1、A组 河北中考题组,1.(2018河北,15,2分)如图,点I为ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将ACB平移使其顶点与I重合,则图中阴 影部分的周长为 ( ) A.4.5 B.4 C.3 D.2,答案 B 如图,连接AI,BI,点I为ABC的内心,AI平分BAC,BI平分ABC,ACIE,CAI= AIE,EAI=AIE,AE=EI.同理,BF=FI,阴影部分的周长=EI+FI+EF=AE+BF+EF=AB, AB=4,阴影部分的周长为4,故选B.,2.(2014河北,19,3分)如图,将长为8 cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2 cm的扇形,则S扇形= cm2.,答案 4,解析
2、由题意可知扇形的周长为8 cm.因为半径r=2 cm,所以弧长l=8-22=4(cm),所以S扇形= lr= 42=4 (cm2).,3.(2019河北,25,10分)如图1和图2,ABCD中,AB=3,BC=15,tanDAB= .点P为AB延长线上一点,过点A作 O切CP于点P,设BP=x. (1)如图1,x为何值时,圆心O落在AP上?若此时O交AD于点E,直接指出PE与BC的位置关系; (2)当x=4时,如图2,O与AC交于点Q,求CAP的度数,并通过计算比较弦AP与劣弧 长度的大小; (3)当O与线段AD只有一个公共点时,直接写出x的取值范围. 图1,图2,解析 (1)O切CP于点P,
3、OPPC,即CPB=90. 由四边形ABCD是平行四边形得ADBC,tanCBP=tanDAB= , 设PC=4k,BP=3k,则BC= =5k, 5k=15,即k=3.PC=12,BP=9.x=9. (2分) PE与BC垂直. (3分) (2)如图,连接OP,OQ,作CKAB于点K,OHAP于点H, 同(1)得CK=12,BK=9. AK=AB+BK=12,CK=AK.CAP=ACK=45. (4分),BP=4,AP=7,HP= AP= . 又PK=BK-BP=5,PC=13. HOP=90-OPH=CPK,RtHOPRtKPC. = ,即 = ,OP= . (6分) POQ=2PAQ=90
4、,l = . (8分) l . (9分) (3)x18. (10分) 详解:由(1)和(2)可知,满足(3)的点O在AP下方.如图,当O与AD切于点A时,两者只有一个公共点A,则OAD=OPC=90.由OA=OP得OAP=OPA, DAP=CBP=CPA, BC=PC.作CKAP于K,则BK=PK. 由(1)知,BP=2BK=18,即x=18. 当x18时,趋势上点O越来越向右下,与线段AD只有一个公共点A,符合题意.x的取值范围是x18.,思路分析 (1)根据切线的性质有OPPC,由ADBC可得tanCBP=tanDAB= ,设PC=4k,BP=3k,根据勾 股定理可得BC=5k=15,解得
5、k=3,即可求出x的值,根据圆的直径所对的圆周角AEP为直角及ADBC可得 PE与BC垂直;(2)同(1)的方法可得CK=12,BK=9,进而得出CK=AK,CAP=45,POQ=90,根据切线的性质 有OPPC,易得RtHOPRtKPC,可得 = ,进而求得OP的长,利用弧长公式求出劣弧 的长度, 与弦AP的长度比较即可;(3)由上面两问可知满足此问的点O在AP的下方,显然当O与AD相切于点A时,两 者只有一个公共点A,此时DAP=CBP=CPA,BP=2BK=18,从而推出x的取值范围为x18.,难点突破 本题是以圆心O在AP的上下方不断变化为背景的探究题,此类问题在图形发生变化时,要善于
6、 从动态位置中寻找与x相关的等量关系.利用切线的性质求出x的值是解决问题的关键.,4.(2018河北,25,10分)如图,点A在数轴上对应的数为26,以原点O为圆心,OA为半径作优弧 ,使点B在O右 下方,且tanAOB= .在优弧 上任取一点P,且能过P作直线lOB交数轴于点Q,设Q在数轴上对应的数为 x,连接OP. (1)若优弧 上一段 的长为13,求AOP的度数及x的值; (2)求x的最小值,并指出此时直线l与 所在圆的位置关系; (3)若线段PQ的长为12.5,直接写出这时x的值. 备用图,解析 (1)设AOP=n,则 =13,得n=90,即AOP=90.lOB,tanPQO=tanA
7、OB= = = , x=19.5. (2)要使x变小,则l向左平移.如图,当l平移到与 所在圆相切位置l1时,O与l的距离达到最大值OP1=26,此时Q 1所对应的(负)数最小. 在RtP1Q1O中,tanP1Q1O=tanAOB= , 设P1Q1=3k,则OP1=4k=26,于是OQ1=5k,x最小=-5 =-32.5.此时直线l与 所在圆相切. (3)31.5,-16.5. 注:下面是(3)的一种解法: 过点P作PH直线OA于H. 在RtPHQ中,由tanHQP= ,设PH=4k,HQ=3k, 则PQ=5k=12.5,k=2.5,PH=10,HQ=7.5. 在RtPOH中,OH= =24.
8、 当点P在O右上方时,如图, x=OQ=OH+HQ=31.5.,当点P在O左上方时,如图, -x=OQ=OH-HQ=16.5,x=-16.5.,当点P在O左下方时,如图, -x=OQ=OH+HQ=31.5,x=-31.5. 另外,tanPOH= =tanAOB, POHAOB, 优弧 上不存在点P在O右下方的情况.,思路分析 (1)首先利用弧长公式求出圆心角AOP,进而利用OQP=AOB,tanAOB= 求得x的值.(2) 要使x变小,则直线l向左平移.当直线l与 所在圆相切时,x的值最小.利用P1Q1O=AOB,tanAOB= 求 得x的最小值.(3)作PH直线OA于H,先求出OH和HQ的值
9、,再分三种情形:点P在O的右上方、左上方、左下 方求出x的值.,难点分析 本题是以平移为背景的探究题,此类问题在图形发生变化时,要善于从动态位置中寻找不变的 关系.点P的位置的确定是解决问题的关键.,易错警示 此题为动态的综合题,需将点P的位置分类讨论,学生往往只画出点P在O的右上方或左下方而 致错.,5.(2017河北,23,9分)如图,AB=16,O是AB中点,点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点O逆时针旋转270 后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧CD于点P,Q,且点P,Q在AB异侧,连接OP. (1)求证:AP=BQ; (2)当BQ=4 时,求优弧QD的长(结果保留);
10、 (3)若APO的外心在扇形COD的内部,求OC的取值范围.,解析 (1)证明:连接OQ. (1分) AP,BQ分别与优弧CD相切,OPAP,OQBQ,即APO=Q=90. 又OA=OB,OP=OQ,RtAPORtBQO. (3分) AP=BQ. (4分) (2)BQ=4 ,OB= AB=8,Q=90, sinBOQ= .BOQ=60. (5分) OQ=8cos 60=4,优弧QD的长为 = . (7分) (3)设点M为RtAPO的外心,则M为OA的中点,OM=4. 当点M在扇形COD的内部时,OMOC,4OC8. (9分),思路分析 (1)连接OQ.根据切线的性质得出APO=Q=90,由HL
11、得出RtAPORtBQO,即可得AP= BQ;(2)由BQ=4 ,OB=8,确定出BOQ的度数及OQ的长,进而根据弧长公式求出优弧QD的长;(3)APO的 外心是OA的中点,OA=8,从而可由APO的外心在扇形COD的内部求出OC的取值范围.,解题技巧 遇到含有切线的解答题,首先要想到的是作辅助线,由此获得更多能够证明题目要求的条件.一 般作辅助线的方法为“见切点,连圆心”,从而构造直角三角形(垂直)进行证明或计算.,6.(2016河北,25,10分)如图,半圆O的直径AB=4,以长为2的弦PQ为直径,向点O方向作半圆M,其中P点在 上且不与A点重合,但Q点可与B点重合. 发现 的长与 的长之
12、和为定值l,求l; 思考 点M与AB的最大距离为 ,此时点P,A间的距离为 ;点M与AB的最小距离为 ,此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为 ; 探究 当半圆M与AB相切时,求 的长.,解析 发现 连接OP,OQ,则OP=OQ=PQ=2. POQ=60. 的长= = . l= 4- = . (2分) 思考 ;2; ; - . (6分) 探究 半圆M与AB相切,分两种情况: 如图1,半圆M与AO切于点T时,连接PO,MO,TM, 则MTAO,OMPQ.,图1,在RtPOM中,sinPOM= , POM=30. (7分) 在RtTOM中,TO= = , cosAOM= ,即AOM=35. (
13、8分) POA=35-30=5, 的长= = . (9分) 如图2,半圆M与BO切于点S时,连接QO,MO,SM.,图2,由对称性,同理得 的长= . 由l= ,得 的长= - = . 综上, 的长为 或 . (10分),7.(2015河北,26,14分)平面上,矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放,分别延长DA和QP交于点O,且 DOQ=60,OQ=OD=3,OP=2,OA=AB=1.让线段OD及矩形ABCD位置固定,将线段OQ连带着半圆K一起绕着 点O按逆时针方向开始旋转,设旋转角为(060). 图1 发现 (1)当=0,即初始位置时,点P 直线AB上.(填“在”或“不在”) 求当是
14、多少时,OQ经过点B; (2)在OQ旋转过程中,简要说明是多少时,点P,A间的距离最小,并指出这个最小值;,7.(2015河北,26,14分)平面上,矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放,分别延长DA和QP交于点O,且 DOQ=60,OQ=OD=3,OP=2,OA=AB=1.让线段OD及矩形ABCD位置固定,将线段OQ连带着半圆K一起绕着 点O按逆时针方向开始旋转,设旋转角为(060). 图1 发现 (1)当=0,即初始位置时,点P 直线AB上.(填“在”或“不在”) 求当是多少时,OQ经过点B; (2)在OQ旋转过程中,简要说明是多少时,点P,A间的距离最小,并指出这个最小值;,(3)
15、如图2,当点P恰好落在BC边上时,求及S阴影. 图2 拓展 如图3,当线段OQ与CB边交于点M,与BA边交于点N时,设BM=x(x0),用含x的代数式表示BN的长,并求x的取 值范围.,图3 探究 当半圆K与矩形ABCD的边相切时,求sin 的值. 备用图,解析 发现 (1)在. (1分) 当OQ过点B时,在RtOAB中,AO=AB,得DOQ=ABO=45,=60-45=15. (3分) (2)如图1,连接AP,有OA+APOP,当OP过点A,即=60时等号成立. APOP-OA=2-1=1. 当=60时,P,A间的距离最小. (5分) PA的最小值为1. (6分) 图1 (3)如图1,设半圆
16、K与PC交点为R,连接RK,过点P作PHAD于点H,过点R作REKQ于点E.,在RtOPH中,PH=AB=1,OP=2,POH=30, =60-30=30. (7分) 由ADBC知,RPQ=POH=30. RKQ=230=60. S扇形RKQ= = . 在RtRKE中,RE=RKsin 60= , SRKP= PKRE= . S阴影= + . (8分) 拓展 如题图3,OAN=MBN=90, ANO=BNM,AONBMN, = , 即 = , BN= . (10分) 如图2,当点Q落在BC上时,x取最大值,作QFAD于点F. 图2 BQ=AF= -AO= -1=2 -1. x的取值范围是0x2
17、 -1. (11分) 注:如果答“x2 -1或x2 -1”均不扣分,探究 半圆与矩形相切,分三种情况: 如图3,半圆K与BC切于点T,设直线KT与AD和OQ的初始位置所在直线分别交于点S,O,则KSO=KTB= 90,作KGOO于点G. 图3 RtOSK中,OS= = =2.,RtOSO中,SO=OStan 60=2 ,KO=2 - . RtKGO中,O=30, KG= KO= - . RtOGK中,sin = = = . 半圆K与AD切于点T,如图4,图4 同理可得sin = = = = = .,当半圆K与CD相切时,点Q与点D重合,且为切点. =60,sin =sin 60= . 综上所述
18、,sin 的值为 或 或 . (14分),解题关键 本题考查矩形的性质,直线与圆的位置关系,勾股定理,锐角三角函数,根据题意正确画出图形是 解题的关键.,考点一 与圆有关的位置关系 1.(2019重庆A卷,4,4分)如图,AB是O的直径,AC是O的切线,A为切点,BC与O交于点D,连接OD.若C= 50,则AOD的度数为 ( ) A.40 B.50 C.80 D.100,B组 20152019年全国中考题组,答案 C AC是O的切线,AB是O的直径,ABAC,CAB=90. C=50,B=180-90-50=40. AOD=2B=240=80,故选C.,2.(2019福建,9,4分)如图,PA
19、,PB是O的两条切线,A,B为切点,点C在O上,且ACB=55,则APB等于 ( ) A.55 B.70 C.110 D.125,答案 B 连接OA,OB.,PA,PB是O的两条切线, OAAP,OBPB. OAP=OBP=90.,AOB=2ACB=255=110, APB=360-OAP-OBP-AOB =360-90-90-110=70.故选B.,方法总结 在应用切线性质时,一定要抓住“垂直”这一特征,故连接圆心与切点是常作的辅助线.而在圆 中通过连半径构造同弧所对的圆周角和圆心角也是常用的辅助线作法.,3.(2018福建,9,4分)如图,AB是O的直径,BC与O相切于点B,AC交O于点D
20、.若ACB=50,则BOD等 于 ( ) A.40 B.50 C.60 D.80,答案 D 由BC与O相切于点B,可得ABC=90,由三角形内角和为180 及ACB=50可得BAC=40, 由OA=OD得ODA=BAC=40,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得BOD=O- DA+OAD=80.,4.(2018重庆,9,4分)如图,已知AB是O的直径,点P在BA的延长线上,PD与O相切于点D,过点B作PD的垂 线交PD的延长线于点C.若O的半径为4,BC=6,则PA的长为 ( ) A.4 B.2 C.3 D.2.5,答案 A 连接DO,PD与O相切于点D,PDO=90.BCPC,
21、PCB=90,DOBC,POD PBC, = , = ,PA=4,故选A.,5.(2018山西,15,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,点D是AB的中点,以CD为直径作O,O 分别与AC,BC交于点E,F,过点F作O的切线FG,交AB于点G,则FG的长为 .,答案,解析 如图,连接OF. FG为O的切线,OFFG. RtABC中,D为AB中点, CD=BD,DCB=B. OC=OF,OCF=OFC,CFO=B, OFBD,ABFG.,O为CD的中点,F为BC的中点, CF=BF= BC=4. RtABC中,AB= =10, sin B= = , 在RtBGF中,FG
22、=BFsin B=4 = .,思路分析 连接OF,可判断OFFG,由OCF=OFC,OCF=B可得OFC=B,所以OFBD,所以AB FG.在RtABC中求出sin B,再在RtBFG中,利用FG=BFsin B求得FG.,6.(2015浙江宁波,17,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=12,过A,D两点的O与BC边相切于点E,则O的 半径为 .,答案,解析 连接EO,并延长交AD于点H,连接AO. 四边形ABCD是矩形,O与BC边相切于点E, EHBC,ADBC,EHAD.根据垂径定理,得AH=DH. AB=8,AD=12,AH=6,HE=8. 设O的半径为r,则AO=r,OH=
23、8-r. 在RtOAH中,由勾股定理得(8-r)2+62=r2,解得r= . O的半径为 .,7.(2019陕西,23,8分)如图,AC是O的直径,AB是O的一条弦,AP是O的切线.作BM=AB,并与AP交于点M, 延长MB交AC于点E,交O于点D,连接AD. (1)求证:AB=BE; (2)若O的半径R=5,AB=6,求AD的长.,解析 (1)证明:AP是O的切线, EAM=90, BAE+MAB=90,AEB+AMB=90. (1分) 又AB=BM, MAB=AMB, BAE=AEB, AB=BE. (3分) (2)连接BC.,AC是O的直径, ABC=90. 在RtABC中,AC=10,
24、AB=6, BC=8. (5分) 由(1)知,BAE=AEB, ABCEAM. C=AME, = , 即 = . AM= . 又D=C, D=AMD.,AD=AM= . (8分),8.(2018河南,19,9分)如图,AB是O的直径,DOAB于点O,连接DA交O于点C,过点C作O的切线交DO 于点E,连接BC交DO于点F. (1)求证:CE=EF; (2)连接AF并延长,交O于点G.填空: 当D的度数为 时,四边形ECFG为菱形; 当D的度数为 时,四边形ECOG为正方形.,解析 (1)证明:连接OC. CE是O的切线,OCCE. FCO+ECF=90. DOAB,B+BFO=90. CFE=
25、BFO,B+CFE=90. (3分) OC=OB,FCO=B. ECF=CFE.CE=EF. (5分) (2)30.(注:若填为30,不扣分)(7分) 22.5.(注:若填为22.5,不扣分)(9分),9.(2018江西,20,8分)如图,在ABC中,O为AC上一点,以点O为圆心,OC为半径作圆,与BC相切于点C,过点A 作ADBO交BO的延长线于点D,且AOD=BAD. (1)求证:AB为O的切线; (2)若BC=6,tanABC= ,求AD的长.,解析 (1)证明:过点O作OEAB于点E,即OEB=90. BC切O于点C,OCB=OEB=90. ADBD,ADB=90. AOD=BOC,C
26、BD=OAD. D=90,AOD=BAD,OAD=ABD,ABD=CBO. OE=OC.AB为O的切线. (2)BC=6,tanABC= ,ACB=90, AC=BCtanABC=8. AB= =10. AB与BC均为O的切线, BE=BC=6.AE=AB-BE=10-6=4. 设OC=OE=x,则在RtAEO中,有(8-x)2=42+x2,解得x=3. OB= = =3 . SBOA= ABOE= BOAD, ABOE=BOAD. 103=3 AD,AD=2 .,思路分析 (1)过点O作OEAB,先由BCO=D=90及AOD=BOC求得CBD=OAD,再由AOD= BAD推出ABD=OAD,
27、进而得到ABD=CBO,继而证明OE=OC,最后得证AB为O的切线; (2)先求得AC=8,AB=10,由切线长定理可知BE=BC=6,AE=4,在RtAOE中根据勾股定理求得OE=3,最后利用 等面积法求得AD的长.,方法指导 证明圆的切线时,可以分以下情况证明: 若已知直线与圆的公共点,则采用判定定理法,其基本思路是:连接该点与圆心,证明这条半径与直线垂直 即可,可简述为有切点,连半径,证垂直. 若直线与圆的交点未知,则采用数量关系法,其基本思路是:过圆心作直线的垂线段,证明垂线段的长等于 圆的半径,可简述为无切点,作垂线,证相等.,考点二 与圆有关的计算 1.(2018辽宁沈阳,10,2
28、分)如图,正方形ABCD内接于O,AB=2 ,则 的长是 ( ) A. B. C.2 D. ,答案 A 连接AC、BD交于点O,四边形ABCD是正方形, BAD=ABC=BCD=CDA=90, AC、BD是直径,点O与点O重合, AOB=90,AO=BO,AB=2 ,AO=2, 的长为 =.,思路分析 由正方形的性质可得AOB=90,AO=BO,由勾股定理可得圆的半径,将所得到的结果代入弧长 公式即可.,方法总结 求弧长一般需要两个条件,一个是圆心角度数,一个是圆半径.常用连接半径的方法,构造等腰三 角形或加上弦心距,构造直角三角形求解.,2.(2017四川绵阳,8,3分)“赶陀螺”是一项深受
29、人们喜爱的运动,如图所示是一个陀螺的立体结构图.已知 底面圆的直径AB=8 cm,圆柱体部分的高BC=6 cm,圆锥体部分的高CD=3 cm,则这个陀螺的表面积是 ( ) A.68 cm2 B.74 cm2 C.84 cm2 D.100 cm2,答案 C 由陀螺的立体结构图可知,陀螺的表面积由底面圆面积、圆柱侧面积和圆锥侧面积组成.底面圆 的半径r=4 cm,底面圆的周长为2r=8 cm,圆锥的母线长为 =5 cm,所以陀螺的表面积为42+86+ 85=84 cm2,故选C.,3.(2019湖北黄冈,14,3分)用一个圆心角为120,半径为6的扇形作一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的面 积为
30、 .,答案 4,解析 扇形的弧长为 =4,扇形的弧长即为这个圆锥底面圆的周长,设底面圆的半径为x,则2x=4, 得x=2,所以底面圆的面积为22=4.,思路分析 先根据弧长公式求出扇形的弧长,即圆锥底面圆的周长,再根据圆的周长公式和面积公式求解 即可.,4.(2019福建,15,4分)如图,边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的O的圆心重合,E,F分别是AD,BA的 延长线与O的交点,则图中阴影部分的面积为 .(结果保留),答案 -1,解析 S阴影= (SO-S正方形ABCD)= (22-22)=-1.,方法点拨 求不规则图形面积的方法:先分析图形,看能分解成哪些基本图形(如扇形、三角形、
31、平行四边 形等可以直接求出面积的图形),再分析各图形之间的联系,最后将不规则图形面积转化为规则图形面积的 和或差,在不能直接转化的题目中,应添加一些辅助线帮助解决.,5.(2018黑龙江哈尔滨,18,3分)一个扇形的圆心角为135,弧长为3 cm,则此扇形的面积是 cm2.,答案 6,解析 设扇形的半径为R cm, 扇形的圆心角为135,弧长为3 cm, =3,解得R=4, 此扇形的面积为 =6(cm2).,6.(2018新疆乌鲁木齐,14,3分)将半径为12,圆心角为120的扇形围成一个圆锥的侧面,则此圆锥的底面圆的 半径为 .,答案 4,解析 设圆锥的底面圆的半径为r,根据题意可知,这个扇
32、形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆 锥的母线长.根据题意得2r= ,解得r=4,即这个圆锥的底面圆的半径为4.,7.(2018河南,14,3分)如图,在ABC中,ACB=90,AC=BC=2,将ABC绕AC的中点D逆时针旋转90得到 ABC,其中点B的运动路径为 ,则图中阴影部分的面积为 .,答案 -,解析 如图,连接BD,BD,作DEAB于点E. 在RtBCD中,BC=2,CD= AC=1,BD= = .由旋转得ABAB,BDB=90,DE= AA= AB= ,BC= ,S阴影=S扇形BDB-SBCD-SBCD= - - 21= - .,思路分析 首先确定 所在圆的圆心为点D,根据
33、题意求出半径DB和圆心角BDB的度数,然后通过 S扇形BDB-SBCD-SBCD可求得阴影部分的面积.,8.(2018山东临沂,23,9分)如图,ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与O相切于点D,OB与O相 交于点E. (1)求证:AC是O的切线; (2)若BD= ,BE=1,求阴影部分的面积.,解析 (1)证明:连接OD,OA,作OFAC于F,如图, ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, AOBC,AO平分BAC,DAO=FAO, AB与O相切于点D,ODAB, ADO=AFO=90,又AO=AO,AODAOF, OF=OD, 点D在O上,点F也在O上,即OF为O的半径, O
34、FAC,AC是O的切线.,(2)设O的半径为r,则OD=OE=r, 在RtBOD中,r2+( )2=(r+1)2,解得r=1, OD=1,OB=2,B=30,BOD=60,AOD=30, 在RtAOD中,AD= OD= , 阴影部分的面积=2SAOD-S扇形DOF,=2 1 - = - .,考点一 与圆有关的位置关系 1.(2017山东泰安,17,3分)如图,圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,过点C的切线与边AD所在直线垂直于 点M,若ABC=55,则ACD等于 ( ) A.20 B.35 C.40 D.55,C组 教师专用题组,答案 A 连接OC, 因为CM为O的切线,所以OCMC. 因
35、为AMMC,所以AMOC, 所以MAB=COB,MAC=OCA. 因为OB=OC,所以OCB=OBC=55, 所以MAB=COB=180-255=70, 因为OA=OC,所以OAC=OCA=MAC, 所以MAC= MAB=35. 因为ADC+ABC=180, 所以ADC=180-ABC=180-55=125, 所以ACD=180-ADC-MAC=180-125-35=20.故选A.,2.(2016浙江台州,10,4分)如图,在ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,点 P,Q分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是 ( )
36、 A.6 B.2 +1 C.9 D.,答案 C 如图,设O与AC相切于点E,连接OE,作OP1BC垂足为P1,交O于Q1,此时垂线段OP1最短,P1Q1 为最小值,为OP1-OQ1.AB=10,AC=8,BC=6,AB2=AC2+BC2,C=90,又OP1B=90(垂线的性质), OEA=90(切线的性质),OP1AC,OEBC.又AO=OB,P1C=P1B,AE=EC,OP1= AC=4,OE= BC=3. P1Q1=OP1-OQ1=OP1-OE=4-3=1. 如图,当Q2在AB边上且P2与B重合时,P2Q2为最大值,为5+3=8,PQ长的最大值与最小值的和是9.故选C.,3.(2019内蒙
37、古包头,18,3分)如图,BD是O的直径,A是O外一点,点C在O上,AC与O相切于点C,CAB =90,若BD=6,AB=4,ABC=CBD,则弦BC的长为 .,答案 2,解析 连接CD,BD是直径,DCB=90,又CAB=90,ABC=CBD,CABDCB, = , 即 = ,BC= =2 .,4.(2018内蒙古包头,17,3分)如图,AB是O的直径,点C在O上,过点C的切线与BA的延长线交于点D,点E在 上(不与点B,C重合),连接BE,CE.若D=40,则BEC= 度.,答案 115,解析 如图,连接OC,AC, CD是O的切线, DCO=90, 1=90-D=50. OA=OC,2=
38、 (180-1)=65. BEC=180-2=180-65=115.,5.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则DOE= .,答案 60,解析 AB,AC分别与圆O相切于点D,E,ODAB,OEAC,在菱形ABOC中,AB=BO,点D是AB的中点, BD= AB= BO,BOD=30,B=60,又OBAC,A=120,在四边形ADOE中,DOE=360- 90-90-120=60.,解题关键 由题意得出OD垂直平分AB及AB=BO是解答本题的关键.,6.(2019新疆,22,10分)如图,AB是O的直径,CD与O相切于点C,与
39、AB的延长线交于点D,CEAB于点E. (1)求证:BCE=BCD; (2)若AD=10,CE=2BE,求O的半径.,解析 (1)证明:连接OC,AC, AB是直径,ACB=90, ACO+OCB=90, 又CD是O的切线,OCD=90,OCB+BCD=90. ACO=BCD. (2分) CEAB,CEB=90,BCE+ABC=90, A+ABC=90,BCE=A. OA=OC,A=ACO=BCD. BCE=BCD. (5分) (2)作BFCD于点F,得BFDCED, 由(1)得BF=BE. CE=2BE, = = = , 即CD=2BD. (7分) BCD=A,CDB=ADC,CBDACD,
40、 = . AD=10,BD= ,AB= ,OA= .,O的半径为 . (10分),思路分析 (1)根据AB是直径,得ACB=OCB+ACO=90,由切线的性质得出OCCD,即OCD= OCB+BCD=90,由CEAB得BCE+ABC=90,从而得A=BCE.根据等腰三角形的性质得A =ACO=BCD,即可证得BCE=BCD;(2)作BFCD于点F,得BFDCED,由CE=2BE,以及 CBDACD,得出 = ,即可求得半径.,7.(2019江西,19,8分)如图1,AB为半圆的直径,点O为圆心,AF为半圆的切线,过半圆上的点C作CDAB交AF 于点D,连接BC. (1)连接DO,若BCOD,求
41、证:CD是半圆的切线; (2)如图2,当线段CD与半圆交于点E时,连接AE,AC,判断AED和ACD的数量关系,并证明你的结论.,解析 (1)证法一:连接OC. AF为半圆的切线,A=90. BCDO,CBO=AOD,BCO=COD. OC=BO,CBO=BCO. COD=AOD. 在OAD和OCD中, OADOCD(SAS).,OCD=A=90. CD是半圆的切线. 证法二:连接OC. CDAB,BCOD, 四边形BCDO是平行四边形,CD=BO. OB=OA,CD=OA. CDOA,四边形OADC是平行四边形. 又AF为半圆的切线,A=90. OADC是矩形,OCD=90. CD是半圆的切
42、线. (2)AED+ACD=90. 证法一:CDAB,ACD=BAC. 四边形ABCE是圆内接四边形,B+AEC=180. AED+AEC=180,AED=B. AB为半圆的直径,BCA=90. CAB+B=90. AED+ACD=90. 证法二:连接BE,则ACD=ABE. CDAB,AED=BAE. AB为半圆的直径,AEB=90,ABE+BAE=90, AED+ACD=90.,思路分析 (1)要证CD与半圆相切,由于点C为半圆上一点,所以必须连接OC并证明OCD=90,其中证法 一的思路是通过证明OCDOAD,从而得到OCD=A=90.证法二的思路是证明四边形OADC是矩 形,从而得到O
43、CD=90. (2)通过观察,易得到AED+ACD=90.证法一的思路是由ABCD得DCA=CAB,由四边形ABCE为圆 内接四边形得到B=AED,由AB为直径得ACB=90,从而得到B+CAB=90,最终推出AED+ACD =90.证法二的思路是连接BE,易证DCA=EBA,由ABCD得EAB=AED,由AB为直径易得EBA+ EAB=90,最终推出AED+ACD=90.,8.(2018天津,21,10分)已知AB是O的直径,弦CD与AB相交,BAC=38. (1)如图,若D为 的中点,求ABC和ABD的大小; (2)如图,过点D作O的切线,与AB的延长线交于点P,若DPAC,求OCD的大小
44、.,解析 (1)AB是O的直径, ACB=90.BAC+ABC=90. 又BAC=38, ABC=90-38=52. 由D为 的中点,得 = . ACD=BCD= ACB=45. ABD=ACD=45. (2)如图,连接OD.,DP切O于点D,ODDP,即ODP=90. 由DPAC,又BAC=38, P=BAC=38. AOD是ODP的外角, AOD=ODP+P=128. ACD= AOD=64. 又OA=OC,得ACO=BAC=38. OCD=ACD-ACO=64-38=26.,思路分析 (1)根据直径所对的圆周角是直角,等弧所对的圆周角相等可以求解;(2)连接OD,根据平行线的 性质,圆的切线的性质求得P,AOD的度数,即可求得OCD的大小.,9.(2018湖北武汉,21,8分)如图,PA是O的切线,A是切点,AC是直径,AB是弦,连接PB、PC,PC交AB于点E,且 PA=PB. (1)求证:PB是O的切线; (2)若APC=3BPC,求 的值.,解析 (1)证法一:连接OP,OB. 在OAP和OBP中, OAPOBP, OAP=OBP, PA是O的切线,OBP=OAP=90, PB是O的切线. 证法二:连接OB. PA是O的切线,PAO=90. OA=OB,PA=PB, OAB=OBA,PAB=
