第6讲 函数的单调性 讲义（学生版+教师版）-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.rar

第 6 讲 函数的单调性玩前必备1函数的单调性1函数的单调性(1)单调函数的定义(1)单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间MA.如果取区间M中的任意两个值x1，x2，定义改变量 xx2x10，则当yf(x2)f(x1)0 时，就称函数yf(x)在区间M上是增函数改变量 xx2x10，当yf(x2)f(x1)0 时，就称函数yf(x)在区间M上是减函数增函数减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间2函数的最值2函数的最值前 提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条 件(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M结 论M为最大值M为最小值玩转典例题型一题型一 函数单调性的判断和证明函数单调性的判断和证明例例 1 （2021浙江高一期末）已知函数23()1xf xx（1）判断函数()f x在0,)上的单调性，并用定义证明其结论；（2）求函数()f x在区间2,9上的值域例 2 例 2 （2021福建福州市高一期末）已知函数2()(1)2f xxaxa，且 13f.（1）求实数a的值；（2）判断()f x在区间,0上的单调性并用定义证明.例 3.例 3.（2021广东）作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域：（1）12xyx；（2）24|yxx；（3）2xyx；（4）|(1)|yxx；（5）12|yx.玩转跟踪 1.（2021云南文山壮族苗族自治州高一期末）已知函数 2,bf xxcx其中,b c为常数且满足 14,25.ff（1）求函数 fx的解析式；（2）证明：函数 fx在区间(0，1)上是减函数.2.定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不相等的实数 a，b，总有fafbab0，则必有()A.函数 f(x)先增后减B.f(x)是 R 上的增函数C.函数 f(x)先减后增D.函数 f(x)是 R 上的减函数3.画出函数 yx22|x|1 的图象并写出函数的单调区间.题型二题型二 函数单调性的应用函数单调性的应用角度一：利用函数的单调性求最值例 4(1)函数 f(x)Error!的最大值为_(2)已知函数 f(x)ax1a(1x)(a0)，且 f(x)在0,1上的最小值为 g(a)，求 g(a)的最大值角度二：利用函数的单调性求解不等式例 5（1）（2021全国高一）已知 223,03,0 xx xfxxx x,则不等式224fxfx的解集为（）A1,6B6,1C3,2D2,3（2）（2021云南大理白族自治州宾川四中高一开学考试）已知函数()yf x在定义域1.1上是减函数，且(21)(1)fafa，则实数a的取值范围是（）A2,3B2,13C0,2D0,角度三：利用函数的单调性求参数例 6 (1)如果函数 f(x)ax22x3 在区间(，4)上是单调递增的，则实数 a 的取值范围是()A.(14，)B.14，)C.14，0)D.14，0(2).已知 f(x)Error!是定义在 R 上的减函数，那么 a 的取值范围是_.题型三题型三 分类讨论二次函数单调性和最值分类讨论二次函数单调性和最值例 7 若函数 f(x)ax22ax1 在1，2上有最大值 4，则 a 的值为_【玩转跟踪】1(一题两空)已知函数 f(x)x2x，2 x c，1x，cx 3.若 c0，则 f(x)的值域是_；若 f(x)的值域是14，2，则实数 c 的取值范围是_2已知函数 f(x)x2(2a1)x3.(1)当 a2，x2，3时，求函数 f(x)的值域；(2)若函数 f(x)在1，3上的最大值为 1，求实数 a 的值玩转练习1.下列说法中，正确的有()若任意 x1，x2I，当 x1x2时，fx1fx2x1x20，则 yf(x)在 I 上是增函数；函数 yx2在 R 上是增函数；函数 y1x在定义域上是增函数；函数 y1x的单调区间是(，0)(0，).A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个2.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()A.y|x|B.y3xC.y1x D.yx243.若函数 f(x)4x2kx8 在5,8上是单调函数，则 k 的取值范围是()A.(，40)B.40,64C.(，4064，)D.64，)4.若 f(x)为 R 上的增函数，kf(x)为 R 上的减函数，则实数 k 的取值范围是()A.k 为任意实数 B.k0C.k0 D.k05.函数 yx|x1|的单调递增区间是_.6.函数 f(x)2x2mx3，当 x2，)时是增函数，当x(，2时是减函数，则 f(1)_.7.求证：函数 f(x)1x1 在区间(，0)上是增函数.8.如果函数 f(x)ax22x3 在区间(，4)上是单调递增的，则实数 a 的取值范围是()A.a14 B.a14C.14a0 D.14a09.已知函数 f(x)x2bxc 的图象的对称轴为直线 x1，则()A.f(1)f(1)f(2)B.f(1)f(2)f(1)C.f(2)f(1)f(1)D.f(1)f(1)f(2)10（多选题）函数()=2 +1在区间（b，+）上单调递增，则下列说法正确的是（）Aa2Bb1Cb1Da211（多选题）若 xR，f（x）是 y2x2，yx 这两个函数中的较小者，则 f（x）（）A最大值为 2B最大值为 1C最小值为1D无最小值12.讨论函数 yx22(2a1)x3 在2,2上的单调性.13.已知函数 f(x)在实数集中满足 f(xy)f(x)f(y)，且 f(x)在定义域内是减函数.(1)求 f(1)的值；(2)若 f(2a3)0，试确定 a 的取值范围.第 6 讲 函数的单调性玩前必备1函数的单调性1函数的单调性(1)单调函数的定义(1)单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间MA.如果取区间M中的任意两个值x1，x2，定义改变量 xx2x10，则当yf(x2)f(x1)0 时，就称函数yf(x)在区间M上是增函数改变量 xx2x10，当yf(x2)f(x1)0 时，就称函数yf(x)在区间M上是减函数增函数减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间2函数的最值2函数的最值前 提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条 件(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M结 论M为最大值M为最小值玩转典例题型一题型一 函数单调性的判断和证明函数单调性的判断和证明例例 1 （2021浙江高一期末）已知函数23()1xf xx（1）判断函数()f x在0,)上的单调性，并用定义证明其结论；（2）求函数()f x在区间2,9上的值域【解析】（1）函数()f x在0,)上是增函数.证明：任取12,x x 0,)，且12xx，122112121212212312312323111111xxxxxxxxxfxxxxf x1212511xxxx，120 xxQ，12110 xx，120f xf x，即 12f xf x，函数()f x在0,)上是增函数；（2）由（1）知函数()f x在区间2,9上是增函数，又 2 23122 13f，2 9339 129f，所以函数()f x在区间2,9上的值域为1 3,3 2.例 2 例 2 （2021福建福州市高一期末）已知函数2()(1)2f xxaxa，且 13f.（1）求实数a的值；（2）判断()f x在区间,0上的单调性并用定义证明.【答案】（1）1；（2）在区间,0上单调递减，证明见解析.【解析】（1）由 13f，得1123aa，所以1a.（2）由（1）知2()2f xx，其定义域为R，()f x在区间,0上单调递减.证明如下：任取12,0 x x ，且12xx，12f xf x221222xx 222212122212222222xxxxxx 221222122222xxxx2212221222xxxx1212221222xxxxxx.因为10 x，20 x，且12xx，所以120 xx，120 xx，2212220 xx，则120f xf x，所以 12f xf x，故()f x在区间,0上单调递减.例 3.例 3.（2021广东）作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域：（1）12xyx；（2）24|yxx；（3）2xyx；（4）|(1)|yxx；（5）12|yx.【答案】见解析【解析】（1）11122xyxx，图象如图所示：函数在(,2)和(2,)为减函数，因为102x，所以1112x，故值域为：(,1)(1,)；（2）222(2)4,04(2)4,0 xxyxxxx，图象如图所示：函数在(,2 和0,2为减函数，在 2,0和2,)为增函数，当2x 时，y取得最小值4，故值域：4,)；（3）2 221222xxyxxx ，图象如图所示：函数在(,2)和0,)为增函数，在(2,0为减函数，值域为：0,).（4）(1)(1)yxxx x，图象如图所示：函数在(,0和1,12为减函数，在10,2和1,)为增函数，值域为：0,)；（5）12|yx，函数在(,2)和(2,0为减函数，在0,2)和(2,)为增函数，值域为：1(,0),2.玩转跟踪 1.（2021云南文山壮族苗族自治州高一期末）已知函数 2,bf xxcx其中,b c为常数且满足 14,25.ff（1）求函数 fx的解析式；（2）证明：函数 fx在区间(0，1)上是减函数.【答案】（1）22f xxx；（2）证明见解析.【解析】（1）解：14,25ff，24,452bbcc 解得2,0bc，f x的解析式为 22f xxx（2）证明：任取1201xx0，则必有()A.函数 f(x)先增后减B.f(x)是 R 上的增函数C.函数 f(x)先减后增D.函数 f(x)是 R 上的减函数答案B解析由fafbab0 知，当 ab 时，f(a)f(b)；当 ab 时，f(a)0)，且 f(x)在0,1上的最小值为 g(a)，求 g(a)的最大值听前试做(1)当 x1 时，函数 f(x)1x为减函数，所以 f(x)在 x1 处取得最大值，为 f(1)1；当 x1 时，a1a0，此时 f(x)在0,1上为增函数，g(a)f(0)1a；当 0a1 时，a1a0，此时 f(x)在0,1上为减函数，g(a)f(1)a；当 a1 时，f(x)1，此时 g(a)1.g(a)Error!g(a)在(0,1)上为增函数，在1，)上为减函数，又 a1 时，有 a1a1，当 a1 时，g(a)取最大值 1.答案：(1)2角度二：利用函数的单调性求解不等式例 5（1）（2021全国高一）已知 223,03,0 xx xfxxx x,则不等式224fxfx的解集为（）A1,6B6,1C3,2D2,3【答案】C【解析】fx的图象如下图所示：由图象可知：fx在R上单调递增，因为224fxfx，所以224xx，所以260 xx即320 xx，所以解集为：3,2.故选：C.（2）（2021云南大理白族自治州宾川四中高一开学考试）已知函数()yf x在定义域1.1上是减函数，且(21)(1)fafa，则实数a的取值范围是（）A2,3B2,13C0,2D0,【答案】B【解析】因为函数()yf x在定义域1.1上是减函数，且(21)(1)fafa，所以211121 11 11aaaa ,解得213a,所以实数a的取值范围是2,13.故选：B.角度三：利用函数的单调性求参数例 6 (1)如果函数 f(x)ax22x3 在区间(，4)上是单调递增的，则实数 a 的取值范围是()A.(14，)B.14，)C.14，0)D.14，0(1)当 a0 时，f(x)2x3，在定义域 R 上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当 a0 时，二次函数 f(x)的对称轴为 x1a，因为 f(x)在(，4)上单调递增，所以 aa14.综上所述得14a0.(2).已知 f(x)Error!是定义在 R 上的减函数，那么 a 的取值范围是_.答案17，13)解析要使 f(x)在(，)上为减函数，必须同时满足 3 个条件：g(x)(3a1)x4a 在(，1)上为减函数；h(x)x1 在1，)上为减函数；g(1)h(1).Error!17a13.题型三题型三 分类讨论二次函数单调性和最值分类讨论二次函数单调性和最值例 7 若函数 f(x)ax22ax1 在1，2上有最大值 4，则 a 的值为_解析f(x)a(x1)21a.当 a0 时，函数 f(x)在区间1，2上的值为常数 1，不符合题意，舍去；当 a0 时，函数 f(x)在区间1，2上是增函数，最大值为 f(2)8a14，解得 a38；当 a0 时，函数 f(x)在区间1，2上是减函数，最大值为 f(1)3a14，解得 a1，不符合题意，舍去综上可知，a 的值为38.【玩转跟踪】1(一题两空)已知函数 f(x)x2x，2 x c，1x，cx 3.若 c0，则 f(x)的值域是_；若 f(x)的值域是14，2，则实数 c 的取值范围是_解析：当 c0 时，当 x2，0时，f(x)14，2，当 x(0，3时，f(x)13，)，所以 f(x)的值域为14，).作出 yx2x 和 y1x的图象如图所示，当 f(x)14时，x12；当 x2x2 时，x1 或 x2；当1x2 时，x12，由图象可知当 f(x)的值域为14，2时，需满足12c1.答案：14，)12，12已知函数 f(x)x2(2a1)x3.(1)当 a2，x2，3时，求函数 f(x)的值域；(2)若函数 f(x)在1，3上的最大值为 1，求实数 a 的值解：(1)当 a2 时，f(x)x23x3，x2，3，对称轴为 x322，3，f(x)minf(32)94923214，f(x)maxf(3)15，函数 f(x)的值域为214，15.(2)函数 f(x)的对称轴为 x2a12.当2a121，即 a12时，f(x)maxf(3)6a3，6a31，即 a13，满足题意；当2a121，即 a12时，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即 a1，满足题意综上可知，a13或1.玩转练习1.下列说法中，正确的有()若任意 x1，x2I，当 x1x2时，fx1fx2x1x20，则 yf(x)在 I 上是增函数；函数 yx2在 R 上是增函数；函数 y1x在定义域上是增函数；函数 y1x的单调区间是(，0)(0，).A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个答案B解析当 x1x2时，x1x20，由fx1fx2x1x20 知 f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，正确；均不正确.2.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()A.y|x|B.y3xC.y1x D.yx24答案A解析 函数 y3x 在 R 上为减函数，函数 y1x在(0，)上是减函数，函数 yx24 在0，)上是减函数.3.若函数 f(x)4x2kx8 在5,8上是单调函数，则 k 的取值范围是()A.(，40)B.40,64C.(，4064，)D.64，)答案C解析对称轴为 xk8，则k85 或k88，解得 k40 或 k64.4.若 f(x)为 R 上的增函数，kf(x)为 R 上的减函数，则实数 k 的取值范围是()A.k 为任意实数 B.k0C.k0 D.k0答案C解析由函数单调性的定义，设 x1，x2是任意实数，x1x2，则 f(x1)f(x2)，且 kf(x2)kf(x1)，得出 f(x1)f(x2)0，kf(x1)f(x2)0，则 k0.5.函数 yx|x1|的单调递增区间是_.答案(，12，1，)解析画出函数 yx|x1|Error!的图象，如图，可得函数的增区间为(，12，1，).6.函数 f(x)2x2mx3，当 x2，)时是增函数，当x(，2时是减函数，则 f(1)_.答案3解析f(x)2(xm4)23m28，由题意m42，m8，则 f(x)2x28x3，f(1)2128133.7.求证：函数 f(x)1x1 在区间(，0)上是增函数.证明设 x1，x2为区间(，0)上的任意两个值，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)(1x11)(1x21)1x21x1x1x2x1x2.因为 x1x20，所以 x1x20，所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2).故函数 f(x)1x1 在区间(，0)上是增函数.8.如果函数 f(x)ax22x3 在区间(，4)上是单调递增的，则实数 a 的取值范围是()A.a14 B.a14C.14a0 D.14a0答案D解析当 a0 时，f(x)2x3 在区间(，4)上是单调递增的；当 a0 时，由函数 f(x)ax22x3 的图象知，不可能在区间(，4)上是单调递增；当 a0 时，只有22a4，即 a14满足函数 f(x)在区间(，4)上是单调递增的，综上可知实数 a 的取值范围是14a0.9.已知函数 f(x)x2bxc 的图象的对称轴为直线 x1，则()A.f(1)f(1)f(2)B.f(1)f(2)f(1)C.f(2)f(1)f(1)D.f(1)f(1)f(2)答案B解析因为二次函数 f(x)的图象的对称轴为直线 x1，所以 f(1)f(3).又函数 f(x)的图象为开口向上的抛物线，则 f(x)在区间1，)上为增函数，故 f(1)f(2)f(3)，即 f(1)f(2)f(1).故选 B.10（多选题）函数()=2 +1在区间（b，+）上单调递增，则下列说法正确的是（）Aa2Bb1Cb1Da2【解题思路】根据题意，函数的解析式变形可得 f（x）2-2+1，由函数图象平移的规律可得 a、b 的取值范围，即可得答案【解答过程】解：根据题意，()=2 +1=2(+1)2 +1=2-2+1，可以由函数 y=-2+的图象向左平移一个单位，向上平移 2 个单位得到，若函数()=2 +1在区间（b，+）上单调递增，必有（2+a）0 且 b1，解可得：a2 且 b1，故选：AC11（多选题）若 xR，f（x）是 y2x2，yx 这两个函数中的较小者，则 f（x）（）A最大值为 2B最大值为 1C最小值为1D无最小值【解题思路】由题意作出函数 f（x）的图象，数形结合得答案【解答过程】解：作出函数 y2x2，yx 的图象如图，则 f（x）的图象为图中实线部分，由图可知，当 x1 时，f（x）取最大值为 1，无最小值故选：BD12.讨论函数 yx22(2a1)x3 在2,2上的单调性.解函数图象的对称轴 x2a1，当 2a12，即 a32时，函数在2,2上为增函数；当22a12，即32a12时，函数在2,2a1上是减函数，在2a1,2上是增函数；当 2a12，即 a12时，函数在2,2上是减函数.13.已知函数 f(x)在实数集中满足 f(xy)f(x)f(y)，且 f(x)在定义域内是减函数.(1)求 f(1)的值；(2)若 f(2a3)0，试确定 a 的取值范围.解(1)f(xy)f(x)f(y)，令 xy1，得：f(1)f(1)f(1)，f(1)0.(2)f(2a3)0，即是 f(2a3)f(1).f(x)在 R 上是减函数，2a31，得 a2.即 a 的取值范围为(2，).