1、1第二节第二节希尔伯特和他的希尔伯特和他的23个问题个问题2一、一、希尔伯特的希尔伯特的23个问题个问题 希尔伯特（德国，希尔伯特（德国，18621943年）是年）是19世纪世纪末和末和20世纪上半叶最伟大的数学家之一。他提出世纪上半叶最伟大的数学家之一。他提出的的23个问题更是功勋卓著、影响深远。个问题更是功勋卓著、影响深远。那是那是1900年年8月在月在巴黎巴黎召开的召开的国际数学家大会上，国际数学家大会上，年仅年仅38岁的希尔伯特做了题为岁的希尔伯特做了题为数学问题数学问题的著的著名讲演，名讲演，根据根据19世纪数学研究的成果和发展趋势世纪数学研究的成果和发展趋势提出提出23个问题，个问
2、题，成为数学史上的一个重要里程碑。成为数学史上的一个重要里程碑。34 在世纪之交提出的这在世纪之交提出的这23个问题，涉个问题，涉及现代数学的许多领域。一个世纪以来，及现代数学的许多领域。一个世纪以来，这些问题激发着数学家们浓厚的研究兴这些问题激发着数学家们浓厚的研究兴趣，对趣，对20世纪数学的发展起着巨大的推世纪数学的发展起着巨大的推动作用。动作用。5希尔伯特的希尔伯特的23个问题个问题1.证明证明“连续统假设连续统假设”，即证明，即证明“可数基数可数基数”与与“连续统基数连续统基数”之间不存在任何基数。之间不存在任何基数。2.研究算术公理的相容性。研究算术公理的相容性。3.两个等底等高的四
3、面体的体积相等。两个等底等高的四面体的体积相等。4.直线作为两点间最短距离的问题。直线作为两点间最短距离的问题。65.李（李（S.Lie）的连续变换群概念，但不要）的连续变换群概念，但不要 定义群的函数的可微性假设。定义群的函数的可微性假设。6.物理学的公理化。物理学的公理化。7.某些数的无理性和超越性。某些数的无理性和超越性。8.素数问题。素数问题。9.在任意数域中证明最一般的互反定律。在任意数域中证明最一般的互反定律。10.丢番图方程的可解性。丢番图方程的可解性。11.系数为任意代数数的二次型。系数为任意代数数的二次型。712.阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代阿贝尔域上的克罗内克定理在任意
4、代 数有理域上的推广。数有理域上的推广。13.不可能用仅有两个变数的函数解一般不可能用仅有两个变数的函数解一般 的七次方程。的七次方程。14.证明某类完全函数系的有限性。证明某类完全函数系的有限性。15.舒伯特舒伯特(Schubert)计数演算的严格基计数演算的严格基 础。础。16.代数曲线与代数曲面的拓扑问题。代数曲线与代数曲面的拓扑问题。817.正定形式的平方和表示。正定形式的平方和表示。18.用全等多面体构造空间。用全等多面体构造空间。19.正则变分问题的解一定是解析的吗？正则变分问题的解一定是解析的吗？20.一般边值问题。一般边值问题。21.具有指定单值群的线性微分方程解的具有指定单值
5、群的线性微分方程解的 存在性证明。存在性证明。22.通过自守函数使解析关系单值化。通过自守函数使解析关系单值化。23.变分法的进一步发展。变分法的进一步发展。9二、二、适当的问题对科学发展的价值适当的问题对科学发展的价值 1 有问题的学科才有生命力有问题的学科才有生命力 问题，在学科进展中的意义是不可否认的。一门学科问题，在学科进展中的意义是不可否认的。一门学科充满问题，它就充满生命力；而如果缺乏问题，则预示着该充满问题，它就充满生命力；而如果缺乏问题，则预示着该学科的衰落。学科的衰落。正是通过解决问题，人们才能够发现学科的新正是通过解决问题，人们才能够发现学科的新方法、新观点和新方向，达到更
6、为广阔和高级的新境界。方法、新观点和新方向，达到更为广阔和高级的新境界。提出数学问题的动力，不仅来自数学以外的客观世界，提出数学问题的动力，不仅来自数学以外的客观世界，也来自数学内部的逻辑发展。例如：素数的理论；非欧几何；也来自数学内部的逻辑发展。例如：素数的理论；非欧几何；伽罗瓦理论；代数不变量理论。伽罗瓦理论；代数不变量理论。10 2 提出一个提出一个“好的问题好的问题”是不容易的是不容易的 这是因为在解决问题前，要想预先判断一个问这是因为在解决问题前，要想预先判断一个问题的价值是困难的，题的价值是困难的，问题的价值最终取决于科学问题的价值最终取决于科学从该问题得到的收益。从该问题得到的收
7、益。因此，只有对该学科的知因此，只有对该学科的知识有识有广泛广泛而而深入深入了解的学者，对该学科的发展有了解的学者，对该学科的发展有清醒清醒的认识和的认识和深刻深刻洞察力的学者，才能提出有较洞察力的学者，才能提出有较大价值的大价值的“好的问题好的问题”。11 3“好的问题好的问题”的标准的标准 尽 管 有 困 难，人 们 仍 希 望 给 出尽 管 有 困 难，人 们 仍 希 望 给 出“好 的好 的问 题问 题”的 一 般 标 准。希 尔 伯 特 在 他 的 演 讲的 一 般 标 准。希 尔 伯 特 在 他 的 演 讲中 就 提 出 了 这 样 的 标 准。我 们 把 它 归 纳 叙中 就 提
8、 出 了 这 样 的 标 准。我 们 把 它 归 纳 叙述如下：述如下：12 1）清晰易懂）清晰易懂 即，问题本身应很容易解释清楚，让别人听懂。希尔伯即，问题本身应很容易解释清楚，让别人听懂。希尔伯特说：特说：“一个清晰易懂的问题会引起人们的兴趣，而复杂一个清晰易懂的问题会引起人们的兴趣，而复杂的问题使人们望而生畏。的问题使人们望而生畏。”2）难而又可解决）难而又可解决 希尔伯特说：希尔伯特说：“为了具有吸引力，一个数学问题应该是为了具有吸引力，一个数学问题应该是困难的，但又不应是完全不可解决，而使我们劳而无功。困难的，但又不应是完全不可解决，而使我们劳而无功。”3）对学科发展有重大推动意义）
9、对学科发展有重大推动意义 问题解决的意义，不是局限于问题本身，而是波及整个问题解决的意义，不是局限于问题本身，而是波及整个学科，推动整个学科的发展。学科，推动整个学科的发展。13“好的问题好的问题”举例举例费马大定理费马大定理五次方程根式解五次方程根式解最速降线问题最速降线问题三体问题三体问题14三、三、“希尔伯特问题希尔伯特问题”解决的现状解决的现状 经过整整一个世纪，希尔伯特的经过整整一个世纪，希尔伯特的23个问题中，个问题中，将近一半已经解决或基本解决。将近一半已经解决或基本解决。有些问题虽未解决，有些问题虽未解决，但也取得了重要进展。但也取得了重要进展。能够解决一个或基本解决一个希尔伯
10、特问题的能够解决一个或基本解决一个希尔伯特问题的数学家，就自然地被公认为世界一流水平的数学家，数学家，就自然地被公认为世界一流水平的数学家，由此也可见希尔伯特问题的特殊地位。由此也可见希尔伯特问题的特殊地位。15 希尔伯特问题的研究与解决，希尔伯特问题的研究与解决，大大推动了许大大推动了许多数学分支的发展多数学分支的发展，这些分支包括：数理逻辑、，这些分支包括：数理逻辑、几何基础、李群、数学物理、概率论、数论、函几何基础、李群、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎数论、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论、变分法等。第二问题和第十问题的研曼曲面论、变分法
11、等。第二问题和第十问题的研究，还促进了现代计算机理论的成长。究，还促进了现代计算机理论的成长。16 重要的重要的“问题问题”，历来是推动科学前，历来是推动科学前进进的杠杆。但的杠杆。但一位科学家，如此一位科学家，如此自觉自觉、如此、如此集中集中地提出如此地提出如此一整批一整批问题，并且如此问题，并且如此持持久久地影响了一门学科的发展，这在科学史地影响了一门学科的发展，这在科学史上是仅有的。上是仅有的。17 在在 2 0 世 纪 末，人 们 也 想 模 仿世 纪 末，人 们 也 想 模 仿 1 9 世 纪世 纪末 的 希 尔 伯 特，提 出 一 批 有 价 值 的 数 学 问末 的 希 尔 伯
12、特，提 出 一 批 有 价 值 的 数 学 问题。但 由 于题。但 由 于 20世 纪 数 学 的 发 展，数 学 的 分世 纪 数 学 的 发 展，数 学 的 分支 越 来 越 细，已 没 有 一 个 人 能 像 当 年 的 希支 越 来 越 细，已 没 有 一 个 人 能 像 当 年 的 希尔 伯 特 那 样 涉 足 数 学 的 广 泛 领 域。于 是 人尔 伯 特 那 样 涉 足 数 学 的 广 泛 领 域。于 是 人们 想 到 了 组 成 一 个 数 学 家 的 小 组，来 做 这们 想 到 了 组 成 一 个 数 学 家 的 小 组，来 做 这件 事，并 且 已 经 付 诸 行 动，
13、但 最 终 并 没 有件 事，并 且 已 经 付 诸 行 动，但 最 终 并 没 有做 成 这 件 事。这 也 反 衬 出 希 尔 伯 特 的 伟做 成 这 件 事。这 也 反 衬 出 希 尔 伯 特 的 伟大。大。18 当 然，希 尔 伯 特 当 年 也 不 是 尽 善 尽 美当 然，希 尔 伯 特 当 年 也 不 是 尽 善 尽 美的。一 些 评 论 者 认 为，其的。一 些 评 论 者 认 为，其 局 限 性局 限 性 是，希 尔是，希 尔伯 特 问 题 未 包 括 拓 扑 学 和 微 分 几 何，而 这伯 特 问 题 未 包 括 拓 扑 学 和 微 分 几 何，而 这两 者 在两 者
14、在 2 0 世 纪 也 成 了 数 学 的 前 沿 和 热 点，世 纪 也 成 了 数 学 的 前 沿 和 热 点，这 是 希 尔 伯 特 没 有 预 见 到 的。此 外，希 尔这 是 希 尔 伯 特 没 有 预 见 到 的。此 外，希 尔伯 特 问 题 除 数 学 物 理 外，很 少 涉 及 应 用 数伯 特 问 题 除 数 学 物 理 外，很 少 涉 及 应 用 数学。学。19四希尔伯特的人品四希尔伯特的人品 希尔伯特不仅是一位伟大的数学家，希尔伯特不仅是一位伟大的数学家，而且有很高尚的品德，令人尊敬的不而且有很高尚的品德，令人尊敬的不只是他的数学成就，也包括他优秀的只是他的数学成就，也包
15、括他优秀的人品。人品。20 1第一次世界大战时拒绝在第一次世界大战时拒绝在“宣言宣言”上签字上签字 在 第 一 次 世 界 大 战 爆 发 时，德 国 政 府在 第 一 次 世 界 大 战 爆 发 时，德 国 政 府让 它 的 一 批 最 著 名 的 科 学 家 和 艺 术 家 出 来让 它 的 一 批 最 著 名 的 科 学 家 和 艺 术 家 出 来发 表 一 个发 表 一 个“宣 言宣 言”，声 明 他 们 拥 护 德 国 皇 帝，声 明 他 们 拥 护 德 国 皇 帝威 廉 二 世。威 廉 二 世。“宣 言宣 言”的 第 一 句 是：的 第 一 句 是：“说 德 国说 德 国人发动了战
16、争，这不是事实人发动了战争，这不是事实”。21 “宣 言宣 言”的 题 目 是的 题 目 是 告 文 明 世 界告 文 明 世 界 ，邀，邀请 了 一 批 知 名 人 士 签 字。当 局 认 为，知 名请 了 一 批 知 名 人 士 签 字。当 局 认 为，知 名人 士 中 的 数 学 家，大 半 只 是 为 他 们 的 同 行人 士 中 的 数 学 家，大 半 只 是 为 他 们 的 同 行所了解而不为外界熟知，因而数学家中所了解而不为外界熟知，因而数学家中只邀请了只邀请了世世界 声 望 最 高 的界 声 望 最 高 的 希 尔 伯 特 和 克 莱 因 两 人 签希 尔 伯 特 和 克 莱
17、因 两 人 签名。名。前 边 提 到 过 的 发 表 埃 尔 朗 根 纲 领、用前 边 提 到 过 的 发 表 埃 尔 朗 根 纲 领、用不 变 量 观 点 统 一 几 何 学 的 那 位 数 学 家 克 莱不 变 量 观 点 统 一 几 何 学 的 那 位 数 学 家 克 莱因，未 有 什 么 怀 疑 就 签 了 名。但因，未 有 什 么 怀 疑 就 签 了 名。但 希 尔 伯 特希 尔 伯 特仔 细 阅 读 后，仔 细 阅 读 后，却却 表 示 他 不 能 判 断表 示 他 不 能 判 断“宣 言宣 言”内内容的真实性，从而容的真实性，从而拒绝签字。拒绝签字。22 在 宣 言 上 签 字
18、的，除 了 克 莱 因，还 有在 宣 言 上 签 字 的，除 了 克 莱 因，还 有德 国 的 另 一 些 著 名 的 科 学 家，如 普 朗 克，德 国 的 另 一 些 著 名 的 科 学 家，如 普 朗 克，伦琴等。这份伦琴等。这份1914年年10月月15日发表的日发表的“宣宣言言”，使 文 明 世 界 震 惊：，使 文 明 世 界 震 惊：那 些 素 来 受 人 尊那 些 素 来 受 人 尊敬 的 科 学 家 们 怎 么 会 同 意 在 这 样 一 份 欺 骗敬 的 科 学 家 们 怎 么 会 同 意 在 这 样 一 份 欺 骗文明世界的文明世界的“宣言宣言”上签字？上签字？23 希 尔
19、 伯 特 拒 绝 签 字，也 特 别 引 人 注希 尔 伯 特 拒 绝 签 字，也 特 别 引 人 注目。在 国 内，似 乎 他 是 一 个 卖 国 贼。当目。在 国 内，似 乎 他 是 一 个 卖 国 贼。当1 9 1 4 年年 1 1 月 开 学 时，许 多 学 生 不 再 来 听月 开 学 时，许 多 学 生 不 再 来 听希 尔 伯 特 的 课。但 是 希 尔 伯 特 的 大 多 数 同希 尔 伯 特 的 课。但 是 希 尔 伯 特 的 大 多 数 同行 理 解 和 同 情 他。克 莱 因 也 很 快 就 后 悔 自行 理 解 和 同 情 他。克 莱 因 也 很 快 就 后 悔 自己
20、的 所 谓己 的 所 谓“爱 国爱 国”行 动。行 动。当 时 世 界 上 最 著 名当 时 世 界 上 最 著 名的 巴 黎 科 学 院 开 除 了 克 莱 因，希 尔 伯 特 则的 巴 黎 科 学 院 开 除 了 克 莱 因，希 尔 伯 特 则更加受到尊重。更加受到尊重。24 2为法国数学家达布写悼念文章为法国数学家达布写悼念文章 “达 布 上 和达 布 上 和”、“达 布 下 和达 布 下 和”，在 定 积 分，在 定 积 分理 论 中 为 大 家 所 熟 知。达 布 是 法 国 人，而理 论 中 为 大 家 所 熟 知。达 布 是 法 国 人，而当 时 法 国 是 与 德 国 交 战
21、的 敌 国。所 以当 时 法 国 是 与 德 国 交 战 的 敌 国。所 以 1 9 1 7年 达 布 逝 世 时，德 国 人 不 敢 悼 念 他。而 希年 达 布 逝 世 时，德 国 人 不 敢 悼 念 他。而 希尔 伯 特 对 达 布 非 常 敬 佩，他 写 了 一 篇 悼 念尔 伯 特 对 达 布 非 常 敬 佩，他 写 了 一 篇 悼 念文章。文章。25 文章发表后，一群学生到希尔伯特的家门口示文章发表后，一群学生到希尔伯特的家门口示威，要他收回和销毁这篇悼念威，要他收回和销毁这篇悼念“敌人数学家敌人数学家”的文章。的文章。希尔伯特断然拒绝这一无理要求，并且到校长那里提希尔伯特断然拒绝
22、这一无理要求，并且到校长那里提出辞职。结果希尔伯特很快收到了校方的道歉信。悼出辞职。结果希尔伯特很快收到了校方的道歉信。悼念达布的文章也继续刊登。念达布的文章也继续刊登。希尔伯特一生只写过四篇希尔伯特一生只写过四篇悼念文章悼念文章，除这篇外，其余三篇分别是悼念魏尔斯特，除这篇外，其余三篇分别是悼念魏尔斯特拉斯（创造拉斯（创造 语言者）、闵可夫斯基（苹果树下语言者）、闵可夫斯基（苹果树下散步者）和赫尔维茨（苹果树下散步者）。散步者）和赫尔维茨（苹果树下散步者）。26 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯(18151897)德意志帝国数学家。1815年10月31日生于威斯特法伦州的奥斯滕费尔德，1897年2月
23、19日卒于柏林。1834年入波恩大学学习法律和财政。1838年转学数学。18421856年，先后在几所中学任教。1854年3月31日获得柯尼斯堡大学名誉博士学位。1856年10月受聘为柏林大学助理教授，同年成为柏林科学院成员，1864年升为教授。27 闵可夫斯基闵可夫斯基（Hermann Minkowski，18641909）出生于俄国的 Alexotas(现在变成立陶宛的 Kaunas)。1873年，闵可夫斯基进入艾尔斯塔特预科学校读书。1884年，年方25的数学家Hurwitz来到Konigsberg大学当副教授，很快地便和闵可夫斯基及Hilbert建立起友谊，共同的科学爱好把他们紧密地结
24、合在一起。闵可夫斯基闵可夫斯基28赫尔维茨赫尔维茨29 3对女数学家爱米对女数学家爱米诺特的支持诺特的支持 当 时 的 德 国，对 女 科 学 家 和 资 历 较 浅 的 学当 时 的 德 国，对 女 科 学 家 和 资 历 较 浅 的 学者 是 有 一 定 歧 视 的。现 在 公 认 的 著 名 女 数 学 家者 是 有 一 定 歧 视 的。现 在 公 认 的 著 名 女 数 学 家爱 米 诺 特，爱 米 诺 特，1 9 1 6 年 从 埃 尔 朗 根 来 到 哥 廷 根，年 从 埃 尔 朗 根 来 到 哥 廷 根，就 遇 到 这 样 的 歧 视。但 希 尔 伯 特 和 克 莱 因 很 重就
25、 遇 到 这 样 的 歧 视。但 希 尔 伯 特 和 克 莱 因 很 重视 她，要 为 诺 特 争 取 一 个 讲 师 的 职 位，却 遭 到视 她，要 为 诺 特 争 取 一 个 讲 师 的 职 位，却 遭 到大 学 评 议 会 的 反 对。希 尔 伯 特 在 会 上 说：大 学 评 议 会 的 反 对。希 尔 伯 特 在 会 上 说：“我我无 法 想 象 候 选 人 的 性 别，竞 成 了 反 对 她 升 任 讲无 法 想 象 候 选 人 的 性 别，竞 成 了 反 对 她 升 任 讲师的理由。师的理由。”30 后 来，后 来，希 尔 伯 特 以 自 己 的 名 义 申 请 了希 尔 伯
26、特 以 自 己 的 名 义 申 请 了一门课，让爱米诺特来讲授。一门课，让爱米诺特来讲授。诺特很快显诺特很快显示 出 她 的 才 能，后 来 也 成 为 世 界 著 名 的 数示 出 她 的 才 能，后 来 也 成 为 世 界 著 名 的 数学 家，在 代 数 方 面 有 巨 大 的 贡 献，做 了 许学 家，在 代 数 方 面 有 巨 大 的 贡 献，做 了 许多奠基性的工作。多奠基性的工作。31通常把诺特1921年发表的环中的理想论，看作现代抽象代数的开端。由于对概念的准确抽象及表述，诺特的理论具有令人惊叹的普遍性。32 4对康托集合论的支持对康托集合论的支持 康托的集合论打出康托的集合论
27、打出实无限实无限的旗帜，遭到另一些持的旗帜，遭到另一些持潜潜无限无限观点的数学家的反对，包括他的老师克罗涅克尔的观点的数学家的反对，包括他的老师克罗涅克尔的反对。克罗涅克尔个性专横、语言刻薄，利用他的威望反对。克罗涅克尔个性专横、语言刻薄，利用他的威望和权势压制康托，所以康托当年的地位和待遇都不好。和权势压制康托，所以康托当年的地位和待遇都不好。而希尔伯特则客观、公正地评价康托的学术成就，并给而希尔伯特则客观、公正地评价康托的学术成就，并给予支持，这予支持，这表现了希尔伯特的学术公正和为人正直。表现了希尔伯特的学术公正和为人正直。33康托康托(Contor,Georg)(1845-1918)，
28、俄罗斯德国数学家、19世纪数学伟大成就之一集合论的创立人。康托自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究。他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础。34 5攻克果尔丹问题中的表现攻克果尔丹问题中的表现 果 尔 丹 问 题 是 关 于 二 次 型 不 变 量 的 一 个 问果 尔 丹 问 题 是 关 于 二 次 型 不 变 量 的 一 个 问题。果 尔 丹 解 决 了 二 次 型 的 有 限 完 备 不 变题。果 尔 丹 解 决 了 二 次 型 的 有 限 完 备 不 变量 系，下 一 个 问 题 是：对 于 给 定 的 二 次量 系，下 一 个 问 题 是：对 于 给
29、定 的 二 次型，是 否 存 在 一 组 有 限 的 基，使 所 有 不 变型，是 否 存 在 一 组 有 限 的 基，使 所 有 不 变量 都 能 够 用 这 组 基 的 有 理 整 式 表 达。称 之量 都 能 够 用 这 组 基 的 有 理 整 式 表 达。称 之为果尔丹问题。为果尔丹问题。35 果 尔 丹 本 人 后 来 解 决 了 二 元、三 元 二果 尔 丹 本 人 后 来 解 决 了 二 元、三 元 二次 型 的 这 一 问 题，用 的 是次 型 的 这 一 问 题，用 的 是“构 造 性 证 明构 造 性 证 明”。后 人 继 续 用 这 一 思 路，德、英、法、意 许后 人
30、继 续 用 这 一 思 路，德、英、法、意 许多 数 学 家，经 过多 数 学 家，经 过 2 0 年 的 努 力，也 未 最 终 解年 的 努 力，也 未 最 终 解决 果 尔 丹 问 题。而决 果 尔 丹 问 题。而 希 尔 伯 特 另 辟 奚 经，出希 尔 伯 特 另 辟 奚 经，出奇 制 胜，奇 制 胜，统 一 地 对 任 意 元 的 给 定 的 型，证统 一 地 对 任 意 元 的 给 定 的 型，证明 了 果 尔 丹 定 理。当 时 希 尔 伯 特 还 是 讲明 了 果 尔 丹 定 理。当 时 希 尔 伯 特 还 是 讲师，师，学 术 权 威 们 认 为，没 有 构 造 的 存 在
31、 性学 术 权 威 们 认 为，没 有 构 造 的 存 在 性证明不算是数学上的存在性证明证明不算是数学上的存在性证明。36 希 尔 伯 特 不 畏 权 势，坚 持 真 理。希 尔 伯 特 不 畏 权 势，坚 持 真 理。随 着随 着时 间 的 推 移，人 们 逐 渐 认 识 到，这 种 纯 存 在时 间 的 推 移，人 们 逐 渐 认 识 到，这 种 纯 存 在性 证 明 比 构 造 性 证 明 更 有 价 值、更 本 质。性 证 明 比 构 造 性 证 明 更 有 价 值、更 本 质。希 尔 伯 特 本 人，后 来 也 在 这 种 纯 存 在 性 证 明希 尔 伯 特 本 人，后 来 也
32、在 这 种 纯 存 在 性 证 明的 思 路 启 发 下，给 出 了 一 个 构 造 性 证 明。的 思 路 启 发 下，给 出 了 一 个 构 造 性 证 明。这 有 力 地 改 变 了 人 们 的 看 法，果 尔 丹 也 从这 有 力 地 改 变 了 人 们 的 看 法，果 尔 丹 也 从过 去 说 希 尔 伯 特 的 方 法过 去 说 希 尔 伯 特 的 方 法“是 神 学是 神 学”，转 而 表，转 而 表示敬意。示敬意。37思考题思考题 如果只要求找出次品乒乓球，并不要如果只要求找出次品乒乓球，并不要求判断次品是过重还是过轻，那么三次使求判断次品是过重还是过轻，那么三次使用不带砝码的
33、天平，最多可以用不带砝码的天平，最多可以从多少个从多少个乒乓球乒乓球中中找出找出唯一唯一的次品？的次品？38趣题找次品找次品：1）有有5个外形相同的乒乓球，其中只有个外形相同的乒乓球，其中只有 1个重量不标准的次品乒乓球。个重量不标准的次品乒乓球。现再给你一个标准球；请用一架不带现再给你一个标准球；请用一架不带砝码的天平，最多两次使用该天平，找砝码的天平，最多两次使用该天平，找出上述次品乒乓球。出上述次品乒乓球。39趣题找次品找次品：2）有有12个外形相同的乒乓球，其中只有个外形相同的乒乓球，其中只有 1个重量不标准的次品乒乓球。请用一架不带个重量不标准的次品乒乓球。请用一架不带砝码的天平，最
34、多三次使用该天平，找出上述砝码的天平，最多三次使用该天平，找出上述次品乒乓球，并判断它是重于标准球，还是轻次品乒乓球，并判断它是重于标准球，还是轻于标准球。于标准球。40思考题思考题 如果只要求找出次品乒乓球，并不要如果只要求找出次品乒乓球，并不要求判断次品是过重还是过轻，那么三次使求判断次品是过重还是过轻，那么三次使用不带砝码的天平，最多可以用不带砝码的天平，最多可以从多少个从多少个乒乓球乒乓球中中找出找出唯一唯一的次品？的次品？41 趣题填骨牌：填骨牌：用个用个 矩形骨牌挤满矩形骨牌挤满 矩形盒，矩形盒，有多少种方法？如下图。有多少种方法？如下图。（矩形骨牌矩形骨牌）（矩形盒矩形盒）21210 42 用个用个 矩形骨牌挤满矩形骨牌挤满 矩形盒，矩形盒，有多少种方法？如下图。有多少种方法？如下图。210 43提示提示问题一般化问题一般化问题特殊化问题特殊化猜测规律猜测规律证明规律证明规律44 问题一般化问题一般化 n 245 示:(1)；(2)，；(3)，；46 用个用个 矩形骨牌挤满矩形骨牌挤满 矩形盒，矩形盒，有多少种方法？如下图。有多少种方法？如下图。210 47本节结束本节结束谢谢谢谢
