1、A组 20152019年山东中考题组,考点一 分式方程及其解法,1.(2018德州,8,4分)分式方程 -1= 的解为 ( ) A.x=1 B.x=2 C.x=-1 D.无解,答案 D 方程两边同乘(x-1)(x+2),得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,解得x=1.经检验x=1不是原分式方程的解,故原方 程无解.,2.(2015枣庄,6,3分)已知关于x的分式方程 =1的解为正数,则字母a的取值范围是 ( ) A.a-1 B.a-1 C.a-1 D.a-1,答案 B 两边同时乘(x+1),得2x-a=x+1,x=1+a.显然当1+a-1,即a-2时,分式方程有解.因为分式方程的 解为正
2、数,所以1+a0,a-1,故选B.,归纳拓展 围绕这个题设,还可以编出一些题组: (1)若关于x的分式方程 =1有增根,则增根为 ;此时a= ; (2)若关于x的分式方程 =1的解为负数,则字母a的取值范围是 ; (3)若关于x的分式方程 =1的解不在x2的范围内,则字母a的取值范围是 .,易错警示 解分式方程一定要注意检验,检验是把所求的结果代入最简公分母,看其是不是0,如果公分母不 是0,则这个解是分式方程的解;若公分母等于0,则分式方程无解.,3.(2017聊城,7,3分)如果关于x的分式方程 - =1出现增根,那么m的值为 ( ) A.-2 B.2 C.4 D.-4,答案 D 去分母,
3、得m+2x=x-2,解得x=-2-m,当分母x-2=0,即x=2时方程出现增根,-2-m=2,m=-4.,4.(2019德州,14,4分)方程 - =1的解为 .,答案 x=-4,解析 - =1, 6-3(x+1)=(x+1)(x-1), 6-3x-3=x2-1, x2+3x-4=0, x=-4或x=1. 经检验,x=1是方程的增根,故方程的解为x=-4.,5.(2019滨州,14,5分)方程 +1= 的解是 .,答案 x=1,解析 去分母,得x-3+x-2=-3, 移项、合并同类项,得2x=2, 解得x=1, 检验:当x=1时,x-20, 所以原方程的解为x=1.,6.(2019烟台,14,
4、3分)若关于x的分式方程 -1= 有增根,则m的值为 .,答案 3,解析 -1= , 去分母,得3x-(x-2)=m+3,x= . 原分式方程有增根, =2,m=3.,7.(2017泰安,21,3分)分式 与 的和为4,则x的值为 .,答案 3,解析 根据题意,得 + =4,方程两边同乘(x-2),得7-x=4(x-2),解这个整式方程,得x=3.检验:当x=3时,x- 2=1,所以x=3是原方程的根,所以x的值为3.,8.(2018潍坊,14,3分)当m= 时,解分式方程 = 会出现增根.,答案 2,解析 方程两边同乘(x-3),得 x-5=-m, 即x=5-m, 若方程会产生增根,则增根为
5、x=3, 所以5-m=3, 解得m=2.,思路分析 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根,所以要确定增根的可能值,即让最简公分 母x-3=0,得到x=3,然后代入求m的值.,方法总结 增根问题可按如下步骤解决:让最简公分母为0确定增根;化分式方程为整式方程;把增根 代入整式方程即可求得相关字母的值.,9.(2019临沂,20,7分)解方程: = .,解析 去分母得5x=3x-6, 解得x=-3, 经检验,x=-3是分式方程的解.,解后反思 解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定要 注意验根.,考点二 分式方程的应用,1.(2019济宁,6,3分
6、)世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设,“孔夫子家”自此有了5G网络.5G网 络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍,在峰值速率下传输500兆数据,5G网络比4G网络快45秒,求这两种网 络的峰值速率.设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据,依题意,可列方程是 ( ) A. - =45 B. - =45 C. - =45 D. - =45,答案 A 依题意,可列方程是 - =45.,2.(2018临沂,10,3分)新能源汽车环保节能,越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场,一汽贸公司经 销某品牌新能源汽车,去年销售总额为5 000万元.今年15月份,每辆车的销售价格比去年降低1万元
7、,销售数 量与去年一整年的相同.销售总额比去年一整年的少20%.今年15月份每辆车的销售价格是多少万元?设今 年15月份每辆车的销售价格为x万元.根据题意,列方程正确的是 ( ) A. = B. = C. = D. =,答案 A 去年一整年的销售数量为 ,今年15月份的销售数量为 ,根据相等关系“今 年15月份的销售数量=去年一整年的销售数量”可列方程 = .,3.(2018淄博,10,4分)“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨 季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成了这一任务.设实际工作时 每天绿化的面积为x万平方
8、米,则下面所列方程中正确的是 ( ) A. - =30 B. - =30 C. - =30 D. - =30,答案 C 根据“原计划天数-实际天数=30天”可列C项中的方程.,4.(2017德州,10,3分)某校美术社团为练习素描,他们第一次用120元买了若干本资料,第二次用240元在同一 商家买同样的资料,这次商家每本优惠4元,结果比上次多买了20本.求第一次买了多少本资料.若设第一次 买了x本资料,列方程正确的是 ( ) A. - =4 B. - =4 C. - =4 D. - =4,答案 D 根据题意可知,第一次购买资料的单价为 元,第二次购买资料的单价为 元,故有 - =4.,5.(2
9、016青岛,6,3分)A,B两地相距180 km,新修的高速公路开通后,在A,B两地间行驶的长途客车平均车速提 高了50%,而从A地到B地的时间缩短了1 h.若设原来的平均车速为x km/h,则根据题意可列方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1,答案 A 原来的平均车速为x km/h,则新修的高速公路开通后的车速为(1+50%)x km/h,原来的行驶时间为 h,新修的高速公路开通后的行驶时间为 h,则有 - =1,故选A.,思路分析 先根据题意表示出新修的高速公路开通后的车速、原来的行驶时间和现在的行驶时间,再根据 原来和现在的行驶时间之间的关系列出方
10、程.,6.(2019威海,19,7分)列方程解应用题: 小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球.他们到体育公园的距离分别是1 200米,3 000米.小刚骑自行车 的速度是小明步行速度的3倍,若二人同时到达,则小明需提前4分钟出发,求小明和小刚两人的速度.,解析 设小明的速度为x米/分钟,则小刚的速度为3x米/分钟, 根据题意得 -4= , 解得x=50, 经检验,x=50是分式方程的解,且符合题意. 所以3x=150. 答:小明的速度为50米/分钟,小刚的速度为150米/分钟.,7.(2019菏泽,18,6分)列方程(组)解应用题: 德上高速公路巨野至单县段正在加速建设,预计2019年8月竣
11、工.届时,如果汽车行驶在高速公路上的平均速 度比在普通公路上的平均速度提高80%,那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间 将会缩短36分钟,求该汽车在高速公路上的平均速度.,解析 设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x千米/分钟,则汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8x千 米/分钟, 由题意得 +36= . 解得x=1. 经检验,x=1是所列方程的根,且符合题意. 所以1.8x=1.8. 答:汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8千米/分钟.,8.(2019青岛,20,8分)甲、乙两人加工同一种零件,甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍,两人各加工 600个这种零件,
12、甲比乙少用5天. (1)求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件; (2)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元,现有3 000个这种零件的加工任务,甲 单独加工一段时间后另有安排,剩余任务由乙单独完成,如果总加工费不超过7 800元,那么甲至少加工了多 少天?,解析 (1)设乙每天加工x个零件,则甲每天加工1.5x个零件, 由题意得 = +5, 化简得6001.5=600+51.5x, 解得x=40, 经检验,x=40是分式方程的解且符合实际意义. 则1.5x=60. 答:甲每天加工60个零件,乙每天加工40个零件. (2)设甲加工了m天,乙加工了n天,则由题意得, 由得
13、n=75-1.5m, 将代入得150m+120(75-1.5m)7 800,解得m40. 答:甲至少加工了40天.,思路分析 (1)设乙每天加工x个零件,则甲每天加工1.5x个零件,根据等量关系“两人各加工600个这种零 件,甲比乙少用5天”列分式方程求解. (2)设甲加工了m天,乙加工了n天,根据等量关系“甲、乙两人共加工3 000个零件”列方程;根据不等关系 “总加工费不超过7 800元”列不等式,将方程和不等式综合考虑求解即可.,B组 20152019年全国中考题组,考点一 分式方程及其解法,1.(2018四川成都,8,3分)分式方程 + =1的解是 ( ) A.x=1 B.x=-1 C
14、.x=3 D.x=-3,答案 A + =1, (x+1)(x-2)+x=x(x-2), x2-x-2+x=x2-2x, x=1, 检验,当x=1时,x(x-2)0. 所以x=1是原分式方程的解.故选A.,2.(2017河南,4,3分)解分式方程 -2= ,去分母得 ( ) A.1-2(x-1)=-3 B.1-2(x-1)=3 C.1-2x-2=-3 D.1-2x+2=3,答案 A 分式方程两边同乘(x-1),得1-2(x-1)=-3.故选A.,3.(2017四川凉山,9,4分)若关于x的方程x2+2x-3=0与 = 有一个解相同,则a的值为 ( ) A.1 B.1或-3 C.-1 D.-1或3
15、,答案 C 解方程x2+2x-3=0得x1=1,x2=-3,x=-3是方程 = 的增根,x=1,将x=1代入方程 = , 得 = ,解得a=-1.经检验,a=-1是分式方程 = 的解.故选C.,4.(2017重庆A卷,12,4分)若数a使关于x的分式方程 + =4的解为正数,且使关于y的不等式组 的解集为y-2,则符合条件的所有整数a的和为 ( ) A.10 B.12 C.14 D.16,答案 A 解分式方程 + =4得x= . 分式方程的解为正数, 0且 1, a6且a2. 解不等式,得y-2. 解不等式,得ya. 不等式组的解集为y-2, a-2, -2a6且a2. a为整数,a=-2,-
16、1,0,1,3,4,5, 符合条件的所有整数a的和为10. 故选A.,5.(2018内蒙古呼和浩特,17(2),5分)解方程: +1= .,解析 +1= , x-3+x-2=-3,解得x=1. 检验:当x=1时,x-20, 所以,x=1是原分式方程的解.,考点二 分式方程的应用,1.(2018云南昆明,13,4分)甲、乙两船从相距300 km的A,B两地同时出发相向而行,甲船从A地顺流航行180 km时与从B地逆流航行的乙船相遇,水流的速度为6 km/h,若甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h,则求两 船在静水中的速度可列方程为 ( ) A. = B. = C. = D. =,答案 A 甲
17、船航行的速度为(x+6)km/h,则航行180 km用时 h,乙船航行的速度为(x-6)km/h,航行了300 -180=120 km,则用时 h,两船航行时间相同,则可列方程为 = ,故选A.,2.(2018湖南益阳,9,4分)体育测试中,小进和小俊进行800米跑测试,小进的速度是小俊的1.25倍,小进比小俊 少用了40秒,设小俊的速度是x 米/秒,则所列方程正确的是 ( ) A.401.25x-40x=800 B. - =40 C. - =40 D. - =40,答案 C 小俊的速度是x 米/秒,则小进的速度为1.25x米/秒,小俊所用时间为 秒,小进所用时间为 秒,所列方程为 - =40
18、,故选C.,思路分析 小俊的速度是x 米/秒,则小进的速度为1.25x米/秒,分别求出两人所用的时间,根据“小进比小俊 少用了40秒”列方程即可.,3.(2018新疆乌鲁木齐,19,10分)某校组织学生去9 km外的郊区游玩,一部分学生骑自行车先走,半小时后,其 他学生乘公共汽车出发,结果他们同时到达.已知公共汽车的速度是自行车速度的3倍,求自行车的速度和公 共汽车的速度分别是多少.,解析 设自行车的速度为x km/h,则公共汽车的速度为3x km/h.依题意,得 - = . (6分) 解得x=12, 经检验,x=12是原方程的解且符合题意,3x=36. 答:自行车的速度是12 km/h,公共
19、汽车的速度是36 km/h. (10分),思路分析 设出自行车的速度,根据骑自行车与乘公共汽车的时间差列出分式方程,解之即可.,C组 教师专用题组,考点一 分式方程及其解法,1.(2018湖北荆州,5,3分)解分式方程 -3= 时,去分母可得( ) A.1-3(x-2)=4 B.1-3(x-2)=-4 C.-1-3(2-x)=-4 D.1-3(2-x)=4,答案 B 原方程为 -3= ,即 -3=- ,两边同时乘以(x-2),得1-3(x-2)=-4.,2.(2018湖南张家界,2,3分)若关于x的分式方程 =1的解为x=2,则m的值为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2,答案 C 关于x
20、的分式方程 =1的解为x=2, =1,解得m=3.故答案是3.,3.(2016黑龙江龙东地区,16,3分)关于x的分式方程 =2的解是负数,则字母m的取值范围是 ( ) A.m2 B.m-2 D.m-2,答案 B 方程 =2,解得x=m-2. 关于x的分式方程 =2的解是负数,x=m-20,m2.又m-21,m3,m2.故答案为B.,4.(2018江苏无锡,13,3分)方程 = 的解是 .,答案 x=-,解析 两边同时乘以x(x+1),得 (x-3)(x+1)=x2, 即-2x-3=0, 解得x=- . 检验:当x=- 时,x(x+1)=- =- = 0, x=- 是原方程的解.,5.(201
21、8广西柳州,22,8分)解方程: = .,解析 去分母,得2(x-2)=x, (3分) 去括号,移项,合并同类项,得x=4. (6分) 检验:当x=4时,x(x-2)=42=80, 故x=4是原分式方程的根. (8分),思路分析 先将分式方程转化为整式方程,然后按步骤求解,最后检验所求的根是否有意义.,6.(2018广西贵港,19(2), 5分)解分式方程: +1= .,解析 方程两边同乘以(x2-4),得4+(x2-4)=x+2, 即x2-x-2=0,解得x=-1或x=2, 检验:当x=-1时,x2-4=-30, 当x=2时,x2-4=0, 所以方程 +1= 的解为x=-1.,7.(2017
22、湖北随州,18,6分)解分式方程: +1= .,解析 原方程可化为3+x2-x=x2, 解得x=3. 检验:当x=3时,x(x-1)0, 所以,原分式方程的解为x=3.,考点二 分式方程的应用,1.(2017新疆,8,5分)某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器,现在生产600台机器所需的时间与原计 划生产480台机器所用的时间相同.设原计划每天生产x台机器,根据题意,下面列出的方程正确的是 ( ) A. = B. = C. = D. =,答案 B 原计划平均每天生产x台机器,则现在每天生产(x+40)台机器,根据“现在生产600台机器所需的 时间与原计划生产480台机器所用的时间相同”,
23、得 = .故选B.,2.(2016广东深圳,9,3分)施工队要铺设一段全长2 000米的管道,因在中考期间需停工两天,实际每天施工需 比原计划多50米,才能按时完成任务,求原计划每天施工多少米.设原计划每天施工x米,则根据题意所列方 程正确的是 ( ) A. - =2 B. - =2 C. - =2 D. - =2,答案 A 原计划每天施工x米,则实际施工(x+50)米,原计划施工 天,实际施工 天,原计划施 工天数比实际施工天数多2天, - =2.,3.(2018湖南衡阳,8,3分)衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树,原计划总产值30万千克,为了满足市场需 求,现决定改良梨树品种,改良后平均
24、每亩产量是原来的1.5倍,总产量比原计划增加了6万千克,种植亩数减 少了10亩,则原来平均每亩产量是多少万千克?设原来平均每亩产量为x万千克,根据题意,列方程为 ( ) A. - =10 B. - =10 C. - =10 D. + =10,答案 A 原来平均每亩产量为x万千克,则改良后平均每亩产量为1.5x万千克,根据题意列方程为 - =10.,4.(2017江苏南通,16,3分)甲、乙二人做某种机械零件,已知甲每小时比乙多做4个,甲做60个所用的时间与 乙做40个所用的时间相等,则乙每小时所做的零件的个数为 .,答案 8,解析 设乙每小时做x个零件,则甲每小时做(x+4)个零件. 根据题意
25、,得 = ,解得x=8. 经检验:x=8是原方程的根. 答:乙每小时所做的零件的个数为8.,5.(2017辽宁营口,16,3分)某市为绿化环境计划植树2 400棵,实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%,结 果提前8天完成任务.若设原计划每天植树x棵,则根据题意可列方程为 .,答案 - =8,解析 设原计划每天植树x棵,则实际每天植树(1+20%)x棵,根据“原计划所用时间-实际所用时间=8”列方 程: - =8.,6.(2019泰安,22,11分)端午节是我国的传统节日,人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用3 000 元购进A、B两种粽子1 100个,购买A种粽子与购买B种粽子的
26、费用相同.已知A种粽子的单价是B种粽子单 价的1.2倍. (1)求A、B两种粽子的单价各是多少; (2)若计划用不超过7 000元的资金再次购进A、B两种粽子共2 600个,已知A、B两种粽子的进价不变.求A种 粽子最多能购进多少个.,解析 (1)设B种粽子的单价为x元,则A种粽子的单价为1.2x元, 根据题意,得 + =1 100, 解得x=2.5, 经检验,x=2.5是原方程的解,且符合题意, 1.2x=3. 答:A种粽子的单价为3元,B种粽子的单价为2.5元. (2)设购进A种粽子m个,则购进B种粽子(2 600-m)个, 依题意得3m+2.5(2 600-m)7 000, 解得m1 0
27、00. 答:A种粽子最多能购进1 000个.,7.(2017辽宁大连,21,9分)某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件,现在生产600个零件所需时间与原 计划生产450个零件所需时间相同,原计划平均每天生产多少个零件?,解析 设原计划平均每天生产x个零件,则现在平均每天生产(x+25)个零件, 由题意,得 = ,解得x=75, 经检验,当x=75时,x(x+25)0, 所以x=75是原方程的解. 答:原计划平均每天生产75个零件.,8.(2018云南,18,6分)某社区积极响应正在开展的“创文活动”,组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些 区域进行绿化改造.已知甲工程队每小时能完成的绿化面
28、积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍,并 且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时.乙工程队每小时 能完成多少平方米的绿化面积?,解析 设乙工程队每小时能完成的绿化面积为x m2,则甲工程队每小时能完成的绿化面积为2x m2, 根据题意得 - =3. (3分) 由 - =3得 =1,解得x=50. 经检验,x=50是 - =3的解,且符合题意. 所以,乙工程队每小时能完成的绿化面积为50 m2. (6分),9.(2017湖北黄冈,18,6分)黄麻中学为了创建全省“最美书屋”,购买了一批图书,其中科普类图书平均每本 的价格比文学类图书平均每本的价格多
29、5元.已知学校用12 000元购买的科普类图书的本数与用9 000元购 买的文学类图书的本数相等.求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元?,解析 设文学类图书平均每本的价格为x元,则科普类图书平均每本的价格为(x+5)元,依题意可列方程: = , 解得x=15. 经检验,x=15是所列分式方程的解, x+5=15+5=20. 答:学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格分别为20元和15元.,一、选择题(每小题3分,共12分),60分钟 66分,1.(2019济宁梁山一模,7)如图所示,小琳总结了“解可化为一元一次方程的分式方程”的运算流程,那么A和 B分别代表的是
30、( ) A.分式的基本性质,最简公分母=0 B.分式的基本性质,最简公分母0 C.等式的基本性质2,最简公分母=0 D.等式的基本性质2,最简公分母0,答案 C 去分母的依据是等式的基本性质2,检验时,最简公分母等于零,原分式方程无解.,2.(2019德州德城一模,10)某人承包1 125平方米的铺地砖任务,计划在一定的时间内完成,按计划工作3天后, 提高了工作效率,使每天铺地砖的面积为原计划的1.5倍,结果提前4天完成了任务,则原计划每天铺 ( ) A.75平方米 B.65平方米 C.70平方米 D.85平方米,答案 A 设原计划每天铺x平方米,由题意得 =3+ +4, 解得x=75,经检验
31、x=75是原方程的解且符合题意, 故原计划每天铺75平方米.,3.(2019临沂平邑一模,6)关于x的方程 = 的解为x=1,则a= ( ) A.1 B.3 C.-1 D.-3,答案 D 把x=1代入原方程得 = ,去分母得,8a+12=3a-3,解得a=-3.经检验,a=-3是分式方程 = 的解.,思路分析 根据方程的解的定义,把x=1代入原方程,原方程左右两边相等,从而原方程转化为含有a的分式 方程,解此分式方程可以求得a的值.,4.(2018济南天桥一模,9)解分式方程 + = ,分以下四步,其中错误的一步是 ( ) A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1) B.方程两边都乘(
32、x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6 C.解这个整式方程,得x=1 D.原方程的解为x=1,答案 D A.观察可知,方程的最简公分母为x2-1,即为(x-1)(x+1),故A正确;B.分式方程两边同乘最简公分母, 得2(x-1)+3(x+1)=6,故B正确;C.求解B中的整式方程,先去括号,得2x-2+3x+3=6,移项、合并同类项,得5x=5,系 数化为1,得x=1,故C正确;D.若x=1是分式方程 + = 的解,检验可知x=1使分式方程无意义,因此, 可得原方程无解,故D错误.故选D.,二、填空题(每小题3分,共6分),5.(2019济南天桥一模,17)若代数式 与
33、 的值相等,则x= .,答案 4,解析 根据题意得 = , 去分母得6x=4(x+2), 移项、合并同类项得2x=8, 解得x=4.,6.(2019德州德城一模,16)若关于x的分式方程 +3= 有增根,则m的值为 .,答案 7,解析 去分母得,7+3(x-1)=m, 把增根x=1代入得m=7.,思路分析 先去分母,再把增根x=1代入即可求出m的值.,三、解答题(共48分),7.(2019淄博博山二模,18)解方程: - =1.,解析 两边都乘x(x+3),得x2-(x+3)=x(x+3), (3分) 解得x=- , (4分) 经检验x=- 是分式方程的解. (5分),8.(2019济南平阴一
34、模,23)某内陆城市为了落实国家“一带一路”倡议,促进经济发展,增强对外贸易的竞争 力,把距离港口420 km的普通公路升级成了同等长度的高速公路,结果汽车行驶的平均速度比原来提高了5 0%,行驶时间缩短了2 h.求汽车原来的平均速度.,解析 设汽车原来的平均速度为x km/h,根据题意,得 - =2,解这个方程,得x=70, 经检验,x=70是方程的解,且符合题意. 答:汽车原来的平均速度为70 km/h.,思路分析 分析问题中路程、速度、时间三者之间的关系,然后寻找建立方程的等量关系“原来的时间- 现在的时间=2”.,9.(2019曹县一模,18)某自动化车间计划生产40个零件,当生产任务
35、完成一半时,停止生产进行自动化程序升 级改造,用时20分钟,恢复生产后工作效率比原来提高了 ,结果完成任务时比原计划提前了40分钟,求升级 改造前每小时生产多少个零件.,解析 设升级改造前每小时生产x个零件,则升级改造后每小时生产 x个零件, 依题意,得 - = + , 解得x=5, 经检验,x=5是所列分式方程的解,且符合题意. 答:升级改造前每小时生产5个零件.,10.(2018聊城一模,18)解方程: = +2.,解析 去分母,得2x+9=3(4x-7)+6(x-3), 整理,得-16x=-48, 解得x=3. 检验:当x=3时,3(x-3)=0,所以x=3是原方程的增根. 故原方程无解
36、.,11.(2018济南高新区二模,23)2017年12月3日至5日,第四届世界互联网大会在浙江省乌镇举行.会议期间,某 公司的无人超市,让人们感受到互联网新零售带来的全新体验.小张购买了钥匙扣和毛绒玩具两种商品共 15件,离开超市后,收到短信显示,购买钥匙扣支付240元,购买毛绒玩具支付180元.已知毛绒玩具的单价是钥 匙扣单价的1.5倍,那么钥匙扣和毛绒玩具的单价各是多少?,解析 设钥匙扣的单价为x元,则毛绒玩具的单价为1.5x元,根据题意,得 + =15,解得x=24. 经检验,x=24是原方程的解且符合题意. 1.5x=36. 答:钥匙扣的单价为24元,毛绒玩具的单价为36元.,思路分
37、析 根据题意,设钥匙扣的单价为x元,则毛绒玩具的单价为1.5x元,由等量关系“购买了钥匙扣和毛 绒玩具两种商品共15件”列分式方程求解即可.,12.(2018聊城莘县三模,22)李老师家距学校1 900米,某天他步行去上班,走到路程的一半时发现忘带手机,此 时离上班时间还有23分钟,于是他立刻步行回家取手机,随后骑电瓶车去学校.已知李老师骑电瓶车到学校 比他步行到学校少用20分钟,且骑电瓶车的平均速度是步行速度的5倍,李老师到家开门、取手机、启动电 瓶车等共用4分钟. (1)求李老师步行的平均速度; (2)请你判断李老师能否按时上班,并说明理由.,解析 (1)设李老师步行的平均速度为x米/分,
38、则骑电瓶车的平均速度为5x米/分, 由题意得, - =20, 解得x=76, 经检验,x=76是分式方程的解,且符合题意. 则5x=765=380. 答:李老师步行的平均速度为76米/分. (2)能按时上班.理由如下:由( 1 )得,李老师走回家需要的时间为 =12.5(分). 骑电瓶车到学校的时间为 =5(分),则李老师到学校所用的时间为12.5+5+4=21.5(分)23(分). 所以李老师能按时上班.,一、选择题(每小题3分,共9分),30分钟 33分,1.(2019聊城莘县一模,16)若关于x的分式方程 - =1无解,则a= .,答案 1或-2,解析 方程两边同乘x(x-1)得x(x-
39、a)-3(x-1)=x(x-1), 整理得(a+2)x=3, 当整式方程无解时,a+2=0,即a=-2, 当分式方程无解时,x=0时,a无解, x=1时,a=1, 所以a=1或-2时,原方程无解.,思路分析 分式方程无解,即化成整式方程时无解,或者求得的x能令最简公分母为0,据此进行解答.,2.(2018聊城4月模拟,16)若关于x的分式方程 =2的解为非负数,则m的取值范围是 .,答案 m-1且m1,解析 去分母,得m-1=2(x-1),x= . 方程的解为非负数, 0,即m-1, 又x-10,x1, 1,m1, 故m的取值范围是m-1且m1.,易错警示 解答本题时,易漏掉m1,这是忽略了x
40、-10这个隐含条件造成的,这应引起同学们的足够重视.,3.(2017济宁十三中模拟,14)已知A,B两地相距160 km,一辆汽车从A地到B地的速度比原来提高了25%,结果 比原来提前0.4 h到达,这辆汽车原来的速度是 km/h.,答案 80,解析 设这辆汽车原来的速度是x km/h,由题意列方程得: -0.4= ,解得x=80,经检验,x=80是原方 程的解,且符合题意. 所以这辆汽车原来的速度是80 km/h.,思路分析 设这辆汽车原来的速度是x km/h,由题意列出分式方程,解方程求出x的值,然后检验即可.,二、解答题(共24分),4.(2019泰安中考样题,23)某商场购进甲、乙两种
41、羽毛球拍,甲种羽毛球拍共用了2 000元,乙种羽毛球拍共 用了2 400元,已知乙种羽毛球拍每支进价比甲种羽毛球拍每支进价多8元,且购进的甲、乙两种羽毛球拍支 数相同. (1)求甲、乙两种羽毛球拍的每支进价; (2)该商城将购进的甲、乙两种羽毛球拍进行销售,甲种羽毛球拍的销售单价为60元,乙种羽毛球拍的销售 单价为88元.销售过程中发现甲种羽毛球拍销量不好,商场决定:甲种羽毛球拍销售一定数量后,将甲种羽毛 球拍按原销售单价的七折销售;乙种羽毛球拍销售单价保持不变,要使两种羽毛球拍全部售完共获利不少 于2 460元,问甲种羽毛球拍按原销售单价至少销售多少支?,解析 (1)设甲种羽毛球拍的每支进价
42、为x元,则乙种羽毛球拍的每支进价为(x+8)元, 根据题意,得 = , (3分) 解得x=40. (6分) 经检验,x=40是所列方程的解且符合题意,x+8=48. 答:甲种羽毛球拍的每支进价为40元,乙种羽毛球拍的每支进价为48元. (7分) (2)设甲种羽毛球拍按原销售单价销售a支, 由(1)可得,购进的甲、乙两种羽毛球拍的支数都为50. 根据题意,得(60-40)a+(600.7-40)(50-a)+(88-48)502 460, (10分) 解得a20. 答:甲种羽毛球拍按原销售单价至少销售20支. (12分),5.(2018泰安中考样题,23)某商场用24 000元购入一批空调,然后
43、以每台3 000元的价格销售,因为天气炎热, 空调很快售完,商场又以52 000元的价格再次购入该种型号的空调,数量是第一次购入的2倍,但购入的单价 上调了200元,每台的售价也上调了200元. (1)商场第一次购入的空调每台进价是多少元? (2)商场既要尽快售完第二次购入的空调,又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于22%,打算将第二 次购入的部分空调按每台九五折出售,最多可将多少台空调打折出售?,解析 (1)设商场第一次购入的空调每台进价是x元,依题意,得 =2 ,解得x=2 400. 经检验,x=2 400是原方程的解且符合题意. 答:商场第一次购入的空调每台进价是2 400元. (2
44、)由(1)知,商场第一次购入空调的台数为24 0002 400=10(台),第二次购入空调的台数为102=20(台). 设第二次将y台空调打折出售.由题意,得 3 00010+(3 000+200)0.95y+(3 000+200)(20-y)(1+22%)(24 000+52 000),解得y8. 答:最多可将8台空调打折出售.,6.(2017潍坊诸城模拟,20)今年我市某公司分两次采购了一批大蒜,第一次花费40万元,第二次花费60万元. 已知第一次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了500元,第二次采购时每吨大蒜的价格比去年 的平均价格下降了500元,第二次采购的数量是第一次采购数量
45、的两倍. (1)试问去年每吨大蒜的平均价格是多少元? (2)该公司可将大蒜加工成蒜粉或蒜片,若单独加工成蒜粉,每天可加工8吨大蒜,每吨大蒜获利1 000元;若单 独加工成蒜片,每天可加工12吨大蒜,每吨大蒜获利600元.为出口需要,所有采购的大蒜必须在30天内加工 完毕,且加工成蒜粉的大蒜数量不少于加工成蒜片的大蒜数量的一半.为获得最大利润,应将多少吨大蒜加 工成蒜粉?最大利润为多少?,解析 (1)设去年每吨大蒜的平均价格是x元. 根据题意,得 =2 , 解得x=3 500. 经检验,x=3 500是方程的根且符合题意. 答:去年每吨大蒜的平均价格是3 500元. (2)由(1)知,第一次采购
46、大蒜 =100(吨),第二次采购大蒜200吨,因此一共采购大蒜300吨. 设应将a吨大蒜加工成蒜粉,总利润为w元. 由题意得 解得100a120.w=1 000a+600(300-a)=400a+180 000. 4000,w随a的增大而增大,当a=120时,w最大=228 000=22.8万. 应将120吨大蒜加工成蒜粉,最大利润为22.8万元.,思路分析 (1)设去年每吨大蒜的平均价格是x元,则第一次采购的平均价格为(x+500)元,第二次采购的平均 价格为(x-500)元,根据第二次采购的数量是第一次采购数量的两倍列方程求解;(2)先求出今年所采购的大 蒜数量,根据采购的大蒜必须在30天内加工完毕,加工成蒜粉的大蒜数量不少于加工成蒜片的大蒜数量的 一半,列不等式组求解,然后求出最大利润.,
