1、一、一次函数的实际应用 1.(2018保定竞秀一模,24)从2017年1月1日起,我国驾驶证考试正式实施新的驾考培训模式,新规规定C2驾驶 证的培训学时为60学时.驾校的学费标准分不同时段,普通时段a元/学时,高峰时段和节假日时段都为b元/学 时. (1)小明和小华都在此驾校参加了C2驾驶证的培训,下表是小明和小华的培训结算表(培训学时均为40).请 你根据提供的信息,计算出a,b的值;,(2)小陈报名参加了C2驾驶证的培训,并且计划学够全部基本学时,但为了不耽误工作,普通时段的培训学时 不会超过其他两个时段总学时的 ,若小陈普通时段培训了x学时,培训总费用为y元. 求y与x之间的函数关系式,
2、并确定自变量x的取值范围; 小陈如何选择培训时段,才能使得本次培训的总费用最低?,解析 (1)由题意得 解得 (2)y=120x+180(60-x)=-60x+10 800. 由题意得,x (60-x),且x0, 解得0x20. 因为在y=-60x+10 800(0x20)中,-600, 所以y随x的增大而减小, 所以当x=20时,y的值最小,最小值为9 600. 故小陈在普通时段学习20学时,其他学段学习40学时,本次培训的总费用最低.,2.(2017沧州模拟,25)小王是“新星厂”的一名工人,请你阅读下列信息. 信息一:工人工作时间为每天上午8:0012:00,下午14:0018:00,每
3、月工作25 天. 信息二:小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表.,信息三:按件计酬,每生产一件甲种产品得1.50元,每生产一件乙种产品得2.80元. 信息四:该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成,小王每月的底薪为1 900元.请根据以上信息,解答 下列问题: (1)小王每生产一件甲种产品,每生产一件乙种产品分别需要多少分钟? (2)2018年1 月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件,则小王该月收入最多是多少元?此时小王生 产的甲、乙两种产品分别是多少件?,解析 (1)设生产一件甲种产品需x分钟,生产一件乙种产品需y分钟. 由题意得 解这个方程组得 答:生产一件甲产品
4、需要15分钟,生产一件乙产品需要20分钟. (2)设生产甲种产品共用m分钟,收入为w元,则生产乙种产品用(25860-m)分钟, 则生产甲种产品 件,生产乙种产品 件. w=1.5 +2.8 =0.1m+ 2.8=0.1m+1 680-0.14m=-0.04m+1 680, 又 60,得m900, 由一次函数的增减性,可知当m=900时,w取得最大值,此时w=-0.04900+1 680=1 644(元), 则小王该月收入最多是1 644+1 900=3 544(元), 此时生产甲产品 =60(件),生产乙产品 =555(件).,答:小王该月最多收入3 544元,此时生产甲、乙两种产品分别为6
5、0件,555件.,思路分析 (1)设生产一件甲种产品需x分钟,生产一件乙种产品需y分钟,根据题意列二元一次方程组求出x, y的值.(2)设生产甲种产品用m分钟,收入为w元,则生产乙种产品用(25860-m)分钟,分别求出生产甲、乙两 种产品的件数,然后列出w与m的函数关系式,根据一次函数的增减性求得最多收入.,二、反比例函数的实际应用 1.(2017杭州,20,10分)在面积都相等的所有矩形中,当其中一个矩形的一边长为1时,与该边相邻的边长为3. (1)设矩形的相邻两边长分别为x,y. 求y关于x的函数表达式; 当y3时,求x的取值范围; (2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6,方方说有一个矩形
6、的周长为10.你认为圆圆和方方的说法对吗?为什 么?,解析 (1)由题意知xy=3,所以y= , 即y关于x的函数表达式为y= (x0). 当y=3时,x=1, 由函数图象可知当y3时,x的取值范围是00,此时,矩形的相邻两边长分别为 , . 所以存在面积为3,周长为10的矩形, 所以方方的说法对.,2.(2017唐山路北三模,24)教室内的饮水机接通电源进入自动程序,开机加热时每分钟上升10 ,加热到100 , 停止加热,水温开始下降,此时水温y()与开机后用时x(分钟)成反比例关系.直至水温降至30 ,饮水机关机. 饮水机关机后即刻自动开机,重复上述自动程序.水温为30 时,接通电源后,水
7、温y()和时间x(分钟)的关系 如图. (1)a= ; (2)直接写出图中y关于x的函数关系式; (3)饮水机有多少时间能使水温保持在70 及以上? (4)若饮水机早上已加满水,开机温度是20 ,为了使8:40下课时水温达到70 ,并节约能源,直接写出当它 上午什么时间接通电源比较合适.,解析 (1)由题意可得a=(100-30)10=7010=7. (2)y= 详解:当0x7时,设y关于x的函数关系式为y=kx+b(k0), 解得 即当0x7时,y关于x的函数关系式为y=10x+30, 当x7时,设y= (a0),则有100= ,解得a=700, 即当x7时,y关于x的函数关系式为y= ,
8、当y=30时,x= , y 与x 的函数关系式为y=,(3)将y=70代入y=10x+30,得x=4,将y=70代入y= ,得x=10, 10-4=6,饮水机有6分钟能使水温保持在70 及以上. (4)由题意可得,6+(70-20)10=11(分钟),40-11=29, 即8:29开机接通电源比较合适.,三、二次函数的实际应用 1.(2019秦皇岛海港一模改编)某批发部某一玩具价格如图所示,现有甲、乙两个商店,计划在“六一”儿童 节前到该批发部购买此类玩具,两商店所需玩具总数为120个,乙商店所需数量不超过50个,设甲商店购买x 个,如果甲、乙两商店分别购买玩具,两商店需付款总和为y元. (1
9、)求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (2)若甲商店购买不超过100个,请说明甲、乙两商店联合购买比分别购买最多可节约多少钱; (3)“六一”儿童节之后,该批发部对此玩具价格作了如下调整:数量不超过100个时,价格不变,数量超过100 个时,每个玩具降价a元,在(2)的条件下,若甲、乙两商店“六一”儿童节之后去批发玩具,最多可节约2 800 元,求a的值.,解析 (1)由题图可知,当50x100时,设玩具的单价为m元,单价与数量的关系式为m=kx+b(k0), 由题意得 解得 m=- x+100. 乙商店所需数量不超过50个,120-x50,x70,70x120. 当70x10
10、0时,y= x+80(120-x)=- x2+20x+9 600. 当100x120时,y=60x+80(120-x)=9 600-20x. (2)y=- x2+20x+9 600=- (x-25)2+9 850(70x100), 当x=70时,y的最大值为9 040元, 最多节约的费用=9 040-12060=1 840元. 答:甲、乙两商店联合购买比分别购买最多可节约1 840元.,(3)由题意得9 040-120(60-a)=2 800,解得a=8. 答:a的值为8.,2.(2019石家庄十八县一模改编)“假日游乐园”中一种新型水上滑梯如图,其中线段PA表示距离水面(x轴) 高度为5 m
11、的平台(点P在y轴上).滑道AB可以看作反比例函数图象的一部分,滑道BCD可以看作是二次函数 图象的一部分,两滑道的连接点B为抛物线BCD的顶点,且点B到水面的距离BE=2 m,点B到y轴的距离是5 m. 当小明从上而下滑到点C时,与水面的距离CG= m,与点B的水平距离CF=2 m. (1)求反比例函数的解析式及自变量的取值范围; (2)求二次函数的解析式及自变量的取值范围; (3)小明从点B滑到水面上的点D处时,试求他所滑过的水平距离d.,解析 (1)BE=2 m,点B到y轴的距离是5 m,B点坐标为(5,2), 设反比例函数的解析式为y= ,则k=10,y= , 当y=5时,x=2,即A
12、点坐标为(2,5), 自变量x的取值范围是2x5. (2)由题意可知,抛物线的顶点坐标为(5,2),C点坐标为 , 设二次函数的解析式为y=a(x-5)2+2,则 a(7-5)2+2= ,解得a=- , 二次函数的解析式为y=- (x-5)2+2. 当y=0时,x1=9,x2=1(舍去), 即D(9,0),自变量x的取值范围是5x9. (3)由(2)可知,ED=9-5=4(m),即小明从点B滑到水面上的点D处时,他所滑过的水平距离d=4 m.,思路分析 (1)根据BE=2 m,B到y轴的距离是5 m,得出B点坐标为(5,2),即反比例函数图象上一点的横坐标和 纵坐标都已知,则可求出比例系数k;
13、 (2)根据抛物线顶点坐标可设顶点式,代入 求出a的值,进而求出解析式,可得点D的横坐标,得出自变量 的取值范围; (3)用点D的横坐标减去点E的横坐标,即可求出水平距离d.,3.(2018石家庄模拟,26,10分)如图1,地面BD上两根等长立柱AB、CD之间悬挂一根近似成抛物线y= x2- x +3的绳子. (1)求绳子最低点离地面的距离; (2)因实际需要,在离AB 3米的位置用一根立柱MN撑起绳子(如图2),使左边抛物线F1的最低点距MN为1米,离 地面1.8米,求MN的长; (3)将立柱MN的长度提升为3米,通过调整MN的位置,使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为 .设MN离 AB的
14、距离为m,抛物线F2的顶点离地面距离为k,当2k2.5时,求m的取值范围.,解析 (1) 0,抛物线的顶点为最低点, y= x2- x+3= (x-4)2+ , 绳子最低点离地面的距离为 米. (2)由(1)可知,BD=8,令x=0,得y=3,A(0,3),C(8,3). 由题意得,抛物线F1的顶点坐标为(2,1.8). 设F1的解析式为y=a(x-2)2+1.8(a0), 将(0,3)代入,得4a+1.8=3,解得a=0.3, 抛物线F1的解析式为y=0.3(x-2)2+1.8. 当x=3时,y=0.31+1.8=2.1,MN的长度为2.1米. (3)MN=CD=3,根据抛物线的对称性可知抛
15、物线F2的顶点在ND的垂直平分线上, 抛物线F2的顶点坐标为 ,抛物线F2的解析式为y= +k. 把(8,3)代入,得 +k=3, k=- +3, k=- (m-8)2+3, k是关于m的二次函数. 又m8,k随m的增大而增大. 当k=2时,- (m-8)2+3=2, 解得m1=4,m2=12(不符合题意,舍去). 当k=2.5时,- (m-8)2+3=2.5, 解得m1=8-2 ,m2=8+2 (不符合题意,舍去).,m的取值范围是4m8-2 .,一、一次函数的实际应用 1.(2019云南,22,9分)某驻村扶贫小组实施产业扶贫,帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为 6元/千克,
16、规定销售单价不低于成本,又不高于成本的两倍.经过市场调查发现,某天西瓜的销售量y(千克)与 销售单价x(元/千克)的函数关系如图所示: (1)求y与x的函数解析式(也称关系式); (2)求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值.,教师专用题组,解析 (1)当6x10时,由题意设y=kx+b(k0),它的图象经过点(6,1 000)与点(10,200), 解得 即y=-200x+2 200. (2分) 当10x12时,y=200. 故y与x的函数解析式为y= (4分) 温馨提示:y与x的函数解析式写为y= 与y= 都是正确的. (2)当6x10时,y=-200x+2 200, W=(x-6)y=(x
17、-6)(-200x+2 200)=-200 +1 250. -2000,6x10, 当x= 时,W最大,且W的最大值为1 250. (6分) 当10x12时,y=200,W=(x-6)y=200(x-6)=200x-1 200.,2000,W=200x-1 200随着x的增大而增大. 又101 200, W的最大值为1 250. 答:这一天销售西瓜获得的利润的最大值为1 250元. (9分),2.(2018陕西,21,7分)经过一年多的精准帮扶,小明家的网络商店(简称网店)将红枣、小米等优质土特产迅速 销往全国.小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表:,根据上表提供的信息,解答下列问
18、题: (1)已知今年前五个月,小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共3 000 kg,获得利润4.2万元,求这前五个 月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋; (2)根据之前的销售情况,估计今年6月到10月这后五个月,小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共 2 000 kg,其中,这种规格的红枣的销售量不低于600 kg.假设这后五个月,销售这种规格的红枣为x(kg),销售,这种规格的红枣和小米获得的总利润为y(元),求出y与x之间的函数关系式,并求这后五个月,小明家网店销 售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元.,解析 (1)设这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣m袋,则销售这种规格
19、的小米 袋,根据题 意,得 (60-40)m+(54-38) =42 000, 解得m=1 500. 这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣1 500袋. (3分) (2)根据题意,得y=(60-40)x+(54-38) =12x+16 000. y与x之间的函数关系式为y=12x+16 000. (5分) 120, y的值随x值的增大而增大. x600,当x=600时,y最小,为12600+16 000=23 200. 这后五个月,小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润为23 200元. (7分),3.(2015张家口二模,26)王老师想骑摩托车送甲、乙两位同学去会场参加演出,由于
20、摩托车后座只能坐1人, 为了节约时间,王老师骑摩托车先带乙出发,同时,甲步行出发,已知甲、乙的步行速度都是5 km/h,摩托车的 速度是45 km/h. 预设方案: (1)方案1:王老师将乙送到会场后回去接甲,再将甲送到会场.图1中折线ABBCCD和折线ACCD分别 表示王老师、甲在上述过程中离会场的距离y(km)与王老师所用时间x(h)之间的函数关系. 学校与会场的距离为 km; 求出点C的坐标,并说明它的实际意义.,图1,(2)方案2:王老师骑摩托车行驶a小时后,将乙放下,让乙步行去会场,同时王老师回去接甲并将甲送到会场, 图2中折线ABBCCD、折线ACCD和折线ABBE分别表示王老师、
21、甲、乙在上述过程中离会场的 距离y(km)与王老师所用时间x(h)之间的函数关系,求a的值; 图2 (3)你能否设计一个方案,使甲、乙两位同学能在最短的时间内都赶到会场?请你直接写出这个最短时间,并 在图3中画出这个设计的大致图象.(不需要写出具体的方案设计),图3,解析 (1)由题图1知学校与会场的距离为15 km. 设王老师把乙送到会场后,再经过m小时与甲相遇, 根据题意得(45+5)m=15-5 ,解得m= , 王老师与甲相遇时,王老师行驶的时间为 + = (h), 甲离会场的路程为15-5 =12(km), C . C 的实际意义:甲出发 h后与送乙去会场回来的王老师相遇,此时离会场1
22、2 km. (2)设王老师把乙放下后,再经过n小时与甲相遇. 根据题意,得(45+5)n=45a-5a,解得n= a, 由于王老师骑摩托车一共行驶了 h,可得方程15-5 =45 , 解得a= . (3)最短时间为 h,这个设计方案的大致图象如下. 折线ABBCCD、ACCD、ABBD分别表示王老师、甲、乙离会场的距离y(km)与王老师所用时间x (h)之间的函数关系.,二、反比例函数的实际应用 1.(2017石家庄裕华一模,23)小明家饮水机中原有水的温度为20 ,通电开机后,饮水机自动开始加热(此过 程中水温y()与开机时间x(分)满足一次函数关系),当加热到100 时自动停止加热,随后水
23、温开始下降(此 过程中水温y()与开机时间x(分)成反比例关系),当水温降至20 时,饮水机又自动开始加热,重复上述 程序(如图所示),根据图中提供的信息,解答下列问题: (1)当0x8时,求水温y()与开机时间x(分)的函数关系式; (2)求图中t的值; (3)若小明在通电开机后即外出散步,请你预测小明散步45分钟回到家时,饮水机内水的温度约为多少.,解析 (1)当0x8时,设水温y()与开机时间x(分)的函数关系为y=kx+b, 依据题意,得 解得 故此函数解析式为y=10x+20. (2)在水温下降过程中,设水温y()与开机时间x(分)的函数关系式为y= , 依据题意,得100= ,即m
24、=800,故y= , 当y=20时,20= ,解得t=40. (3)45-40=58,当x=5时,y=105+20=70. 答:小明散步45分钟回到家时,饮水机内水的温度约为70 .,2.(2018山东济宁,21,9分)知识背景 当a0且x0时,因为 0,所以x-2 + 0,从而x+ 2 (当x= 时取等号). 设函数y=x+ (a0,x0),由上述结论可知,当x= 时,该函数有最小值,最小值为2 . 应用举例 已知函数y1=x(x0)与函数y2= (x0),则当x= =2时,y1+y2=x+ 有最小值,最小值为2 =4. 解决问题 (1)已知函数y1=x+3(x-3)与函数y2=(x+3)2
25、+9(x-3),当x取何值时, 有最小值?最小值是多少? (2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分:一是设备的安装调试费用,共490元;二是设备的租赁使用费 用,每天200元;三是设备的折旧费用,它与使用天数的平方成正比,比例系数为0.001.若设该设备的租赁使用 天数为x天,则当x取何值时,该设备平均每天的租赁使用成本最低?最低是多少元?,解析 (1)x-3,x+30, = =(x+3)+ 2 ,即 6. 令x+3= ,解得x=0或-6(舍去), 当x=0时, 有最小值,最小值是6. (2)设该设备平均每天的租赁使用成本为w元. 根据题意,得w= = +0.001x+200, w=0.00
26、1 +200. x0,w0.0012 +200,即w201.4. 令 =x得x=700或-700(舍去), 当x=700时,w有最小值,w的最小值为201.4元.,三、二次函数的实际应用,1.(2018湖北黄冈,23,9分)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品,经分析发现月销售量y(万件)与 月份x(月)的关系式为y= 每件产品的利润z(元)与月份x(月)的关系如下表:,(1)请你根据表格求出每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式; (2)若月利润w(万元)=当月销售量y(元件)当月每件产品的利润z(元),求月利润w(万元)与月份x(月)的关系 式; (3)当x为何值时,月利润w有最
27、大值?最大值为多少?,解析 (1)根据表格可知,当1x10且x为整数时,z=-x+20; 当11x12且x为整数时,z=10. z与x的关系式为z= 或z= (2)当1x8且x为整数时,w=(-x+20)(x+4)=-x2+16x+80; 当9x10且x为整数时,w=(-x+20)(-x+20)=x2-40x+400; 当11x12且x为整数时,w=10(-x+20)=-10x+200, w与x的关系式为w= 或w=,(3)当1x8且x为整数时,w=-x2+16x+80=-(x-8)2+144, 当x=8时,w有最大值,为144; 当9x10且x为整数时,w=x2-40x+400=(x-20)
28、2, 当x=9时,w有最大值,为121; 当11x12且x为整数时,w=-10x+200, 当x=11时,w有最大值,为90. 90121144,当x=8时,w有最大值,为144. (或当1x8且x为整数时,w有最大值144;当x=9时,w=121;当x=10时,w=100;当x=11时,w=90;当x=12时,w=80, 当x=8时,有最大值,为144),2.(2017湖北随州,23,10分)某水果店在两周内,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8.1元/ 斤,并且两次降价的百分率相同. (1)求该种水果每次降价的百分率; (2)从第一次降价的第1天算起,第x天(x为整数)的
29、售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如下表所示.已 知该种水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x(天)的利润为y(元),求y与x(1x15)之间的函数关系式,并 求出第几天时销售利润最大;,(3)在(2)的条件下,若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元,则第15天在第14天的价格基础上最 多可降多少元?,解析 (1)设该种水果每次降价的百分率是x,由题意得 10(1-x)2=8.1,解得x=10%或x=190%(舍去). 答:该种水果每次降价的百分率是10%. (2)当1x9时,第1次降价后的价格为10(1-10%)=9元/斤, y=(9-4.1)(80-3x)-(40+
30、3x)=-17.7x+352, -17.70,y 随x的增大而减小,当x=1时,y有最大值, ymax=-17.71+352=334.3(元), 当9x15时,第2次降价后的价格为8.1 元/斤, y=(8.1-4.1)(120-x)-(3x2-64x+400)=-3x2+60x+80=-3(x-10)2+380, -30,当9x10 时,y随x的增大而增大, 当10x15时,y随x的增大而减小, 当x=10时,y有最大值,ymax=380(元),综上所述,y 与x(1x15)之间的函数关系式为y= 第10天时销售利润最大. (3)设第15天在第14天的价格基础上可降a元, 由题意得380-1
31、27.5(8.1-4.1-a)(120-15)-(3152-6415+400), 即252.5105(4-a)-115,解得a0.5. 答:第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元.,思路分析 (1)设百分率是x,根据某商品原价为10元,由于各种原因连续两次降价,降价后的价格为8.1元,可 列方程求解;(2)根据两个取值先计算:当1x9时和9x15时的销售单价,由“利润=(售价-进价)销量-费 用”列函数关系式,并根据增减性求最大值,作对比得解;(3)设第15天在第14天的价格基础上可降a元,根据 第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元,列不等式可得结论.,3.(2017保定
32、二模,25)进入夏季后某款空调供不应求,厂家加班生产并销售,在第一个产销期的12天中,为提 高产量,从第5天开始增加了工时生产成本,每台空调的成本P(元)与时间x(天)的关系如下表:,已知每天生产的空调数量y(台)与时间x(天)近似满足函数关系y=2x+16,每台空调的出售价格为1 400元. 请解答下列问题: (1)设厂家的日销售利润为W元,求W(元)与时间x(天)的函数关系式; (2)该厂哪一天获得最大利润?最大利润是多少? (3)设厂家在第一个产销期,获得最大利润时的成本为P1,日生产量为y1.现计划从第13天开始,按每台成本P1 元,每天生产y1台进行生产并完全售出,但由于机器损耗等原
33、因,实际平均每台空调的成本比统计增加了a%,使得厂家10天的销售利润与原计划的8天的销售利润持平,求a的值.,解析 (1)当00,W随x的增大而增大, 当x=5时,W有最大值26 000; 当5x12时,W=-80x2+1 760x+19 200=-80(x-11)2+28 880, 当x=11时,W有最大值28 880. 综上,第11天的利润最大,最大利润是28 880元. (3)y1=211+16=38,P1=4011+200=640, 由题意得1 400-640(1+a%)3810=28 8808, 解得a=23.75, a的值为23.75.,思路分析 (1)分0x5、5x12两种情况,根据“总利润=单件利润销售量”列出函数解析式;(2)结合x 的范围,分别根据一次函数和二次函数的增减性求解可得最大利润;(3)先根据题意求得y1、P1,再由“厂家10 天的销售利润与原计划的8天的销售利润持平”列方程得解.,
