1、中学数学解题研究中学数学解题研究第一章第一章 波利亚的解题观点波利亚的解题观点波利亚及其解题理论波利亚(1887.12.13-1985.9.7)l 作为一个数学教育家，波利亚的主要贡作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在献集中体现在怎样解题怎样解题(1945(1945年年)、数学与猜想数学与猜想(1954(1954年年)、数学的发数学的发现现(1962(1962年年)三部世界名著上，涉及三部世界名著上，涉及“解题理论解题理论”、“解题教学解题教学”、“教师教师培训培训”三个领域波利亚对数学解题理三个领域波利亚对数学解题理论的建设主要是通过论的建设主要是通过“怎样解题怎样解题”表来表来实
2、现的。著名数学家互尔登在瑞士苏黎实现的。著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：世大学的会议致词中说过：“每个大学每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书读这本引人入胜的书”(1952(1952年年2 2月月2 2日日)数学解题策略数学解题策略北京：科学出北京：科学出版社版社,2009.8.解题研究解题研究M.南京：南京师南京：南京师范大学出版社，范大学出版社，2002.6数学习题理论数学习题理论M.上海：上上海：上海教育出版社，海教育出版社，1991.3；1996.10.中学数学解题的中学数学解题的理论与实践理论与实践M.南宁：
3、广西教育南宁：广西教育出版社，出版社，2008年年.9；前言；前言 数学解题学引论数学解题学引论M 西安西安.陕西陕西师范大学出版社，师范大学出版社，1997.6观点是指观察事物所处的位置或采取的态度。解题教学中的解题观点是指对“怎样解题”、“为什么这样解题”的整体认识和基本态度。怎样解题乔治 波利亚数学与猜想 数学的发现 在数学的发现中，波利亚共给出了四个具体的解题模式（双轨迹、笛卡儿、递归、叠加）。下面我们借助于一些典型的例子，对这些解题模式进行论述。1.1 双轨迹模式双轨迹模式 给定一个三角形的三边，求作这个三角形。第一节 四种具体的解题模式 求作三角形外接圆的圆心。这里同样要对未知成分
4、所应满足的条件进行分割。未知量是(x,y)，已知量是“部分条件”是鸡兔同笼问题：一个农夫有若干鸡和兔子，它们共有 50 个头 140 只脚，问鸡和兔子各有多少只？求解这个二元一次方程组这里，我们碰到的是一个“多元的”未知量。50(1)xy24140(2)xy1.2 笛卡儿模式笛卡儿模式Descartes：我这儿有好东东呵第一，把任何问题化为数学问题。第二，把数学问题化为代数问题。第三，把代数问题化为方程式来求解。第二，把数学问题化为代数问题。第三，把代数问题化为方程式来求解。奇思妙想的解法 代数的解法：鸡兔同笼问题：一个农夫有若干鸡和兔子，它们共有 50 个头 140 只脚，问鸡和兔子各有多少
5、只？50(1)xy24140(2)xy 由代数方法可轻松地得到上述“奇思妙想”：270(2)xy 已知 有一正根，一负根，求a 的范围 222lg(2)0 xxaa62427xy Descartes 的思想对我们有什么指导意义？数学化、代数化、计算化！波利亚对其所说的“笛卡儿模式”作了如下概括：首先，要在很好地理解了问题的基础上，把问题归结为去确定若干个未知的量。用最自然的方式通盘考虑一下问题，设想它已经解出来了。然后，根据条件，把已知量和未知量之间所必须成立的一切关系式都列出来。析出一部分条件，使得你能用两种不同的方式去表示同一个量，这样可以得出一个联系未知量的方程。如此下去，就把条件分成了
6、若干部分，从而得出与未知量个数相等的一组独立方程式。1.3 递归模式递归模式 所谓递归，是指运用收集到的知识作为行动的基础去获得更多的知识。由于这里所涉及到的往往是多个，甚至是无穷多个未知量，因此，所谓的递归，事实上也就是指知识的“不断扩张”：在解题的每一阶段，我们都把关于一个新的分量的知识添加到已经得到的知识上去，在每一阶段，我们又都要用已经得到的知识去得出更多的知识。我们要靠逐省逐省的占领去最后征服一个王国 在每个阶段，我们利用已被征服了的省份作为行动基地去征服下一个省份。关于前 n 个自然数的 k 次幂之和123kkkkkSn的计算是应用递归模式解决问题的典型例子。01 1 11.Sn
7、2222222222(1)21(1)2(1)1322 2 1212 1 1102 0 1nnnnnn 2222222222(1)21(1)2(1)1322 2 1212 1 1102 0 1nnnnnn 210(1)21.nSS2101(1)(1)1.22n nSnS 如此下去，我们可以对任意的 k，依次求出前 n 个自然数的 k 次幂之和。数学归纳法也可看成递归模式的直接应用：在此，我们同样是利用“已被征服了的省份”（特例，数学归纳法的基础），作为行动的基地去征服下一个“省份”，直至最终征服了“整个王国”，即获得了普遍的公式或结论。1.4 叠加模式叠加模式 圆周角与圆心角关系定理的证明。波利
8、亚指出，借助于上面的例子，我们又可以引出一个十分重要的模式：叠加模式。具体地说，所谓叠加模式就是指“从一个导引特款出发，利用特殊情形的叠加去得出一般问题的解。”这就是说，叠加模式的应用通常包括以下两个步骤：第一，为了求得一般情形的解，首先处理一个特殊情形。这一特殊情形应当满足以下条件：它不仅易于解决，而且还特别有用，即可把我们引导到一般情形的解。因此，我们称它为“导引特款”。第二，用某种指定的代数运算（这就是所谓的“叠加”）把一些特殊情形组合起来，从而获得一般情形的解。波利亚通过对各种典型问题的细致剖析，提炼出四个常用的解题模式可供仿照的楷模 双轨迹模式双轨迹模式（1）把问题归结为要确定一个“
9、点”（2）把条件分成两部分，使得对每一部分，未知点都形成一个“轨迹”这两个“轨迹”的交集，就是我们要求的“点”笛卡儿模式笛卡儿模式（1）把问题归结为去确定若干个未知的量（2）设想问题已解出来了，列出已知量和未知量间根据条件必须成立的一切关系式（3）把某些关系式转化为方程，得出一个方程组（4）将方程组通过消元化归成一个方程递归模式递归模式（1）设法将要求的量归结为依次排列起来的某序列的一个项（2）确定这序列的第一项或前面几项（3）找出递推关系式，将序列的一般项与它前面的那些项联系起来这样，我们就可递推地把所有的项都找出来叠加模式叠加模式（1）先处理一、两种特殊情形我们把它称之为导引特款（2）利用
10、导引特款的叠加去得出一般问题的解教师十诫：教师十诫：第一，对自己的科目要有兴趣第二，熟知自己的科目第三，要懂得学习的途径：学习任何东西的最佳途径就是靠自己去发现第四，要观察你的学生的脸色，弄清楚他们的期望和困难，把自己置身于他们之中第五，不仅要教给学生知识，并且要教给他们“才智”，思维的方式，有条不紊的工作习惯第六，要让学生学习猜测第七，要让学生学习证明第八，要找出手边题目中那些对解后来题目有用的特征即设法去揭示出隐藏在眼前具体情形中的一般模式第九，不要立即吐露你的全部秘密让学生在你说出来之前先去猜尽量让他们自己去找出来第十，启发问题，而不要填鸭式地硬塞给学生接受 l 回答回答“一个好的解法是
11、如何想出来的一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，这个令人困惑的问题，波利亚致力于解题的研究，专门研究了解题的思维过程，并把波利亚致力于解题的研究，专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成研究所得写成怎样解题怎样解题一书。一书。l 核心是核心是怎样解题怎样解题表，他把寻找并发现解法的思维过程分解表，他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和为五条建议和2323个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的现解法的思维过程的“慢动作镜头慢动作镜头”，使我们对解题的思维过，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。程看得见，摸得着。弄清
12、题意弄清题意拟定计划拟定计划执行计划执行计划检验回顾检验回顾变换变换,推广推广,类比类比,作出新作出新的数学发现的数学发现.概括方法论概括方法论因素因素,建立数建立数学模型学模型.（1）未知数是什么）未知数是什么?已知数据是什么？条件是什已知数据是什么？条件是什么么?满足条件是否可能满足条件是否可能?要确定未知数要确定未知数,条件是否条件是否充分充分?或者它是否不充分或者它是否不充分?或者是多余的或者是多余的?或者是或者是矛盾的矛盾的?（2）画张图）画张图,并引入适当的符号并引入适当的符号.（3）把条件的各部分分开）把条件的各部分分开,并把它们写下来并把它们写下来.考虑以前是否见过它考虑以前是
13、否见过它?是否见过相同的问题而形式稍有不是否见过相同的问题而形式稍有不同同?你是否知道一个可能用得上的定理你是否知道一个可能用得上的定理?考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题.能否利用它的结果或方法能否利用它的结果或方法?为了利用它为了利用它,是否引入某些辅助是否引入某些辅助元素元素?能否用不同的方法重新叙述它能否用不同的方法重新叙述它?回到定义去回到定义去.如果你不能解决所提出的问题如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的可先解决一个与此有关的问题问题.是否利用了所有的已知数据是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是否是否利用
14、了所有条件？是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念考虑了包含在问题中的所有必要的概念?实现你的求解计划实现你的求解计划,检验每一步骤检验每一步骤.你能否清楚地看出这一步骤是正确你能否清楚地看出这一步骤是正确的的?你能否证明这一步骤是正确的你能否证明这一步骤是正确的?检验与回顾解题，如同在黑暗中走进一间陌生的房间回顾，则好像打开了电灯这时一切都清楚了：在以前的探索中，哪几步走错了，哪几步不必要，应当怎样走，等等朦胧变成了自觉正如波利亚所说，这是“领会方法的最佳时机”，“当读者完成了任务，而且他的体验在头脑中还是新鲜的时候，去回顾他所做的一切，可能有利于探究他刚才克服困难的实质，他可以对自己提出许
15、多有用的问题：关键在哪里？重要的困难是什么？什么地方我可以完成得更好些？我为什么没有觉察到这一点？要看出这一点我必须具备哪些知识？应该从什么角度去考虑？这里有没有值得学习的诀窍可供下次遇到类似问题时应用？认识、并对问题进行表征的过程认识、并对问题进行表征的过程 ，是成功解决问题的一个必要前提是成功解决问题的一个必要前提 是探索解题思路的发现过程，是探索解题思路的发现过程，是关是关键环节和核心内容。键环节和核心内容。是思路打通之后具体实施信息资源是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置，的逻辑配置，“我们所需要的只是耐心我们所需要的只是耐心”是最容易被忽视的阶段，波利亚对其作。是最容易被忽视的阶
16、段，波利亚对其作。为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做法法.解题是数学的特点例1：一大学教授向中学生介绍图论 定义图定义图G=(VG=(V，E)E)，由顶点集，由顶点集V V与一些连结与一些连结V V中两中两个点的边的集个点的边的集E E组成组成定义定义 如果如果E E由连结由连结V V中每两个点的边组成，那么中每两个点的边组成，那么G G(V(V，E)E)称为完全图称为完全图定义如果图定义如果图G1G1(V(V，E1)E1)，G2G2(V(V，E2)E2)具有相具有相同的顶点集同的顶点集V V，并且，并且E1E2E1E2 ，(V(V，E1E
17、2)E1E2)是是完全图，那么称完全图，那么称G1G1为为G2G2的补图的补图定理在定理在|V|6|V|6时，时，G=(VG=(V，E)E)或它的补图中必有或它的补图中必有三角形三角形 解题是数学的特点符合中学生特点的教法：“任意六个人中必有三个人互相认识或三个人互任意六个人中必有三个人互相认识或三个人互不相识为什么？不相识为什么？”为了解决这个问题，为了叙述的方便，我们用六为了解决这个问题，为了叙述的方便，我们用六个点表示六个人如果两个人互相认识，就将相个点表示六个人如果两个人互相认识，就将相应的两点用线连结起来这种由点及一些连结点应的两点用线连结起来这种由点及一些连结点的线组成的图形，就称
18、为图问题就成为：的线组成的图形，就称为图问题就成为：“六个点的图中，一定有三个点两两相连六个点的图中，一定有三个点两两相连(即构成即构成三角形三角形)，或者有三个点互不相连，或者有三个点互不相连.”中小学开设数学课程的目的？数学技能就是解题能力不仅能解决一般的问题，而且能解决需要某种程度的独立思考、判断力、独创性和想像力的问题所以，中学数学教学的首要任务就在于加强解题能力的训练”数学的发现第一卷序开设数学课程的主要目的是教会学生如何思考。“教会思考”意味着数学教师不仅仅应该传授知识，而且也应当去发展学生运用所传授的知识的能力 数学的发现第二卷 中小学开设数学课程的目的？波利亚将学生依照未来的职
19、业分为三类：数学家(包括理论物理学家、天文学家及某些专门研究领域里的工程师)约占1%，用到数学的人(工程师、科学家及一些社会科学家、数学教师。科学教师等)约占29%，不用数学的人(实业家、律师、牧师等)约占70%，他指出数学教育应当符合于两个原则：第一，每一个学生应当能够从他的学习中得到某些收获而不管他以后的职业是什么第二，那些在数学上表现出有一些资质的学生应当受到鼓励和吸引，而不要由于拙劣的教育使他们嫌弃数学弄清问题 问题应当用自己的语言重新叙述通过复述，可以发现学生是否理解了题意，有没有忽略重要的部分凡有学生来问问题，首先让他复述，切不可急急忙忙地把解答告诉他因为比解答更重要的是解法，即如
20、何从已知走向未知，而将题目中的“信息”重新编排，适当整理，正是走向未知的第一步弄清问题例 摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭由于道路堵塞，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息司机说再走从C市到这里的二分之一，就到达目的地了问A、B两市相距多少千米？图中D是小镇，E是傍晚休息处D、E之间的距离是 400千米EB是CE的二分之一，AD是AC的三分之一，AC比CB多100千米求AB的长A D C E B弄清问题实际上，改变问题的提法已不仅是弄清题意，可以说是向问题的解决进了一大步波利亚主张“不断地变换你的问题
21、”，“我们必须一再地变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止”第二，拟定计划 问题3怎样才能求得F?，例2、设AB是ABC的中线BC=a,AC=b，AB=c,求证：222211()24ADbca例3.“两角和的余弦公式”的推导cos()coscossinsin12,na aan121na aa 12(2)(2)(2)3nnaaa,a b c x y z22225abc 22236xyz30axbyczabcxyz四部曲第三节 解数学题的一般步骤1.梅森的解题模式过程 阶段 点要 过程 状态2.奥加涅相的解题过程理解数学题的条件制定解题计划实行解题计划研究所得1、理解数学
22、题的条件（1）开始研究题的条件时，你应当仔细做出直观的图形、平面图、表格或者说明问题的草图，以帮助你思考问题。（2）清晰地理解题的情境中的各个元素；一定要弄清楚哪些元素是给定了的，哪些是所求的。（3）深入地思考习题叙述中的每一个词的意义；尽力找出题的重要元素，在图上用直观的符号标出已知元素和未知元素。（4）尽可能从整体上理解题的条件，找出它的特点。想想以前是否遇到过和这个题有些类似的题目。（5）仔细想想题的叙述是否可以做出不同的理解，题的条件中有没有多余的，是否缺少什么条件。（6）认真研究题目提出的目标。根据所提出的目标，哪些理论的法则同整个题目或者它的元素有些联系。（7）如果在解题时有可能使
23、用你熟悉的某种一般的数学方法，尽可能用那种方法的语言表示题的元素。2、制定解题计划（1）想方设法将所给的题同你会解的某一类题联系起来。（2）要记住，题的目标是寻求解答的主要方向。（3）将所得到的局部的结果同题的条件和目标作比较，用这种办法经常检查解题的意图是否合理。（4）试试能不能部分地改变题目，换一种方式叙述它的条件，故意简化题的条件；试试能不能扩大题的条件，而且将该题有关的概念用它的定义来代替。（5）将题的条件分成几个部分，尽可能将这几部分构成一个新的组合。（6）试试能不能将所给的题目分成一连串的辅助问题，依次解答这些辅助问题就可以构成所给题目的解；对于所给题目的情境中的各个部分编一些局部
24、性的题，这样做当然要服从基本的目标。（7）研究题的某些部分的极限情况，看看这样会对题的基本目标有什么影响。（8）改变题的某一部分，看看这样改变会对题的其他部分有什么影响；根据看到的改变题的某些部分所出现的结果，试试能不能就题的目标作出一个假设。(9)如果所给的题目解不出来，你可以从课本或参考书中找一个与所给题相似的，但已经给出解答的题。3弗里德曼的解题过程怎样学会解数学题 他认为：“应当学会这样一种对待习题的态度，即把习题看做是精密研究的对象，并把解答习题看做是设计和发明的目标。”他把解题过程分成8个阶段：第一阶段分析习题 第二阶段作习题的图示 第三阶段寻找解题方法 第四阶段进行解题 第五阶段
25、检验题解 第六阶段讨论习题 第七阶段陈述习题答案 第八阶段分析题解4.国内常见解数学题的思维程序国内常见解数学题的思维程序释题找出问题的已知条件和所求；将已知条件和所求分成若干部分；画出图形或列出一些数据；在图形或数据中引入恰当的符号，并尽可能多地将已知和所求的标出来。第二章 常用的数学解题方法第一节 化归方法 有位数学教育工作者提出了这样一个问题：有位数学教育工作者提出了这样一个问题：“假设在假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？应当怎样去做？”对此，某人回答说：对此，某人回答说：“在壶中倒上水，在壶中倒上水，点燃
26、煤气，再把壶放到煤气灶上。点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一提问者肯定了这一回答；但是，他又追问道：回答；但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你又应当怎样化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你又应当怎样去做？去做？”这时被提问者往往会很有信心地说：这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。气，再把水壶放到煤气灶上。”但是，提问者指出，他但是，提问者指出，他对这样的回答并不满意，因为，对这样的回答并不满意，因为，“只有物理学家才会这只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称
27、把后一问样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称把后一问题化归为前面所说的问题了。题化归为前面所说的问题了。”匈牙利著名数学家罗莎匈牙利著名数学家罗莎彼得在其名著彼得在其名著无穷的无穷的玩艺玩艺中曾通过一个有趣的事例中曾通过一个有趣的事例化归方法化归方法 一、化归方法的含义一、化归方法的含义 1.所谓“化归”，可以理解为转化和归结的意思。数学方法论中的化归方法是指：将一个问题进行变换，使其归结为另一个已能（或已经）解决的问题，最终获得问题的解的一种求解问题的手段和方法。或简单地说，化归就是问题的规范化、模式化。其解决问题的思维方式是“转化”或“再转化”，解题过程可用下列框图来表述：2.化归与转
28、化思想的实质化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化是揭示联系，实现转化.除极除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程未知向已知转化的过程.化归与转化的思想是解决数学问题化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，
29、新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现函数与方程的转化等，都是转化思想的体现.3.转化有等价转化和非等价转化转化有等价转化和非等价转化.等价转化前后是充要条件，所以等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，
30、应附加限制条件，以保持等应附加限制条件，以保持等 价性，或对所得结论进行必要的验证价性，或对所得结论进行必要的验证.4.化归方法包括三个要素：化归方法包括三个要素：化归对象：化归对象：即把什么东西进行化归即把什么东西进行化归；化归目标：化归目标：即化归到何处去即化归到何处去；化归途径：化归途径：即如何进行化归。即如何进行化归。5.化归与转化应遵循的基本原则：化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决的知识、经验和问题来解决.（2）简单化原则：将复杂的问题化归为
31、简单问题，通过对简单问题的解决，简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其变为有利于运用某种数学部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其变为有利于运用某种数学方法或使其方法符合人们的思维规律方法或使其方法符合人们的思维规律.（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决直观化原则：将比较抽象的问题
32、转化为比较直观的问题来解决.（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解法从问题的反面去探求，使问题获解.例例1.（2007北京宣武区模拟题）某厂2006年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年 总 投 入 N 的 大 小 关 系 是（）A.mN B.m0，By|y26y80，若AB，则实数a的取
33、值范围为_ 解析由题意得Ay|ya21或ya，By|2y4，我们不妨先考虑当AB 时a的取值范围如图：例例6.6.已知已知a a、b b、c c(0,1),(0,1),求证求证:(1-:(1-a a)b b,(1-(1-b b)c c,(1-,(1-c c)a a不能同时大于不能同时大于 .证明证明 “不能同时大于不能同时大于 ”包含多种情形包含多种情形,不易直不易直 接证明接证明,可用反证法证明可用反证法证明.假设三式同时大于假设三式同时大于 ，414141,41)1(,41)1(,41)1(accbbaa、b、c(0,1),三式同向相乘得三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a
34、.,641)1()1()1(,41)1(,41)1(,41)21()1(2ccbbaaccbbaaaa同理又这与假设矛盾，故原命题正确这与假设矛盾，故原命题正确.641转化与化归的常见方法(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题(2)换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径(4)参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化(5)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题(6)
35、坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径(7)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径(8)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题(9)一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化(10)等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的(11)加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即把命题的结论加强为原命题的充分条件，从而能将原命题转化为一个较易证明的命题加强命题法是非等价转化方法(12)补集法：如果正面解决原问题有困难
36、，可把原问题结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集UA获得原问题的解决以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割中国著名数学教育家、数学方法论专家中国著名数学教育家、数学方法论专家-徐利治徐利治 如果原问题如果原问题“化归化归”为一个新问题为一个新问题后，新问题与原问题是同构的（即，只后，新问题与原问题是同构的（即，只是形式不同，数学结构完全相同），这是形式不同，数学结构完全相同），这种种“化归化归”在数学上又称为在数学上又称为“RMIRMI”方法。方法。一、关系映射反演方法一、关系映射反演方法原象关系结构原象关系结构（原象系统中的问题）（原象系统中
37、的问题）映射映射映射关系结构映射关系结构（映射系统中的问题）（映射系统中的问题）在映射系统中求得解决在映射系统中求得解决在原象系统中作出解决在原象系统中作出解决反演反演二、关系映射反演方法的基本含义二、关系映射反演方法的基本含义问题问题问题问题*解答解答*解答解答u映射法映射法 映映射射1 逆逆映映射射称大象的问题称大象的问题转化转化称石头的问题称石头的问题石头问题得到解决石头问题得到解决大象问题得到解决大象问题得到解决转化转化映射映射反演反演原象系统中的问题原象系统中的问题映象系统中的问题映象系统中的问题在映象系统中求得解决在映象系统中求得解决在原象系统中作出解决在原象系统中作出解决曹冲称象
38、与关系映射反演法曹冲称象与关系映射反演法 利用映射，双二次方程可利用映射，双二次方程可化归为二次方程而得到解决。例如：化归为二次方程而得到解决。例如：2yx2yxxy 42540 xx2540yy121,4yy1,23,41,2xx 对数计算法是应用映射法来简化问题的对数计算法是应用映射法来简化问题的典型例子。典型例子。32/7?Aa b27ln3lnlnAabln AA取对数取对数取反对数取反对数这是求取某个未知量的具体问题。这是求取某个未知量的具体问题。几何问题几何问题代数问题代数问题代数结论代数结论几何结论几何结论 解析几何的创立也可归结为映射法的成功应用。解析几何的创立也可归结为映射法
39、的成功应用。解析表示解析表示（坐标系）（坐标系）这是涉及到理论的整体性结这是涉及到理论的整体性结构的高层次的问题构的高层次的问题化归与转化思想在教学中应用非常普遍，我们在解每一道题时，实际上都在转化和类比。将问题由难转易，由陌生的问题转为熟悉的问题，从而从问题得到解决，类比与转化的类型很多，归纳如下：高次问题 低次问题 复 杂 未 知多元问题 一元问题 问 题 问 题超越运算 代数运算 转 化 转 化无限问题 有限问题 简 单 已 知空间问题 平面问题 问 题 问 题几何问题 代数问题 第二节 构造法1.在科学发展的历史中我们可以看到，科学的发展总是和思维的发展有着紧密的联系。数学的主要思维方
40、法是什么？这是数学家们历来关注的一个重要问题。2.历史上不少著名的数学家，如欧几里德，高斯，欧拉，拉格朗日维尔斯特拉斯，康托等人，都曾经用“构造法”成功的解决过数学上的难题。一 构造法的概述1.欧几里德的素数定理2.构造法的历史及作用直觉数学阶段（克隆尼克，彭加勒）；算法数学阶段（马尔科夫及其合作者）；现代构造数学阶段（比肖泊）3.构造法的基本概念和特点构造法解题模式二、构造法举例1、构造辅助数与式例1、正数 满足 求证：ab、332ab2ab22(65)(1(65)4)(14)0 xxxx2）构造函数证明等式例3、已知 互不相等，求证：abc、()()()()()()1()()()()()(
41、)xa xbxb xcxc xaca cbab acbc baa b c、1bcacababcbcacababc3）构造函数解不等式例5、解不等式 abc、111abcabc3381050(1)1xxxx5）构造函数求参数的范围例7、已知不等式 对于一切大于1的自然数n都成立,试求实数 的范围.11112log(1)122123aannnannn2121113、构造方程例8、已知 ，求 的值1sincos50 tgabc1a b c 2221abcab4、构造图形例10、求函数 的值域 22()4131026f xxxxx3cossinxxy.0,0,0zyx.222222xzxzzyzyyx
42、yx5、构造向量法例13、求函数 的最大值。262 4 1 4yxx 2222)(bxcaxR2a 12b 12 2 6、构造模型法 例例1616、求不定方程的正整数解的个数。8x y z w 01a01b01abab7、构造数列例例1818、设任意实数 ，满足 求证：（第19届莫斯科数学竞赛试题）xy1x1y 22112111xyxy111.11231nnn8、构造等式例例2020、解方程,x yyx223 710 1xxx x 10、构造对偶式例22、已知 是方程 的两个根，且 ，不解方程，求 的值。,2780 xx22312 0 0 61200512004131254cos52cos三
43、构造法的优点1.还原功能（转化到已知的熟悉的领域）2分解功能（分解成若干步骤）3简化功能（加工、处理、换元）4数形转化功能（数形结合）“抽屉原理抽屉原理”又称又称“鸽巢原理鸽巢原理”，最先是由最先是由1919世纪的德国数学家世纪的德国数学家狄利克雷提出来的，所以又称狄利克雷提出来的，所以又称“狄利克雷原理狄利克雷原理”。抽屉原理抽屉原理的应的应用是千变万化的，用它可以解决许用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。些令人惊异的结果。狄利克雷狄利克雷（18051859）一一:引子引子 晏子春秋晏子春秋里有一个里有一个“二桃杀三士二
44、桃杀三士”的的故事，大意是：故事，大意是：齐景公养着三名勇士，他们齐景公养着三名勇士，他们名叫田开疆、公孙接和古冶子。名叫田开疆、公孙接和古冶子。这三名勇士这三名勇士都力大无比，武功超群，为齐景公立下过不都力大无比，武功超群，为齐景公立下过不少功劳。少功劳。但他们也刚愎自用，目中无人，得罪了齐但他们也刚愎自用，目中无人，得罪了齐国的宰相晏婴。晏子便劝齐景公杀掉他们，并国的宰相晏婴。晏子便劝齐景公杀掉他们，并献上一计：以齐景公的名义赏赐三名勇士两个献上一计：以齐景公的名义赏赐三名勇士两个桃子，让他们自己评功，按功劳的大小吃桃。桃子，让他们自己评功，按功劳的大小吃桃。三名勇士都认为自己的功劳很大，
45、应该三名勇士都认为自己的功劳很大，应该单独吃一个桃子。于是公孙接讲了自己的打单独吃一个桃子。于是公孙接讲了自己的打虎功，拿了一只桃子；田开疆讲了自己的杀虎功，拿了一只桃子；田开疆讲了自己的杀敌功，拿起了另一桃。两人正准备要吃桃子，敌功，拿起了另一桃。两人正准备要吃桃子，古冶子说出了自己更大的功劳。古冶子说出了自己更大的功劳。公孙接、田开疆都觉得自己的功劳确公孙接、田开疆都觉得自己的功劳确实不如古冶子大，感到羞愧难当，赶忙让实不如古冶子大，感到羞愧难当，赶忙让出桃子。并且觉得自己功劳不如人家，却出桃子。并且觉得自己功劳不如人家，却抢着要吃桃子，实在丢人，是好汉就没有抢着要吃桃子，实在丢人，是好汉
46、就没有脸再活下去，于是都拔剑自刎了。脸再活下去，于是都拔剑自刎了。古冶子见了，后悔不迭。仰天长叹道：古冶子见了，后悔不迭。仰天长叹道：如果放弃桃子而隐瞒功劳，则有失勇士如果放弃桃子而隐瞒功劳，则有失勇士尊严；为了维护自己而羞辱同伴，又有尊严；为了维护自己而羞辱同伴，又有损哥们义气。损哥们义气。如今两个伙伴都为此而死了，我独自活如今两个伙伴都为此而死了，我独自活着，算什么勇士！说罢，也拔剑自杀了。着，算什么勇士！说罢，也拔剑自杀了。晏子采用借晏子采用借“桃桃”杀人的办法，不费吹杀人的办法，不费吹灰之力，便达到了他预定的目的，可说是灰之力，便达到了他预定的目的，可说是善于运用权谋。汉朝的一位无名氏
47、在一首善于运用权谋。汉朝的一位无名氏在一首诗中曾不无讽刺的写道：诗中曾不无讽刺的写道：“一朝被谗一朝被谗言，二桃杀三士。谁能为此谋，相国务晏言，二桃杀三士。谁能为此谋，相国务晏子子!”值得指出的是，在晏子的权谋之中，包值得指出的是，在晏子的权谋之中，包含了一个重要的数学原理含了一个重要的数学原理抽屉原理。抽屉原理。在在“二桃杀三士二桃杀三士”的故事中，把的故事中，把两个桃子看作两个抽屉，把三名勇士两个桃子看作两个抽屉，把三名勇士放进去，至少有两名勇士在同一个抽放进去，至少有两名勇士在同一个抽屉里，即有两人必须合吃一个桃子。屉里，即有两人必须合吃一个桃子。如果勇士们宁死也不肯忍受同吃一个如果勇士
48、们宁死也不肯忍受同吃一个桃子的羞耻，那么悲剧的结局就无法桃子的羞耻，那么悲剧的结局就无法避免。避免。抽 屉 原 则把n1个元素分为n个集合，那么必有一集合中含有两个或两个以上的元素。把nm+1个元素分为n个集合，那么必有一集合中元素含有m+1个或m+1个以上的元素。把n个元素分为k个集合，那么必有一个集合中元素的个数 n/k，也必有一个集合中元素的个数 n/k把q1q2qnn1个元素分为n个集合，那么必有一个i(1 n)。在第i个集合中元素的个数 qi。把无穷多个元素分为有限个集合，那么必有一个集合含有无穷多元素i例1在边长为1的正方形内任意放置5个点，试证：其中必有两个点，它们之间的距离不大
49、于 。22212222例2证明：边长为1的的正三角形内任意放置5个点，其中必有两点，其距离不超过 。例3在边长为1的正方形中有任意九个点。试证：在以这些为顶点的各个三角形中，至少有一个三角形，其面积不大于 。2181 例2证明：边长为1的的正三角形内任意放置5个点，其中必有两点，其距离不超过 。例3在边长为1的正方形中有任意九个点。试证：在以这些为顶点的各个三角形中，至少有一个三角形，其面积不大于 。21例4、设ABC为一个等边三角，E是三边上点的全体，对于每一个把E分成两个不相交子集的分划，问这两个子集中是否至少有一个子集包含着一个直角三角形的三个顶点。例6求证：任给五个整数，必能从中选出三
50、个，使得它们的和能被3整除。例11平面上有1987个点，任取三个点都有两点的距离小于1。求证：存在半径为1的圆，它至少盖住994个点。例13在100个连续自然数中，任取51个数，试证明在这51个数中，一定有两个数，其中一个是另一个的倍数。yx,3310 xyyx例15、设a,a ,a 是严格上升的自然数列：a a a 求证：在这个数列中有无穷多个a 可以表示为a =xa +ya ,这里pq是两个正整数，而x,y是两个适当的整数。123321mmpq12,nx xx22221231nxxxx2k 12,naaa1(1,2,)iakin1122(1)1nnnkna xa xa xk例17、在直角坐
