1、A组 20152019年广西中考题组 考点一 圆的有关概念与性质,1.(2019柳州,6,3分)如图,A,B,C,D是O上的点,则图中与A相等的角是 ( ) A.B B.C C.DEB D.D,答案 D A所对的弧为 ,而 所对的圆周角有A和D,因此A=D.故选D.,2.(2019贵港,9,3分)如图,AD是O的直径, = ,若AOB=40,则圆周角BPC的度数是 ( ) A.40 B.50 C.60 D.70,答案 B 在O中, = ,AOB=40, AOB=COD=40. BOC=180-AOB-COD=180-40-40=100. 在O中,BPC= BOC= 100=50.故选B.,3.
2、(2019梧州,11,3分)如图,在半径为 的O中,弦AB与CD交于点E,DEB=75,AB=6,AE=1,则CD的长是 ( ) A.2 B.2 C.2 D.4,思路分析 连接OB,OD,OE,过O分别作OFAB于F,OGDC于G.由垂径定理可知,FB= AB=3,CD=2DG, 根据勾股定理可求出OF=2,再得出EF=2,从而可得OEF=45,结合DEB=75可得OEG=30.进而求出 OG= OE= ,再由勾股定理得出DG的长,由CD=2DG即可得解.,方法总结 本题考查垂径定理、勾股定理以及直角三角形中30角的性质,根据题意作出辅助线,构造出直 角三角形是解答此题的关键.,4.(2018
3、柳州,8,3分)如图,A,B,C,D是O上的四个点,A=60,B=24,则C的度数为 ( ) A.84 B.60 C.36 D.24,答案 D 在O中,B=C=24(在同圆中,同弧所对的圆周角相等),故选D.,5.(2018河池,10,3分)如图,在O中,OABC,AOB=50,则ADC的大小为 ( ) A.20 B.25 C.50 D.100,答案 B OABC, = . ADC= AOB= 50=25.故选B.,6.(2018贺州,11,3分)如图,AB是O的直径,且经过弦CD的中点H,已知sinCDB= ,BD=5,则AH的长为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 连接OD. AB
4、是O的直径,且H为CD的中点, CDAB, 在RtBDH中,sinCDB= = , BH= 5=3,DH= =4, 设O的半径为r,则OH=r-3, 则在RtODH中,r2=(r-3)2+42, r= ,AH= 2-3= -3= , 故选B.,7.(2017河池,8,3分)如图,O的直径AB垂直于弦CD,CAB=36,则BCD的大小是 ( ) A.18 B.36 C.54 D.72,答案 B AB是O的直径,ABCD, = ,CAB=BAD=36, BCD=BAD, BCD=36.故选B.,8.(2017贵港,9,3分)如图,A,B,C,D是O上的四个点,B是 的中点,M是半径OD上任意一点,
5、若BDC=40, 则AMB的度数不可能是 ( ) A.45 B.60 C.75 D.85,答案 D 连接OA,OB,B是 的中点,AOB=2BDC=80, 又M是OD上一点,40AMB80. 故选项中不符合条件的只有85.故选D.,9.(2019北部湾经济区,17,3分)九章算术作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,与古希 腊的几何原本并称现代数学的两大源泉.在九章算术中记载有一问题“今有圆材埋在壁中,不知 大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”小辉同学根据原文题意,画出圆材截面图如图所示,已知:锯 口深为1寸,锯道AB=1尺(1尺=10寸),则该圆材的直径为 寸.,答案
6、26,解析 设圆材截面圆的圆心为O,O的半径为r寸,如图所示,过O作ODAB于D,连接AO,则AB=2AD. 在RtADO中,AD=5寸,OD=(r-1)寸,OA=r寸, 则r2=52+(r-1)2,解得r=13, 圆材的直径为26寸.,10.(2018梧州,16,3分)如图,已知在O中,半径OA= ,弦AB=2,BAD=18,OD与AB交于点C,则ACO= 度.,答案 81,解析 在O中,OA=OB= ,AB=2, AB2=OA2+OB2, AOB为直角三角形,AOB=90,ABO=45, 又DOB=2DAB=218=36, ACO=36+45=81.,11.(2018玉林,16,3分)小华
7、为了求出一个圆盘的半径,他用所学的知识,将一宽度为2 cm的刻度尺的一边与 圆盘相切,另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别为“4”和“16”(单位:cm),请你帮小华算出圆盘的半 径是 cm.,答案 10,解析 设圆盘的圆心为O,圆盘的半径为r cm(r0),如图所示. 尺子一边与圆盘相切,另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”, AB= (16-4)=6 cm. 刻度尺宽为2 cm, OA=(r-2)cm, 在RtOAB中,OA2+AB2=OB2, 即(r-2)2+62=r2,解得r=10.,12.(2018河池,21,8分)如图,在ABC中,ACB=90. (1)尺规作图(
8、保留作图痕迹,不写作法): 作AC的垂直平分线,垂足为D; 以点D为圆心,DA长为半径作圆,交AB于点E(点E异于点A),连接CE; (2)探究CE与AB的位置关系,并证明你的结论.,解析 (1)如图所示. (2)CEAB.理由如下: AC为D的直径,且点E在D上, AEC=90. CEAB.,13.(2017桂林,25,10分)已知:如图,在ABC中,AB=BC=10,以AB为直径作O分别交AC,BC于点D,E,连接DE 和DB,过点E作EFAB,垂足为F,交BD于点P. (1)求证:AD=DE; (2)若CE=2,求线段CD的长; (3)在(2)的条件下,求DPE的面积.,解析 (1)证明
9、:AB是O的直径,ADB=90, 又AB=BC,D是AC的中点,ABD=CBD, AD=DE. (2)四边形ABED内接于O, CED=CAB, 又C=C,CDECBA, = , 又AB=BC=10,CE=2,D是AC的中点,CD= . (3)延长EF交O于M,在RtABD中,AD= ,AB=10,BD=3 , 又ABEM,AB是直径, = , BEP=EDB,又PBE=EBD, BPEBED, = ,BE=BC-CE=10-2=8, BP= , DP=BD-BP= , SDPESBPE=DPBP=1332,SDPESBDE=1345, SBCD= 3 =15,SBDESBCD=BEBC=45
10、,SBDE=12,SDPE= .,思路分析 (1)根据直径所对的圆周角为90可得ADB=90,结合AB=BC,由等腰三角形三线合一的性质得 出ABD=CBD,即可得AD=DE; (2)先证CDECBA,即可得 = ,即可求出CD的长; (3)根据勾股定理求出BD的长,延长EF交圆O于M,可证BPEBED,即可求得BP,DP的长,故可得SDPES BDE=1345,又SBCD=15,SBDESBCD=BEBC=45,故SBDE=12,从而求出SDPE= .,考点二 与圆有关的位置关系,1.(2019贺州,11,3分)如图,在ABC中,O是AB边上的点,以O为圆心,OB为半径的O与AC相切于点D,
11、BD平 分ABC,AD= OD,AB=12,CD的长是 ( ) A.2 B.2 C.3 D.4,答案 A AC与O相切,D为切点,ADO=90. 又AD= OD,即 = =tanA,A=30. BD平分ABC,OD=OB,ODB=OBD=DBC. ODBC,C=ADO=90. 在RtABC中,AC=ABcos 30=6 . 设O的半径为r,则OD=OB=r,AO=2OD=2r, r+2r=12,r=4. 在RtADO中,AD=OD =4 ,CD=2 . 故选A.,2.(2019玉林,11,3分)如图,在RtABC中,C=90,AC=4,BC=3,点O是AB的三等分点,半圆O与AC相切,M,N分
12、 别是BC与半圆弧上的动点,则MN的最小值和最大值之和是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8,答案 B 设O与AC相切于点D,连接OD,过点O作OPBC于点P,交O于点F,此时垂线段OP最短,PF的 最小值为OP-OF. AC=4,BC=3,C=90,AB=5. OPB=90,C=90, OPAC. 点O是AB的三等分点, OB= AB= . = = ,3.(2019北部湾经济区,12,3分)如图,AB为O的直径,BC、CD是O的切线,切点分别为点B、D,点E为线段 OB上的一个动点,连接OD,CE,DE,已知AB=2 ,BC=2,当CE+DE的值最小时, 的值为 ( ) A. B. C.
13、 D.,答案 A 作C关于OB的对称点C,连接DC,EC, OB垂直平分CC,CE=CE, CE+DE=CE+DECD, C、E、D三点共线时,DE+CE的值最小,最小值为CD的长, 连接BD,OC交于M点,CB,CD是O的切线,CB=CD=2. 在RtODC中,OC2=DO2+CD2=9,OC=3. 易知DM为RtODC斜边上的高,DM= = ,BD=2DM= . 过D作DDBC,交BC的延长线于D,设CD=x(x0), 则DD2=4-x2. 在RtDBD中,DB=2+x,DD= ,BD= , (2+x)2+4-x2= ,x= .,由作图知OBDD, = = = = , 故选A.,方法总结
14、先利用轴对称变换确定满足线段的长度和最小的点,属于常见的最短路径问题,通过勾股定理 和等面积法把核心线段表示出来是解决这类中档小题常用的方法,借助设参和方程思想构建关于目标线段 的方程并求解线段长是关键.,4.(2017百色,11,3分)以坐标原点O为圆心,作半径为2的圆,若直线y=-x+b与O相交,则b的取值范围是 ( ) A.0b2 B.-2 b2 C.-2 b2 D.-2 b2,答案 D 当直线y=-x+b与O相切,且经过第一、二、四象限时,如图. 在y=-x+b中,当x=0时,y=b,则与y轴的交点是B(0,b), 当y=0时,x=b,则与x轴的交点是A(b,0), 则OA=OB,即O
15、AB是等腰直角三角形. 连接圆心O和切点C,则OC=2, 则OB= OC=2 ,即b=2 . 同理,当直线y=-x+b与圆相切,且经过第二、三、四象限时,b=-2 . 综上,b的取值范围是-2 b2 .故选D.,5.(2018河池,12,3分)如图,等边三角形ABC的边长为2,A的半径为1,D是BC上的动点,ED与A相切于点E, 则DE的最小值是 ( ) A.1 B. C. D.2,答案 B 如图,连接AD,AE,则ADE为直角三角形. 在RtADE中,DE2=AD2-AE2,即DE= . 当AD取最小值时,DE取最小值. 显然当ADBC时,AD取最小值,此时AD= = . DE的最小值是 =
16、 .故选B.,6.(2019河池,16,3分)如图,PA,PB是O的切线,A,B为切点,OAB=38,则P= .,答案 76,解析 连接OB.PA,PB是O的切线,A,B为切点, OAAP,OBBP,OAP=OBP=90. 又OA=OB,OAB=OBA=38,AOB=180-38-38=104, 在四边形OAPB中,P=360-104-90-90=76.,一题多解 连接OB.PA,PB与O相切,A,B为切点, PA=PB,OAP=OBP=90. 又OAB=38,BAP=ABP=90-38=52. P=180-BAP-ABP=180-52-52=76.,7.(2019贵港,24,8分)如图,在矩
17、形ABCD中,以BC边为直径作半圆O,OEOA交CD边于点E,对角线AC与半圆 O的另一个交点为P,连接AE. (1)求证:AE是半圆O的切线; (2)若PA=2,PC=4,求AE的长.,解析 (1)证明:在矩形ABCD中,ABO=OCE=90. OEOA, AOE=90, BAO+AOB=AOB+COE=90, BAO=COE, ABOOCE, = . OB=OC, = . ABO=AOE=90, ABOAOE, BAO=OAE.,过O作OFAE于F,则ABO=AFO=90. 在ABO与AFO中, ABOAFO(AAS), OF=OB, AE是半圆O的切线. (2)AF是半圆O的切线,AC是
18、半圆O的割线, 易得AF2=APAC, AF= =2 ,AB=AF=2 . AC=6, BC= =2 , AO= =3 . ABOAOE, = , = , AE=3 .,思路分析 (1)由题意可得ABOOCE,则 = ,又由OB=OC,ABO=AOE=90可推出ABO AOE,从而得到BAO=OAE,过O作OFAE于F,根据全等三角形的性质得到OF=OB,于是得到AE是半 圆O的切线. (2)由题意易得AF=AB=2 ,根据勾股定理得BC=2 ,AO=3 ,根据相似三角形的性质即可得出结论.,8.(2019百色,25,10分)如图,已知AC、AD是O的两条割线,AC与O交于B、C两点,AD过圆
19、心O且与O交 于E、D两点,OB平分AOC. (1)求证:ACDABO; (2)过点E的切线交AC于F,若EFOC,OC=3,求EF的值. (提示:( +1)( -1)=1),解析 (1)证明:OB平分AOC, BOE= AOC. (1分) D= EOC, D=BOE. (3分) A=A, ACDABO. (4分) (2)EF切O于E,OEF=90. EFOC, DOC=OEF=90. (5分) OC=OD=3, CD= = =3 . (6分) 由(1)得, = , (7分),即 = , ( -1)AE=6-3 , ( -1)AE( +1)=(6-3 )( +1), AE=3 . (8分) E
20、FOC, = , (9分) 即 = , ( +1)EF=3 , ( +1)EF( -1)=3 ( -1), EF=6-3 . (10分),9.(2019河池,25,10分)如图,五边形ABCDE内接于O,CF与O相切于点C,交AB延长线于点F. (1)若AE=DC,E=BCD,求证:DE=BC; (2)若OB=2,AB=BD=DA,F=45,求CF的长.,解析 (1)证明:在O中,AE=DC, = . ADE=DBC. 在ADE和DBC中, ADEDBC(AAS), DE=BC. (2)连接CO并延长交AB于G,过点O作OHAB于H,则OHG=OHB=90. CF与O相切于点C, FCG=90
21、. 又F=45, CFG、OGH均为等腰直角三角形,CF=CG,OG= OH. AB=BD=DA, ABD是等边三角形, ABD=60, OBH=30. 在RtOBH中,OH= OB=1, OG= , CF=CG=OC+OG=2+ .,思路分析 (1)由同圆中,圆心角、弧、弦之间的关系得出 = ,得出ADE=DBC,从而证明ADE DBC,进而得出DE=BC. (2)连接CO并延长交AB于G,过点O作OHAB于H,则OHG=OHB=90,由切线的性质得出FCG=90,从 而得CFG、OGH是等腰直角三角形,则有CF=CG,OG= OH.由等边三角形的性质得OBH=30,再由 直角三角形的性质得
22、OH= OB=1,OG= ,从而利用CF=CG=OC+OG得出结果.,10.(2019玉林,23,9分)如图,在ABC中,AB=AC=5,BC=6,以AB为直径作O分别交AC,BC于点D,E,过点E作 O的切线EF交AC于点F,连接BD. (1)求证:EF是CDB的中位线; (2)求EF的长.,解析 (1)证法一:连接OE,则OEEF,即OEF=90, (1分) OEB+CEF=180-90=90. AB=AC,ABC=C, 又OE=OB,ABC=OEB,C=OEB, OEB+CEF=CEF+C=90, (2分) CFE=180-90=90,即EFAC. 又知BDAC,EFBD. (3分) 连
23、接AE,则AEBC, 由AB=AC得E是BC的中点, (4分) EF是CDB的中位线. (5分),证法二:连接AE,则AEBC. 由AB=AC得E是BC的中点. (1分) 连接OE,则OE是BAC的中位线,OEAC. (3分) 又EF是O的切线,EFOE,EFAC,又BDAC, EFBD,EF是CDB的中位线. (5分) (2)解法一:由(1)知BE=EC= BC=3. 在RtABE中,AE= = =4. (6分) SABC= ACBD= BCAE, BD= = = . (8分) EF= BD= . (9分) 解法二:设CD=x,则AD=5-x,BC2-CD2=AB2-AD2,62-x2=52
24、-(5-x)2,解得x= ,CF= CD= . (7分) 在RtCFE中,EF= = = . (9分),11.(2019贺州,25,10分)如图,BD是O的直径,弦BC与OA相交于点E,AF与O相切于点A,交DB的延长线于 点F,F=30,BAC=120,BC=8. (1)求ADB的度数; (2)求AC的长度.,解析 (1)AF与O相切于点A, OAF=90. (1分) AOF=90-F=90-30=60. (2分) AOB与ADB所对的弧均是 , ADB= AOB= 60=30. (4分) (2)ACB与ADB所对的弧均是 , ACB=ADB=30. OA=OB,AOB=60, OAB是等边
25、三角形. (6分) OAB=60, OAC=BAC-OAB=120-60=60. AEC=180-OAC-ACB=180-60-30=90.,OABC. EC= BC= 8=4. (9分) 在RtAEC中,cosACE= , AC= = = = . (10分),思路分析 (1)由切线的性质得出OAF=90,由三角形内角和定理得BOA=60,再由圆周角定理即可得 出结果. (2)由OA=OB,BOA=60可证明AOB是等边三角形,得出OAB=60,从而求出OAC=60,AEC=90.由 垂径定理得出CE= BC=4,根据锐角三角函数可得出AC= .,12.(2019桂林,25,10分)如图,BM
26、是以AB为直径的O的切线,B为切点,BC平分ABM,弦CD交AB于点E,DE= OE. (1)求证:ACB是等腰直角三角形; (2)求证:OA2=OEDC; (3)求tanACD的值.,解析 (1)证明:如图,AB是O的直径, ACB=90. BM是O的切线, ABBM,1+2=90. BC平分ABM, 1=2=45, A=2=45, ACB是等腰直角三角形. (2)证明:如图,连接OC,OD. DE=OE,3=4.,OD=OC,3=OCD.4=OCD. 3=3,ODECDO. = ,即OD2=DEDC. OA=OD,DE=OE,OA2=OEDC. (3)如图,4=2ACD,4=OCD, AC
27、D= OCD. OA=OC,ACO=A=45, 即ACD+OCD=45, OCD+OCD=45, OCD=4=30. 连接BD,过点D作DNAB于点N. 设DN=x,则OD=OB=2x,ON= x,BN=OB+ON=(2+ )x. ABD=ACD,tanACD=tanABD= = = =2- .,一题多解 此题的三个小问均有多种方法求解,以下为第(2)(3)小问的其他解法. (2)证明:连接BD.设DE=OE=a,AO=OB=r,EC=b. BAC=BDC,AEC=DEB,AECDEB, = , = , (r-a)(r+a)=ab,即r2-a2=ab, r2=a(a+b). OA=r,DC=D
28、E+EC=a+b,DE=a, AO2=DEDC=OEDC. (3)连接OC,OD,AD.,由题意可得OCD=30. 设OC=m,则DE=OE= m,CE= m,AC=BC= m. 易证ADECBE, = ,即 = , AD= m. 同理可得BDECAE, = ,即 = , BD= m.,ACD=ABD, tanACD=tanABD= = =2- .,13.(2018河池,25,10分)如图,AB为O的直径,点C在O上,点D,E分别在AB,AC的延长线上,DEAE,垂足为 E,A=CDE. (1)求证:CD是O的切线; (2)若AB=4,BD=3,求CD的长.,解析 (1)连接OC. OA=OC
29、,A=ACO. E=90,EDC+ECD=90. 又DEC=A,A+ECD=90. ACO+ECD=90, OCD=180-90=90,即OCCD. CD是O的切线. (2)AB=4,OA=OB=OC=2. BD=3,OD=5. CD= = = . CD的长为 .,14.(2018贵港,24,8分)如图,已知O是ABC的外接圆,且AB=BC=CD,ABCD,连接BD. (1)求证:BD是O的切线; (2)若AB=10,cosBAC= ,求BD的长及O的半径.,解析 (1)证明:连接OA,OC,OB. 在AOB和COB中, AOBCOB(SSS), ABO=CBO. BC=BA, OBAC(三线
30、合一). OBC+ACB=90, ABCD,AB=CD, 四边形ABDC是平行四边形, ACBD,15.(2017南宁,25,10分)如图,AB是O的直径,弦CDAB,垂足为H,连接AC,过 上一点E作EGAC交CD 的延长线于点G,连接AE交CD于点F,且EG=FG,连接CE. (1)求证:ECFGCE; (2)求证:EG是O的切线; (3)延长AB交GE的延长线于点M,若tan G= ,AH=3 ,求EM的值.,解析 (1)证明:AB是O的直径,且CDAB, = ,AEC=ACD. (1分) EGAC,ACD=G. CEF=G. (2分) 又ECF=GCE, ECFGCE. (3分) (2
31、)证明:连接OE, (4分) OA=OE,OAE=OEA,EG=FG,GEF=GFE. (5分) 又AFH=GFE,GEF=AFH. ABCD, OAE+AFH=90,OEA+GEF=90. (6分) OEGE, EG是O的切线. (7分) (3)EGAC,G=ACH,tanACH=tan G= , 在RtAHC中,AH=3 ,tanACH= = , CH=4 .tanCAH= . (8分) 连接OC,设OC=x,则在RtCOH中,OH=OA-AH=x-3 , x2=(x-3 )2+(4 )2,x= . (9分) OE=OC= . ACGM,M=CAH, tan M=tanCAH= , 在Rt
32、OEM中, =tan M= , EM=OE = . (10分),16.(2016钦州,25,10分)如图,在ABC中,AB=AC,AD是角平分线,BE平分ABC交AD于点E,点O在AB上,以 OB为半径的O经过点E,交AB于点F. (1)求证:AD是O的切线; (2)若AC=4,C=30,求 的长.,解析 (1)证明:连接OE. BE平分ABD,ABE=EBD. OB=OE,OBE=OEB. EBD=OEB. OEBC,OEA=BDA. 在ABC中,AB=AC,AD是角平分线, BDA=90.OEA=90. AD是O的切线. (2)AB=AC,C=30,ABC=C=30. OEBC, AOE=
33、ABC=30. 在RtAEO中,AEO=90,AOE=30, AO=2AE. 设AE=x,则AO=2x, OE=OB=AB-AO=AC-AO=4-2x. 根据勾股定理得x2+(4-2x)2=(2x)2, 解得x1=8-4 ,x2=8+4 (不合题意,舍去). OE=4-2x=4-2(8-4 )=8 -12. 的长为 = -2.,B组 20152019年全国中考题组,考点一 圆的有关概念与性质,1.(2019甘肃兰州,6,4分)如图,四边形ABCD内接于O,若A=40,则C= ( ) A.110 B.120 C.135 D.140,答案 D 由圆的内接四边形的性质可得A+C=180,C=180-
34、40=140,故选D.,2.(2019陕西,9,3分)如图,AB是O的直径,EF、EB是O的弦,且EF=EB,EF与AB交于点C,连接OF.若AOF =40,则F的度数是 ( ) A.20 B.35 C.40 D.55,答案 B 连接OE.EF=EB,EOF=EOB. AOF=40,BOF=180-AOF=140, EOF=EOB= (360-140)=110. OE=OF,F=OEF= (180-EOF)=35,故选B.,3.(2019四川成都,9,3分)如图,正五边形ABCDE内接于O,P为 上的一点(点P不与点D重合),则CPD的 度数为 ( ) A.30 B.36 C.60 D.72,
35、答案 B 连接CO,DO,五边形ABCDE为正五边形,COD= 360=72,CPD= COD=36,故 选B.,4.(2019湖北武汉,9,3分)如图,AB是O的直径,M,N是 (异于A,B)上两点,C是 上一动点,ACB的平分线 交O于点D,BAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时,C,E两点的运动路径长的比是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 如图,由题意可知1=2,3=4.连接AD,可得2=6=1.5=1+3,EAD=4+6 =3+1,DE=DA,即点E在以点D为圆心,AD为半径的圆上运动,6=2=45,AD= AO,设O的 半径为r,劣弧MN所对的圆心角为n,则C
36、,E两点的运动路径长的比是 = .故选A.,5.(2018陕西,9,3分)如图,ABC是O的内接三角形,AB=AC,BCA=65,作CDAB,并与O相交于点D,连 接BD,则DBC的大小为 ( ) A.15 B.25 C.35 D.45,答案 A AB=AC,BCA=65,BCA=ABC=65,BAC=50,CDAB,BAC=ACD=50, 根据圆周角定理的推论得ABD=ACD=50,所以DBC=ABC-ABD=65-50=15,故选A.,6.(2018湖北武汉,10,3分)如图,在O中,点C在优弧 上,将弧 折叠后刚好经过AB的中点D.若O的半 径为 ,AB=4,则BC的长是 ( ) A.2
37、 B.3 C. D.,答案 B 连接AO,并延长交O于点D,则ABD=90.连接BD,CD,DD,DD交BC于点E,连接OD,OB,OC, D为AB的中点,ODAB,AB=4,BD= AB=2,OB= ,OD= =1,BD=2OD=2,即BD= BD,显然点D与点D关于直线BC对称.ABD=90,ABC=CBD=45,根据圆周角定理得AOC=90, DOC=90,CD= OC= ,CBD=45,BD=2,BE=ED= ,根据勾股定理得CE= = 2 ,所以BC=BE+CE=3 ,故选B.,方法指导 在求解涉及圆的性质的问题时,通常运用垂径定理或圆周角定理得到相等的线段或角或垂直关 系,求解过程
38、中常需作合适的辅助线构造直角三角形,利用勾股定理等知识进行求解.,7.(2019内蒙古包头,18,3分)如图,BD是O的直径,A是O外一点,点C在O上,AC与O相切于点C,CAB =90,若BD=6,AB=4,ABC=CBD,则弦BC的长为 .,答案 2,解析 连接CD,BD是直径,DCB=90,又CAB=90,ABC=CBD,CABDCB, = , 即 = ,BC= =2 .,8.(2017北京,14,3分)如图,AB为O的直径,C,D为O上的点, = .若CAB=40,则CAD= .,答案 25,解析 连接BC,BD,AB为O的直径, ACB=90,ABC=90-CAB=90-40=50.
39、 = , ABD=CBD= ABC=25, CAD=CBD=25.,9.(2019河南,17,9分)如图,在ABC中,BA=BC,ABC=90.以AB为直径的半圆O交AC于点D,点E是 上不 与点B,D重合的任意一点,连接AE交BD于点F,连接BE并延长交AC于点G. (1)求证:ADFBDG; (2)填空: 若AB=4,且点E是 的中点,则DF的长为 ; 取 的中点H,当EAB的度数为 时,四边形OBEH为菱形.,解析 (1)证明:BA=BC,ABC=90, CAB=C=45. AB为半圆O的直径, ADF=BDG=90. DBA=DAB=45, AD=BD. (3分) DAF和DBG都是
40、所对的圆周角, DAF=DBG. ADFBDG. (5分) (2)4-2 . (7分) 30(注:若填为30,不扣分).(9分) 详解:如图,过F作FMAB于M,点E是 的中点,BAE=DAE, FDAD,FMAB, FM=FD, =sinFBM=sin 45= , = ,即BF= FD. AB=4, BD=4cos 45=2 , BF+FD=2 ,即( +1)FD=2 ,FD= =4-2 . 连接OH,EH,点H是 的中点, OHAE, AEB=90, BEAE, BEOH, 四边形OBEH为菱形, BE=OH=OB= AB, sinEAB= = , EAB=30.,10.(2018安徽,2
41、0,10分)如图,O为锐角ABC的外接圆,半径为5. (1)用尺规作图作出BAC的平分线,并标出它与劣弧 的交点E(保留作图痕迹,不写作法); (2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.,解析 (1)尺规作图如图所示. (4分) (2)连接OE交BC于M,连接OC. 因为BAE=CAE,所以 = , 易得OEBC,所以EM=3. RtOMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5, 所以MC2=OC2-OM2=25-4=21. RtEMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30, 所以弦CE的长为 . (10分),思路分析 对于(2),连接OE交BC于点M,再连接OC,由BA
42、E=CAE可得 = ,可推出OEBC,最后利 用勾股定理求出CE.,考点二 与圆有关的位置关系,1.(2018福建,9,4分)如图,AB是O的直径,BC与O相切于点B,AC交O于点D.若ACB=50,则BOD等 于 ( ) A.40 B.50 C.60 D.80,答案 D 由BC与O相切于点B,可得ABC=90,由三角形内角和为180 及ACB=50可得BAC=40, 由OA=OD得ODA=BAC=40,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得BOD=O- DA+OAD=80.,2.(2017吉林,6,2分)如图,直线l是O的切线,A为切点,B为直线l上一点,连接OB交O于点C.若A
43、B=12,OA=5, 则BC的长为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8,答案 D 因为AB是圆O的切线,所以OAAB,由勾股定理可得,OB=13,又因为OC=5,所以BC=OB-OC=13-5 =8,故选D.,3.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则DOE= .,答案 60,解析 AB,AC分别与圆O相切于点D,E,ODAB,OEAC,在菱形ABOC中,AB=BO,点D是AB的中点, BD= AB= BO,BOD=30,B=60,又OBAC,A=120,在四边形ADOE中,DOE=360- 90-90-120=60.,解
44、题关键 由题意得出OD垂直平分AB及AB=BO是解答本题的关键.,4.(2019陕西,23,8分)如图,AC是O的直径,AB是O的一条弦,AP是O的切线.作BM=AB,并与AP交于点M, 延长MB交AC于点E,交O于点D,连接AD. (1)求证:AB=BE; (2)若O的半径R=5,AB=6,求AD的长.,解析 (1)证明:AP是O的切线, EAM=90, BAE+MAB=90,AEB+AMB=90. (1分) 又AB=BM, MAB=AMB, BAE=AEB, AB=BE. (3分) (2)连接BC. AC是O的直径,ABC=90. 在RtABC中,AC=10,AB=6, BC=8. (5分) 由(1)知,BAE=AEB, ABCEAM. C=AME, = , 即 = . AM= .
