1、3.1 不等关系与不等式不等关系与不等式 第一课时第一课时第1页，共36页。第2页，共36页。日常生活中日常生活中长短长短大小大小轻重轻重高矮高矮第3页，共36页。数学中，我们用不等式表示不等关系数学中，我们用不等式表示不等关系.长短长短大小大小轻重轻重高矮高矮第4页，共36页。1.不等式的定义：不等式的定义：用不等号表示不等关系的式子叫不等式。用不等号表示不等关系的式子叫不等式。2.初中所学不等式的性质：初中所学不等式的性质：不等式的两边都不等式的两边都加上加上（或（或减去）减去）同一个同一个数数或同一个或同一个整式，整式，不等号的方向不变。不等号的方向不变。不等式的两边都不等式的两边都乘以
2、乘以（或（或除以）除以）同一个同一个正数，正数，不等号的不等号的方向不变。方向不变。不等式的两边都不等式的两边都乘以乘以（或（或除以）除以）同一个同一个负数，负数，不等号的不等号的方向改变。方向改变。第5页，共36页。问题问题1 1：设点：设点A A与平面与平面 的距离为的距离为d,d,B B为平面为平面 上任意一点，则上任意一点，则 d d与线段与线段ABAB的关系？的关系？dAB d|AB|d|AB|数学应用数学应用第6页，共36页。数学应用数学应用问题问题2 2.某种杂志原以每本某种杂志原以每本2.52.5元的价格销售，可以售出元的价格销售，可以售出8 8万万本。据市场调查，若单价每提高
3、本。据市场调查，若单价每提高0.10.1元销售量就可能相应元销售量就可能相应减少减少20002000本。本。若把提价后杂志的定价设为若把提价后杂志的定价设为x x元，怎样用不元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于等式表示销售的总收入仍不低于2020万元呢？万元呢？分析分析(1)1)销售量减少了多少销售量减少了多少?万本万本2.01.05.2x (2)(2)现在销售量是多少现在销售量是多少?2.01.05.28x(3)(3)销售总收入为多少销售总收入为多少?万元万元x)2.01.05.2x8(用不等式表示为用不等式表示为：2.5(80.2)200.1xx第7页，共36页。问题问题3 3.某钢铁
4、厂要把长度为某钢铁厂要把长度为4000mm4000mm的钢管截成的钢管截成500mm500mm和和600mm600mm的两种规格。按照生产的要求，的两种规格。按照生产的要求，600mm600mm的钢的钢管的数量不能超过管的数量不能超过500mm500mm钢管的钢管的3 3倍倍,写出满足上述写出满足上述所有不等关系的不等式所有不等关系的不等式.假设截得假设截得500mm500mm的钢管的钢管x x根，截得根，截得600mm600mm的钢管的钢管y y根。根。根据题意，应当有什么样的不等式呢？根据题意，应当有什么样的不等式呢？(3)(3)截得两种钢管的数量都不能为负截得两种钢管的数量都不能为负.(
5、2)(2)截得截得600mm600mm钢管的数量不能超过钢管的数量不能超过500mm 500mm 的钢管数量的的钢管数量的3 3倍；倍；(1)(1)截得两种钢管的总长度不能超过截得两种钢管的总长度不能超过4000mm4000mm；数学应用数学应用分析：分析：第8页，共36页。问题问题3 3.某钢铁厂要把长度为某钢铁厂要把长度为4000mm4000mm的钢管截成的钢管截成500mm500mm和和600mm600mm的两种规格。按照生产的要求，的两种规格。按照生产的要求，600mm600mm的钢的钢管的数量不能超过管的数量不能超过500mm500mm钢管的钢管的3 3倍倍,写出满足上述写出满足上述
6、所有不等关系的不等式所有不等关系的不等式.假设截得假设截得500mm500mm的钢管的钢管x x根，截得根，截得600mm600mm的钢管的钢管y y根。根。根据题意，应当有什么样的不等式呢？根据题意，应当有什么样的不等式呢？(3)(3)截得两种钢管的数量都不能为负截得两种钢管的数量都不能为负.(2)(2)截得截得600mm600mm钢管的数量不能超过钢管的数量不能超过500mm 500mm 的钢管数量的的钢管数量的3 3倍；倍；数学应用数学应用分析：分析：4000600500yx第9页，共36页。问题问题3 3.某钢铁厂要把长度为某钢铁厂要把长度为4000mm4000mm的钢管截成的钢管截成
7、500mm500mm和和600mm600mm的两种规格。按照生产的要求，的两种规格。按照生产的要求，600mm600mm的钢的钢管的数量不能超过管的数量不能超过500mm500mm钢管的钢管的3 3倍倍,写出满足上述写出满足上述所有不等关系的不等式所有不等关系的不等式.4000600500yx 假设截得假设截得500mm500mm的钢管的钢管x x根，截得根，截得600mm600mm的钢管的钢管y y根。根。根据题意，应当有什么样的不等式呢？根据题意，应当有什么样的不等式呢？(3)(3)截得两种钢管的数量都不能为负截得两种钢管的数量都不能为负.数学应用数学应用分析：分析：xy3第10页，共36
8、页。问题问题3 3.某钢铁厂要把长度为某钢铁厂要把长度为4000mm4000mm的钢管截成的钢管截成500mm500mm和和600mm600mm的两种规格。按照生产的要求，的两种规格。按照生产的要求，600mm600mm的钢的钢管的数量不能超过管的数量不能超过500mm500mm钢管的钢管的3 3倍倍,写出满足上述写出满足上述所有不等关系的不等式所有不等关系的不等式.4000600500yx 假设截得假设截得500mm500mm的钢管的钢管x x根，截得根，截得600mm600mm的钢管的钢管y y根。根。根据题意，应当有什么样的不等式呢？根据题意，应当有什么样的不等式呢？数学应用数学应用分析
9、：分析：xy3x0,y0第11页，共36页。问题问题3 3.某钢铁厂要把长度为某钢铁厂要把长度为4000mm4000mm的钢管截成的钢管截成500mm500mm和和600mm600mm的两种规格。按照生产的要求，的两种规格。按照生产的要求，600mm600mm的钢的钢管的数量不能超过管的数量不能超过500mm500mm钢管的钢管的3 3倍倍,写出满足上述写出满足上述所有不等关系的不等式所有不等关系的不等式.4000600500yx上面三个不等关系，是上面三个不等关系，是“且且”的关系，要同时满足的话，用的关系，要同时满足的话，用不等式组表示：不等式组表示：数学应用数学应用分析：分析：xy3x0
10、,y0第12页，共36页。0y0 xyx34000y600 x500考虑到本例的考虑到本例的实际意义实际意义，还应有，还应有x,yN问题问题3.某钢铁厂要把长度为某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成的钢管截成500mm和和600mm的两种规格。按照生产的要求，的两种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过的钢管的数量不能超过500mm钢管的钢管的3倍倍,写出满足上述所有不等关系的不等式写出满足上述所有不等关系的不等式.数学应用数学应用上面三个不等关系，是上面三个不等关系，是“且且”的关系，要同时满足的话，用不等的关系，要同时满足的话，用不等式组表示为：式组表示为：x,yN第13
11、页，共36页。1.数轴的三要素：数轴的三要素：原点、长度单位、正方向原点、长度单位、正方向2.如何表示数轴上两个点所对数的大小：如何表示数轴上两个点所对数的大小：数轴上右边的点所对的数大于左边的点所对的数。数轴上右边的点所对的数大于左边的点所对的数。3.A、B是数轴上的两个点，是数轴上的两个点，A、B所对的实数分别为所对的实数分别为a、b，试比较试比较a-b与与0的大小的大小 a-b0ababa-b0a=ba-b=0。BAba不等式的基本原理不等式的基本原理第14页，共36页。000babababababa 不等式的基本原理不等式的基本原理.左右可互相推出读作“等价于”，表示第15页，共36页
12、。1.(3)(5)(2)(4)aaaa例 比较与的大小。解：解：22(3)(5)(2)(4)(215)(28)70aaaaaaaa (3)(5)(2)(4)aaaa基本原理的应用基本原理的应用（一般的步骤）比较两实数大小的方法方法总结：判断符号判断符号作差作差变形变形得出结论得出结论第16页，共36页。基本原理的应用基本原理的应用本结论称为本结论称为“糖水加糖水更甜原理糖水加糖水更甜原理”mambab第17页，共36页。110,ab abab倒数法则倒数法则：基本原理的应用基本原理的应用.110,的大小关系与时，比较且问：当baabba第18页，共36页。练习练习.用不等号填空用不等号填空22
13、(1)ab2ab(2)(5)(7)xx2(6)x 22(3)(1)x 4222xx2(4)1xx0_第19页，共36页。1不等关系是普遍存在的不等关系是普遍存在的2用不等式（组）来表示不等关系用不等式（组）来表示不等关系3不等式基本原理不等式基本原理 a-b 0 a b a-b=0 a=b a-b 0 a b,且且c0,那么那么acbc;如果如果ab,且且c0,那么那么acb 所以所以 a-b0,根据同号相乘得正根据同号相乘得正,异号相乘得负异号相乘得负,得得 当当c0时时,(a-b)c0,即即 acbc 当当c0 时时,(a-b)c0,即即 acb0,cd0,则则 acbd.a1 b1 0,
14、a2 b2 0，.，an bn 0 a1 a2an b1b2.bn性质性质7.如果如果 ab0,那么那么 an bn 0(nN,n 2)a1=a2=.=an 0 ,b1=b2=bn 0不等式的同向可乘性不等式的同向可乘性不等式的乘方法则不等式的乘方法则不等式的性质不等式的性质第29页，共36页。性质性质8.如果如果ab0,那么那么 (nN,且且 n 1 )0nnba证明：假设nnba 则：若 babababannnn这都与 0ab矛盾 nnba 不等式的开方法则不等式的开方法则不等式的性质不等式的性质第30页，共36页。例.,0,0bcaccba求证已知证明证明:,0 ba得不等式两边同乘以正
15、数,1ab,11,11baab即,0c.bcac第31页，共36页。例.,0,0bcaccba求证已知证明二证明二:ababcbcac)(,0,0,0ababba,0,0bcacc.bcac第32页，共36页。课堂练习 判断下列各式的真假？为什么？判断下列各式的真假？为什么？（1）如果如果a b，那么，那么a-cb-c（2）如果）如果a b,那么那么a/cb/c（3）如果）如果acbc,那么那么a bc2,那么那么ab真假假假假真真第33页，共36页。课堂小结课堂小结 不等式的性质不等式的性质1:()性性质质对对称称性性abba,ab bcac 2:()性性质质传传递递性性:()性性质质3 3
16、可可加加性性abacbcabcdacbd，:()性性质质4 4可可乘乘性性,0ab cacbc00abcdacbd，*0(,2)nnababnNn*0(,2)nnabab nNn:()性性质质5 5同同向向可可加加性性:()性性质质6 6同同向向可可乘乘性性:()性性质质7 7乘乘方方法法则则:()性性质质8 8开开方方法法则则第34页，共36页。.)3(,5)2(1,1)1(4,)(42的取值范围求：已知函数例fffcaxxf,)(2caxxf解：.)2(4)1(4)2()1(fcafcacafcaf即)1(4)2(31)1()2(31ffcffa解之得)1(35)2(389)3(ffcaf.340)2(38385)2(1,320)1(3535,1)1(4ffff，又20)3(1,20)1(35)2(381fff即把上述两式相加得：思考：思考探究思考探究第35页，共36页。有关的数学名言有关的数学名言 数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明第36页，共36页。
