1、53综合测试卷(三) 数学试题 (考试时间120分钟,满分100分) 一、选择题(每小题2分,共16分) 1.下列几何体中,主视图、左视图、俯视图都相同的是 ( ),答案 B 三棱柱的主视图是中间有一条实线的矩形,左视图是矩形,俯视图是三角形;球的三个视图都是 圆;圆锥的主视图、左视图是三角形,俯视图是圆(含圆心);长方体的主视图、俯视图、左视图都是矩形,但 不一定全等.故选B.,2.实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示,如果ab=c,那么实数c在数轴上对应的点的位置可能是 ( ),答案 B 由数轴可知,a-0.5,b0.5,所以c=ab-0.25,选项B符合题意.故选B.,3.无理数中,
2、与4最接近的是 ( ) A. B. C. D.,答案 C 4= ,各选项中与4最接近的数是 .故选C.,4.马赫是表示速度的量词,通常用于表示飞机、导弹、火箭的飞行速度,一马赫即一倍音速(音速340 m/s). 我国建造的全球最大口径自由活塞驱动高能脉冲风洞FD-21,速度高达15马赫,则FD-21的速度约为 ( ) A.5.1103 m/s B.5.1104 m/s C.3.4103 m/s D.1.5103 m/s,答案 A 15340=5 100=5.1103(m/s).故选A.,5.如图,直线ABCD,直线EF分别与AB,CD交于点E,F,FPEF,且与BEF的平分线交于点P,若1=2
3、0,则 2的度数是( ) A.35 B.30 C.25 D.20,答案 A 1=20,EFP=90,EFD=110.ABCD ,FEB=70.EP平分BEF,2=35.故 选A.,6.若 在实数范围内有意义,则x的取值范围是 ( ) A.x3 B.x 且x3 C.x2 D.x 且x3,答案 D 在实数范围内有意义, x 且x3.故选D.,7.初三(8)班体委用划记法统计本班40名同学投掷实心球的成绩,结果如下表所示:,则这40名同学投掷实心球的成绩的众数和中位数分别是 ( ) A.9,8 B.9,8.5 C.8,8 D.8,8.5,答案 A 由题表可知成绩为9分的学生有14人,是最多的,所以众
4、数是9.中位数是从小到大(或从大到小)排 序后第20个和第21个数的平均数,所以中位数是8.故选A.,答案 A 当x=0时,y=500,即a=500,正确.经过75 s两车相距125 m,又500-125=375 m,所以乙车的速度比 甲车快37575=5 m/s,则乙车的速度为25 m/s,所以EF=500+20x-25x=500-5x,错误.设y=kx+b(k0),由题 图2可得 解得 所以y=-5x+500,当y=0时,x=100,即函数图象与x轴交点的横坐标为100, 正确.综上,正确,故选A.,二、填空题(每小题2分,共16分) 9.如图,A,B两点被池塘隔开,不能直接测量其距离.于
5、是,小明在岸边选一点C,连接CA,CB,分别延长到点M,N, 使AM=AC,BN=BC,测得MN=200 m,则A,B间的距离为 m.,答案 100,解析 AM=AC,BN=BC,AB是CMN的中位线, AB= MN,MN=200 m,AB=100 m.,10.已知 = ,则 的值是 .,答案 3,解析 = = = , = ,3y=2x, 原式= =3.,11.如图,在ABC中,P,Q分别为AB,AC的中点.若SAPQ=1,则S四边形PBCQ= .,答案 3,解析 P,Q分别为AB,AC的中点,PQBC.APQABC.SAPQSABC=14.S四边形PBCQ=4-1=3.,12.如图,点A,B
6、,C在O上,四边形OABC是平行四边形,ODAB于点E,交O于点D,则BAD= .,答案 15,解析 连接OB,则有OA=OB=OC,四边形OABC是平行四边形,CO=AB.BO=AO=AB.AOB是等边 三角形,BOA=60.ODAB,BOD=30.BAD= 30=15.,13.某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动,他们要测量一幢建筑物AB的高度.如图,他们先在 点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为30,然后向建筑物AB前进10 m到达点D处,又测得点A的仰角为60, 那么建筑物AB的高度是 m.,答案 5,解析 ABC=90, DAB=30,CAB=60, CAD=30, AD=
7、CD=10 m, AB=ADsin 60=10 =5 m.,14.九年级(3)班共有50名同学,如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图(满分为30分,成绩均为 整数).若将不低于23分的成绩评为合格,则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是 .,答案 92%,解析 50名同学中,达到合格的同学有46名,所以合格率为 100%=92%.,15.在数学活动课上,小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量.他先取出100粒豆子,给这些豆子做上记 号,然后放回瓶子中,充分摇匀之后再取出100粒豆子,发现其中8粒有刚才做的记号,利用得到的数据可以估 计瓶子中豆子的数量约为 粒.,答案 1 2
8、50,解析 取出100粒豆子,发现其中8粒有记号,即做记号的占总数的8%,所以估计瓶子中豆子的数量约为100 8%=1 250(粒).,16.运算能力是一项重要的数学能力.王老师为帮助学生诊断和改进运算中的问题,对全班学生进行了三次 运算测试.下面的气泡图中,描述了其中5位同学的测试成绩.(气泡圆的圆心横、纵坐标分别表示第一次和 第二次测试成绩,气泡的大小表示三次成绩的平均分的高低,气泡越大平均分越高.) 在5位同学中,有 位同学第一次成绩比第二次成绩高; 在甲、乙两位同学中,第三次成绩高的是 .(填“甲”或“乙”),答案 3;甲,解析 在直线y=x上的所有点表示的两次成绩相等,直线右下说明第
9、一次成绩高,所以经过观察有三位同学 第一次成绩比第二次成绩高.甲前两次成绩约为65,75,乙前两次成绩约为85,65,高于甲.而甲的气泡比乙大, 说明甲平均分高于乙,第三次考试成绩很好,所以第三次成绩高的是甲.,三、解答题(共68分) 17.(5分)下面是小宇设计的“作已知直角三角形的中位线”的尺规作图过程. 已知:在ABC中,C=90. 求作:ABC的中位线DE,使点D在AB上,点E在AC上. 作法:如图, 分别以A,C为圆心,大于 AC长为半径画弧,两弧交于P,Q两点; 作直线PQ,与AB交于点D,与AC交于点E. 所以线段DE就是所求作的中位线. 根据小宇设计的尺规作图过程, (1)使用
10、直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹),(2)完成下面的证明. 证明:连接PA,PC,QA,QC,DC, PA=PC,QA= , PQ是AC的垂直平分线( )(填推理的依据). E为AC中点,AD=DC.DAC=DCA, 又在RtABC中,有BAC+ABC=90,DCA+DCB=90. ABC=DCB( )(填推理的依据). DB=DC.AD=BD=DC.D为AB中点.DE是ABC的中位线.,解析 (1)补全的图形如图所示:(2)QC;到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上;等角的余角相等.,18.(5分)( -)0-6tan 30+ +|1- |.,解析 原式=1-6 +4+ -1=4
11、- .,19.(5分)解不等式组,解析 解不等式,得x3.解不等式,得x-1.原不等式组的解集为-1x3.,20.(5分)已知关于x的方程x2-6mx+9m2-9=0. (1)求证:此方程有两个不相等的实数根; (2)若此方程的两个根分别为x1,x2,其中x1x2,若x1=2x2,求m的值.,解析 (1)证明:=(-6m)2-4(9m2-9) =36m2-36m2+36=360, 方程有两个不相等的实数根. (2)由求根公式得x1,2= = =3m3, 3m+33m-3,x1=3m+3,x2=3m-3, 3m+3=2(3m-3),m=3.,21.(5分)如图,在ABCD中,BF平分ABC交AD
12、于点F,AEBF于点O,交BC于点E,连接EF. (1)求证:四边形ABEF是菱形; (2)连接CF,若ABC=60,AB=4,AF=2DF,求CF的长.,解析 (1)证明:BF平分ABC,ABF=CBF.四边形ABCD为平行四边形,ADBC, AFB=CBF.ABF=AFB.AB=AF. AEBF,ABF+BAO=CBF+BEO=90, BAO=BEO,AB=BE,AF=BE, 四边形ABEF是平行四边形,ABEF是菱形. (2)AD=BC,AF=BE,DF=CE.BE=2CE.AB=4,BE=4,CE=2.过点A作AGBC于点G.,ABC=60,AB=BE, ABE是等边三角形,BG=GE
13、=2. AF=CG=4.又AFCG, 四边形AGCF是平行四边形,AG=CF. 在RtABG中,ABC=60,AB=4, AG=2 ,CF=2 .,22.(6分)如图,在ABC中,AB是O的直径,AC与O交于点D.点E在 上,连接DE,AE,连接CE并延长交AB 于点F,AED=ACF. (1)求证:CFAB; (2)若CD=4,CB=4 ,cosACF= ,求EF的长.,解析 (1)证明:连接BD. AB是O的直径,ADB=90.DAB+1=90. 1=2,2=3,1=3.DAB+3=90. CFA=180-(DAB+3)=90.CFAB. (2)连接OE. ADB=90,CDB=180-A
14、DB=90. 在RtCDB中,CD=4,CB=4 ,DB= =8.,由(1)知1=3,cos1=cos3= . 在RtABD中,cos1= = ,AB=10. OA=OE=5,AD= =6. CD=4,AC=AD+CD=10. 在RtACF中,CF=ACcos3=8. AF= =6.OF=AF-OA=1. 在RtOEF中,EF= =2 .,23.(6分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k0)与双曲线y= (m0)交于点A(2,-3)和点B(n,2). (1)求直线与双曲线的表达式; (2)横、纵坐标都是整数的点叫整点.动点P是双曲线y= (m0)上的整点,过点P作垂直于x轴的
15、直线,交直 线AB于点Q,当点P位于点Q下方时,请直接写出整点P的坐标.,解析 (1)双曲线y= (m0)经过点A(2,-3), m=-6.双曲线的表达式为y=- . 点B(n,2)在双曲线y=- 上, 点B的坐标为(-3,2). 直线y=kx+b(k0)经过点A(2,-3)和点B(-3,2), 解得 直线的表达式为y=-x-1. (2)(-6,1),(1,-6). 提示:由A(2,-3)和B(-3,2),结合图象可得出整点P的坐标.,24.(6分)如图,P是半圆上一动点,AB为直径,连接PA、PB,过圆心O作OCBP交PA于点C,连接CB.已知AB=6 cm,设O,C两点间的距离为x cm,
16、B,C两点间的距离为y cm. 小东根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究. 下面是小东的探究过程,请补充完整: (1)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表:,(说明:补全表格时,相关数据保留一位小数) (2)建立直角坐标系,描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点,画出该函数的图象; (3)结合画出的函数图象解决问题:直接写出OBC的周长L的取值范围: .,解析 (1)4.6. (2)如图. (3)6L12. 提示:OBC的周长为(x+y+3)cm.,25.(5分)某学校共有六个年级,每个年级10个班,每个班约40名同学.该校食堂共有10个窗口,中午所有
17、同学 都在食堂用餐.经了解,该校同学年龄分布在12岁(含12岁)到18岁(含18岁)之间,平均年龄约为15岁. 小天、小东和小云三位同学,为了解全校同学对食堂各窗口餐食的喜爱情况,各自进行了抽样调查,并记录 了相应同学的年龄,每人调查了60名同学,将收集到的数据进行了整理. 小天从初一年级每个班随机抽取6名同学进行调查,绘制统计图表如下: 表1,图1,26.(6分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c经过点(0,-3),(2,-3). (1)求抛物线的表达式; (2)求抛物线的顶点坐标及与x轴交点的坐标; (3)将y=x2+bx+c(y0)的函数图象记为图象A,图象A关于x轴对称
18、的图象记为图象B.已知一次函数y=mx+n,设 点H是x轴上一动点,其横坐标为a,过点H作x轴的垂线,交图象A于点P,交图象B于点Q,交一次函数图象于点 N.若只有当1a3时,点Q在点N上方,点N在点P上方,直接写出n的值.,解析 (1)把(0,-3)代入y=x2+bx+c,得c=-3. 把(2,-3)代入y=x2+bx-3,得b=-2.y=x2-2x-3. (2)由(1)得y=(x-1)2-4.顶点坐标为(1,-4). 令x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1. 抛物线与x轴交点的坐标为(-1,0),(3,0). (3)n=6. 提示:把(3,0),(1,4)代入y=mx+n,得n=6
19、; 把(3,0),(1,-4)代入y=mx+n,得n=-6,n=6.,27.(7分)在正方形ABCD中,E为边CD上一点,连接BE. (1)请你在图1中画出BEM,使得BEM与BEC关于直线BE对称; (2)若边AD上存在一点F,使得AF+CE=EF,请你在图2中探究ABF与CBE的数量关系并证明; (3)在(2)的条件下,若点E为边CD的三等分点,且CEDE,请写出求cosFED的思路.(可以不写出计算结果),28.(7分)在平面直角坐标系xOy中,C的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P关于C的限距点的定义如 下:若P为直线PC与C的一个交点,满足rPP2r,则称P为点P关于C的限距点.
20、下图为点P及其关于 C的限距点P的示意图. (1)当O的半径为1时, 分别判断点M(3,4),N ,T(1, )关于O的限距点是否存在.若存在,求其坐标; 点D的坐标为(2,0),DE,DF分别切O于点E,点F,点P在DEF的边上.若点P关于O的限距点P存在,求 点P的横坐标的取值范围; (2)保持(1)中D,E,F三点不变,点P在DEF的边上沿EFDE的方向运动,C的圆心C的坐标为(1,0),半,径为r.请从下面两个问题中任选一个作答.,解析 (1)点M,点T关于O的限距点不存在; 点N关于O的限距点存在,坐标为(1,0). 点D的坐标为(2,0),O的半径为1,DE,DF分别切O于点E,点
21、F,切点坐标为 , . 如图所示,不妨设点E的坐标为 ,点F的坐标为 .连接EO,FO,EO,FO的延长线分别交O于点 E,F,则E ,F .,设点P关于O的限距点的横坐标为x. a.当点P在线段EF(包括端点)上时,直线PO与 的交点P满足1PP2,故点P关于O的限距点存在,其 横坐标x满足-1x- . b.当点P在线段DE,DF(不包括端点)上时,直线PO与O的交点P满足0PP1或2PP3,故点P关于O的 限距点不存在. c.当点P与点D重合时,直线PO与O的交点P(1,0)满足PP=1,故点P关于O的限距点存在,其横坐标x=1.综 上所述,点P关于O的限距点的横坐标x的范围为-1x- 或x=1. (2)问题1: . 问题2:0r . 问题1: 若点P在圆C的外部,且P的限距点P存在,
