1、不定积分习题课不定积分习题课 一、主要内容一、主要内容 二、例题讲解二、例题讲解第1页，共27页。积分法积分法原原 函函 数数基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分一、主要内容一、主要内容第2页，共27页。1 1、原函数、原函数NoImage定义定义原函数存在定理原函数存在定理即即：I如果函数如果函数)(xf在区间在区间I内连续，那内连续，那么在区间么在区间内存在可导函数内存在可导函数)(xF，使，使Ix ，都有，都有)()(xfxF=第3页，共27页。2 2、不定积分、不定积分(1)定义定义CxFdxxf=
2、)()(在区间在区间I内，函数内，函数)(xf的带有任意常数项的带有任意常数项的原函数称为的原函数称为)(xf在区间在区间I内的内的不定积分不定积分，记，记为为 dxxf)(函数函数)(xf的原函数的图形称为的原函数的图形称为)(xf的的积分曲线积分曲线.第4页，共27页。=dxxgxf)()(10 dxxgdxxf)()(2)微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.=dxxkf)(20 dxxfk)(（k是是常常数数，)0 k(3)不定积分的性质不定积分的性质 )()(xfdxxfdxd=dxxfdxxfd)()(=CxFdxxF)()(=CxFxdF)()(第5页，共
3、27页。3 3、基本积分表、基本积分表 =kCkxkdx()1(是常数是常数)1(1)2(1 =Cxdxx =Cxxdxln)3(=dxx211)4(Cx arctan=dxx211)5(Cx arcsin=xdxcos)6(Cx sin=xdxsin)7(Cx cos=xdxxtansec)10(Cx sec=xdxxcotcsc)11(Cx csc=dxex)12(Cex=xdx2cos)8(=xdx2secCx tan=xdx2sin)9(=xdx2cscCx cot第6页，共27页。=dxax)13(Caax ln=Cxxdxcoslntan)14(=Cxxdxsinlncot)15(
4、=Cxxxdxtanseclnsec)16(=Cxxxdxcotcsclncsc)17(Caxadxxa=arctan11)18(22Cxaxaadxxa=ln211)20(22Caxdxxa=arcsin1)21(22Caxxdxax=)ln(1)22(2222Caxaxadxax=ln211)19(22第7页，共27页。5 5、第一类换元法、第一类换元法4 4、直接积分法、直接积分法=dxxxf)()(=)()(xuduuf 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法积分的方法.定理定理1 1设设)(uf具有原函数，具有原函数，)(xu=
5、可导，可导，则有换元公式则有换元公式（）6 6、分部积分法、分部积分法（）duvuvudv =第8页，共27页。;)(.11dxxxfnn;)(.2dxxxf;)(ln.3dxxxf;)1(.42dxxxf;cos)(sin.5xdxxf;)(.6dxaafxx凑微分常见类型凑微分常见类型:;sec)(tan.72xdxxf;1)(arctan.82dxxxf 第9页，共27页。例例1 1=dxxxx2cos.tantanln原式解解）（、书本求46 P97.cossintanlndxxxx=xdxxtantantanln=xxdtanlntanlnCx=2tanln21=dxxxxtanse
6、c.tanln2二、典型例题二、典型例题第10页，共27页。例例2 2解解.1arcsin2dxxxx求)1(1arcsin2122xdxx=原式21arcsinxdx=xdxxxarcsin11.arcsin22=dxxx=21arcsinCxxx=21arcsin思考题：思考题：P97 6、（、（16）第11页，共27页。例例3 3解解.tan2xdxx求dxxx=)1(sec2原式=xdxxdxtan2tantan2xxdxxx=Cxxxx=2coslntan2=xdxxdxx2sec第12页，共27页。例例4 4 =dxxx1)23()23(2原式原式解解.4932 dxxxxx求求
7、=1)23()23(23ln12 xxd 123ln12tdt =dttt)1111(23ln21Ctt =11ln)2ln3(ln21.2323ln)2ln3(ln21Cxxxx =tx=)23(令令第13页，共27页。例例5 5解解dxxexxx)1(1求 dxxexxx)1(1=dxxexeexexxxx)1(=)1()(xxxxexexed令,txex=)1(ttdt=1tdttdtCtt=1lnlnCxexexx=1lnln第14页，共27页。例例6 6解解.)2(10 xxdx求求 =)2(10109xxdxx原式原式 =)2()(101101010 xxxdCxx =)2ln(l
8、n2011010.)2ln(201ln2110Cxx =)()211(201101010 xdxx=思考题：思考题：P97 6、（、（2）第15页，共27页。例例7 7解解.cos1sin dxxxx求求dxxxxx =2cos22cos2sin22原式原式dxxdxxx =2tan2cos22dxxdxxxx =2tan2tan2tan.2tanCxx=dxxxxd2tan2tan第16页，共27页。积分表的使用方法积分表的使用方法第17页，共27页。（1）把常用的积分公式汇集成表，这种表叫把常用的积分公式汇集成表，这种表叫 做做积分表积分表.（2）积分表是按照被积函数的类型来排列的）积分表
9、是按照被积函数的类型来排列的.（4）积分表见）积分表见应用高等数学应用高等数学第第183页页（3）求积分时，可根据被积函数的类型直接）求积分时，可根据被积函数的类型直接 或经过简单的变形后，在表内查得所需或经过简单的变形后，在表内查得所需 结果结果.关于积分表的说明：关于积分表的说明：第18页，共27页。1.在积分表中能直接查到的在积分表中能直接查到的例例 1查表求查表求.)23(d2 xxx解解被积函数含被积函数含 a+bx 因式，因式，在积分表在积分表(一一)类中，类中，查到公式查到公式 9，当当 a=3，b=2 时，时，2)23(dxxx.23ln91)23(31Cxxx =得得教材第教
10、材第183183页页第19页，共27页。例例 2查表求查表求.sin45d xx解解被积函数含被积函数含 a+bsin x 因式，因式，在积分表在积分表(十十一一)类中，查到公式类中，查到公式 103 或或 104，因为因为a=5，b=4，a2 b2.所以用公式所以用公式 103，得得 xxsin45dCx =542tan455arctan45552222222.542tan35arctan32Cx =教材第教材第188页页第20页，共27页。2.先进行变量代换，再查表先进行变量代换，再查表例例 3查表求查表求.49d22 xxx解解该积分在积分表中直接查不到，要进行变量代该积分在积分表中直接
11、查不到，要进行变量代换，换，令令 3x=t，,31tx=,d31dtx=则则于是有于是有 49d22xxx =tttd3149122,2d3222 =ttt 49d22xxx,2d3222 =ttt第21页，共27页。上式右端积分的被积函数中有上式右端积分的被积函数中有,222 t 在积分表在积分表(六六)类中，查到公式类中，查到公式 41，2222dtttCtt =442.12492Cxx =代入原积分中，得代入原积分中，得 49d22xxx.4492d32222Cxxttt =当当 a=2(x 相当于相当于 t)时，得时，得教材第教材第185页页 49d22xxx,2d3222 =ttt第
12、22页，共27页。3.用用递推公式递推公式例例 4查表求查表求.sind4 xx xxnsind,sind12sincos1121 =xxnnxxnnn解解被积函数中含三角函数，在积分表被积函数中含三角函数，在积分表(十一十一)类中查类中查到公式到公式 97，递推公式递推公式为为教材第教材第187页页当当 n=4 时，原积分为时，原积分为 xx4sind=xxxxdsin132sincos3123.cot32sincos313Cxxx =利用此公式可使正弦的幂次减少两次利用此公式可使正弦的幂次减少两次,重复使用可使正弦重复使用可使正弦的幂次继续减少的幂次继续减少,直到求出结果直到求出结果.这个
13、公式叫这个公式叫递推公式递推公式.第23页，共27页。说明说明初等函数在其定义域内原函数一定存在，但初等函数在其定义域内原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数原函数不一定都是初等函数.，例如，积分xxxdsin ，xxde2，xx)dsin(2，xxdln1，)10(sin1d2 xx等，等，都不能用初等函数表示都不能用初等函数表示.第24页，共27页。求下列不定积分：求下列不定积分：1 111、dxxxcos22 2、522xxdx 3 3、)1(2xxeedx4 4、xdxx arccos2 第25页，共27页。练习题答案练习题答案1 1、Cx 1sin2 2、Cx 21arctan213 3、Ceexx )arctan(4 4、Cxxxx 22323131)1(91arccos31第26页，共27页。谢谢！第27页，共27页。
