1、第一章集合与常用逻辑用语第二章一元二次函数、方程和不等式(全卷满分150分,考试用时120分钟)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1已知集合A=-1,0,1,集合B=xN|x2=1,那么AB=()A.1B.0,1C.-1,1D.-1,0,12.已知p:a0;q:xR,x2-ax+a0,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知实数a,b在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是()A.1b1a B.a2b2C.b-a0D.|b|a0,B=x|x-a0,若BA,则实数
2、a的取值范围为()A.a2B.a2C.a4D.a45.已知命题“xR,使2x2+(a-1)x+120”是假命题,则实数a的取值范围是()A.-3a1B.-3a1C.a-1或a3D.-1a0,b0,且2a+1b=1,则2a+b的最小值为()A.22B.3C.8 D.97.关于x的方程x2+ax+b=0,有下列四个命题:x=1是该方程的根;x=3是该方程的根;该方程两根之和为2;该方程两根异号.如果只有一个是假命题,则该命题是()A.B.C.D.8.已知关于x的不等式a(x+1)(x-3)+10(a0)的解集是x|x1xx2(x1x2),则下列结论中一定错误的是()A.x1+x2=2B.x1x24
3、D.-1x1x23二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9. 下列结论正确的有()A.若命题p:xR,x2+x+10的解集为RC.“x1”是“(x-1)(x+2)0”的充分不必要条件D.xR,x2=x10.下列不等式中一定成立的是()A.a3+b3a2b+ab2(a,bR)B.x2+32x(xR)C.y=x2+2x2-122+1D.a2+b22(a-b-1)11.设全集U=x|x0,集合M=x|y=x-1,N=y|y=x2+2,则下列结论正确的是()A.MN=x|x2B.MN=x|x1C
4、.(UM)(UN)=x|0x2D.(UM)(UN)=x|0x0,b0,且a+b=4,则下列不等式成立的是()A.ab2 B.a2+b28 C.1a+1b1 D.00,2x2+(2k+7)x+7k-ax-1对任意实数x都成立,则实数a的取值范围是.16.已知正数x,y满足2x+y=xy+a,当a=0时,x+y的最小值为;当a=-2时,x+y的最小值为.(第一空2分,第二空3分)四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知集合A=x|axa+1,B=x|x+1|1.(1)若a=1,求AB;(2)在AB=B,(RB)A=,B(RA)=R这三个条件中
5、任选一个作为已知条件,求实数a的取值范围.(注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分)18.(12分)已知命题p:“xR,使不等式x2-2x-m0成立”是假命题.(1)求实数m的取值集合A;(2)若q:-4m-ay0,z0,求证:(1)zx8xyz.20.(12分)(1)若关于x的不等式ax2-3x+20(aR)的解集为x|xb,求a,b的值;(2)解关于x的不等式ax2-3x+25-ax(aR).21.(12分)国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了生活垃圾分类制度实施方案,规定46个城市在2020年年底实施生活垃圾强制分类,垃圾回收、利用率要达35%以上.截至2019年年
6、底,这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%.某企业为积极响应国家垃圾分类号召,在科研部门的支持下进行技术创新,新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.已知该企业日加工处理量x(单位:吨)最少为70吨,最多为100吨.日加工处理总成本y(单位:元)与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=12x2+40x+3 200,且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元.(1)该企业日加工处理量为多少吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低?此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态?(2)为了使该企业可持续发展,政府决定对该企业进行财政补贴,补
7、贴方案共有两种:每日进行定额财政补贴,金额为2 300元;根据日加工处理量进行财政补贴,金额为30x.如果你是企业的决策者,为了获得最大利润,你会选择哪种补贴方案?为什么?22.(12分)已知关于x的不等式(k2-2k-3)x2+(k+1)x+10(kR)的解集为M.(1)若M=R,求k的取值范围;(2)若存在两个不相等的负实数a、b,使得M=x|xb,求实数k的取值范围;(3)是否存在实数k,满足“对于任意nN*,都有nM,对于任意的负整数m,都有mM”?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.参考答案1.A由题意,集合A=-1,0,1,B=xN|x2=1=1,所以AB=1.故选A.2.Bq
8、:xR,x2-ax+a0,=(-a)2-4a0,解得0a4.设A=a|a0,B=a|0a4,BA,p是q的必要不充分条件.故选B.3.A对于选项A,由题中数轴可得ba1a,A正确;对于选项B,ba0,a2b2,B错误;对于选项C,ba,b-a0,C错误;对于选项D,b0,a2或xa,所以若BA,则a2.故选A.5.D命题“xR,使2x2+(a-1)x+120”是假命题,2x2+(a-1)x+120对xR恒成立,即方程2x2+(a-1)x+12=0无实根,=(a-1)2-42120,解得-1a3,故实数a的取值范围是-1a0(a0)的解集是x|x1xx2(x1x2),可知a0,且a(x+1)(x
9、-3)+1=0(a0)的两根为x1、x2,不妨设y=a(x+1)(x-3)(a0),则y=a(x+1)(x-3)(a0)的图象与直线y=-1的交点的横坐标为x1、x2,由图易得x13,因此D中结论一定错误.故选D.9.ABC易知选项A正确;对于选项B,x2-4x+5=(x-2)2+10的解集为R,故正确;对于选项C,解不等式(x-1)(x+2)0,得x1,设A=x|x1,B=x|x1,则AB,“x1”是“(x-1)(x+2)0”的充分不必要条件,故正确;对于选项D,x2=|x|,若x0,x2+32x,B正确;y=x2+2x2-1=x2-1+2x2-1+1,当x2-10时,y0,C错误;a2+b
10、2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)20,故a2+b22(a-b-1),D正确.故选BD.11.CDM=x|y=x-1=x|x1,N=y|y=x2+2=y|y2,MN=x|x2,MN=x|x1,故A,B均不正确;易得UM=x|0x1,UN=y|0y2,(UM)(UN)=x|0x2,(UM)(UN)=x|0x1,故C,D均正确.故选CD.12.ABC对于选项A,由基本不等式可得aba+b2=2,当且仅当a=b=2时,等号成立,A正确;对于选项B,2(a2+b2)a2+b2+2ab=(a+b)2=16,a2+b28,当且仅当a=b=2时,等号成立,B正确;对于选项C,1a+1b=a+b41
11、a+1b=14ba+ab+2142baab+2=1,当且仅当a=b=2时,等号成立,C正确;对于选项D,由A可知ab2,即0ab4,1ab14,D错误.故选ABC.13.答案-5k3或40,解得x4,解方程2x2+(2k+7)x+7k=0,得x1=-72,x2=-k,当-k72时,不等式2x2+(2k+7)x+7k0的解集为x|-kx-72,若不等式组只有一个整数解,则-5-k-4,解得4-72,即k72时,不等式2x2+(2k+7)x+7k0的解集为x|-72x-k,若不等式组只有一个整数解,则-3-k5,解得-5k3.综上可得,实数k的取值范围是-5k3或40时,B=-2a,2a,则集合A
12、,B只能构成“蚕食”,所以-2a=-1或2a=2,解得a=2或a=12.故a的取值集合为0,12,2.15.答案0a-ax-1即0-1,对任意实数x都成立,符合题意;当a0时,关于x的不等式ax2-ax-1,即ax2+ax+10对任意实数x都成立,等价于a0,=a2-4a0,解得0a4.综上所述,a的取值范围为0a0,x1,x+y=x+2(x+1)x-1=x+2+4x-1=x-1+4x-1+324x-1(x-1)+3=4+3=7,当且仅当x=3时取等号,此时x+y的最小值为7.17.解析(1)由题意得A=x|1x2,B=x|x+1|1=x|-2x0,(3分)AB=x|-2x0或1x0恒成立”是
13、真命题,(1分)方程x2-2x-m=0无实根,(3分)=4+4m0,解得m-1,(5分)即实数m的取值集合A=m|m-1.(6分)(2)-4m-a4,即a-4ma+4,q:a-4ma+4,(8分)由(1)可知p:m-1,若q:a-4my0,所以xy0,1xy0,(2分)于是x1xyy1xy,即1y1x,(4分)由z0,得zx0,y0,z0,所以x+y2xy,x+z2xz,y+z2yz,(9分)所以(x+y)(x+z)(y+z)2xy2xz2yz=8xyz,(10分)当且仅当x=y=z时,等号同时成立,(11分)又xy,所以(x+y)(x+z)(y+z)8xyz.(12分)20.解析(1)不等式
14、ax2-3x+20(aR)的解集为x|xb,a0,且1,b是一元二次方程ax2-3x+2=0的两个实数根,(2分)1+b=3a,1b=2a,a0, 解得a=1,b=2.(5分)(2)不等式ax2-3x+25-ax等价于ax2+(a-3)x-30,即(ax-3)(x+1)0.(6分)当a=0时,原不等式的解集为x|x0时,原不等式的解集为x|x3a,(8分)当a-1,即a-3,则原不等式的解集为x|-1x3a,(9分)若3a-1,即-3a0,则原不等式的解集为x|3ax0时,原不等式的解集为x|x3a;当a=0时,原不等式的解集为x|x-1;当-3a0时,原不等式的解集为x|3ax-1;当a=-
15、3时,原不等式的解集为;当a-3时,原不等式的解集为x|-1x3a.(12分)21. 解析(1)由题意可知,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为yx=x2+3 200x+40,x70,100.(2分)又x2+3 200x+402x23 200x+40=240+40=120,当且仅当x2=3 200x,即x=80时,等号成立,(3分)所以该企业日加工处理量为80吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低.(4分)因为1000,恒成立,满足题意,若k=3,则原不等式化为4x+10,解得x-14,不满足题意,舍去.(2分)当k2-2k-30时,则k2-2k-30,(k+1)2-4(k2-2k-3)133或k133.(4分)(2)根据不等式解集的形式可知k2-2k-30,解得k3或k0,-k+1k2-2k-30,解得3k133,k的取值范围为3kt,-1t0,恒成立,不满足条件,若k=3,则原不等式的解集是x|x-14,满足条件;(10分)当k2-2k-30时,此一元二次不等式的解集形式不是x|xt的形式,不满足条件;当k2-2k-3t的形式,不满足条件.综上,满足条件的k的值为3.(12分)
