1、 高三上学期数学期中联考试卷 高三上学期数学期中联考试卷一、单选题一、单选题1设集合 ，则 （）ABCD2若向量 ，则（）A 且 B 且 C 且 D 且 3若各项均不为零的等差数列 满足 ，则 （）ABCD4已知函数 ，命题 ：，则（）A 为幂函数BC 是真命题D 的否定是 ，5函数 的图象大致为（）ABCD6已知函数 ，则 （）ABCD7函数 图象的对称中心的坐标为（）ABCD82021 年小林大学毕业后，9 月 1 日开始工作，他决定给自己开一张储蓄银行卡，每月的 10 号存钱至该银行卡（假设当天存钱次日到账）.2021 年 9 月 10 日他给卡上存入 1 元，以后每月存的钱数比上个月多
2、一倍，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到 1 万元的时间为（）A2022 年 12 月 11 日B2022 年 11 月 11 日C2022 年 10 月 11 日D2022 年 9 月 11 日二、多选题二、多选题9已知函数 的定义域为 ，则（）A 的最大值是最小值的 2 倍B函数 为单调递增函数C函数 的最大值为 D将 的图象向下平移 1 个单位长度，得到 的图象10已知角 的终边经过点 ，则（）ABCD若 为钝角，则 11已知 ，则（）A 的最小值为 9B“”是“”的必要不充分条件C 的最小值为 9D“”是“”的充分不必要条件12已知 ，函数 的零点为 b，的极小值点为
3、c，则（）ABCD三、填空题三、填空题13数列 的最小项为 .14定义：、两个向量的又乘 的模 .在正 中，若 ，则 .15雾灵山，位于河北承德市兴隆县内，雾灵山历史上曾称伏凌山、孟广硎山、五龙山，明代始称雾灵山.雾灵山主峰的海拔超过 米，为了测量主峰的海拔，甲和乙分别在海拔都为 米的 、两点观测主峰的最高点 （与海拔 米所在平面垂直，为垂足，且 、都在 的正东方向），从 点和 点观测到 点的仰角分别为 、，且 米，则雾灵山主峰的海拔约为 米.（结果精确到整数，取 ，）16若 对 恒成立，则 a 的取值范围是 .四、解答题四、解答题17已知定义在 R 上的偶函数 的图象经过点 ，且 的最小值为
4、负数.（1）写出 的一个解析式（无需写出过程）；（2）若 是周期为 4 的函数，求 的值.18 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 ，且 .（1）求 的面积；（2）若 ，求 的周长.19已知函数 .（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；（2）讨论 零点的个数.20已知函数 .（1）若至少存在三个 ，使得 ，求 最小正周期的取值范围；（2）若 在 上单调递增，且存在 ，使得 ，求 的取值范围.21在数列 中，.（1）求 的通项公式.（2）设 的前 n 项和为 ，证明：.22已知函数 .（1）讨论 的单调性.（2）若 ，且正数 满足 ，证明：.答案解析部分答案解析部分1【答案
5、】B【解析】【解答】因为 ，所以 .故答案为：B.【分析】化简集合 M，再根据交集的定义进行运算，可得答案。2【答案】B【解析】【解答】因为 ，所以 不平行，因为 ，所以 ，又 ，故答案为：B.【分析】根据向量平行的坐标运算以及平面向量数量积的运算，可得答案。3【答案】A【解析】【解答】因为 ，所以 ，故 .故答案为：A.【分析】根据已知条件及等差数列的通项公式，即可求出答案。4【答案】C【解析】【解答】对于 A：因为 不满足幂函数 的形式，所以 不是幂函数，A 不正确；对于 B：，B 不正确；对于 C：当 时，所以 是真命题，C 符合题意；对于 D：的否定是 ，D 不正确；故答案为：C.【分
6、析】根据幂函数的定义，即可判断选项 A 的正误；把 2x代入 进行化简可判断选项 B 的正误；根据命题的真假进行判断可判断选项 C 的正误；根据特称命题的否定是全称命题可判断选项 D 的正误。5【答案】D【解析】【解答】，为奇函数，的图象关于原点对称，排除 A，B.当 时，排除 C，故答案为：D.【分析】函数为奇函数，根据奇函数的性质排除 A，B；把 代入的解析式，得出，排除 C，可得答案。6【答案】C【解析】【解答】因为 ，所以 ，解得 ，则 .故答案为：C【分析】对求导，再把 x=1 代入化简求值，即可求出答案。7【答案】D【解析】【解答】，令 ，得 ，故 的对称中心为 .故答案为：D【分
7、析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的对称性，即可求出答案.8【答案】C【解析】【解答】依题意可知，小林从第一个月开始，每月所存钱数依次成首项为 1，公比为 2 的等比数列，其前 n 项和为 .因为 为增函数，且 ，所以第 14 个月的 10 号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额首次达到 1 万元，即 2022 年 10 月 11 日他这张银行卡账上存钱总额首次达到 1 万元.故答案为：C【分析】依题意可知，小林从第一个月开始，每月所存钱数依次成首项为 1，公比为 2 的等比数列，利用等比数列的求和公式得，再根据指数函数单调性，即可求出答案。9【答案】A,D【解析】【解答】因为 在
8、 上单调递增，所以 的最大值与最小值的比值为 ；函数 为单调递减函数；由 得 ，所以 的定义域为 ，且 为增函数，故 ；将 的图象向下平移 1 个单位长度，得到 的图象.故答案为：AD【分析】利用对数的性质逐项进行分析，可得答案。10【答案】B,C,D【解析】【解答】因为角 的终边经过点 ，所以 ，则 A 不符合题意；，B 符合题意；，C 符合题意；若 为钝角，则由 ，得 ，D 符合题意.故答案为：BCD.【分析】利用任意角的三角函数的定义求得的值，再根据正弦的二倍角公式、诱导公式及正切的二倍角公式，逐项进行分析，可得答案。11【答案】B,C【解析】【解答】，当且仅当 ，即 时，等号成立，但
9、，则 ，所以 A 不符合题意.若 ，则由 ，得 ，所以 ，则 .反之，由 不能推出 ，B 符合题意.因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 9，C 符合题意.当 时，且 ，但 ；当 时，且 ，但 ，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，所以 D 不符合题意.故答案为：BC.【分析】利用基本不等式及充分条件、必要条件的定义，逐项进行分析，可得答案。12【答案】A,D【解析】【解答】因为 ，所以 ，又函数 在 单调递增，所以 ，因为 ，所以 .，令 ，得 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，又因为 ，所以 ，故 .故答案为：AD【分析】由，利用零点判定定理可得，对求导，根
10、据导数符号可得在 和 上单调性，求出 c 的值，进而得出答案。13【答案】5【解析】【解答】因为 ，所以当 或 5 时，取得最小值，且最小值为 5.故答案为：5【分析】结合二次函数的性质，即可求出数列 的最小项。14【答案】【解析】【解答】设等边三角形 的边长为 ，因此，.故答案为：.【分析】根据新定义，空间向量的叉乘运算及利用向量数量积计算模，求出答案。15【答案】2117【解析】【解答】如图，设 米，则 ，所以 ，故雾灵山主峰的海拔约为 米.故答案为：2117.【分析】设 米，则 ，则 代入数值即可求出雾灵山主峰的海拔。16【答案】【解析】【解答】设函数 ，则 ，从而 在 R上单调递增.由
11、 ，得 ，即 ，则 ，即 .设函数 ，则 .当 时，；当 时，.故 ，则 .故答案为：【分析】设函数 ，则 ，从而 在 R 上单调递增，可得，即，设函数，求导，根据导数符号可得的单调性，求出，进而求出 a 的取值范围。17【答案】（1）解：.本题答案不唯一（例如 ），只要同时满足定义域为 R.，且 的最小值小于 0 即可.（2）解：因为 是周期为 4 的函数.所以 .又因为 是偶函数，且 ，所以 .故 .【解析】【分析】（1）利用偶函数的性质写出 的一个解析式；（2）利用函数的周期性求出 的值，由 是偶函数，求得 的值，进而求出 的值.18【答案】（1）解：由 ，得 ，即 .因为 ，所以 ，整
12、理得 ，解得 或 ，故 的面积 或 4.（2）解：为 ，所以 .由余弦定理得 ，即 ，解得 ，故 的周长为 .【解析】【分析】(1)利用正弦定理求出 ac，根据 求出 sinB，可得ABC 的面积；(2)由 ，得，利用余弦定理求出 a+c，可得ABC 的周长.19【答案】（1）解：当 时，则 ，所以 ，又 ，故曲线 在点 处的切线方程为 ，即（2）解：令 ，得 或 2.当 时，则 在 上单调递增；当 时，则 在 上单调递减.从而 的极小值为 ，极大值为 .当 或 时，只有一个零点，即零点的个数为 1；当 或 时，有两个零点，即零点的个数为 2；当 时，有三个零点，即零点的个数为 3.【解析】【
13、分析】(1)求出切点的坐标，利用导数额几何意义求出切线的斜率，由点斜式即可得到切线的方程；(2)令 ，得 或 2，当 时，当 时，分别判断导数的符号，进而得出 在 ，上单调性，进而求出极值，可得 零点的个数.20【答案】（1）解：由题意知，的图象在 上至少有三个最低点.因为 ，所以 ，因此 ，解得 .从而 ，故 最小正周期的取值范围是（2）解：依题意得 ，又 ，所以 .当 时，因为 ，所以 ，则 ，解得 ，又 ，所以 .，当 时，又 ，则 .由 ，得 ，即 ，故 的取值范围是 .【解析】【分析】（1）由题意知，的图象在 上至少有三个最低点，由正弦函数的性质，可求出 最小正周期的取值范围；（2）
14、利用正弦函数的单调性，可求出 的取值范围。21【答案】（1）解：，又 ，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，从而 ，则（2）证明：，.设 ，则 ，两式相减得 ，从而 ，故 .【解析】【分析】（1）利用数列的递推公式可判断出数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，进而得出 的通项公式；（2），利用错位相减法，即可证得.22【答案】（1）解：.当 时，则 在 上单调递减，在 上单调递增.当 时，令 ，得 （舍去），则 在 上单调递减，在 上单调递增.（2）证明：由 ，且 ，得 ，整理得 .令 ，设函数 ，则 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，即 .所以 ，解得【解析】【分析】（1）对 求导，分 ，两种情况讨论导数的符号，可得 的单调性；（2）由 已知条件得，整理得 ，令 ，设函数 ，求导可得 在 ，上单调性，进而证得.
