1、A组 20152019年广西中考题组 考点一 锐角三角函数,1.(2018柳州,7,3分)如图,在RtABC中,C=90,BC=4,AC=3,则sin B= = ( ) A. B. C. D.,答案 A 在RtABC中,AB= = =5, sin B= = .故选A.,2.(2016玉林,2,3分)sin 30= ( ) A. B. C. D.,答案 B sin 30= .,考点二 解直角三角形,1.(2016钦州,10,3分)如图,为固定电线杆AC,在离地面高度为6 m的A处引拉线AB,使拉线AB与地面上的BC 的夹角为48,则拉线AB的长度约为(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 48
2、0.74,cos 480.67,tan 481.11) ( ) A.6.7 m B.7.2 m C.8.1 m D.9.0 m,答案 C ACB=90,AC=6 m,ABC=48, AB= 8.1 m.故选C.,2.(2016南宁,6,3分)如图,厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC=10米,B=36,则中柱AD(D为底边中 点)的长是( ) A.5sin 36米 B.5cos 36米 C.5tan 36米 D.10tan 36米,答案 C tan B= ,AD=BDtan B=5tan 36米.故选C.,3.(2019柳州,17,3分)如图,在ABC中,sin B= ,tan C= ,
3、AB=3,则AC的长为 .,答案,解析 过A作ADBC于D. 在RtABD中, =sin B, AD=ABsin B=3 =1. 在RtADC中,tan C= = , DC= AD= , AC= = = .,4.(2016梧州,23,8分)如图,四边形ABCD是一片水田,某村民小组需计算其面积.测得如下数据: A=90,ABD=60,CBD=54,AB=200 m,BC=300 m. 请你计算出这片水田的面积. (参考数据:sin 540.809,cos 540.588,tan 541.376, 1.732),解析 在RtABD中,AB=200 m,ABD=60, BD=2200=400(m)
4、, AD=200 (m). SABD= ABAD = 200200 2002001.732=34 640(m2). 过点C作CEBD,垂足为点E. 在RtBEC中,CE=BCsinCBD =300sin 543000.809=242.7(m). SBCD= BDCE= 400242.7=48 540(m2).,S四边形ABCD=SABD+SBCD=34 640+48 540=83 180(m2). 答:所求的水田的面积是83 180 m2.,考点三 解直角三角形的应用,1.(2019北部湾经济区,11,3分)小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图,已知她的目高AB为1.5米, 她先站在
5、A处看路灯顶端O的仰角为35,再往前走3米站在C处,看路灯顶端O的仰角为65,则路灯顶端O到地 面的距离约为(已知sin 350.6,cos 350.8,tan 350.7,sin 650.9,cos 650.4,tan 652.1) ( ) A.3.2米 B.3.9米 C.4.7米 D.5.4米,2.(2017百色,10,3分)如图,在距离铁轨200米的B处,观察由南宁开往百色的“和谐号”动车,当动车车头在A 处时,恰好位于B处的北偏东60方向上;10秒钟后,动车车头到达C处,恰好位于B处的西北方向上,则这时段 动车的平均速度是 ( ) A.20( +1)米/秒 B.20( -1)米/秒 C
6、.200米/秒 D.300米/秒,答案 A 作BDAC于点D. 在RtABD中,ABD=60, AD=BDtanABD=200 (米). 在RtBCD中,CBD=45,CD=BD=200(米). 故AC=200+200 (米). 则平均速度是 =20( +1)米/秒. 故选A.,3.(2017南宁,11,3分)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东45方向,距离灯塔 60 n mile的A处,它沿正北方向航 行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东30方向上的B处,这时,B处与灯塔P的距离为 ( ) A.60 n mile B.60 n mile C.30 n mile D.30 n mile,答案 B
7、 过点P作PCAB交AB于点C.依题意得APC=90-45=45,BPC=90-30=60,AP=60 n mile, PC=30 n mile,PB=2PC=60 n mile.,4.(2018南宁,16,3分)如图,从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30,从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处 的俯角是45.已知甲楼的高AB是120 m,则乙楼的高CD是 m(结果保留根号).,答案 40,解析 由题意知BDA=45,AB=AD=120 m. 又CAD=30,在RtADC中,tanCAD=tan 30= = ,CD=40 m.,方法总结 三角函数的应用关键是要构造直角三角形,找到已知线段、角度与
8、要求线段之间的关系,借助 三角函数构造线段长的数量、比例关系进而求出所要求的线段长.,5.(2019贺州,22,8分)如图,在A处的正东方向有一港口B,某巡逻艇从A处沿着北偏东60方向巡逻,到达C处时 接到命令,立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B.求A,B间的距离.( 1.73, 1.41,结果保留一位小数),解析 过C作CDAB于点D. (1分) 在RtBDC中, DBC=DCB=45,CB=320=60, DB=DC=60sin 45=30 . (2分) 在RtADC中, DAC=30,tan 30= . AD= DC= 30 73.18. (5分) DB=DC
9、=30 42.30, AB=AD+DB=115.48115.5. (7分),A,B间的距离约为115.5海里. (8分),思路分析 过点C作CDAB,垂足为点D,则ACD=60,BCD=45,通过解直角三角形可求出BD,AD的长, 将两者相加即可求出AB的长.,6.(2019河池,22,8分)如图,在河对岸有一棵大树A,在河岸B点测得A在北偏东60方向上,向东前进120 m到达 C点,测得A在北偏东30方向上,求河的宽度(精确到0.1 m). 参考数据: 1.414, 1.732.,思路分析 过点A作AD直线BC于D,在RtABD和RtACD中,通过解直角三角形可求出BD,CD的长,结 合BC
10、=BD-CD=120即可求出AD的长.,7.(2018桂林,23,8分)如图所示,在某海域,一艘指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号,经确定,遇险抛 锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45方向上,且BC=60海里;指挥船搜索发现,在C处的南偏西60方向上 有一艘海监船A,恰好位于B处的正西方向.于是命令海监船A前往救援,已知海监船A的航行速度为30海里/ 小时,问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援?(参考数据: 1.41, 1.73, 2.45, 结果精确到0.1小时),解析 过点C作CDAB,交AB的延长线于点D. 在RtBCD中,BC=60海里,BCD=45, BD=CD
11、=BCsinBCD=30 海里. 在RtACD中,ACD=60, AD=CDtan 60=30 海里, AB=AD-BD=(30 -30 )海里, (30 -30 )30= - 1.0(小时). 答:渔船在B处需要等待1.0小时才能得到海监船A的救援.,8.(2018贺州,22,8分)如图,一艘游轮在A处测得北偏东45的方向上有一灯塔B,游轮以20 海里/时的速度 向正东方向航行2小时到达C处,此时测得灯塔B在C处北偏东15的方向上,求A处与灯塔B相距多少海里.(结 果精确到1海里,参考数据: 1.41, 1.73),解析 过C作CMAB,垂足为M. 在RtACM中,MAC=90-45=45,
12、则MCA=45, AM=MC. 由勾股定理得AM2+MC2=AC2=(20 2)2, 解得AM=CM=40海里. ECB=15,BCF=90-15=75, B=BCF-MAC=75-45=30. 在RtBCM中,tan B=tan 30= ,即 = , BM=40 海里, AB=AM+BM=40+40 40+401.73109(海里), A处与灯塔B相距109海里.,9.(2018梧州,23,8分)随着人们生活水平的不断提高,旅游已成为人们的一种生活时尚.为开发新的旅游项目, 我市对某山区进行调查,发现一瀑布,为测量它的高度,测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶端A点 的仰角是30,测得瀑
13、布底端B点的俯角是10,AB与水平面垂直.又在瀑布下的水平面测得CG=27 m,GF=17.6 m(注:C、G、F三点在同一直线上,CFAB于点F).斜坡CD=20 m,坡角ECD=40,求瀑布AB的高度. (参考数据: 1.73,sin 400.64,cos 400.77,tan 400.84,sin 100.17,cos 100.98,tan 100.18),解析 如图,过点D作DHAB于点H,过点D作DJEF于点J. 在RtCDJ中,CD=20 m, cosECD= ,即 0.77, JC15.4 m, JF=JC+CG+GF=15.4+27+17.6=60 m. DH=JF=60 m.
14、 在RtADH中,tanADH= ,即 = ,AH=20 m.,同理,tanBDH= ,即 0.18,BH10.8 m, AB=AH+BH201.73+10.8=45.4 m.,10.(2017桂林,23,8分)“C919”大型客机首飞成功,激发了同学们对航空科技的兴趣.如图是某校航模兴趣 小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸,图中ABCD,AMBNED,AEDE,请根据图中数据, 求出线段BE和CD的长.(sin 370.60,cos 370.80,tan 370.75,结果保留1位小数),解析 BNED,NBD=BDE=37. AEDE,E=90, BE=DEtanBDE18.8 c
15、m. 过点C作CFAE,垂足为F, 可知AFC为等腰直角三角形,四边形CFED是矩形,AF=25 cm. 又AE=AB+BE=35.8 cm,CD=EF=AE-AF=10.8 cm. 答:线段BE的长约为18.8 cm,线段CD的长约为10.8 cm.,思路分析 利用平行,得到BDE=37,即可得BE=DEtanBDE18.8 cm,过C作CFAE于F,构造出等腰 直角三角形和矩形,从而得到AF=CF=ED=25 cm,故CD=EF=AE-AF=10.8 cm.,B组 20152019年全国中考题组,考点一 锐角三角函数,1.(2019天津,2,3分)2sin 60的值等于 ( ) A.1 B
16、. C. D.2,答案 C 根据特殊角的三角函数值,可得sin 60= ,则2sin 60=2 = ,故选C.,2.(2018天津,2,3分)cos 30的值等于 ( ) A. B. C.1 D.,答案 B 根据特殊角的三角函数值可知,cos 30= ,故选B.,3.(2018云南,12,4分)在RtABC中,C=90,AC=1,BC=3,则A的正切值为 ( ) A.3 B. C. D.,答案 A AC=1,BC=3,C=90,tan A= =3.,考点二 解直角三角形,1.(2017甘肃兰州,3,4分)如图,一个斜坡长130 m,坡顶离水平地面的距离为50 m,那么这个斜坡与水平地面夹 角的
17、正切值等于 ( ) A. B. C. D.,答案 C 在直角三角形中,根据勾股定理可知水平的直角边长为120 m,故这个斜坡与水平地面夹角的正 切值等于 = ,故选C.,思路分析 先利用勾股定理求得第三边的长,再利用正切的定义求正切值.,2.(2016辽宁沈阳,9,2分)如图,在RtABC中,C=90,B=30,AB=8,则BC的长是( ) A. B.4 C.8 D.4,答案 D C=90,B=30,AB=8,cos B= ,BC=ABcos 30=8 =4 .故选D.,3.(2018湖北武汉,23,10分)在ABC中,ABC=90. (1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足
18、分别为M、N,求证:ABMBCN; (2)如图2,P是边BC上一点,BAP=C,tanPAC= ,求tan C的值; (3)如图3,D是边CA延长线上一点,AE=AB,DEB=90,sinBAC= , = ,直接写出tanCEB的值.,解析 (1)证明:M=N=ABC=90, MAB+MBA=NBC+MBA=90, MAB=NBC, ABMBCN. (2)过点P作PMAP交AC于点M,过点M作MNPC交BC于点N, 则PMNAPB. = =tanPAC= ,设PN=2t,则AB= t. BAP+APB=MPC+APB=90,BAP=C, MPC=C,CN=PN=2t. 易得ABPCBA, AB
19、2=BPBC,( t)2=BP(BP+4t), BP=t,BC=5t,tan C= . (3)在RtABC中,sinBAC= = ,tanBAC= = . 过点A作AGBE于点G,过点C作CHBE交EB的延长线于点H. DEB=90,CHAGDE, = = , 同(1)的方法得,ABGBCH, = = = , 设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,GH=BG+BH=4m+3n. AB=AE,AGBE, EG=BG=4m, = = ,n=2m,EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m, 在RtCEH中,tanCEB= = .,思路分析 (1)利用同角的余角相
20、等判断出MAB=NBC,即可得出结论; (2)作PMAP,MNPC,先判断出PMNAPB,得出 = = ,设PN=2t,则AB= t,再判断出ABP CBA,根据相似三角形的性质可求得BP=t,则BC=5t,即可得出结论; (3)作AGBE,CHBE,先判断出 = = ,同(1)的方法得,ABGBCH,所以 = = = ,设BG =4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,进一步得出关于m,n的等式,解得n=2m,最后得出结论.,方法指导 几何中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法,本题涉及的相似三角形,要寻找的比例关 系或添加的辅助线均类似.同时要注意挖掘题干中不变的几何特征,根据特征寻方
21、法.,考点三 解直角三角形的应用,1.(2019河北,3,3分)如图,从点C观测点D的仰角是 ( ) A.DAB B.DCE C.DCA D.ADC,答案 B 点C观测点D的仰角是视线与过点C的水平线的夹角,故选B.,2.(2019吉林长春,6,3分)如图,一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上,梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹 角为,则梯子顶端到地面的距离BC为 ( ) A.3sin 米 B.3cos 米 C. 米 D. 米,答案 A 因为sin = ,所以BC=ABsin =3sin (米).,3.(2019辽宁大连,15,3分)如图,建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距10 m的D处观测
22、旗杆顶部A的仰角为53, 观测旗杆底部B的仰角为45,则旗杆AB的高度约为 m.(结果取整数.参考数据:sin 530.80, cos 530.60,tan 531.33),答案 3,解析 BDC=45,BCD=90, DBC=180-BCD-BDC =180-90-45 =45, BDC=DBC, BC=DC=10 m. 在RtADC中, tanADC= , tan 53= , AC=10tan 53101.33=13.3 m. AB=AC-BC=13.3-10=3.33 m. 故答案为3.,思路分析 因为BDC=45,BCD=90,所以可得BC=DC=10 m,解直角三角形可求出AC13.
23、3 m,进一步 可求出AB的长度.,4.(2019新疆,20,10分)如图,一艘海轮位于灯塔P的东北方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段 时间后,到达位于灯塔P的南偏东30方向上的B处. (1)求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离(结果保留根号); (2)若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处,试判断海轮能否在5小时内到达B处,并说明理由. (参考数据: 1.41, 1.73, 2.45),解析 (1)过点P作PCAB,垂足为点C, (1分) 由题意得,APC=45,AP=80. (2分) 在RtAPC中,PC=APcos 45=80 =40 . (4分) 海轮从A处
24、到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为40 海里. (5分) (2)不能.理由如下:由题意得,CPB=60. 在 RtPCB中,BC=PC tan 60=40 =40 , (6分) 在RtAPC中,AC=APsin 45=80 =40 . (7分) AB=AC+BC=40 +40 154.4, (8分) 5.155, 海轮不能在5小时内到达B处. (10分),思路分析 (1)过点P作PCAB于C,构造RtAPC,由PA=80,APC=45,求出PC= PA=40 ;(2)解Rt APC,RtPCB,求出AC,BC的长,得出AB=AC+BC=40 +40 ,除以海轮的速度,即可求得海轮从A处到B处
25、 所用的时间,得出结论.,5.(2019内蒙古呼和浩特,20,7分)如图(1),已知甲地在乙地的正东方向,因有大山阻隔,由甲地到乙地需要绕行 丙地.已知丙地位于甲地北偏西30方向,距离甲地460 km,丙地位于乙地北偏东66方向,现要打通穿山隧道, 建成甲乙两地直达高速公路.如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C,可抽象成图(2)所示的三角形,求 甲乙两地之间直达高速线路的长AB(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可).,解析 过C作CDAB,垂足为D, 在RtACD中,ACD=30, AD=ACsin 30=460 =230 km, CD=ACcos 30=460 =230 km, 在
26、RtBCD中,tanBCD= ,而BCD=66, BD=CDtan 66=230 tan 66 km, AB=AD+DB=230(1+ tan 66)km. 答:甲乙两地之间直达高速线路的长为230(1+ tan 66)km.,方法总结 解直角三角形的应用,要根据题意抽象出数学图形,构造适当的直角三角形,解直角三角形,得出 实际问题的答案.,6.(2019天津,22,10分)如图,海面上一艘船由西向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角 为31,再向东继续航行30 m到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45.根据测得的数据,计算这座灯塔的 高度CD(结果取整数). 参考数据:s
27、in 310.52,cos 310.86,tan 310.60.,解析 根据题意,CAD=31,CBD=45,CDA=90,AB=30, 在RtACD中,tanCAD= , AD= , 在RtBCD中,tanCBD= , BD= =CD, 又AD=AB+BD, =30+CD, CD= =45. 答:这座灯塔的高度CD约为45 m.,思路分析 在RtACD中利用CAD的三角函数表示出AD;在RtBCD中利用CBD的三角函数表示出 BD,进而根据AD=BD+30,求得CD的高度.,解题关键 解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确画出图形.,7.(2019陕西,20,
28、7分)小明想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午,他和学习小组 的同学们带着测量工具来到这棵古树前,由于有围栏保护,他们无法到达古树的底部B,如图所示.于是,他们 先在古树周围的空地上选择了一点D,并在点D处安装了测倾器DC,测得古树的顶端A的仰角为45;再在BD 的延长线上确定一点G,使DG=5 m,并在点G处的地面上水平放置了一个小平面镜,小明沿BG方向移动,当移 动到点F时,他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像,此时,测得FG=2 m,小明眼睛与地面的距离EF =1.6 m,测倾器的高CD=0.5 m.已知点F、G、D、B在同一水平直线上,且EF、CD、AB均垂
29、直于FB,求这棵 古树的高AB.(小平面镜的大小忽略不计),解析 过点C作CHAB于点H,则CH=BD,BH=CD=0.5. (1分) 在RtACH中,ACH=45,AH=CH=BD. AB=AH+BH=BD+0.5. (2分) EFFB,ABFB,EFG=ABG=90. 由题意,易知EGF=AGB, EFGABG. (4分) = ,即 = . (5分) 解之,得BD=17.5. (6分) AB=17.5+0.5=18.这棵古树的高AB为18 m. (7分),思路分析 首先在RtACH中利用45角求出AH=BD,并用含BD的式子表示AB,然后证明EFGABG, 利用相似三角形的性质得出含BD的
30、比例式,进而求出BD的长,最后求出古树AB的高度.,解题关键 解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确画出图形找准 三角形.,8.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干 支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低 杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答. 如图所示,底座上A,B两点间的距离为90 cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155 cm,高杠上点D到直 线AB的距离DF的长为234 cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角CAE为
31、82.4,高杠的支架BD与直线AB 的夹角DBF为80.3.求高、低杠间的水平距离CH的长. (结果精确到1 cm.参考数据:sin 82.40.991,cos 82.40.132,tan 82.47.500,sin 80.30.983,cos 80.3 0.168,tan 80.35.850),解析 在RtCAE中,AE= = 20.7 cm.(3分) 在RtDBF中,BF= = =40 cm. (6分) EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7151 cm. 四边形CEFH为矩形,CH=EF=151 cm. 即高、低杠间的水平距离CH的长约是151 cm. (9分),思路分
32、析 根据RtCAE和RtDBF中的边和角的数值,用正切函数分别求得AE,BF的长度,得EF=AE+AB+ BF,由矩形的性质可知CH=EF,可以求出问题的答案.,方法总结 解直角三角形的应用问题,一般根据题意抽象出几何图形,结合所给的线段或角,借助边角关 系、三角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件构造直角三角形,再解直角三角形, 求出实际问题的答案.,9.(2018新疆乌鲁木齐,21,10分)如图,小强想测量楼CD的高度,楼在围墙内,小强只能在围墙外测量.他无法测 得观测点到楼底的距离,于是小强在A处仰望楼顶,测得仰角为37,再往楼的方向前进30米至B处,测得楼顶 的仰角
33、为53(A,B,C三点在一条直线上),求楼CD的高度(结果精确到0.1米,小强的身高忽略不计).,解析 设楼CD的高度为x米,依题意,有DAC=37,DBC=53. 在RtACD中,DCA=90,tanDAC= , AC= = . 同理,BC= = , (6分) 又AC-BC=AB,即 - =30, 解得x52.3. 答:楼CD的高度约为52.3米. (10分),思路分析 设楼CD的高度为x米,分别在直角三角形ACD和直角三角形BCD中根据锐角三角函数求出 AC、BC,然后根据AC-BC=AB列出方程,求解即可.,10.(2018湖北黄冈,21,7分)如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角D
34、CE=30,楼高AB=60米,在斜坡下的点 C处测得楼顶B的仰角为60,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45,其中点A,C,E在同一直线上. (1)求坡底C点到大楼距离AC的值; (2)求斜坡CD的长度.,11.(2018四川成都,18,8分)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次 海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达A处时,测得小岛C位于它的北偏东70方向,且与航母相距80海 里,再航行一段时间后到达B处,测得小岛C位于它的北偏东37方向.如果航母继续航行至小岛C的正南方向 的D处,求还需航行的距离BD的长. (参考数据:sin 700.94,cos
35、700.34,tan 702.75,sin 370.60,cos 370.80,tan 370.75),解析 由题可知ACD=70,BCD=37,AC=80海里. 在RtACD中,cosACD= ,0.34 ,CD27.2海里. 在RtBCD中,tanBCD= ,0.75 ,BD20.4海里. 答:还需要航行的距离BD的长为20.4海里.,12.(2017吉林,21,7分)如图,一枚运载火箭从距雷达站C处5 km的地面O处发射,当火箭到达点A,B时,在雷达 站C处测得点A,B的仰角分别为34,45,其中点O,A,B在同一条直线上.求A,B两点间的距离(结果精确到0.1 km). (参考数据:s
36、in 34=0.56,cos 34=0.83,tan 34=0.67),解析 由题意,得AOC=90,OC=5 km. 在RtAOC中,tan 34= , OA=OCtan 34=50.67=3.35(km). (3分) 在RtBOC中,BCO=45, OB=OC=5 km. (5分) AB=5-3.35=1.651.7(km). 答:A,B两点间的距离约为1.7 km. (7分),C组 教师专用题组,考点一 锐角三角函数,1.(2016福建福州,9,3分)如图,以O为圆心,1为半径的弧交坐标轴于A,B两点,P是 上一点(不与A,B重合),连 接OP,设POB=,则点P的坐标是 ( ) A.(
37、sin ,sin ) B.(cos ,cos ) C.(cos ,sin ) D.(sin ,cos ),答案 C 过P作PQOB,交OB于点Q, 在RtOPQ中,OP=1,POQ=, sin = ,cos = ,即PQ=sin ,OQ=cos , 点P的坐标为(cos ,sin ).故选C.,评析 熟练掌握锐角三角函数的定义是解本题的关键.,2.(2016广东,8,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),那么cos 的值是 ( ) A. B. C. D.,答案 D 过点A作AB垂直x轴于B,则AB=3,OB=4. 由勾股定理得OA=5. cos = = .故选D.,3.(20
38、16福建福州,18,4分)如图,6个形状、大小完全相同的菱形组成网格,菱形的顶点称为格点.已知菱形的 一个角(O)为60,A,B,C都在格点上,则tanABC的值是 .,答案,解析 如图,连接EA,EC,易知E、C、B三点共线.设小菱形的边长为a,由题意得AEF=30,BEF=60,AE= a,EB=2a, AEB=90,tanABC= = = .,考点二 解直角三角形 (2018云南,6,3分)在ABC中,AB= ,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为 .,答案 1或9,解析 分两种情况讨论: BC边上的高在ABC内时,如图,过A作ADBC于点D. 在RtABD中,AB= ,AD=
39、3,BD= =5. 在RtACD中,AC=5,AD=3,CD= =4.BC=BD+CD=9. BC边上的高位于ABC外时,如图,同可求得BD=5,CD=4,BC=1. 综上,BC的长为1或9.,考点三 解直角三角形的应用,1.(2016重庆,11,4分)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动.如图,在点A处测得直立于 地面的大树顶端C的仰角为36,然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处,然后再沿水平方向行走6 米至大树底端D处,斜面AB的坡度(或坡比)i=12.4,那么大树CD的高度约为(参考数据:sin 360.59,cos 36 0.81,tan 360.73) (
40、) A.8.1米 B.17.2米 C.19.7米 D.25.5米,答案 A 作BFAE于F,如图所示, 易知四边形BDEF为矩形,则FE=BD=6米,DE=BF. 斜面AB的坡度i=12.4,AF=2.4BF, 设BF=x米,则AF=2.4x米, 在RtABF中,x2+(2.4x)2=132,解得x=5, DE=BF=5米,AF=12米, AE=AF+FE=18米, 在RtACE中,CE=AEtan 36180.73=13.14米, CD=CE-DE=13.14-58.1米,故选A.,2.(2017山西,14,3分)如图,创新小组要测量公园内一棵树的高度AB,其中一名小组成员站在距离树10米的
41、点 E处,测得树顶A的仰角为54.已知测角仪的架高CE=1.5米,则这棵树的高度为 米(结果保留一位小 数.参考数据:sin 54=0.809 0,cos 54=0.587 8,tan 54=1.376 4).,答案 15.3,解析 由题意知BD=CE=1.5米,CD=BE=10米,在RtADC中,由锐角三角函数可得AD=CDtanACD=10tan 54=101.376 4=13.764米,所以AB=AD+BD=13.764+1.5=15.26415.3米.,3.(2019四川成都,18,8分)2019年,成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事,这大幅提升了成都市 的国际影响力.如图,
42、在一场马拉松比赛中,某人在大楼A处,测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35,底部D的 俯角为45,如果A处离地面的高度AB=20米,求起点拱门CD的高度.(结果精确到1米;参考数据:sin 350.57, cos 350.82,tan 350.70),解析 如图,作CEAB于点E,AEC=CEB=90, 由题意得CDB=EBD=90,1=35,2=45. 四边形CDBE为矩形.CD=BE,CE=DB. 在RtABD中,BD=AB=20米,CE=20米. 在RtACE中,AE=CEtan1. BE=AB-AE=20-20tan 356米.CD6米. 答:起点拱门CD的高度约为6米.,解题关键 本题
43、为解直角三角形的实际问题,过点C作CEAB构造出直角三角形和矩形是解题关键.,4.(2017湖北黄冈,22,8分)在黄冈长江大桥的东端一处空地上,有一块矩形的标语牌ABCD(如图所示).已知标 语牌的高AB=5 m.在地面的点E处,测得标语牌点A的仰角为30,在地面的点F处,测得标语牌点A的仰角为75 ,且点E,F,B,C在同一直线上.求点E与点F之间的距离. (计算结果精确到0.1米,参考数据: 1.41, 1.73),5.(2016山东青岛,18,6分)如图,AB是长为10 m,倾斜角为37的自动扶梯,平台BD与大楼CE垂直,且与扶梯AB 的长度相等,在B处测得大楼顶部C的仰角为65,求大
44、楼CE的高度(结果保留整数). 参考数据:sin 37 ,tan 37 ,sin 65 ,tan 65,解析 过B作BFAE于F, 在RtABF中,sin 37= , ,BF6 m. BFE=BDE=DEF=90,四边形BFED是矩形. BF=DE=6 m. 在RtBCD中,tan 65= , ,CD m. CE=CD+DE= +627 m. 答:楼高CE约为27 m.,6.(2016吉林,21,7分)如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1 200 m,从飞机上看地平面指 挥台B的俯角=43.求飞机所在A处与指挥台B的距离(结果取整数). (参考数据:sin 43=0.68,
45、cos 43=0.73,tan 43=0.93),解析 根据题意,得ACB=90,ABC=43,AC=1 200 m.(2分) 在RtABC中,sinABC= , (4分) AB= = = 1 765(m). 答:飞机所在A处与指挥台B的距离约为1 765 m. (7分),7.(2016河南,19,9分)如图,小东在教学楼距地面9米高的窗口C处,测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37,旗 杆底部B点的俯角为45.升旗时,国旗上端悬挂在距地面2.25米处.若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播放4 5秒结束时到达旗杆顶端,则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升? (参考数据:sin 370.60,cos 3
46、70.80,tan 370.75),解析 过点C作CDAB,垂足为D,则DB=9米. (1分) 在RtCBD中,BCD=45, CD= =9米. (3分) 在RtACD中,ACD=37, AD=CDtan 3790.75=6.75米. (6分) AB=AD+DB=6.75+9=15.75米. (7分) (15.75-2.25)45=0.3(米/秒). 国旗应以约0.3米/秒的速度匀速上升. (9分),8.(2016安徽,19,10分)如图,河的两岸l1与l2相互平行,A、B是l1上的两点,C、D是l2上的两点.某人在点A处测得 CAB=90,DAB=30,再沿AB方向前进20米到达点E(点E在线段AB上),测得DEB=60,求C、D两点间 的距离.,解析 如图,过D作l1的垂线,垂足为F. DEB=60,DAB=30, ADE=DEB-DAB=30,ADE为等腰三角形, DE=AE=20米. (3分) 在RtDEF中,EF=DEcos 60=20 =10(米).
