1、1.4充分条件与必要充分条件与必要 条件条件1|充分条件和必要条件命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题推出关系由p可以推出q,记作 pq 由p不能推出q,记作 p q 条件关系p是q的充分条件 p不是q的充分条件 q是p的必要条件 q不是p的必要条件 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有 pq ,又有qp,就记作 pq .此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果pq,那么p与q互为充要条件.2|充要条件1.p是q的充分条件是指p成立可以充分
2、保证q成立,但即使q成立,p也未必成立.()2.p是q的必要条件是指“要使p成立,必须要使q成立”,也就是说“若p不成立,则q一定不成立”.()3.三角形相似是三角形全等的必要条件.()提示:由“三角形全等”能推出“三角形相似”,因此结论正确.4.p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系,只是说法不同.()5.数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.()6.“AB是空集”是“A与B均是空集”的充要条件.()判断正误，正确的画“”，错误的画“”.1|充分条件、必要条件和充要条件的判断观察下面4个电路图.问题1.中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件?提示:充分不必
3、要.2.中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件?提示:必要不充分.3.中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件?提示:充要.4.中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件?提示:既不充分也不必要.5.将中开关A与灯泡B位置互换,开关C始终是断开状态,结论变吗?提示:结论变,变为充要.充分、必要条件判断的常用方法(1)定义法:直接利用定义进行判断.(2)传递法:根据充要关系的传递性来判断的方法叫传递法.充分条件具有传递性,若A1A2A3An-1An,则A1An,即A1是An的充分条件.必要条件也有传递性,若A1A2A3 An-1An,则A1An,即A1是An的必要条件.当然充要条件也有传递性.因此,对于较复杂的(连锁式
4、)关系的判断可用连锁式的传递图来解答.(3)利用集合间的包含关系进行判断:如果满足条件p和结论q的元素构成的集合分别为A和B,那么AB相当于pq,则p是q的充分条件;BA相当于qp,则p是q的必要条件;A=B相当于pq,则p是q的充要条件;AB相当于pq,但q p,则p是q的充分不必要条件;BA相当于qp,但p q,则p是q的必要不充分条件;AB且BA相当于p q,且q p,则p是q的既不充分也不必要条件.判断下列各题中p是q的什么条件:(1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0;(2)p:t2,q:t24;(3)p:0 x3,q:|x-1|2;(4)p:ABC为直角三角形,q:ABC
5、为等腰三角形.解析 (1)x-2=0(x-2)(x-3)=0,而(x-2)(x-3)=0 x-2=0或x-3=0,p是q的充分不必要条件.(2)t24t2,但t2 t24(当t=-2时,t2=4),p是q的必要不充分条件.(3)令A=x|0 x3,B=x|x-1|2=x|-1x3.易得AB,p是q的充分不必要条件.(4)p q,q p,p是q的既不充分也不必要条件.导师点睛 (1)判断p是q的什么条件,主要是判断pq及qp两命题的真假,若pq为真,则p是q的充分条件,若qp为真,则p是q的必要条件.(2)当条件和结论是不等式时,可以利用集合间的关系判断充分性和必要性.2|充分条件、必要条件的证
6、明与探究 充要条件的证明(1)证明p是q的充要条件时,既要证明命题“pq”为真,又要证明“qp”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.(2)证明充要条件也可以利用等价转化法,即把条件和结论进行等价转化,注意转化过程中必须保证前后是能互相推出的.探求充分条件、必要条件的步骤(1)分清“条件”和“结论”,明确探求的方向;(2)分析题目中的已知条件和隐含条件,进行等价转化,即可得到使结论成立的充要条件;(3)将得出的充要条件对应的范围扩大或缩小,即可得到结论成立的必要不充分条件或充分不必要条件.(2021上海实验学校高一上期末)下列条件中,使不等式组成立的一个充分不必要条件是(A)A.0 x
7、1 B.0 x2C.0 x3 D.-1x10,20 xx思路点拨本题可以先解不等式组然后根据充分不必要条件与集合的对应关系得出结果.0,20,xx解析 解不等式组得0 x2,因为使“0 x2”成立的充分不必要条件应该满足其限定的x的取值集合为集合x|0 x0,x1,x2同号,又x1+x2=-m-2,x1,x2同为负根.充分性成立.必要性:设x2+mx+1=0的两个实根分别为x1,x2,故x1,x2均为负数,且x1x2=1,m-2=-(x1+x2)-2=-2111xx=-=-0,m2.必要性成立.综上,关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m2.211121xxx211(1)xx
8、3|利用充分条件、必要条件确定参数的值(取值范围)充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:(1)把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的等式或不等式(组),求解即可.(2)要注意对解集端点值的检验.(2020江苏泰州中学高一月考)给出下列三个条件:充分不必要;必要不充分;充要.请从中选择一个条件补充到下面的横线上并解答.已知集合P=x|1x4,S=x|1-mx3,即实数m的取值范围为m|m3.若选择,即xP是xS的必要不充分条件,则SP.当S=时,1-m1+m,解得m0,满足要求;当S时,1-m0,则解得m0,此时解集为.综上所述,实数m的取值范围是m|m0.若选择,即xP是xS 的充要条件,则P=S,无法成立,则不存在实数m,使xP是xS的充要条件.11,14,mm11,14,mm感谢！
