1、【 ;百万教育资源文库 】 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（ 全国新课标卷 3） 理科数学答案解析 第 卷 一 、 选择题 1.【答案】 D 【解析】易得 ? ? ? ?,2 3,S ? ? ? ?， ? ? ? ?0 ,2 3,ST? ? ? ? 【考点】 解一元二次 不等式 ， 交集 2.【 答案】 C 【解析】易知 1 2iz? ，故 14zz? ， 4i i1zz? 【考点】共轭复数 ，复数 运算 3.【答案】 A 【解析一】 3 32c o s1 1 2B A B CABCB A B C? ? ? ?， 30ABC? ? 【解析 二 】可以 B 点为坐标原点建立如图所示直角
2、坐标系，易知 60ABx?， 30CBx?， 30ABC? ? 【考点】向量夹角的坐标运算 4.【答案】 D 【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于 20C 的月份有七月、八月，六月为 20C 左右，故最多 3 个 【考点】统计图的识别 5.【答案】 A 【解析】 222 2 2c o s 4 s i n c o s 1 4 t a n 6 4c o s 2 s i n 2 c o s s i n 1 t a n 2 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【考点】二倍角公式 ， 弦切互化 ， 同角三角函数公式 6.【答案】 A 【解析】 423324a?， 233b? ， 123325
3、5c?， 故 c a b? 【考点】指数运算 ， 幂函数性质 7.【答案】 B 【解析】列表如下 ： 【 ;百万教育资源文库 】 a 4 2 6 -2 4 2 6 -2 4 b 6 4 6 4 6 s 0 6 10 16 20 n 0 1 2 3 4 【考点】程序框图 8.【答案】 C 【解析】如图所示，可设 1BD AD?，则 2AB? ， 2DC? ， 5AC?，由 余弦 定理知 ，2 5 9 1 0c o s 102 2 5A ? ? ? 【考点】解三角形 9.【答案】 B 【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面平行四边形，故表面积为 2 3 3
4、2 3 6 2 3 9 3 6 5 4 1 8 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【考点】三视图 ， 多面体的表面积 10.【答案】 B 【解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，如图所示，则由切线长定理可知，内接圆的半径为 2，又 1 3 2 2AA ? ? ? ，所以内接球的半径为 32 ，即 V 的最大值为 34932R ? 【考点】内接球半径的求法 11.【答案】 A 【解析】易得 ON OB aMF BF a c?， 2M F M F A F a cO E O N A O a? ? ?， 12 a a c a ca c a
5、 a c? ? ?， 13ce a? ? ? 【考点】椭圆的性质 ， 相似 12.【答案】 C 【解析】 【 ;百万教育资源文库 】 0 11 110 11 101 0 1111 010 0 11 10 0 1111 01100 11101 010 11 10 0 1111 01100 11101 01? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【考点】数列 ，树状图 第 卷 二、填空题 13.【答案】 32 【解析】三条直线的交点分别为 ( 2, 1)? ， 11,2?， (0,1) ，代入目标函数可得 3?
6、， 32 ， 1， 故最 大 值为 32 【考点】线性规划 14.【答案】 23 【解析】 s i n 3 c o s 2 s i n 3y x x x ? ? ? ?， s in 3 c o s 2 s in 3y x x x ? ? ? ?，故可 前者 的图像可由后者向右平移 23 个单位长度得到 【考点】三角恒等变换 ， 图像平移 15.【答案】 2 1 0xy? ? ? 【解析一】 11( ) 3 3fx xx? ? ? ? ? ， ( 1) 2f? ? ? ， (1) 2f? ? ，故切线方程为 2 1 0xy? ? ? 【解析 二 】当 0x ? 时， ( ) ( ) ln 3f
7、x f x x x? ? ? ?， 1( ) 3fx x? ? ? ， (1) 2f? ? ，故切线方程为 2 1 0xy? ? ? 【考点】奇偶性 ， 导数 ， 切线方程 16.【答案】 3 【解析】如图所示，作 AE BD? 于 E ，作 OF AB? 于 F ， 23AB? ， 23OA? ， 3OF?， 即【 ;百万教育资源文库 】 23331mm? ?， 33m? ?， ?直线 l 的倾斜角为 30 ， 32 3 32C D A E? ? ? ? ? 【考点】直线和圆 ， 弦长公式 三 、 解答题 17.【答案】 （） 1nnSa? ， 0? ， 0na?， 当 2n? 时， 1 1
8、 111n n n n n n na S S a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，即 1( 1) nnaa?， 0? ， 0na? ， 10? ? ? ， 即 1? ， 即1 1nnaa ? ? ?， ( 2)n? ， na? 是等比数列，公比 1q ? ? ，当 1n? 时， 1 1 11S a a? ? ? ，即1 11a ? ?， 1111nna ? ?； （ ）若5 3132S?， 则5551 111 3111 3 211S? ? ? ? ? ? ? ?， 1? 【考点】等比数列的证明 ， 由 nS 求通项 ， 等比数列的性质 18.【答案】（ ）由题意得
9、 1 2 3 4 5 6 7 47t ? ? ? ? ? ?， 71 1.3317 iiyy?， 7117 7 7 72 2 2 21 1 1 1( ) ( ) 4 0 . 1 7 7 4 1 . 3 30 . 9 92 8 0 . 5 5( ) ( ) ( ) ( )ni i i iiii i i ii i i it t y y t y n t yrt t y y t t y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0 99，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归方程来拟合 y 与 t 的关系 ； （
10、 ） 121( ) ( ) 2 .8 90 .1 0 328()niiiniit t y ybtt? ? ?， 1 .3 3 0 .1 0 3 4 0 .9 2a y b t? ? ? ? ? ?， 所以 y 关于 t 的线性回归方程为 0 .9 2 0 .1 0y a bt t? ? ? ?， 将 9t? 代入回归方程可得， 1.82y? ， 预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约为 1.82 亿吨 【考点】相关性分析 ， 线性回归 19.【答案】（ ）由已知得 2 23AM AD?，取 BP 的中点 T ，连接 AT ， TN ，由 N 为 PC 中点知 TN BC ，1 22TN
11、 BC?， 又 AD BC ，故 TN 平行且等于 AM ，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN AT ， 因为 AT? 平面 PAB ， MN? 平面 PAB ，所以 MN 平面 PAB ； 【 ;百万教育资源文库 】 （ ）取 BC 中点 E ， 连接 AE ， 则易知 AE AD? ， 又 PA? 面 ABCD ， 故可以 A 为坐标原点 ， 以 AE 为x 轴 ， 以 AD 为 y 轴 ，以 AP 为 z 轴建立空间直角坐标系 ， 则 (0,0,0)A 、 (0,0,4)P 、 ( 5,2,0)C 、 5,1,22N? ?0,2,0M ， 5 ,1, 22AN ?， (0,2,
12、4)PM ?， 5 ,1, 22PN N ?， 故平面 PMN 的法向量 (0,2,1)n? ， 4 8 5c o s , 5 255 2A N n? ? ? ?， ?直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 8525 【考点】线面平行证明 ，线面 角的计算 20.【答案】（ ）由题设 1,02F?， 设 1:l y a? ， 2:l y b? ，则 0ab? ，且 2 ,2aAa?， 2 ,2bBb?， 1,2Pa?，1,2Qb?， 1,22abR ?， 记过 A ， B 两点的直线为 l ，则 l 的方程为 2 ( ) 0x a b y ab? ? ? ?， 由于 F 在线段 AB 上
13、，故 10ab?， 记 AR 的斜率为 1k ， FQ 的斜率为 2k ，则1222 11a b a b a bk b ka a a b a a? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以 AR FQ ； （ ）设 l 与 x 轴的交点为 1( ,0)Dx ，则11 1 12 2 2ABFS b a F D b a x? ? ? ? ? ?，2PQF abS? ?， 由题设可得1112 2 2abb a x ? ? ?，所以 1 0x? (舍去 )， 1 1x? ， 设满足条件的 AB 的中点为 ( , )Exy ， 当 AB 与 x 轴不垂直时，由 AB DEkk? 可得 2 ( 1)1y xa
14、 b x? ， 而 2aby? ? ，所以 2 1( 1)y x x? ? ? ， 当 AB 与 x 轴垂直时， E与 D 重合 ， 所以，所求轨迹方程为 2 1yx? 【考点】抛物线 ， 轨迹方程 21.【答案】 （ ） ( ) 2 s i n 2 ( 1 ) s i nf x a x a x? ? ? ? ?； 【 ;百万教育资源文库 】 （ ） 当 1a? 时， | ( ) | | c o s 2 ( 1 ) ( c o s 1 ) | 2 ( 1 ) 3 2 ( 0 )f x a x a x a a a f? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，因此， 32Aa?，当01a?时，将 (
15、)fx变形为 2( ) 2 c o s ( 1 ) c o s 1f x a x a x? ? ? ?，令 2( ) 2 ( 1) 1g t at a t? ? ?，则 A 是 | ()|gt 在1,1? 上的最大值， ( 1)ga? ， (1) 3 2ga?，且当 14at a? 时， ()gt 取得极小值，极小值为221 ( 1 ) 6 114 8 8a a a ag a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ，令 1114 aa? ? ? ，解得 13a? （舍去）， 15a? 当 10 5a? 时， ()gt 在 (1,1)? 内无极值点， | ( 1)|ga?， | (1)| 2
16、 3ga? ， | ( 1)| | (1)|gg? ，所以 23Aa? ； 当 1 15 a?时，由 ( 1) (1) 2 (1 ) 0g g a? ? ? ? ?，知 1( 1) (1) ( )4 ag g g a? ? ? ； 又 1 (1 ) (1 7 )| ( 1 ) | 048a a aggaa? ? ? ? ? ? ?，所以 21 6 148a a aAg aa? ? ?， 综上，212 3 , 056 1 1,1853 2 , 1aaaaAaaaa? ? ? ? ? ?（ ） 由（）得 | ( ) | | 2 s i n 2 ( 1 ) s i n | 2 | 1 |f x a
17、x a x a a? ? ? ? ? ? ? ?， 当 10 5a? 时， | ( ) | 1 2 4 2 ( 2 3 ) 2f x a a a A? ? ? ? ? ? ? ?，当 1 15 a?时， 1318 8 4aA a? ? ? ?， 所以 | ( ) | 1 2f x a A? ? ? ? ，当 1a? 时， | ( ) | 3 1 6 4 2f x a a A? ? ? ? ? ?，所以 | ( )| 2f x A? ? 【考点】导函数讨论单调性 ， 不等式证明 22.【答案】 （ ） 连结 PB ， BC ， 则 BFD PBA BPD? ? ? ? ?， PC PCB BCD
18、? ? ? ?， 因为 AP BP? ，所以 PBA PCB? ? ，又 BPD BCD? ? ，所以 BFD PCD? ? ， 又 180PFD BFD? ? ? ?，2PFB PCD? ? ? ， 所以 3 180PCD?，因此 60PCD?； （ ）因为 PCD BFD? ? ，所以 180PCD EFD? ? ? ?，由此知 C ， D ， F ， E 四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在 DF 的垂直平分线上，故 G 就是过 C ， D ， F ， E 四点的圆的圆心，所以 G 在CD 的垂直平分线上，因此 OG CD? 【考点】几何证明 【 ;百万教育资源文库 】 23.【答案】（ ） 1C 的普通方程为 2 2 13x y?， 2C 的直角坐标方程为 40xy? ? ? ；（ ）由题意，可设点 P 的直角坐标为 ( 3 cos ,sin )?，因为 2C 是直线，所以 |PQ 的最小值，即为 P 到 2C的距离 ()d? 的最小值， | 3 c o s s i n 4 |( ) 2 | s i n ( ) 2 |32d ? ? ? ? ? ?， 当且仅当 2 ()6k k Z? ? ? ?时，()d? 取得最小值，最小值为 2 ，此时 P 的直角坐标为 31,22? 【考
