1、 高二上学期数学期中联考试卷 高二上学期数学期中联考试卷一、单选题一、单选题1直线的倾斜角为（）ABCD2若复数(为虚数单位)，则=（）ABCD3如图，在四面体中，是棱上靠近的三等分点，分别是的中点，设，用，表示，则（）ABCD4两条平行直线和间的距离为，则，分别为（）A，B，C，D，5设 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则能得出的是（）A，B，C，D，6如图，已知圆锥的底面半径为 2，母线长为 4，为圆锥底面圆的直径，是的中点，是母线的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD7已知平面向量，满足，与的夹角为，且，则的最小值为（）AB1CD8在矩形中，为的中点，将和沿翻折，使点与点重
2、合于点，若，则三棱锥的外接球的表面积为（）A12B17C24D68二、多选题二、多选题9已知直线，其中，下列说法正确的是（）A当时，直线 与直线垂直B若直线 与直线平行，则C直线 的倾斜角一定大于 30D当时，直线 在两坐标轴上的截距相等10圆和圆相交于两点，则有（）A公共弦所在直线方程为B圆到直线距离等于 1 的点有 2 个C公共弦的长为D为圆上的一个动点，则到直线距离的最大值为11有 5 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之
3、和是 6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则（）A甲与丙相互独立B甲与丁相互独立C乙与丙相互独立D乙与丁相互独立12如图，若正方体的棱长为 1，点是正方体的侧面上的一个动点(含边界)，是棱的中点，则下列结论正确的是（）A沿正方体的表面从点 A 到点的最短路程为B若保持，则点在侧面内运动路径的长度为C三棱锥的体积最大值为D若点在上运动，则到直线的距离的最小值为三、填空题三、填空题13费马大定理又称为“费马最后定理”，由 17 世纪法国数学家皮埃尔德费马提出，他断言当时，关于，的方程没有正整数解他提出后，历经多人猜想辩证，最终在 1994 年被英国数学家安德鲁怀尔斯彻底证明某同学对这
4、个问题很感兴趣，决定从 1，2，3，4，5，6 这 6 个自然数中随机选一个数字作为方程中的指数，方程存在正整数解的概率为 14若复数（i 是虚数单位）是关于的方程的一个根，则=.15由 10 个实数组成的一组数据，方差为，将其中一个数 3 改为 1，另一个数 6 改为 8，其余的数不变，得到新的一组数，方差为，则 .16如图，在四棱台中，则的最小值为 .四、解答题四、解答题17在中，已知角所对应的边分别为，且，是线段上一点，且满足.（1）求的面积；（2）求的长.18第 19 届亚运会将于 2022 年 9 月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的
5、面试工作.现随机抽取了 100 名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，第五组 ，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为 0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）求 的值；（2）估计这 100 名候选者面试成绩的众数，平均数和第 60%分位数（分位数精确到 0.1)；（3）在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取 5 人，然后再从这 5 人中选出 2 人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.19如图，平行六面体中，（1）求对角线的长度；（2）求二面角的余弦值.20已知直线的方程为：，分别交轴，轴于两点，（1）求原
6、点到直线距离的最大值及此时直线的方程；（2）若为常数，直线与线段有一个公共点，求的最小值.21如图，四棱锥中，且，（1）求证：平面平面；（2）若是等边三角形，底面是边长为 3 的正方形，是中点，求直线与平面所成角的正弦值.22已知圆的方程为：（1）已知过点的直线 交圆于两点，若，求直线 的方程；（2）如图，过点作两条直线分别交抛物线于点，并且都与动圆相切，求证：直线经过定点，并求出定点坐标.答案解析部分答案解析部分1【答案】B【解析】【解答】由可得，因此该直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，故答案为：B【分析】先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，再结合倾斜角的范围求出倾斜角.2
7、【答案】C【解析】【解答】由题得，所以.故答案为：C【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简 Z，再根据模的公式即可求出答案.3【答案】D【解析】【解答】，故答案为：D【分析】利用平面向量的线性运算法则，平面向量基本定理即可求解出答案.4【答案】D【解析】【解答】两直线平行，解得，将化为，.故答案为：D.【分析】由题意利用两条直线平行的性质求得 a 的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得答案.5【答案】C【解析】【解答】A 选项：如图，若直线为直线，直线为直线，平面为平面，平面为平面，满足，但是，A 不符合题意；B 选项：如图，若直线为直线，直线为直线，平面为平面，平面为平面，满足，
8、但是，B 不符合题意；C 因为，所以，又，则，C 符合题意；D 选项：如图，若直线为直线，直线为直线，平面为平面，平面为平面，满足，但是，D 不符合题意；故答案为：C.【分析】与 m 相交、平行或异面判断 A；由线面垂直的性质得判断 B；由线面垂直的性质得判断 C；与 m 相交、平行或异面判断 D.6【答案】A【解析】【解答】延长至点，使，连接，因为是母线的中点，所以，所以为异面直线与所成的角（或补角）由题意知，又是的中点，所以，所以在中，因为，所以，所以在中，则由余弦定理得，故答案为：A【分析】延长至点，使，连接，则为异面直线与所成的角（或补角），经过简单的几何运算，可得 CE 和 SE 的
9、长，再在SCE 中，由余弦定理，即可求解出 异面直线与所成角的余弦值.7【答案】D【解析】【解答】由题意知，则，由可得，即，设，则，所以，所以表示以，半径为 1 的圆，表示圆 C 上的点到定点 B(-2，0)的距离，而的最小值即为圆心到定点 B(-2，0)的距离减去半径，如图所示，又，所以.故答案为：D【分析】利用 进行变形，得到，然后将 转化为圆 C 上的点到定点 B(-2，0)的距离，而的最小值即为圆心到定点 B(-2，0)的距离减去半径，即可得到答案.8【答案】B【解析】【解答】由题意可知，.又平面 PAD，平面 PAD，所以 MP平面 PAD.设ADP 的外接圆的半径为 r，则由正弦定
10、理可得，即，所以 r=2.设三棱锥 M-PAD 的外接球的半径为 R，则，所以外接球的表面积为.故答案为：B【分析】首先利用正弦定理求出APD 的外接圆的半径，进一步利用勾股定理求出球的半径，即可求出 三棱锥的外接球的表面积.9【答案】A,C【解析】【解答】A：当时，直线 的方程为，可化为：，所以该直线的斜率为 1，直线的斜率为，因为，所以这两条直线互相垂直，因此本选项说法正确；B：由直线 与直线平行，可得或，因此本选项说法不正确；C：直线 方程可化为：，设直线 的倾斜角为，所以，所以本选项说法正确；D：当时，直线 的方程为，当时，；当时，因为，所以直线 在两坐标轴上的截距不相等，因此本选项说
11、法不正确，故答案为：AC【分析】由题意，根据直线的方程确定直线的斜率和倾斜角、截距，逐项进行判断，可得答案.10【答案】A,B,D【解析】【解答】对于 A，由圆与圆的交点为 A，B，两式作差可得，即公共弦 AB 所在直线方程为，A 符合题意；对于 B，圆所以圆心为，半径为，圆心它到直线的距离为：，而B 符合题意；对于 C，圆，圆心到的距离为，半径所以，C 不正确；对于 D，P 为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即 P 到直线 AB 距离的最大值为，D 符合题意.故答案为：ABD【分析】两圆的方程作差即可求出公共弦的直线方程，即可判断选项 A；求出两圆圆心坐标，即可求出线段AB 的中垂线的方程
12、，即可判断选项 B；求出圆心 O1到直线 AB 的距离 d，d+r 即为圆 O1上的点到直线 AB的最大值，利用垂径定理求出公共弦长，即可判断选项 C、D.11【答案】A,C【解析】【解答】设甲、乙、丙、丁事件的发生概率分别为：，因此有：，A：因为，所以甲与丙相互独立，因此本选项说法正确；B：因为，所以甲与丁不相互独立，因此本选项说法不正确；C：因为，所以甲与丙相互独立，因此本选项说法正确；D：因为，所以甲与丙不相互独立，因此本选项说法不正确，故答案为：AC【分析】根据已知条件，结合列举法和相互独立事件的概率乘法公式，逐项进行判断，即可得答案.12【答案】A,B,D【解析】【解答】对于 A，点
13、 M 沿正方体的表面从点 A 到点的最短路程，则点 M 应在点 A 与点 P 所在的两个相邻平面内从点 A 到点，由对称性知，点 M 从点 A 越过棱 DD1与越过棱 BB1到点的最短路程相等，点 M 从点 A 越过棱 DC 与越过棱 BC 到点的最短路程相等，把正方形 ABB1A1与正方形 BCC1B1放在同一平面内，如图，连接 AP，AP 长是点 M 从点 A 越过棱 BB1到点的最短路程，把正方形 ABCD 与正方形 BCC1B1放在同一平面内，如图，连接 AP，AP 长是点 M 从点 A 越过棱 BC 到点的最短路程，而，于是得点 M 沿正方体的表面从点 A 到点最短路程为，A 符合题
14、意；对于 B，取 DD1中点 E，连 EM，PE，如图，因是正方体的棱中点，则 PE/CD，而 CD平面 ADD1A1，则有 PE平面 ADD1A1，平面 ADD1A1，于是得 PEEM，由，PE=1 得，EM=1，因此，点在侧面内运动路径是以 E 为圆心，1 为半径的圆在正方形内的圆弧，如图，圆弧所对圆心角为，圆弧长为，B 符合题意；对于 C，因，而面积是定值，要三棱锥的体积最大，当且仅当点 M 到平面 C1BD 距离最大，如图，点 A1是正方形 ADD1A1内到平面 C1BD 距离最大的点，C 不正确；对于 D，建立如图所示的空间直角坐标系，则，令，则，又，直线 PD1与直线 PM 夹角为
15、，令，则，当且仅当，即，时，取最大值，而，此时，取得最小值，又，点到直线的距离，于是得，所以到直线的距离的最小值为，D 符合题意.故答案为：ABD【分析】将侧面 ABB1A1和侧面 BCC1B1沿棱 BB1展开、底面 ABCD 和侧面 CDD1C1沿棱 CD 展开，可知最短距离为|AP|，对比两种情况可判断 A；取 DD1中点 E，利用勾股定理可知点 M 的运动路径是以 E 为圆心，1 为半径的圆与侧面 ADD1A1的交线，由弧长的求解可判断 B；根据，可知当三棱锥体积最大时，M 与 A1重合，则所求体积最大值即为，由割补法可判断 C；建立空间直角坐标系，令，利用向量数量积的运算可求出到直线的
16、距离的最小值判断 D.13【答案】【解析】【解答】从 1，2，3，4，5，6 这 6 个自然数中随机选一个数字共有 6 种选法，其中只有或 2 使得方程有整数解，故概率为 故答案为：【分析】根据题意可知 n=1 或 n=2 时，方程存在正整数解，而当 n2 时，方程没有实数解，从而所求概率可转化为从 1，2，3，4，5，6 这 6 个数中随机任取 1 个数，其中选到 1 或 2 的概率.14【答案】3【解析】【解答】由复数（为虚数单位）是关于 x 的方程（p，q 为实数）的一个根，所以，即所以，故故答案为：3【分析】由已知条件可得也是关于 x 的方程（p，q 为实数）的一个根，再结合韦达定理，
17、即可求解出 的值.15【答案】2【解析】【解答】因为其中一个数 3 改为 1，另一个数 6 改为 8，其余的数不变，所以新的一组的平均数与原一组数的平均数不变，设为，没有改变的 8 个数分别为：，所以有，因此，故答案为：2【分析】根据已知条件，结合方差公式，即可求解出 的值.16【答案】【解析】【解答】设，因为，所以有：令，于是有：当且时，即时，有最小值，故答案为：【分析】根据空间向量数量积的定义和运算性质，结合配方法进行求解，即可求出 的最小值.17【答案】（1）解：由余弦定理得：，.（2）解：，.【解析】【分析】(1)由余弦定理可得 cosB 的值，求出 ，再根据三角形的面积公式即可求解出
18、 的面积；(2)，两边平方可求出 的长.18【答案】（1）由题意可知：，解得 ，；（2）由频率分布直方图得众数为 ，平均数等于 ，第 分位数等于 ；（3）根据分层抽样，和 的频率比为 故在 和 中分别选取 4 人和 1 人，分别设为 和 则在这 5 人中随机抽取两个的样本空间 包含的样本点有 共 10 个，即 ，记事件 “两人来自不同组”，则事件 包含的样本点有 共 4 个，即 ，所以 .【解析】【分析】（1）根据直方图的性质求解即可；（2）根据直方图的性质，结合平均数与分位数的定义与计算公式求解即可；（3）根据分层抽样，结合古典概型概率计算公式，运用列举法求解即可.19【答案】（1）解：由题
19、意知，在中，以向量，为基底，同理可得，式平方，得，同理可得，所以.（2）解：在中，又，所以为等边三角形，所以，故为等边三角形，取中点，连接，则，又，设二面角为，则，式两边同时平方，得，所以，.所以二面角的余弦值为.【解析】【分析】(1)由 再两边同时平方后，利用数量积公式展开即可求出对角线的长度；(2)取中点，连接，两边同时平方，利用数量接公式展开即可求得二面角的余弦值.20【答案】（1）解：因为可化为：，所以直线过定点，当时，原点到直线距离最大，此时最大值为，此时直线的斜率为，即，所以直线方程为：，即.（2）解：根据得，直线：表示不经过原点的任意一条直线，同时与线段有且只有一个公共点，考虑对
20、应的几何意义，因为原点到直线的距离为：，所以，若是线段与直线的公共点，则，当时，当且仅当直线过点，且与轴垂直时等号成立；当时，当且仅当直线过点，且与轴垂直时等号成立.【解析】【分析】(1)求出直线 所过的定点 P，可知 当时，原点到直线距离最大，由此可求得直线的斜率，从而求得直线的方程；(2)将问题转化为求 的最小值即求原点到直线 距离 d 的最大值的问题，若是线段则，求解可得 的最小值.21【答案】（1）证明：，又，面，面，平面 ABCD，平面平面（2）解：平面平面，交 AD 于点 F，平面，平面平面，平面，以为原点，的方向分别为轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，求
21、得法向量为，由，所以直线与平面所成角的正弦值为.【解析】【分析】(1)推导出 ABAP，ABAD，从而 AB平面 PAD，由此能证明平面 PAD平面 ABCD；(2)以为原点，的方向分别为轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值.22【答案】（1）解：时，圆：，因为，所以可得圆心到直线的距离，当直线 的方程为：时，符合题意；当直线 的斜率存在，设直线 的方程为：，即，由得，解得：，直线：，综上：直线 的方程为：或；（2）证明：设直线，的斜率分别为，则直线：，同理得直线：，由，与动圆相切得：，化简得：，因为，所以，联立得，同理：，易得，则：，化简得：，所以直线过定点【解析】【分析】(1)根据题意可得圆的方程为：，分两种情况：当直线 斜率不存在时，当直线 的斜率存在时，弦长，解的 d，进而可得 k，即可求得直线 的方程；(2)设直线，的斜率分别为，则直线：，同理可得直线 NP 的方程，由，与动圆相切得：，推出，联立，得 Q 点的坐标，同理可得 P 点坐标，再计算，进而写出直线 PQ 的方程，即可求出直线经过定点.
