1、一、探究与拓展 1.(2018河南,22,10分) (1)问题发现 如图1,在OAB和OCD中,OA=OB,OC=OD,AOB=COD=40,连接AC,BD交于点M.填空: 的值为 ; AMB的度数为 ; (2)类比探究 如图2,在OAB和OCD中,AOB=COD=90,OAB=OCD=30,连接AC交BD的延长线于点M.请判 断 的值及AMB的度数,并说明理由; (3)拓展延伸,在(2)的条件下,将OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M.若OD=1,OB= ,请直接写出当点C 与点M重合时AC的长.,解析 (1)1. (1分) 40.(注:若填为40,不扣分)(2分) (2)
2、= ,AMB=90.(注:若无判断,但后续证明正确,不扣分)(4分) 理由如下: AOB=COD=90,OAB=OCD=30, = = , 又COD+AOD=AOB+AOD,即AOC=BOD, AOCBOD. (6分) = = ,CAO=DBO. AOB=90,DBO+ABD+BAO=90. CAO+ABD+BAO=90.AMB=90. (8分) (3)AC的长为2 或3 . (10分),【提示】在OCD旋转过程中,(2)中的结论仍成立,即 = ,AMB=90. 如图所示,当点C与点M重合时,AC1,AC2的长即为所求.,思路分析 (1)证明AOCBOD,得AC=BD,OAC=OBD,AMB=
3、AOB=40;(2)证明AOC BOD,得 = = ,OAC=OBD,AMB=AOB=90;(3)作图确定OCD旋转后点C的两个位置,分别 求出BD的长度,根据 = 得出AC的长.,方法规律 本题为类比探究拓展问题,首先根据题(1)中的特例感知解决问题的方法,类比探究,可以类比(1) 中解法,解(2)中的问题,得出结论,总结解答前两个问题所用的方法和所得结论,依据结论对(3)中的问题分 析,通过作图,计算得出结果.问题(3)直接求AC的两个值难度较大,可以先求出BD的两个值,根据 = ,再 求出AC的两个值.,2.(2017河南,22,10分)如图1,在RtABC中,A=90,AB=AC,点D
4、,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC, 点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点. (1)观察猜想 图1中,线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ; (2)探究证明 把ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断PMN的形状,并说明理由; (3)拓展延伸 把ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出PMN面积的最大值.,解析 (1)PM=PN;PMPN. (2分) (2)等腰直角三角形. (3分) 理由如下: 由旋转可得BAD=CAE.又AB=AC,AD=AE, BADCAE.BD=CE,ABD=ACE. (5分) 点P,M分别是DC
5、,DE的中点,PM是DCE的中位线. PM= CE且PMCE. 同理可证PN= BD且PNBD. PM=PN,MPD=ECD,PNC=DBC. (6分) MPD=ECD=ACD+ACE=ACD+ABD,DPN=PNC+PCN=DBC+PCN. MPN=MPD+DPN=ACD+ABD+DBC+PCN=ABC+ACB=90,即PMN为等腰直角三 角形. (8分),(3) . (10分) 详解:同(2)可证PMN是等腰直角三角形,PM=PN,PMPN. 又知PM= EC,SPMN= PM2= EC2, 当EC最大时,SPMN最大. 如图,EC的最大值为AE+AC=AD+AB=4+10=14, SPM
6、N的最大值为 .,二、思考与探究 (2017江苏南京,27,11分)折纸的思考. 【操作体验】 用一张矩形纸片折等边三角形. 第一步,对折矩形纸片ABCD(ABBC)(图),使AB与DC重合,得到折痕EF,把纸片展平(图). 第二步,如图,再一次折叠纸片,使点C落在EF上的P处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,折出PB、PC,得到 PBC.,(1)说明PBC是等边三角形. 【数学思考】 (2)如图,小明画出了图的矩形ABCD和等边三角形PBC.他发现,在矩形ABCD中把PBC经过图形变化, 可以得到图中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程.,(3)已知矩形一边长为3 cm,其邻边长为a c
7、m.对于每一个确定的a的值,在矩形中都能画出最大的等边三角 形.请画出不同情形的示意图,并写出对应的a的取值范围. 【问题解决】 (4)用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4 cm和1 cm的直角三角形铁片,所需正方形铁片的边长的最 小值为 cm.,解析 (1)证明:由折叠可知PB=PC,BP=BC, 因此PBC是等边三角形. (2)本题答案不唯一,下列解法供参考. 如图,以点B为中心,在矩形ABCD中把PBC按逆时针方向旋转适当的角度,得到P1BC1;再以点B为位似中 心,将P1BC1放大,使点C1的对应点C2落在CD上,得到P2BC2. (3)本题答案不唯一,下列解法供参考.,(4) .
8、如图,CEF是直角三角形,CEF=90,CE=4 cm,EF=1 cm.,四边形ABCD是正方形,A=D=90. 易证RtAEFRtDCE, = = , 设AE=x cm,CD=4x cm,则DE=3x cm. 在RtCDE中,CE=5x=4 cm, x= , AD=4x= cm, 所需正方形铁片的边长的最小值为 cm.,思路分析 (1)由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC,PB=CB,得出PBC是等边三角形;(2)依据旋 转的性质和位似的性质即可得出答案;(3)利用等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计 算,即可画出图形;(4)证明AEFDCE,得出 = = ,设AE=x
9、 cm,则AD=CD=4x cm,DE=AD-AE=3x cm,在RtCDE 中,由勾股定理得出方程,进而得出边长的最小值.,操作发现 (1)将图1中的ACD以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角,使=BAC,得到如图2所示的ACD,分别延 长BC和DC交于点E,则四边形ACEC的形状是 ;,三、实践与探究 (2016山西,22,12分)综合与实践 问题情境 在综合与实践课上,老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图1,将一张菱形纸片 ABCD(BAD90)沿对角线AC剪开,得到ABC和ACD.,(2)创新小组将图1中的ACD以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角,使=2BAC,得到如
10、图3所示的AC D,连接DB,CC,得到四边形BCCD,发现它是矩形.请你证明这个结论. 实践探究 (3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,量得图3中BC=13 cm,AC=10 cm,然后提出一个问题:将ACD 沿着射线DB方向平移a cm,得到ACD,连接BD,CC,使四边形BCCD恰好为正方形,求a的值.请你解 答此问题. (4)请你参照以上操作,将图1中的ACD在同一平面内进行一次平移,得到ACD,在图4中画出平移后构造 出的新图形,标明字母,说明平移及构图方法,写出你发现的结论,不必证明. 图4,解析 (1)菱形. (2)证明:如图,作AECC于点E. 由旋转得AC=AC,CAE=
11、CAE= =BAC. 由题意知BA=BC,BCA=BAC. CAE=BCA,AEBC. 同理,AEDC,BCDC. 又BC=DC,四边形BCCD是平行四边形. 又AEBC,CEA=90, BCC=180-CEA=90,四边形BCCD是矩形. (3)过点B作BFAC,垂足为F. BA=BC,CF=AF= AC= 10=5(cm). 在RtBCF中,BF= = =12(cm). 在ACE和CBF中,CAE=BCF,CEA=BFC=90,ACECBF. = ,即 = ,解得CE= . 当四边形BCCD恰好为正方形时,分两种情况: 点C在边CC上,a=CC-13= -13= . 点C在CC的延长线上,
12、a=CC+13= +13= . 综上所述,a的值为 或 . (4)答案不唯一.,例:如图. 平移及构图方法:将ACD沿着射线CA方向平移,平移距离为 AC的长度,得到ACD,连接AB,DC. 结论:四边形ABCD是平行四边形.,教师专用题组 一、探究与拓展 1.(2019陕西,25,12分)问题提出 (1)如图,已知ABC,试确定一点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形,请画出这个平行 四边形. 问题探究 (2)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=10.若要在该矩形中作出一个面积最大的BPC,且使BPC=90,求满 足条件的点P到点A的距离. 问题解决 (3)如图,有一座塔A
13、,按规划,要以塔A为对称中心,建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE. 根据实际情况,要求顶点B是定点,点B到塔A的距离为50 m,CBE=120.那么,是否可以建一个满足要求的 面积最大的平行四边形景区BCDE?若可以,求出满足要求的BCDE的最大面积;若不可以,请说明理由.(塔 A的占地面积忽略不计),解析 (1)如图,ABCD即为所求(只要作出符合条件的一个平行四边形即可). (2分) 图 (2)如图,图,AB=4,BC=10, 取BC的中点O,则OBAB. 以点O为圆心,OB长为半径作O,O一定与AD相交于P1、P2两点, 连接P1B、P1O、P1C. BPC=90,点P不
14、能在矩形外, BPC的顶点P在 或 上. 显然,当顶点P在P1或P2位置时,BPC的面积最大. (5分) 作P1EBC,垂足为E,则OE=3. AP1=BE=OB-OE=5-3=2. 由对称性,得AP2=8. (7分) (3)可以,如图,连接BD. A为BCDE的对称中心,BA=50,CBE=120,BD=100,BED=60. 作BDE的外接圆O,则点E在优弧 上.取 的中点E,连接EB、ED,则EB=ED,且BED=60. EBD为正三角形. 连接EO并延长,经过点A至C,使EA=AC,连接BC、CD. 图 EABD, 四边形EBCD为菱形,且CBE=120. (9分) 作EFBD,垂足为
15、F,连接EO,则EFEO+OA=EO+OA=EA. (10分) SBDE= BDEF BDEA=SBED. (11分) SBCDES菱形BCDE=2SBDE=1002sin 60=5 000 (m2). 符合要求的BCDE的最大面积为5 000 m2. (12分),难点突破 存在性问题是探究型问题中的一种典型性问题,难度比较大.这类题的探究方法一般有两种:(1) 直接求解法:就是直接从已知条件入手,逐步求解,求出满足条件的对象;(2)假设求解法:就是先假设结论存 在,再从已知条件、定义、定理或公理出发,进行推理,若得到和题意相符的结论,则假设成立,结论也存在, 否则,假设不成立,结论不存在.,
16、2.(2015湖北随州,24,10分)问题:如图(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,EAF=45,试判断 BE、EF、FD之间的数量关系. 【发现证明】 小聪把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图(1)证明上述结论. 【类比引申】 如图(2),四边形ABCD中,BAD90,AB=AD,B+D=180,点E、F分别在边BC、CD上,则当EAF与 BAD满足 关系时,仍有EF=BE+FD. 【探究应用】 如图(3),在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米,B=60,ADC=120, BAD=150,道路BC、
17、CD上分别有景点E、F,且AEAD,DF=40( -1)米,现要在E、F之间修一条笔直道路, 求这条道路EF的长.(结果取整数,参考数据: =1.41, =1.73),解析 【发现证明】 证明:ADGABE, AG=AE,DAG=BAE,DG=BE, 又EAF=45,即DAF+BEA=EAF=45, GAF=FAE, 在GAF和FAE中, AFGAFE(SAS).GF=EF. 又DG=BE,GF=BE+DF,BE+DF=EF. 【类比引申】 BAD=2EAF. 理由如下:如图,延长CB至M,使BM=DF,连接AM,ABC+D=180,ABC+ABM=180, D=ABM, 在ABM和ADF中,
18、 ABMADF(SAS), AF=AM,DAF=BAM, BAD=2EAF,DAF+BAE=EAF, EAB+BAM=EAM=EAF,在FAE和MAE中, FAEMAE(SAS), EF=EM=BE+BM=BE+DF. 即EF=BE+DF. 【探究应用】 如图,把ABE绕点A逆时针旋转150至ADG,连接AF. BAD=150,DAE=90,BAE=60.,又B=60,ABE是等边三角形,BE=AB=80米. 根据旋转的性质得到ADG=B=60, 又ADF=120,GDF=180,即点G在CD的延长线上. 易得ADGABE, AG=AE,DAG=BAE,DG=BE, 又EAG=BAD=150,
19、GAF=FAE, 在GAF和FAE中, AFGAFE(SAS).GF=EF. 又DG=BE,GF=BE+DF, EF=BE+DF=80+40( -1)109(米), 即这条道路EF的长约为109米.,3.(2017江西,23,12分)我们定义:如图1,在ABC中,把AB绕点A顺时针旋转(0180)得到AB,把AC绕点A 逆时针旋转得到AC,连接BC.当+=180时,我们称ABC是ABC的“旋补三角形”,ABC边BC上 的中线AD叫做ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”. 特例感知 (1)在图2,图3中,ABC是ABC的“旋补三角形”,AD是ABC的“旋补中线”. 如图2,当ABC为等边三
20、角形时,AD与BC的数量关系为AD= BC; 如图3,当BAC=90,BC=8时,则AD的长为 . 猜想论证 (2)在图1中,当ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.,拓展应用 (3)如图4,在四边形ABCD中,C=90,D=150,BC=12,CD=2 ,DA=6.在四边形内部是否存在点P,使 PDC是PAB的“旋补三角形”?若存在,给予证明,并求PAB的“旋补中线”长;若不存在,说明理由.,图4,解析 (1) . (1分) 4. (3分) (2)猜想:AD= BC. (4分) 证明:证法一:如图,延长AD至E,使DE=AD,连接BE,CE. AD是ABC的“旋补中线”
21、, BD=CD, 四边形ABEC是平行四边形, ECBA,EC=BA,ACE+BAC=180. 由定义可知BAC+BAC=180,BA=BA,AC=AC, ACE=BAC,EC=BA. ACECAB. AE=CB. (6分) AD= AE,AD= BC. (7分) 证法二:如图,延长BA至F,使AF=BA,连接CF. BAC+CAF=180.,由定义可知BAC+BAC=180,BA=BA,AC=AC, CAB=CAF,AB=AF, ABCAFC, BC=FC. (6分) BD=CD,BA=AF, AD是BFC的中位线, AD= FC, AD= BC. (7分) 证法三:如图,将ABC绕点A顺时
22、针旋转CAC的度数,得到AEC,此时AC与AC重合,设D的对应点为D, 连接AD.,由定义可知BAC+BAC=180, 由旋转得BAC=EAC, BAC+EAC=180, E,A,B三点在同一直线上. (6分) AB=AB=AE,ED=DC, AD是EBC的中位线, AD= BC, AD= BC. (7分),(注:其他证法参照给分) (3)存在. (8分) 如图,以AD为边在四边形ABCD的内部作等边PAD,连接PB,PC,延长BP交AD于点F, 则有ADP=APD=60,PA=PD=AD=6. CDA=150,CDP=90. 过点P作PEBC于点E,易知四边形PDCE为矩形, CE=PD=6
23、,tan1= = = , 1=30,2=60. (9分) PEBC,且易知BE=EC, PC=PB,3=2=60, APD+BPC=60+120=180. 又PA=PD,PB=PC, PDC是PAB的“旋补三角形”. (10分) 3=60,DPE=90,DPF=30. ADP=60,BFAD, AF= AD=3,PF= AD=3 . 在RtPBE中, PB= = = =4 .,BF=PB+PF=7 . 在RtABF中,AB= = =2 . (11分) PDC是PAB的“旋补三角形”, 由(2)知,PAB的“旋补中线”长为 AB= . (12分) 求解“旋补中线”补充解法如下: 如图,分别延长A
24、D,BC相交于点G, ADC=150,BCD=90,GDC=30,GCD=90. 在RtGDC中,GD= =2 =4. GC= GD=2, GA=6+4=10,GB=2+12=14. 过A作AHGB交GB于点H,在RtGAH中, AH=GAsin 60=10 =5 ,GH= AG=5. HB=GB-GH=14-5=9, 在RtABH中,AB= = =2 . (10分) PDC是PAB的“旋补三角形”, 由(2)知,PAB的“旋补中线”长为 AB= . (12分) (注:其他解法参照给分),二、思考与探究 1.(2019贵州贵阳,25,12分) (1)数学理解:如图,ABC是等腰直角三角形,过斜
25、边AB的中点D作正方形DECF,分别交BC,AC于点E,F,求 AB,BE,AF之间的数量关系; (2)问题解决:如图,在任意直角ABC内,找一点D,过点D作正方形DECF,分别交BC,AC于点E,F,若AB=BE +AF,求ADB的度数; (3)联系拓广:如图,在(2)的条件下,分别延长ED,FD,交AB于点M,N,求MN,AM,BN的数量关系.,解析 (1)四边形DECF为正方形且D为等腰直角ABC斜边AB的中点, AF=FC=CE=EB=DE=FD, 在RtAFD和RtBED中, AD= AF,BD= BE, AB=AD+BD= (AF+BE). (2)四边形DECF是正方形, DF=D
26、E, 将ADF以点D为旋转中心,逆时针旋转90得到ADE,如图, AD=AD,AF=AE,且ADA=90. AB=BE+AF,AB=BE+AE=AB. 在ABD和ABD中, ,ABDABD,ADB=ADB, ADB= = =135. (3)由(2)得,AD,BD分别是CAB和CBA的平分线, MAD=FAD,NBD=EBD, 由题意得EMCA,FNCB, MDA=FAD,NDB=EBD, MDA=MAD,NDB=NBD,AM=MD,ND=BN. 在RtMDN中,MN2=MD2+ND2, MN2=AM2+BN2.,2.(2017山东临沂,25,11分)数学课上,张老师出示了问题:如图1,AC、B
27、D是四边形ABCD的对角线,若ACB= ACD=ABD=ADB=60,则线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系? 经过思考,小明展示了一种正确的思路:如图2,延长CB到E,使BE=CD,连接AE,证得ABEADC,从而容 易证明ACE是等边三角形,故AC=CE,所以AC=BC+CD. 小亮展示了另一种正确的思路:如图3,将ABC绕着点A逆时针旋转60,使AB与AD重合,从而容易证明,ACF是等边三角形,故AC=CF,所以AC=BC+CD. 在此基础上,同学们作了进一步的研究: (1)小颖提出:如图4,如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改为“ACB=ACD=ABD=ADB =45”
28、,其他条件不变,那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?针对小颖提出的问题,请你写出结论,并 给出证明;,(2)小华提出:如图5,如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改为“ACB=ACD=ABD=ADB =”,其他条件不变,那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?针对小华提出的问题,请你写出结论,不用 证明.,解析 (1)BC+CD= AC. 证明:如图,延长CB到E,使BE=CD,连接AE. ACB=ACD=ABD=ADB=45, BAD=90,BCD=90,AD=AB. ABC+ADC=180,又ABE+ABC=180, ADC=ABE.ADCABE. AC=AE,C
29、AD=EAB.EAC=BAD=90. CE= AC,BC+CD= AC.,(2)BC+CD=2ACcos . (证明:如图,延长CB到E,使BE=CD,连接AE. ACB=ACD=ABD=ADB=, BAD=180-2,BCD=2,AD=AB. BAD+BCD=180, ABC+ADC=180. 又ABE+ABC=180, ADC=ABE,ADCABE,AC=AE.,过点A作AFCE,则EC=2CF. 在RtACF中,CF=ACcos . EC=2ACcos ,BC+CD=2ACcos .),一题多解 (1)BC+CD= AC. 证明:ACB=ACD=ABD=ADB=45, BAD=90,BC
30、D=90. ABC+ADC=180. 将ABC绕着点A逆时针旋转90至ADF, 使AB与AD重合. DF=BC,F=ACB=45,CAF=90,ADF=ABC. ADF+ADC=180. C、D、F三点在同一条直线上. CF= AC.BC+CD= AC.,3.(2018山西,22,12分)综合与实践 问题情境:在数学活动课上,老师出示了这样一个问题:如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AB延长线上一 点,且BE=AB,连接DE,交BC于点M,以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG,连接AM.试判断线段AM与 DE的位置关系. 探究展示:勤奋小组发现,AM垂直平分DE,并展示了如下的
31、证明方法:,图1,证明:BE=AB,AE=2AB. AD=2AB,AD=AE. 四边形ABCD是矩形, ADBC. = .(依据1) BE=AB, =1.EM=DM. 即AM是ADE的DE边上的中线, 又AD=AE,AMDE.(依据2) AM垂直平分DE. 反思交流: (1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么? 试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上,请直接回答,不必证明;,(2)创新小组受到勤奋小组的启发,继续进行探究,如图2,连接CE,以CE为一边在CE的左下方作正方形CE- FG,发现点G在线段BC的垂直平分线上,请你给出证明. 探索发现: (3)如图3,连接CE,
32、以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG,可以发现点C,点B都在线段AE的垂直平分线 上,除此之外,请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边,你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上, 请写出一个你发现的结论,并加以证明. 图2,图3,解析 (1)依据1:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比例). (1分) 依据2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”). (2分) 点A在线段GF的垂直平分线上. (3分) (2)证明:过点G作GHBC于点H. (4分) 四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上, CBE=A
33、BC=GHC=90. 1+2=90.,四边形CEFG为正方形, CG=CE,GCE=90. 1+3=90,2=3. GHCCBE. (6分) HC=BE.四边形ABCD是矩形,AD=BC. AD=2AB,BE=AB,BC=2BE=2HC,HC=BH. GH垂直平分BC. 点G在BC的垂直平分线上. (7分) (3)点F在BC边的垂直平分线上(或点F在AD边的垂直平分线上).(8分) 证法一:过点F作FMBC于点M,过点E作ENFM于点N. (9分),BMN=ENM=ENF=90. 四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上, CBE=ABC=90. 四边形BENM为矩形. (10分) BM=E
34、N,BEN=90. 1+2=90. 四边形CEFG为正方形,EF=EC,CEF=90.2+3=90. 1=3. CBE=ENF=90, ENFEBC. (11分) NE=BE.BM=BE. 四边形ABCD是矩形,AD=BC. AD=2AB,AB=BE,BC=2BM. BM=MC. FM垂直平分BC,点F在BC边的垂直平分线上. (12分) 证法二:过F作FNBE交BE的延长线于点N,连接FB,FC. (9分),四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上, CBE=ABC=N=90. 1+3=90. 四边形CEFG为正方形,EC=EF,CEF=90. 1+2=90,2=3. ENFCBE. (1
35、0分) NF=BE,NE=BC.,四边形ABCD是矩形,AD=BC. AD=2AB,BE=AB,设BE=a,则BC=EN=2a,NF=a. BF= = = a, CE= = = a, CF= = CE= a. (11分) BF=CF. 点F在BC边的垂直平分线上. (12分),三、实践与探究 1.(2018陕西,25,12分)问题提出 (1)如图,在ABC中,A=120,AB=AC=5,则ABC的外接圆半径R的值为 . 问题探究 (2)如图,O的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点,P是O上一动点,求PM的最大值. 问题解决 (3)如图所示,AB、AC、 是某新区的三条规划路,其中,AB=
36、6 km,AC=3 km,BAC=60, 所对的圆心 角为60.新区管委会想在 路边建物资总站点P,在AB、AC路边分别建物资分站点E、F,也就是,分别在 、线段AB和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按PEFP 的路径进行运输,因此,要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP.为了快捷、环保和节约成本,要使得线 段PE、EF、FP之和最短,试求PE+EF+FP的最小值.(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不 计),解析 (1)5. (2分) 详解:如图,设O是ABC的外接圆的圆心, OA=OB=OC,又AB=AC,AOBAOC, BAO=CAO, BAC=120,BAO=60, ABO是等边三角形,AB=OA=OB=5. 即ABC的外接圆半径R的值为5. (2)如图,连接MO,并延长与O相交于点P, 连接OA,OP.,M是弦AB的中点, OMAB,AM= AB=12. (4分) 在RtAOM中,OM= =5. PMOM+OP=OM+OP=MP=18, 当点P运动到P时,PM取得最大值,为18. (5分) (3)如图,设P为 上任意一点, 分别作点P关于直线AB、AC的对称点P1、P2,连接P1P2, 分别与AB、AC相交于点E、F,
