1、一、点动 1.(2017吉林长春,23,10分)如图1,在RtABC中,C=90,AB=10,BC=6.点P从点A出发,沿折线ABBC向终点 C运动,在AB上以每秒5个单位长度的速度运动,在BC上以每秒3个单位长度的速度运动.点Q从点C出发,沿 CA方向以每秒 个单位长度的速度运动.P、Q两点同时出发,当点P停止时,点Q也随之停止.设点P运动的 时间为t秒. (1)求线段AQ的长;(用含t的代数式表示) (2)连接PQ,当PQ与ABC的一边平行时,求t的值; (3)如图2,过点P作PEAC于点E,以PE、EQ为邻边作矩形PEQF,点D为AC的中点,连接DF.设矩形PEQF与 ABC重叠部分图形
2、的面积为S. 当点Q在线段CD上运动时,求S与t之间的函数关系式;,直接写出DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为12时t的值.,解析 (1)在RtABC中,C=90,AB=10,BC=6, AC= = =8, CQ= t,AQ=8- t(0t4). (2)如图,当PQBC时,APQABC, = ,即 = ,解得t= . 如图,当PQAB时,CPQCBA, = , BP=3(t-2),CP=6-3(t-2)=-3t+12, = , 解得t=3. 综上所述,t= 或3时,PQ与ABC的一边平行. (3)当点P在AB上时,sin A= = ,cos A= = ,PE=APsin A=3t,AE=A
3、Pcos A=4t. (i)当0t 时,如图. EQ=AC-AE-CQ=8-4t- t=8- t, S=PEEQ=3t =-16t2+24t. (ii)当 t2时,如图.,QGBC, = ,即 = ,QG=6-t. QE=AE+CQ-AC=4t+ t-8= t-8. S= (QG+PE)QE= (6-t+3t) = t2+8t-24. (iii)当2t3时,如图.,PHAC, = ,即 = ,PH=4t-8. FH=QC-PH= t-(4t-8)=- t+8, PC=FQ=-3t+12,QG=6-t,FG=-3t+12-(6-t)=-2t+6. S=S矩形PCQF-SFGH=CQPC- FHF
4、G = t(-3t+12)- (-2t+6)=- t2+32t-24. 或 .,详解:当0t1时,如图. 点E在点D的左侧,SDFQ S矩形PEQF. 若DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为12, 则SDFQ= S矩形PEQF. S矩形PEQF=FQQE,SDFQ= FQDQ,DQ= QE, 即4- t= ,解得t= .,当1t 时,如图. 点E在点D的右侧,SPMF S矩形PEQF. 若DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为12, 则SPMF= S矩形PEQF. S矩形PEQF=FQQE,SPMF= PMQE,PM= PE, 易知DMEFMP, = = ,即 = .,解得t= . 综上所述
5、,当t= 或 时,若DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为12.,2.(2016四川南充,24,10分)已知正方形ABCD的边长为1,点P为正方形内一动点,若点M在AB上,且满足PBC PAM,延长BP交AD于点N,连接CM. (1)如图一,若点M在线段AB上,求证:APBN,AM=AN; (2)如图二,在点P运动过程中,满足PBCPAM的点M在AB的延长线上时,APBN和AM=AN是否成立 (不需说明理由)? 是否存在满足条件的点P,使得PC= ?请说明理由.,解析 (1)证明:PBCPAM,PBC=PAM. (1分) 四边形ABCD是正方形, ADBC,PBC=ANP. PAM=ANP.
6、(2分) PAM+PAN=90, ANP+PAN=90. APN=90,即APBN. (3分) BAN=90,APBN, BPA=BAN=90. ABP=NBA, ABPNBA, = . (4分) 又PBCPAM, = . (5分) 故 = . 又AB=BC,AM=AN. (6分) (2)点M在AB的延长线上时,APBN和AM=AN仍然成立.(7分) 不存在.理由如下: 如图,以AB为直径,作半圆O,连接OC,OP.,BC=1,OB= ,OC= . (8分) APBN,点P一定在以点O为圆心、 为半径的半圆上(A,B两点除外). 如果存在点P,那么OP+PCOC,则PC . (9分) ,故不存
7、在满足条件的点P,使得PC= . (10分),评析 本题是以考查相似三角形为主的综合题,涉及正方形的性质、圆的性质等知识,有一定难度.,二、线动 1.(2018湖北黄冈,24,14分)如图,在直角坐标系xOy中,菱形OABC的边OA在x轴正半轴上,点B,C在第一象限, C=120,边长OA=8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度做匀速运动,点N从A出发沿边 ABBCCO以每秒2个单位长的速度做匀速运动.过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P,交对角线 OB于Q,点M和点N同时出发,分别沿各自路线运动,点N运动到原点O时,M和N两点同时停止运动. (1)当t=2时,求线段P
8、Q的长; (2)求t为何值时,点P与N重合; (3)设APN的面积为S,求S与t的函数关系式及t的取值范围.,解析 (1)在菱形OABC中,易知AOC=60,AOQ=30, 当t=2时,OM=2,PM=2 ,QM= ,PQ= . (2)当t4时,AN=PO=2OM=2t,t=4时,P点与C点重合,N到达B点,故点P,N在边BC上相遇. 设t秒时P与N重合,则(t-4)+2(t-4)=8,解得t= . 即t= 秒时,P与N重合. (3)当0t4时,PN=OA=8,且PNOA,PM= t, SAPN= 8 t=4 t. 当4t 时,PN=8-3(t-4)=20-3t, SAPN= 4 (20-3t
9、)=40 -6 t. 当 t8时,PN=3(t-4)-8=3t-20,SAPN= 4 (3t-20)=6 t-40 . 当8t12时,ON=24-2t,N到OM的距离为12 - t,N到CP的距离为4 -(12 - t)= t-8 ,CP=t-4, BP=12-t, SAPN=S菱形OABC-SAON-SCPN-SAPB =32 - 8(12 - t)- (t-4)( t-8 )- (12-t)4 =- t2+12 t-56 . 综上,S与t的函数关系式为 S=,注:第一段函数的定义域写为0t4,第二段函数的定义域写为4t 也可以,2.(2017河北,25,11分)平面内,如图,在ABCD中,
10、AB=10,AD=15,tan A= .点P为AD边上任意一点,连接PB,将 PB绕点P逆时针旋转90得到线段PQ. (1)当DPQ=10时,求APB的大小; (2)当tanABPtan A=32时,求点Q与点B间的距离(结果保留根号); (3)若点Q恰好落在ABCD的边所在的直线上,直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积(结果保留).,解析 (1)当点Q与点B在PD异侧时,由DPQ=10,BPQ=90得BPD=80, APB=180-BPD=100. 当点Q与点B在PD同侧时,如图1,APB=180-BPQ-DPQ=80. APB是80或100. (4分) (2)如图1,过点P作PHAB于点H,
11、连接BQ. 图1 tanABPtan A= =32,AHHB=32. 而AB=10,AH=6,HB=4. (6分) 在RtPHA中,PH=AHtan A=8. PQ=PB= = =4 . 在RtPQB中,QB= PB=4 . (8分) (3)16或20或32. (11分) 注:下面是(3)的一种解法,仅供参考,解答过程如下: 点Q在AD上时,如图2,由tan A= 得PB=ABsin A=8, S阴影=16.,图2 点Q在CD上时,如图3,过点P作PHAB于点H, 交CD延长线于点K,由题意得K=90,KDP=A. 设AH=x(x0),则PH=AHtan A= x,AP= x. BPH=KQP
12、=90-KPQ,PB=QP, RtHPBRtKQP. KP=HB=10-x,PD= (10-x),AD=15= x+ (10-x),解得x=6. PH=8,HB=4,PB2=80,S阴影=20. 图3 点Q在BC延长线上时,如图4,过点B作BMAD于点M,由得BM=8.,图4 又MPB=PBQ=45,PB=8 ,S阴影=32.,三、图形动 1.(2019唐山路北二模,26)如图,在矩形ABCD中,AD=a cm,AB=b cm(ab4),半径为2 cm的O在矩形内且与 AB、AD均相切.现有动点P从A点出发,在矩形边上沿着ABCD的方向匀速移动,当点P到达D点停止 移动;O在矩形内部沿AD向右
13、匀速平移,移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回,当O回到出发时的 位置(即再次与AB相切)时停止移动.已知点P与O同时开始移动,同时停止移动(即同时到达各自的终止位 置). (1)如图,点P从ABCD,全程共移动了 cm(用含a、b的代数式表示); (2)如图,已知点P从A点出发,移动2 s到达B点,继续移动3 s,到达BC的中点,若点P与O的移动速度相等, 求在这5 s时间内圆心O移动的距离; (3)如图,已知a=20,b=10.是否存在如下情形:当O到达O1的位置时(此时圆心O1在矩形对角线BD上), DP与O1恰好相切?如存在,直接写出点P的移动速度v1与O移动速度v2的比值 ;如不存
14、在,请简 要说明理由.,解析 (1)a+2b. (2)在整个运动过程中,点P移动的距离为(a+2b)cm, 圆心O移动的距离为2(a-4)cm, 若点P与O的移动速度相等,则a+2b=2(a-4). 点P移动2 s到达B点,即点P用2 s移动了b cm,点P继续移动3 s,到达BC的中点,即点P用3 s移动了 a cm, = . 由解得 点P移动的速度与O移动的速度相等,O移动的速度为 =4(cm/s). 这5 s时间内圆心O移动的距离为54=20(cm). (3)存在这种情形. 由题意,得,= = = , 如图: 设直线OO1与AB交于E点,与CD交于F点,O1与AD相切于G点, 若PD与O
15、1相切,设切点为H,则O1G=O1H. 易得DO1GDO1H,ADB=BDP. BCAD,ADB=CBD,BDP=CBD,BP=DP.,设BP=x cm,则DP=x cm,PC=(20-x)cm, 在RtPCD中,由勾股定理,得PC2+CD2=PD2,即(20-x)2+102=x2, 解得x= , 此时点P移动的距离为10+ = (cm), EFAD,BEO1BAD, = ,即 = , EO1=16 cm,OO1=14 cm. 当O首次到达O1的位置时,O移动的距离为14 cm, 此时点P与O移动的速度比为 = , ,此时PD与O1不能相切; 当O在返回途中到达O1的位置时,O移动的距离为2(
16、20-4)-14=18(cm),此时点P与O移动的速度比为 = = , 此时PD与O1恰好相切.,思路分析 (1)根据AD=a cm,AB=b cm,可得答案; (2)根据圆O移动的距离与P点移动的距离相等,P点在AB和BC上移动的速度相等,可得方程组,进而得出a、 b的值,最后求出圆心O移动的距离; (3)根据相同时间内速度的比等于路程的比,可得 的值,分类讨论:当O首次到达O1的位置时,或当O 在返回途中到达O1的位置时,分别求出 的值,进行判断即可.,2.(2019天津,24,10分)在平面直角坐标系中,O为原点,点A(6,0),点B在y轴的正半轴上,ABO=30.矩形CODE 的顶点D
17、,E,C分别在OA,AB,OB上,OD=2. (1)如图1,求点E的坐标; (2)将矩形CODE沿x轴向右平移,得到矩形CODE,点C,O,D,E的对应点分别为C,O,D,E.设OO=t,矩形CO DE与ABO重叠部分的面积为S. 如图2,当矩形CODE与ABO重叠部分为五边形时,CE,ED分别与AB相交于点M,F,试用含有t的式子 表示S,并直接写出t的取值范围; 当 S5 时,求t的取值范围(直接写出结果即可).,解析 (1)由点A(6,0),得OA=6, 又OD=2,AD=OA-OD=4, 在矩形CODE中,有EDCO,得AED=ABO=30, 在RtAED中,AE=2AD=8, 由勾股
18、定理,得ED= =4 , 点E的坐标为(2,4 ). (2)由平移知,OD=2,ED=4 ,ME=OO=t, 由EDBO,得EFM=ABO=30, 在RtMFE中,MF=2ME=2t, 由勾股定理,得FE= = t, SMFE= MEFE= t t= t2, S矩形CODE=ODED=8 ,S=S矩形CODE-SMFE=8 - t2, S=- t2+8 ,其中t的取值范围是0t2. t6- . 提示:当0t2时,S=- t2+8 , t=0时,Smax=8 ;t=2时,Smin=6 ,6 S8 ,不在范围内. 当2t4时,如图,OA=6-t,DA=4-t, 根据勾股定理得ON= (6-t),D
19、F= (4-t),S= (6-t)+ (4-t)2=-2 t+10 , 2 S6 . 当S=5 时,t= , t4. 当4t6时,如图,OA=6-t,根据勾股定理得ON= (6-t), S= (6-t) (6-t)= t2-6 t+18 ,0S2 . 当S= 时,t1=6+ (舍去),t2=6- ,4t6- . 综上所述, t6- .,易错警示 此题为动态几何问题,需按矩形CODE与ABO重叠部分的形状变化分类讨论,若只画出其中 一种情况,则会因为考虑不全而产生错误.,3.(2018邯郸一模,25)如图1,图2中,正方形ABCD的边长为6,点P从点B出发沿边BCCD以每秒2个单位长度 的速度向
20、点D匀速运动,以BP为边作等边三角形BPQ,使点Q在正方形ABCD内或边上,当点Q恰好运动到AD 边上时,点P停止运动.设运动时间为t秒(t0). (1)当t=2时,点Q到BC的距离= ; (2)当点P在BC边上运动时,求CQ的最小值及此时t的值; (3)当点Q在AD边上时,如图2,求出t的值; (4)直接写出点Q运动路线的长.,解析 (1)当t=2时,BP=BQ=PQ=4, 过点Q作QMBP,垂足为M, QM=BQcos 30=4 =2 . (2)当点P在BC边上运动时,有QBC=60, 根据垂线段最短,可知当CQBQ时,CQ最小. 如图,在直角三角形BCQ中,QBC=60, BCQ=30,
21、BQ= BC=3. BP=BQ=3,t= .,CQ=BQtanQBC=3 . 故当点P在BC边上运动时,CQ的最小值为3 ,此时t= . (3)若点Q在AD边上,则CP=2t-6, BA=BC,BQ=BP,A=C=90, RtBAQRtBCP(HL). AQ=CP=2t-6, DQ=DP=12-2t. BP=PQ,且由勾股定理可得DQ2+DP2=QP2,BC2+CP2=BP2, 2(12-2t)2=62+(2t-6)2, 解得t1=9+3 (舍去),t2=9-3 . t=9-3 . (4)18-6 .,详解:如图. 当点P在BC上运动时,QBC=60不变,点Q的运动路线为BQ,BQ=6,当点P
22、在DC上运动时,点Q沿着与BQ垂 直的方向运动,运动路线为QQ. 理由:BQ=BP,QBQ=CBP=60-PBQ,BQ=BC, BQQBCP,BQQ=BCP=90,QQ=CP, 由第(3)问结果可知QQ=CP=2(9-3 )-6=12-6 . 点Q运动路线的长为6+12-6 =18-6 .,教师专用题组 一、点动 1.(2019吉林长春,23,10分)如图,在RtABC中,C=90,AC=20,BC=15.点P从点A出发,沿AC向终点C运动,同 时点Q从点C出发,沿射线CB运动,它们的速度均为每秒5个单位长度,点P到达终点时,P、Q同时停止运动. 当点P不与点A、C重合时,过点P作PNAB于点
23、N,连接PQ,以PN、PQ为邻边作PQMN.设PQMN与 ABC重叠部分图形的面积为S,点P的运动时间为t秒. (1)AB的长为 ; PN的长用含t的代数式表示为 . (2)当PQMN为矩形时,求t的值; (3)当PQMN与ABC重叠部分图形为四边形时,求S与t之间的函数关系式; (4)当过点P且平行于BC的直线经过PQMN一边中点时,直接写出t的值.,解析 (1)25;3t. 详解:在RtABC中,C=90,AC=20,BC=15, AB= = =25. sin A= , 由题可知AP=5t, PN=APsin A=5t =3t. (2)当PQMN为矩形时,NPQ=90, PNAB, PQA
24、B, = , 由题意可知AP=CQ=5t,CP=20-5t, = ,解得t= , 即当PQMN为矩形时,t= . (3)当PQMN与ABC重叠部分图形为四边形时,有两种情况. 第一种情况:如图1所示,PQMN在ABC内部.延长QM交AB于G点, 由(1)可知cos A=sin B= ,cos B= ,AP=5t,BQ=15-5t,PN=QM=3t. AN=APcos A=4t,BG=BQcos B=9-3t,QG=BQsin B=12-4t. PQMN在ABC内部,0QMQG, 03t12-4t,0t , 又NG=AB-AN-BG=25-4t-(9-3t)=16-t, 当0t 时,PQMN与A
25、BC重叠部分图形为PQMN,S与t之间的函数关系式为S=PNNG=3t(16-t) =-3t2+48t.,第二种情况:如图2所示,PQMN与ABC重叠部分图形为梯形PQGN. 此时0QGQM,即012-4t3t,解得 t3, 梯形PQGN的面积S= NG(PN+QG)= (16-t)(3t+12-4t)= t2-14t+96. 综上所述:当0t 时,S=-3t2+48t;当 t3时,S= t2-14t+96. 图1 图2,(4)t= 或 . 详解:当过点P且平行于BC的直线经过PQMN一边中点时,有两种情况. 第一种情况:如图3所示,PRBC,设PR与AB交于点K,R为MN的中点,过点R作RH
26、AB于H, PKN=HKR=B, NK= =3t = , NR=MR,HRPNQM, NH=GH= (16-t),HR= GM, GM=QM-QG=3t-(12-4t)=7t-12, HR= GM= (7t-12). KH= = (7t-12) = (7t-12), NK+KH=NH, t+ (7t-12)= (16-t), 解得t= . 第二种情况:如图4所示,PRBC,设PR与AB交于点K,R为MQ的中点,过点Q作QHPR于H, HPN=A=QRH,四边形PCQH为矩形, HQ=QRsinQRH= = , PC=20-5t, 20-5t= ,解得t= . 点P的运动时间t(秒)的取值范围为
27、0t4,而0 t,0 4, t= 与t= 均符合题意. 综上所述:当t= 或 时,过点P且平行于BC的直线经过PQMN一边中点.,图3 图4,思路分析 (1)根据勾股定理即可直接计算AB的长,根据锐角三角函数即可计算出PN的长. (2)当PQMN为矩形时,由PNAB可知PQAB,根据平行线分线段成比例定理可得 = ,即可计算出t 的值. (3)当PQMN与ABC重叠部分图形为四边形时,有两种情况:PQMN在ABC内部;PQMN有一部 分在ABC外部.进而计算面积S与t之间的函数关系式. (4)当过点P且平行于BC的直线经过PQMN一边中点时,有两种情况:过MN的中点,过QM的中点.分别 解三角
28、形求相关线段长,进而通过列方程计算t值.,2.(2018山东青岛,24,12分)已知:如图,四边形ABCD中,ABDC,CBAB,AB=16 cm,BC=6 cm,CD=8 cm,动点P 从点D开始沿DA边匀速运动,动点Q从点A开始沿AB边匀速运动,它们的运动速度均为2 cm/s.点P和点Q同 时出发,以QA、QP为边作平行四边形AQPE,设运动的时间为t(s),0t5. 根据题意解答下列问题: (1)用含t的代数式表示AP; (2)设四边形CPQB的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式; (3)当QPBD时,求t的值; (4)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点E在ABD的平分线上?若
29、存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.,解析 (1)如图,作DHAB于H,则四边形DHBC是矩形, CD=BH=8 cm,DH=BC=6 cm, AH=AB-BH=8 cm,AD= =10 cm, AP=AD-DP=(10-2t)cm. (2)如图,作PNAB于N,连接PB,在RtAPN中,PA=10-2t, PN=PAsinDAH= (10-2t),AN=PAcosDAH= (10-2t), BN=16-AN=16- (10-2t), S=SPQB+SBCP= (16-2t) (10-2t)+ 6 = t2- t+72. (3)当PQBD时,PQN+DBA=90,又QPN+PQN=90,
30、QPN=DBA,tanQPN= = , = , 解得t= , 经检验,t= 是分式方程的解, 当t= 时,PQBD. (4)存在. 理由:连接BE,交DH于K,作KMBD于M, 当BE平分ABD时,KBHKBM,KH=KM,BH=BM=8, 设KH=KM=x,在RtDKM中,(6-x)2=22+x2,解得x= , 作EFAB于F,则AEFQPN,EF=PN= (10-2t),AF=QN= (10-2t)-2t,BF=16- ,KHEF, = , 即 = , 解得t= , 经检验,t= 是分式方程的解, 当t= 时,点E在ABD的平分线上.,3.(2015内蒙古包头,25,12分)如图,四边形A
31、BCD中,ADBC,A=90,AD=1厘米,AB=3厘米,BC=5厘米,动点P 从点B出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动,动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD方向运动,P、Q两点 同时出发,当点Q到达点D时停止运动,点P也随之停止.设运动时间为t秒(t0). (1)求线段CD的长; (2)t为何值时,线段PQ将四边形ABCD的面积分为12两部分? (3)伴随P、Q两点的运动,线段PQ的垂直平分线为l, t为何值时,l经过点C? 求当l经过点D时t的值,并求出此时刻线段PQ的长.,解析 (1)作DEBC于点E. ADBC,A=90, 四边形ABED为矩形, BE=AD=1厘米,DE=AB=
32、3厘米, EC=BC-BE=4厘米. 在RtDEC中,DE2+EC2=DC2, DC= =5厘米. (2分) (2)点P的速度为1厘米/秒,点Q的速度为2厘米/秒,运动时间为t秒,BP=t厘米,PC=(5-t)厘米,CQ=2t厘米,QD=(5-2t)厘米,且0t2.5. 作QHBC于点H,DEQH,DEC=QHC, 又C=C,DECQHC, = , = , QH= t厘米. SPQC= PCQH= (5-t) t = 平方厘米, S四边形ABCD= (AD+BC)AB= (1+5)3=9平方厘米. 分两种情况讨论: 当SPQCS四边形ABCD=13时,- t2+3t= 9,t2-5t+5=0,
33、解得t1= ,t2= (舍). 当SPQCS四边形ABCD=23时, - t2+3t= 9,t2-5t+10=0, 0,方程无解. 当t= 时,线段PQ将四边形ABCD的面积分为12两部分. (6分) (3)如图.当PQ的垂直平分线l经过点C时,可知PC=QC,5-t=2t,3t=5,t= .,当t= 时,直线l经过点C. (8分),如图.连接DP. 当PQ的垂直平分线l经过点D时, 可知DQ=DP.,则在RtDEP中,DP2=DE2+EP2, DQ2=DE2+EP2, (5-2t)2=32+(t-1)2, t1=1,t2=5(舍), BP=1厘米. 当t=1时,直线l经过点D,此时点P与点E
34、重合. (10分) 如图.连接FQ,直线l是DPQ的对称轴. DEFDQF,DQF=90,EF=QF.,设EF=x厘米,则QF=x厘米,FC=(4-x)厘米, 在RtFQC中,FQ2+QC2=FC2, 即x2+22=(4-x)2,x= ,EF= 厘米. 在RtDEF中,DE2+EF2=DF2, 32+ =DF2,DF= 厘米. 在RtDEF中,EGDF,SDEF= DFEG= DEEF, EG= ,EG= 厘米, PQ=2EG= 厘米. (12分),评析 本题是四边形中的动点问题,考查勾股定理,三角形的相似,四边形与三角形的面积表示,线段的垂直 平分线等知识,解题关键是用含t的代数式表示线段长
35、和面积,题目计算量较大,对学生的计算能力有较高要 求.属难题.,二、线动 (2017四川绵阳,25,14分)如图,已知ABC中,C=90,点M从点C出发沿CB方向以1 cm/s的速度匀速运动,到 达点B停止运动,在点M的运动过程中,过点M作直线MN交AC于点N,且保持NMC=45.再过点N作AC的垂 线交AB于点F,连接MF,将MNF关于直线NF对称后得到ENF.已知AC=8 cm,BC=4 cm,设点M运动时间为 t(s),ENF与ANF重叠部分的面积为y(cm2). (1)在点M的运动过程中,能否使得四边形MNEF为正方形?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由; (2)求y关于t的函
36、数解析式及相应t的取值范围; (3)当y取最大值时,求sinNEF的值.,解析 (1)能. (1分) 如图,过F作FDBC于点D,四边形MNEF为正方形时,易知MN=MF,FMD=NMC=45, 因为CNM和FDM都是等腰直角三角形, 所以CM=MD=DF=t cm,所以BD=(4-2t) cm, 易证FDBACB,所以 = , (2分) 即 = ,解得t= . (4分) (2)如图,当点E恰好落在AB上时,连接ME,记EM与NF交于点O,由已知得,EO=OM=CM=t cm, 所以EM=2OM=2t cm, 易证EMBACB,所以 = , 即 = ,解得t=2. (5分) 当0t2时,易证A
37、NFACB,所以 = ,即 = ,解得NF= cm, (6分) 此时y= NFNC= t=- t2+2t; (7分) 当2t4时,如图,设NE与AB交于点K,过K作KLNF于点L,连接EM,交直线NF于点H, 易证KLFANF,所以 = , 因为NF= cm,且易知KL=NL,所以 = , 解得NL= cm,即KL= cm, (9分) 此时y= NFKL= = (8-t)2= t2- t+ . 综上所述,y= (10分) (3)由(2)知,当t=2时,y取得最大值, 此时,点E恰好落在AB上, (11分) 则有NM= t=2 cm, NE=NM=2 cm. 过N作NGAB,垂足为G,如图,AC
38、=8 cm,BC=4 cm,C=90,AB= =4 cm. 易知ANGABC, = ,即 = , NG= cm, (12分) sinNEF= = . (14分),三、图形动 1.(2018吉林,25,10分)如图,在矩形ABCD中,AB=2 cm,ADB=30.P,Q两点分别从A,B同时出发,点P沿折线 AB-BC运动,在AB上的速度是2 cm/s,在BC上的速度是2 cm/s;点Q在BD上以2 cm/s的速度向终点D运动.过 点P作PNAD,垂足为点N.连接PQ,以PQ,PN为邻边作PQMN.设运动时间为x(s),PQMN与矩形ABCD重 叠部分的图形面积为y(cm2). (1)当PQAB时
39、,x= ; (2)求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围; (3)直线AM将矩形ABCD的面积分成13两部分时,直接写出x的值. 备用图,解析 (1) . (2分) (2)当0x 时,如图,过点Q作QHAB于H. 由题意得QH= x,AP=2x. y=SPQMN=APQH=2x x=2 x2. (4分) y=2 x2. 当 x1时,如图,过点Q作QHAB于H.设QM与AD交于点G. y=S梯形PQGA= (QG+AP)QH = (2-x+2x) x= x2+ x. (6分) y= x2+ x. 当1x2时,如图,过点Q作QHAB于H.,y=S梯形PQGN= (QG+PN)GN = (2-x
40、+2) x-2 (x-1) = x2-3 x+4 . y= x2-3 x+4 . (8分),(3) 或 . (10分) 提示:由题意知BC=AD=ABtan 60=2 ,当E点在BC上时, = = = BE= BC= ,如图,作EFCD交BD于点F,设BD与AE的交点为O, 则BF= BD=2,由FEOBAO可得BO= BF= ,而AP=BQ=2x,由PQOA可得 = = x = .,同理,当E点在DC上时, = = = DE= AB=1,设AE、BD的交点为O,如图,由DEO BAO可得BO= BD= ,又AP=BQ=2x,且PQOA,所以 = = x= .,综上,x的值为 或 .,2.(2
41、017吉林,25,10分)如图,在RtABC中,ACB=90,A=45,AB=4 cm.点P从点A出发,以2 cm/s的速度沿 边AB向终点B运动.过点P作PQAB交折线ACB于点Q,D为PQ中点,以DQ为边向右侧作正方形DEFQ.设正 方形DEFQ与ABC重叠部分图形的面积是y(cm2),点P的运动时间为x(s). (1)当点Q在边AC上时,正方形DEFQ的边长为 cm(用含x的代数式表示); (2)当点P不与点B重合时,求点F落在边BC上时x的值; (3)当0x2时,求y关于x的函数解析式; (4)直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围.,解析 (1)x. (2分) (2
42、)如图,延长FE交AB于点G. 图 由题意,得AP=QP=2x cm. D为PQ的中点,DQ=x cm.GP=x cm,BG=2x cm. 2x+x+2x=4.x= . (4分) (3)如图,当0x 时,S正方形DEFQ=DQ2=x2 cm2.y=x2.,图 如图,当 x1时,过点C作CHAB于点H,交FQ于点K,则CH=2 cm.设FQ交BC于点M,EF交BC于点N.,图,PQ=AP=2x cm,CK=(2-2x)cm.MQ=2CK=(4-4x)cm. FM=x-(4-4x)=(5x-4)cm. 重叠部分图形的面积=S正方形DEFQ-SMNF= cm2.y=- x2+20x-8. 如图,当1x2时,PQ=BP=(4-2x)cm.DQ=(2-x)cm. 图 重叠部分图形的面积=SDEQ= DQ2= (x-2)2cm2.,y= x2-2x+2. (8分) (4)1x .详解:设BC的中点为R,由(3)可知, 当Q与C重合时,E恰好与R重合,此时x=1. 当Q与R重合时,x= . BC的中点落在正方形DEFQ的内部时,1x . (10分) 评分说明:第(3)题结果正确,不画图不扣分;3段取值范围共1分,每个解析式1分.,
