1、考点一 圆的有关概念与性质,A组 20152019年广东中考题组,1.(2018广州,7,3分)如图,AB是O的弦,OCAB,交O于点C,连接OA,OB,BC,若ABC=20,则AOB的度 数是( ) A.40 B.50 C.70 D.80,答案 D 根据“圆上一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半”可得AOC=2ABC=40, 由OCAB可得 = ,AOB=2AOC=80.,2.(2017广东,9,3分)如图,四边形ABCD内接于O,DA=DC,CBE=50,则DAC的大小为 ( ) A.130 B.100 C.65 D.50,答案 C 四边形ABCD是O的内接四边形,D=CBE=5
2、0,DA=DC,DAC= (180-50)= 65,故选C.,思路分析 由圆内接四边形的性质知,D=CBE,再由三角形的内角和为180及等腰三角形的性质,求得 DAC的大小.,解题关键 利用圆内接四边形的性质求得D的大小是解题的关键.,3.(2017广州,9,3分)如图,在O中,AB是直径,CD是弦,ABCD,垂足为E,连接CO,AD,BAD=20,则下列说 法中正确的是 ( ) A.AD=2OB B.CE=EO C.OCE=40 D.BOC=2BAD,答案 D AB为O的直径,AB=2OB, 又ABAD,AD=2OB不正确,即A不正确; 连接OD,则BOD=2BAD=40, OC=OD,OB
3、CD,BOC=BOD=40,OCE=50,EOCE, B不正确,C不正确; BOC=40,BAD=20,BOC=2BAD, D正确,故选D.,4.(2016茂名,9,3分)如图,A、B、C是O上的三点,B=75,则AOC的度数是 ( ) A.150 B.140 C.130 D.120,答案 A 同弧所对的圆心角是圆周角的2倍,AOC=2B=150.故选A.,5.(2015深圳,10,3分)如图,AB为O的直径,已知DCB=20,则DBA为 ( ) A.50 B.20 C.60 D.70,答案 D 解法一:AB为O的直径,ACB=90, DCB=20,ACD=70,同弧所对的圆周角相等, DBA
4、=ACD=70,故选D. 解法二:连接AD,则DAB=DCB=20,AB为O的直径,ADB=90,DBA=70.,6.(2018广东,11,4分)同圆中,已知 所对的圆心角是100,则 所对的圆周角是 .,答案 50,解析 所对的圆心角是100, 所对的圆周角为 100=50.,7.(2016广东,16,4分)如图,点P是四边形ABCD外接圆O上任意一点,且不与四边形顶点重合.若AD是O的 直径,AB=BC=CD,连接PA,PB,PC.若PA=a,则点A到PB和PC的距离之和AE+AF= .,答案 a,解析 如图,连接OB、OC,AB=BC=CD, = = . 又AD是O的直径, AOB=BO
5、C=COD=60, CPB=APB=30, AE= PA= a,APC=60, 在RtAPF中,AF=APsin 60= a, AE+AF= a.,思路分析 根据AB=BC=CD,求出AOB、BOC的大小,进而求出APB,APC的大小,然后根据直角三 角形的边、角关系求出AE、AF.,解题关键 求出APB和APC的大小.,8.(2019广州,23,12分)如图,O的直径AB=10,弦AC=8,连接BC. (1)尺规作图:作弦CD,使CD=BC(点D不与B重合),连接AD;(保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)所作的图中,求四边形ABCD的周长.,解析 (1)如图,线段CD即为所求.,(2)
6、连接BD,OC,交于点E,设OE=x. AB是直径, ACB=90,OB= AB=5, BC= = =6,BC=CD, = , OCBD,BE=DE, BE2=BC2-EC2=OB2-OE2, 62-(5-x)2=52-x2, 解得x= , BE=DE,BO=OA,OE是ABD的中位线, AD=2OE= , 四边形ABCD的周长=6+6+10+ = .,思路分析 (1)以点C为圆心,CB长为半径画弧,交O于另一点D,连接CD,线段CD即为所求. (2)连接BD,OC交于点E,设OE=x,利用勾股定理,列出关于BE的两个等式构建方程求出x,进而利用中位线定 理求出AD长,最后求出四边形ABCD的
7、周长.,9.(2018深圳,22,9分)如图,ABC内接于O,AB=AC,BC=2,cos B= ,点D为 上一动点. (1)求AB的值; (2)如图1,在点D运动的过程中,弦AD的延长线交BC的延长线于点E,问ADAE的值是否变化?若不变,请求出 ADAE的值,若变化,请说明理由; (3)如图2,在点D运动的过程中,若AHBD,求证:BH=CD+DH. 图1,图2,解析 (1)如图,作AMBC, AB=AC,AMBC,BC=2,BM=CM= BC=1, 在RtAMB中,cos B= = ,BM=1, AB=BMcos B=1 = . 图 (2)连接DC, AB=AC,ACB=ABC,四边形A
8、BCD内接于圆O,ADC+ABC=180, ACE+ACB=180,ADC=ACE, CAE为EAC与CAD的公共角, EACCAD, = , ADAE=AC2=( )2=10. ADAE的值不变,为10. (3)证明:在BD上取一点N,使得BN=CD,连接AN,如图. 在ABN和ACD中, ABNACD(SAS), AN=AD,AHBD, NH=HD, BN=CD,NH=HD, BN+NH=CD+HD=BH. 图,思路分析 (1)由条件AB=AC想到等腰三角形的性质,由底角相等和三线合一得BM=CM= BC=1,再综合条 件cos B= 想到构造含B的直角三角形,故作AMBC,问题可解决.
9、(2)由结论“求ADAE的值”想到证相似,所以要找到AD和AE所在的三角形,而且要证相似,所以目标转为 证EACCAD,已有一个公共角,另一个角就要通过圆的性质和等角的补角相等得ADC=ACE,从而 得EACCAD.根据相似三角形的性质得 = ,从而得ADAE=AC2=AB2. (3)在BD上取一点N,使得BN=CD,根据SAS得ABNACD,再由全等三角形的性质得AN=AD,根据等腰三 角形三线合一的性质得NH=DH,从而得BH=BN+NH=CD+DH.,解题反思 本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,相似三角形的判定与性质,锐角三角 函数的定义等知识.对综合应用能力要求比较高
10、,尤其是在复杂的图形中识别基本图形的能力要好,常见的 由“等积形式”想到相似三角形,由证“一条线段等于另两条线段和”的形式想到通过构造全等来“截长 补短”等解题策略的掌握有利于思路的打开.,10.(2017深圳,22,9分)如图,线段AB是O的直径,弦CDAB于点H,点M是不与B、C重合的 上任意一点, AH=2,CH=4. (1)求O的半径r; (2)求sinCMD; (3)直线BM交直线CD于点E,直线MH交O于点N,连接BN交CD于点F,求HEHF的值.,解析 (1)连接OC,在RtCOH中,OC=r,OH=r-2, 由勾股定理得(r-2)2+42=r2,解得r=5. (2)解法一:连接
11、OD,弦CD与直径AB垂直, = = , AOC= COD. CMD= COD, CMD=AOC, 在RtCOH中,sinAOC= = ,sinCMD= .,解法二:连接BC,BD,作CNBD,垂足为N. 弦CD与直径AB垂直, CH=DH=4,又BH=8, BC=BD=4 , SBCD= CDBH= BDCN, CN= = = . sinCMD=sinCBD= = . 解法三:连接CO并延长,交O于点P,连接DP, CDP=90.,r=5, CP=10. ABCD,AB是直径, CD=2CH=8, sinCMD=sinCPD= = . (3)连接AM,则AMB=90, 在RtABM中,MAB
12、+ABM=90, 在RtEHB中,E+ABM=90, MAB=E, = , MNB=MAB,MNB=E. EHM=NHF, EHMNHF, = , HEHF=HMHN, HAM=HNB,HMA=HBN, HMAHBN, = ,HMHN=HAHB, HEHF=HAHB=16.,思路分析 (1)在RtCOH中,由勾股定理可以算出r; (2)只要证明CMD=COA,就可求出sinCMD;也可以通过作辅助线将CMD转移到同弧所对的圆周角 CBD或CPD来求其正弦值; (3)由EHMNHF,推出 = ,推出HEHF=HMHN,由HMAHBN得到HMHN=AHHB,推出HE HF=AHHB,即可解决问题.
13、,11.(2016广州,25,14分)如图,点C为ABD外接圆上的一动点(点C不在 上,且不与点B,D重合),ACB= ABD=45. (1)求证:BD是该外接圆的直径; (2)连接CD,求证: AC=BC+CD; (3)若ABC关于直线AB的对称图形为ABM,连接DM,试探究DM2,AM2,BM2三者之间满足的等量关系,并证 明你的结论.,解析 (1)证明:ADB=ACB,ACB=45,ADB=45, ABD=45,BAD=180-ABD-ADB=180-45-45=90,BD是该外接圆的直径. (2)证明:如图,延长CD至点E,使DE=BC,连接AE. 四边形ABCD内接于圆,ABC+AD
14、C=180, ADE+ADC=180,ABC=ADE, ABD=ADB=45,AB=AD. 在ABC和ADE中, ABCADE,BAC=DAE,AC=AE, BAC+CAD=DAE+CAD,即BAD=CAE=90, ACE是等腰直角三角形,CE= AC, CE=CD+DE=CD+BC, AC=BC+CD. (3)DM2,AM2,BM2三者之间满足的等量关系是DM2=BM2+2AM2. 证明:如图,作AEAM,且截取AE=AM,连接ME,BE. AME为等腰直角三角形,AME=45,ME2=2AM2. ABC与ABM关于直线AB对称, AMB=ACB=45, BME=90,BE2=BM2+ME2
15、=BM2+2AM2.,MAE=BAD=90,EAB=MAD. 在DAM和BAE中, DAMBAE, DM=BE,DM2=BM2+2AM2.,思路分析 (1)要证明BD是该外接圆的直径,就需要证明BAD是直角,因为ABD=45,所以需要证明 ADB=45; (2)在CD延长线上截取DE=BC,连接EA,通过证明ACE是等腰直角三角形就可得出结论; (3)作AEAM,且截取AE = AM,连接ME,BE.证明DAMBAE,可得出BE=DM,根据勾股定理即可得出 DM2,AM2,BM2三者之间的数量关系.,12.(2015广州,23,12分)如图,AC是O的直径,点B在O上,ACB=30. (1)利
16、用尺规作ABC的平分线BD,交AC于点E,交O于点D,连接CD(保留作图痕迹,不写作法); (2)在(1)所作的图形中,求ABE与CDE的面积之比.,解析 (1)如图1所示. 图1 (2)解法一:如图2,连接OD,设AB=x, 图2 AC为直径,ABC=90, BD平分ABC,1=2=45, DOC=22=90, 在ABC中,ABC=90,ACB=30,AB=x,AC=2x,OA=OC=OD=x; 在OCD中,DOC=90,OC=OD=x, DC= = x, 1=3,A=BDC,ABEDCE, = = = . 解法二:如图3,连接AD,设AB=x, 图3 1=3,BAC=BDC,ABEDCE.
17、 AC为直径,ABC=ADC=90. BD平分ABC,1=2=45.,AD=DC, 在RtABC中,ABC=90, ACB=30,AB=x, AC=2x, 在RtADC 中,AD2+DC2=AC2,DC= x. ABEDCE, = = = .,考点二 与圆有关的位置关系,1.(2019广州,5,3分)平面内,O的半径为1,点P到O的距离为2,过点P可作O的切线的条数为 ( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条,答案 C 点P到点O的距离为2,O的半径为1,点P到圆心的距离大于半径,点P在O外.过圆外 一点可以作圆的两条切线,过点P可以作O的两条切线.故选C.,2.(2017广州,6,3
18、分)如图,O是ABC的内切圆,则点O是ABC的 ( ) A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点,答案 B O内切于ABC,点O到ABC三边的距离相等,点O是三条角平分线的交点,故选B.,3.(2015广州,7,3分)已知O的半径为5,直线l是O的切线,则点O到直线l的距离是 ( ) A.2.5 B.3 C.5 D.10,答案 C 圆心到圆的切线的距离等于半径,故选C.,4.(2015梅州,6,3分)如图,AB是O的弦,AC是O的切线,A为切点,BC经过圆心.若B=20,则C的大小等 于 ( ) A.20 B.25 C.40 D.50,答案 D
19、 连接OA,在等腰ABO中,B=BAO=20, AOC=40.AC是O的切线,OAAC,则OAC=90,在RtACO中,C=50,故选D.,5.(2019广东,24,9分)如图1,在ABC中,AB=AC,O是ABC的外接圆,过点C作BCD=ACB交O于 点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF. (1)求证:ED=EC; (2)求证:AF是O的切线; (3)如图2,若点G是ACD的内心,BCBE=25,求BG的长. 图1,图2,解析 (1)证明:如图. AB=AC,1=3. 1=2, 2=3. (1分) 3=4, 2=4, ED=EC. (2分) (2)证明:如图,连
20、接OA、OB、OC,OB=OC,AB=AC,AO垂直平分BC, AOBC. (3分) 由(1)知2=3,ABDF, AB=AC=CF, 四边形ABCF是平行四边形. (4分) AFBC,AOAF, 又OA是O的半径, AF是O的切线. (5分) (3)如图,连接AG.,1=2,2=5,1=5, G是ADC的内心, 7=8, BAG=5+7, 6=1+8, BAG=6, AB=BG. (7分) 3=3,1=5, ABECBA, = , (8分) AB2=BEBC=25, AB=5, BG=5. (9分),思路分析 (1)在一个三角形中证两边相等,常用的方法是利用等角对等边,在圆中找角相等,常用到
21、的是同 弧或等弧所对的圆周角相等;(2)可先证OABC,再证明四边形ABCF为平行四边形,可得AFBC,从而得结 论;(3)由已知条件证得BG=AB,ABECBA,由BCBE=25,求出AB的长度为5,从而求得结果.,6.(2019深圳,23,9分)已知在平面直角坐标系中,点A(3,0),B(-3,0),C(-3,8),以线段BC为直径作圆,圆心为E,直线 AC交E于点D,连接OD. (1)求证:直线OD是E的切线; (2)点F为x轴上任意一动点,连接CF交E于点G,连接BG. 当tanACF= 时,求所有F点的坐标: (直接写出); 求 的最大值.,图1 图2,解析 (1)证明:连接DE,B
22、D, BC为直径, BDC=90,BDA=90, A(3,0),B(-3,0), OA=OB, OD=OB=OA, OBD=ODB, ED=EB, EBD=EDB, EBD+OBD=EDB+ODB, 即EBO=EDO, B(-3,0),C(-3,8), CBx轴,EBO=90, EDO=90, D点在OD上, 直线OD为E的切线. (2)F点的坐标为 或(5,0). 详解:如图,当F1位于线段AB上时,过点F1作F1NAC于点N,易证ANF1ABC, = = , AB=6,BC=8,AC=10, = = , 设AN=3x,则NF1=4x,AF1=5x, CN=CA-AN=10-3x, 在RtC
23、F1N中,tanACF1= = = ,解得x= ,AF1=5x= , OF1=3- = , 即F1 . 如图,当点F2位于BA的延长线上时,过点F2作F2MAC交CA的延长线于点M, 易证AMF2ABC, = = ,AB=6,BC=8,AC=10, = = , 设AM=3x,则MF2=4x,AF2=5x, CM=CA+AM=10+3x, 在RtCMF2中,tanACF2= = = , 解得x= , AF2=5x=2, OF2=3+2=5, 即F2(5,0). 综上,F点的坐标为 或(5,0). 过点G作GHCB于点H,CGB=CBF=90,BCG=FCB, BCGFCB, 又GH是CBG中CB
24、边上的高,BG是CBF中CF边上的高, = , = , CB=8,0HG4, = ,即 , 的最大值为 .,7.(2016梅州,20,9分)如图,点D在O的直径AB的延长线上,点C在O上,AC=CD,ACD=120. (1)求证:CD是O的切线; (2)若O的半径为2,求图中阴影部分的面积.,解析 (1)证明:如图,连接OC, AC=CD,ACD=120, CAD=D=30, (2分) OA=OC, 2=CAD=30. (3分) OCD=ACD-2=90,即OCCD, CD是O的切线. (4分) (2)由(1)知2=CAD=30, 1=60. (5分),S扇形BOC= = . (6分) 在Rt
25、OCD中,tan 60= ,OC=2, CD=2 . (7分) SCOD= OCCD= 22 =2 . (8分) 阴影部分的面积S阴影=2 - . (9分),思路分析 (1)点C在O上, 只需连接OC,证OCD=90即可; (2)S阴影=SCOD-S扇形BOC.,解题关键 (1)证明OCCD;(2)熟练掌握三角形和扇形的面积公式.,8.(2018广东,24,9分)如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD,以AB为直径的O经过点C,连接AC、OD交于点E. (1)证明:ODBC; (2)若tanABC=2,证明:DA与O相切; (3)在(2)的条件下,连接BD交O于点F,连接EF,若BC=1,求
26、EF的长.,解析 (1)证明:如图1,连接OC,则OA=OC, 图1 点O在线段AC的垂直平分线上, 同理,点D在线段AC的垂直平分线上, OD是线段AC的垂直平分线, ODAC,AE=EC, AB为O的直径,BCA=90,即BCAC, ODBC.,(2)证明:tanABC=2,BC= AC, 由(1)得E是AC的中点,AE= AC, BC=AE. AB=AD, RtABCRtDAE, BAC=ADE, OAD=BAC+EAD=ADE+EAD=90, ABAD, DA与O相切. (3)BC=1,AC=ED=2, AD=CD=AB= = , AO=BO= AB= ,OD= = . AB=AD,A
27、BAD, ABD是等腰直角三角形, BD= AB= . 如图2,连接AF,则AFBD, 图2 F是BD的中点,FD= BD= , = = , EDF=BDO, DEFDBO, = = , EF= BO= .,思路分析 (1)由已知可得OD是线段AC的垂直平分线,则ODAC,由AB是O的直径得ACB=90,所以 ACBC,所以ODBC. (2)要证DA与O相切,就要证OAD=90,通过证RtABCRtDAE得BAC=ADE,即可证DA与O相 切. (3)先证ABD为等腰直角三角形,再证DEFDBO,列式求EF.,一题多解 (1)(2)同上. (3)连接AF,CF,并延长CF交OD于点G. BC=
28、1,AC=ED=2. AB是O的直径, AFB=90, 又AB=AD, BF=DF. ODBC, = = =1, DG=BC=EG=CE=1,CF=GF, CG= , EF=CF=GF= CG= .,9.(2017广州,25,14分)如图,AB是O的直径, = , AB=2,连接AC. (1)求证:CAB=45; (2)若直线l为O的切线,C是切点,在直线l上取一点D,使BD=AB,BD所在的直线与AC所在的直线相交于 点E,连接AD. 试探究AE与AD之间的数量关系,并证明你的结论; 是不是定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.,解析 (1)证明:连接BC, = , AC=BC,
29、CAB=CBA, 又ACB=90, CAB= =45. (2)AD=AE,证明如下: (i)当D在C左侧时,如图1所示,连OC,过B作BFl于F, 由(1)可得,ACB为等腰直角三角形.,l是O的切线,OCl,BFl,OCBF,四边形OBFC为矩形,又OB=OC,四边形OBFC为正方形, AB=2OB=2BF,BD=2BF, BDF=30,DBA=30,BDA=BAD=75,CBE=15, CEB=90-15=75=AED, ADE=AED,AD=AE. 图1 (ii)当D在C右侧时,如图2所示,连OC,过B作BFl于F, 同(1)证得BDF=30, ABD=150,ABE=30,AEB=90
30、-ABE-CBA=15,AB=BD,ADB= =15, AED=ADE,AE=AD. 图2 是.(i)当D在C左侧时,过点E作EIAB于点I,如图3. CDAB,ACD=BAE,由(i)知DAC=EBA=30,CADABE, = = ,AE= CD, EIA=90,EAI=45,EI= AE. 在RtIBE中,EBI=30,BE=2EI=2 AE= AE=2CD, =2. 图3 (ii)当D在C右侧时,过点E作EIAB,交BA的延长线于点I,如图4.,图4 由(ii)得,ADC=BEA=15,ABCD,EAB=DCA, ACDBAE, = = ,AE= CD, BA=BD,BAD=BDA=15
31、,IBE=30,IAE=CAB=45,EIA=90,EI= AE. 在RtIBE中,BE=2EI=2 AE= AE=2CD, =2.,思路分析 (1)由 = 得AC=BC,由AB是O的直径知ACB=90,可得CAB=45; (2)分D在C左侧和右侧两种情况:(i)作BFl于点F,证四边形OBFC是正方形,可得AB=2OB=2BF,再由BD= 2BF知BDF=30,再求出ADE=AED即可得结论;(ii)同理,可求出AED=ADE,即可得结论; 分D在C左侧和D在C右侧两种情况,作EIAB,证CADABE,得 = = ,即AE= CD,可得EI= AE,可得BE=2EI=2 AE= AE= CD
32、=2CD,从而得出答案.,10.(2016广东,24,9分)如图,O是ABC的外接圆,BC是O的直径,ABC=30.过点B作O的切线BD,与 CA的延长线交于点D,与半径AO的延长线交于点E.过点A作O的切线AF,与直径BC的延长线交于点F. (1)求证:ACFDAE; (2)若SAOC= ,求DE的长; (3)连接EF,求证:EF是O的切线.,解析 (1)证明:BC是O的直径, BAC=BAD=90. ABC=30,OA=OB=OC, OAB=OBA=30, OAC=OCA=AOC=60, ACF=DAE=120. (1分) AF是O的切线,OAAF,OAF=90, CAF=90-OAC=9
33、0-60=30. (2分) BD是O的切线, D=90-BCD=90-60=30, D=CAF, ACFDAE. (3分) (2)设OC=r,OAC是等边三角形,SAOC= r r= r2, (4分) r2= ,r=1或r=-1(舍去),OC=1. AB= ,BD=2 . (5分) BEO=180-DAE-D=180-120-30=30, BEO=BAO,BE=AB= ,DE=BD+BE=3 . (6分) (3)证明:过点O作OGEF,垂足为G. AFB=ACB-CAF=30, AC=FC=1.BF=3,OF=2. (7分) 在RtBEF中,EF= = =2 ,EBF=OGF=90,OFG=E
34、FB,RtOFGRtEFB, (8分) = , = ,OG=1, OG=OC,EF是O的切线. (9分),11.(2015 深圳,22,9分)如图1,水平放置一个直角三角板和一个量角器,三角板的边AB和量角器的直径DE在 一条直线上,AB=BC=6 cm,OD=3 cm,开始的时候BD=1 cm,现在三角板以2 cm/s的速度向右移动. (1)当B与O重合的时候,求三角板运动的时间; (2)如图2,当AC与半圆相切时,求AD; (3)如图3,当AB和DE重合时,求证:CF2=CGCE.,解析 (1)由题意可得,BO=4 cm,三角板运动的时间t= =2(s). (2)连接O与切点M,则OMAC
35、, 易知A=45, OA= OM=3 cm, AD=OA-OD=(3 -3)cm. (3)证明:连接EF, OD=OF, ODF=OFD, DE为直径, ODF+DEF=90, DEC=DEF+CEF=90, CEF=ODF=OFD=CFG,又FCG=ECF, CFGCEF, = , CF2=CGCE.,思路分析 (1)由题意可得出BO的长,再利用路程与速度和时间的关系得结论; (2)由切线的性质结合等腰直角三角形的性质得出OA的长,从而求出答案; (3)易知CEF=ODF=OFD=CFG,从而证出CFGCEF,从而得出答案.,考点一 圆的有关概念和性质,B组 20152019年全国中考题组,
36、1.(2019吉林,5,2分)如图,在O中, 所对的圆周角ACB=50,若P为 上一点,AOP=55,则POB的度 数为 ( ) A.30 B.45 C.55 D.60,答案 B 由题意可得AOB=2ACB=100.POB=100-55=45.故选B.,2.(2017陕西,9,3分)如图,ABC是O的内接三角形,C=30,O的半径为5.若点P是O上一点,在ABP 中,PB=AB,则PA的长为 ( ) A.5 B. C.5 D.5,答案 D 连接OB、OA、OP, C=30,AOB=60,OA=OB,OAB是等边三角形,AB=5.PB=AB=OA=OP,OBAP,AP= 2ABcos 30=25
37、cos 30=25 =5 .故选D.,3.(2016陕西,9,3分)如图,O的半径为4,ABC是O的内接三角形,连接OB、OC.若BAC与BOC互补, 则弦BC的长为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6,答案 B BOC+CAB=180,BOC=2CAB, BOC=120,作ODBC交BC于点D,BC=2BD. OB=OC, OBD=OCD= =30, BD=OBcos 30=2 , BC=2BD=4 ,故选B.,4.(2018湖北黄冈,11,3分)如图,ABC内接于O,AB为O的直径,CAB=60,弦AD平分CAB,若AD=6,则 AC= .,答案 2,解析 连接BD,因为AB为O的直径
38、,所以ADB=90,因为CAB=60,弦AD平分CAB,所以BAD=30, 因为 =cos 30,所以AB= = =4 .在RtABC中,AC=ABcos 60=4 =2 .,5.(2019安徽,19,10分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1,明朝科学家徐光启在农政全书 中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上 方,且圆被水面截得的弦AB的长为6米,OAB=41.3.若点C为运行轨道的最高点(C,O的连线垂直于AB),求 点C到弦AB所在直线的距离.(参考数据:sin 41.30.66,cos 41.30.75,tan 41.
39、30.88) 图1,图2,解析 连接CO并延长,交AB于点D,则CDAB,所以D为AB的中点,所求运行轨道的最高点C到弦AB所在直 线的距离即为线段CD的长. 在RtAOD中,AD= AB=3,OAD=41.3, OD=ADtan 41.330.88=2.64,OA= =4, CD=CO+OD=AO+OD=4+2.64=6.64. 答:运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米. 其他运算途径得到的正确结果也可赋分,思路分析 本题考查垂径定理和三角函数的应用,通过垂径定理求得AD的长,再通过解三角形,求得AO和 OD的值,从而求出点C到弦AB所在直线的距离.,6.(2018福建,2
40、4,12分)已知四边形ABCD是O的内接四边形,AC是O的直径,DEAB,垂足为E. (1)延长DE交O于点F,延长DC,FB交于点P,如图1.求证:PC=PB; (2)过点B作BGAD,垂足为G,BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的左侧,如图2.若AB= ,DH=1,OHD= 80,求BDE的大小.,图1 图2,解析 (1)证明:AC是O的直径,ABC=90. 又DEAB,DEA=90. DEA=ABC,BCDF, F=PBC. 四边形BCDF是圆内接四边形, F+DCB=180, 又PCB+DCB=180, F=PCB,PBC=PCB, PC=PB. (2)连接OD,AC是O的直径,A
41、DC=90,又BGAD,AGB=90,ADC=AGB,BGDC. 又由(1)知BCDE,四边形DHBC为平行四边形,BC=DH=1. 在RtABC中,AB= ,tanACB= = , ACB=60,CAB=30. 从而BC= AC=OD,DH=OD. 在等腰三角形DOH中,DOH=OHD=80, ODH=20. 设DE交AC于N.BCDE,ONH=ACB=60. NOH=180-(ONH+OHD)=40, DOC=DOH-NOH=40, CBD=OAD=20. BCDE,BDE=CBD=20.,一题多解 (1)证明:易证DFBC,从而CD=BF,且 = =1,PB=PC. (2)连接OD,设B
42、DE=x,则EBD=90-x, 易证四边形BCDH为平行四边形, BC=DH=1,AB= ,CAB=30,AC=2, ADB=ACB=60, OD=OA=1=DH, ODH=180-2OHD=180-280=20, OAD=ODA=ADB-(ODH+x)=60-(20+x)=40-x. 又AOD=2ABD, 180-2(40-x)=2(90-x),解得x=20,即BDE=20.,解后反思 本题考查圆的有关性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判 定与性质、解直角三角形等基础知识,考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观,考查化归与转化 思想.,考点二 与圆有关的位置关
43、系,1.(2019福建,9,4分)如图,PA,PB是O的两条切线,A,B为切点,点C在O上,且ACB=55,则APB等于 ( ) A.55 B.70 C.110 D.125,答案 B 连接OA,OB. PA,PB是O的两条切线, OAAP,OBPB. OAP=OBP=90. AOB=2ACB=255=110, APB=360-OAP-OBP-AOB =360-90-90-110=70. 故选B.,方法总结 在应用切线性质时,一定要抓住“垂直”这一特征,故连接圆心与切点是常作的辅助线.而在圆 中通过连半径构造同弧所对的圆周角和圆心角也是常用的辅助线作法.,2.(2018安徽,12,5分)如图,菱
44、形ABOC的边AB,AC分别与O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则DOE= .,答案 60,解析 AB,AC分别与圆O相切于点D,E,ODAB,OEAC,在菱形ABOC中,AB=BO,点D是AB的中点, BD= AB= BO,BOD=30,B=60,又OBAC,A=120,在四边形ADOE中,DOE=360- 90-90-120=60.,解题关键 由题意得出OD垂直平分AB及AB=BO是解答本题的关键.,3.(2019北京,22,6分)在平面内,给定不在同一条直线上的点A,B,C,如图所示.点O到点A,B,C的距离均等于a(a 为常数),到点O的距离等于a的所有点组成图形G,ABC的平分线交图形G于点D,连接AD,CD. (1)求证:AD=CD; (2)过点D作DEBA,垂足为E,作DFBC,垂足为F,延长DF交图形G于点M,连接CM.若AD
