1、1.(2017江苏扬州,16,3分)如图,把等边三角形ABC沿着DE折叠,使点A恰好落在BC边上的点P处,且DPBC, 若BP=4 cm,则EC= cm.,答案 (2+2 ),解析 ABC是等边三角形, A=B=C=60,AB=BC,DPBC, BPD=90,PB=4 cm, BD=8 cm,PD=4 cm. 把等边ABC沿DE折叠,使点A恰好落在BC边上的点P处, AD=PD=4 cm, AB=(8+4 )cm, PC=BC-BP=(4+4 )cm, EPC=180-90-60=30,PEC=90, CE= PC=(2+2 )cm.,2.(2017江苏南京,27,11分)折纸的思考. 【操作
2、体验】 用一张矩形纸片折等边三角形. 第一步,对折矩形纸片ABCD(ABBC)(如图),使AB与DC重合,得到折痕EF,把纸片展开(如图). 第二步,如图,再一次折叠纸片,使点C落在EF上的P处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,折出PB,PC,得到 PBC. (1)说明PBC是等边三角形.,【数学思考】 (2)如图,小明画出了图的矩形ABCD和等边三角形PBC.他发现,在矩形ABCD中把PBC经过图形变化, 可以得到图中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程. (3)已知矩形一边长为3 cm,其邻边长为a cm.对于每一个确定的a的值,在矩形中都能画出最大的等边三角 形.请画出不同情形的示意
3、图,并写出对应的a的取值范围. 【问题解决】 (4)用一张正方形铁片剪出一个直角边长分别为4 cm和1 cm的直角三角形铁片,所需正方形铁片的边长的 最小值为 cm.,解析 (1)证明:由折叠的性质得直线EF是线段BC的垂直平分线,直线BG是PC的垂直平分线, PB=PC,PB=CB,PB=PC=CB,PBC是等边三角形. (2)本题答案不唯一,例如,以点B为中心,在矩形ABCD中把PBC绕点B逆时针方向旋转适当的角度,得到 P1BC1.再以点B为位似中心,将P1BC1放大,使C1的对应点C2落在CD上,得到P2BC2. (3)当等边三角形的边长为3 cm,高为a cm时,则a= ,当等边三角
4、形的边长为a cm,高为3 cm时,则a=2 . 当0a 时,如图.,当 a2 时,如图. 当a2 时,如图.,(4)如图,CEF是直角三角形,CEF=90,CE=4,EF=1, AEF+CED=90, 四边形ABCD是正方形,A=D=90,AD=CD, DCE+CED=90,AEF=DCE, AEFDCE, = = . 设AE=x,则AD=CD=4x,DE=AD-AE=3x, 在RtCDE中,由勾股定理得(3x)2+(4x)2=42, 解得x= ,AD=4 = . 故答案为 .,解析 (1)证明:四边形ABCD是矩形,C=D=90,APD+DAP=90, APO是由ABO沿AO折叠而得的,
5、APO=B=90,APD+CPO=90, DAP=CPO,OCPPDA. (2分) OCPPDA, = = , = , AD=8,CP=4, 设AB=x,则DP=x-4,由D=90,得AP2=AD2+DP2, x2=82+(x-4)2,解得x=10,即AB=10. (4分) (2)折叠后AOB与AOP重合, AP=AB,OAB=OAP,AB=CD,AP=CD,P是CD的中点,DP= AP, D=90,PAD=30,又OAB=OAP, OAB=30. (8分),(3)不变. 作MHBN交PB于点H, MHP=ABP,MHF=NBF, AP=AB,APB=ABP, MHP=APB,MP=MH, M
6、P=BN,BN=MH,又NFB=MFH, NBFMHF,FB=FH, MP=MH,MEPB,PE=EH, EF=EH+FH,EF=EP+FB= PB, 由(1)得AB=10,AD=8,DP=6, PC=4,PB=4 ,EF= PB=2 . (12分),评析 本题通过图形的变换综合考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性 质、勾股定理、解直角三角形等知识,属较难题.(1)通过等角的余角相等找到角相等判定两三角形相似,再 利用三角形相似的性质、勾股定理等建立方程进而求解;(2)通过作辅助线构造全等三角形,再对所求线段 进行转化是解题的关键.,4.如图,在四边形ABCD中,ADBC,D=75,BC=6,CD=5,AD=10. (1)点E在AD上,设t=BE+CE,求t2的最小值; (2)点F在AB上,将BCF沿CF翻折,使点B落在AD边上的点G处,点G是AD的中点吗?说明理由. 参考数据:sin 75= .,
