称轴上,求点C和点D的坐标; (3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点,点Q在抛物线的对称轴上,当CPQ为等边三角形时,求直线BP 的函数表达式.,解析 (1)由题意,得 解得 抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3. (2)抛物线与x轴的交点为B(-1,0),C(3,0), BC=4,抛物线的对称轴为直线x=1. 设抛物线的对称轴与x轴交于点H,则H点的坐标为(1,0),BH=2. 由翻折得CB=CB=4. 在RtBHC中,由勾股定理,得CH= = =2 . 点C的坐标为(1,2 ),tanCBH= = = . CBH=60.,由翻折得DBH= CBH=30. 在Rt
45、BHD中,DH=BHtanDBH=2tan 30= . 点D的坐标为 . (3)取(2)中的点C,D,连接CC. BC=BC,CBC=60,CCB为等边三角形. 分类讨论如下: 当点P在x轴上方时,点Q在x轴上方. 连接BQ,CP. PCQ,CCB为等边三角形, CQ=CP,BC=CC,PCQ=CCB=60. BCQ=CCP.BCQCCP.BQ=CP.,BC=CC,CHBC, CCQ= CCB=30,CBP=30. 设BP与y轴相交于点E. 在RtBOE中,OE=OBtanCBP=OBtan 30=1 = ,点E的坐标为 . 设直线BP的函数表达式为y=kx+b, 则 解得 直线BP的函数表达
46、式为y=- x- . 综上所述,直线BP的函数表达式为y= x+ 或y=- x- .,思路分析 (1)把A,B,C的坐标代入y=ax2+bx+c中可以求得函数表达式;(2)由翻折得BC=BC=4,CBD= CBD.由勾股定理,解直角三角形可求得点C,D的坐标;(3)分情况讨论:当P,Q均在x轴上方时,依据条 件证得BCQCCP,再根据对称性得点D在直线BP上,用待定系数法求出直线BP的解析式;当P,Q 均在x轴下方时,设BP与y轴交于点E,先证得BCPCCQ,进而可求得CBP=30以及点E的坐标,再 求出直线BP的解析式.,4.(2019福建,25,14分)已知抛物线y=ax2+bx+c(b0
47、)与x轴只有一个公共点. (1)若抛物线与x轴的公共点坐标为(2,0),求a,c满足的关系式; (2)设A为抛物线上的一个定点,直线l:y=kx+1-k与抛物线交于点B,C,直线BD垂直于直线y=-1,垂足为D.当k=0 时,直线l与抛物线的一个交点在y轴上,且ABC是等腰直角三角形. 求点A的坐标和抛物线的解析式; 证明:对于每个给定的实数k,都有A,C,D三点共线.,解析 本小题考查一次函数和二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质等基础知识,考查运算能 力、推理能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想. (1)依题意, =b2-4ac=0,- =2, 所以(-4a)2-4
48、ac=0, 因为a0,所以c=4a,即a,c满足的关系式为c=4a. (2)当k=0时,直线l为y=1,它与y轴的交点为(0,1). 因为直线y=1与x轴平行,所以等腰直角ABC的直角顶点只能是A,且A是抛物线的顶点. 过A作AMBC,垂足为M,则AM=1, 所以BM=MC=AM=1,故点A的坐标为(1,0). 所以抛物线的解析式可改写为y=a(x-1)2. 因为抛物线过点(0,1),所以1=a(0-1)2,解得a=1. 所以抛物线的解析式为y=(x-1)2,即y=x2-2x+1.,证明:设B(x1,y1),C(x2,y2),则D(x1,-1). 由 得x2-(k+2)x+k=0. =(k+2)2-4k=k2+40, 由抛物线的对称性,不妨设x1x2,则x1= ,x2= , 所以x11x2.,5.(2019河北,26,12分)如图,若b是正数,直线l:y=b与y轴交于点A;直线a:y=x-b与y轴交于点B;抛物线L:y=-x2+bx 的顶点为C,且L与x轴右交点为D. (1)若AB=8
