1、上一節有趣的數學課吧數學領域輔導團郭昇欣第1页，共54页。前言 數學課程是由專家制定的(包括教育專家和數學專家)-經過長久的演化，是否仍切合原本數學的功能？回頭檢視國小數學教育的目標，老師您覺得數學課該學些什麼？上數學課，上的到底是什麼數學？第2页，共54页。我們的數學課 受了科舉考試的影響，通常大部分的學生學數學是為了考試。於是考試領導教學：不會考的教材內容快快帶過 做的慢，就考不好，於是解題又快又準成了學數學的目標。或者是為了未來的數學做準備，因此，有些需要時間蘊釀的概念內容就會很快帶過。到底學這些數學幹什麼？第3页，共54页。課程分享從荷蘭數學教育談起第4页，共54页。荷蘭的數學教育 為
2、什麼荷蘭的小孩不怕數學？（TIMSS，1997）的測試裡，荷蘭學生的數學成績在所有西方國家中名列前茅。百分之九十的荷蘭大學生在選課時，會進修高等數學 第5页，共54页。荷蘭的數學教育 60年代末開始，荷蘭就開始進行數學教育的改革 學習數學唯一正確的方法是進行再創造，也就是由學生自己去發現或創造這個概念；數學老師的任務，是引導和幫助學生去進行這種再創造的工作，而不是把現成的知識灌輸給學生。數學教育應該是現實的，從現實的生活中出發。第6页，共54页。荷蘭的數學教育荷蘭教室裡的教學 中學，老師在上課一開始，展示一塊回教穆斯林專用的、祈禱的地毯，地毯上擺了一隻羅盤。老師請孩子們運用地圖，思考角度與弧線
3、的關係，計算從當地到回教聖地麥加的最短路程。小小孩，讓孩子從數小木棒和小石頭開始，讓孩子們用自己的方式，去作數字相關的紀錄，先讓孩子弄清楚數學加減的概念、意思是什麼，而不是馬上把算數、抽象的符號塞給孩子。隨著孩子的年齡漸長，孩子漸漸可以跨入比較抽象的數學符號計算，荷蘭的數學老師在教每一個單元時，還是會注意數學跟自然界、或跟現實生活的聯繫。第7页，共54页。荷蘭的數學教育 教學的目的 讓孩子對數學有感覺，讓數學思維和生活可以連結引導學生主動參與知識的形成、發展過程 譬如：教圓柱體的側面面積計算時，不馬上告訴學生，一律把側面展開成長方形，來推算，而是給學生思考空間，去探討、嘗試各種算法。第8页，共
4、54页。資料來源 近年來國際數學課程改革的若干趨勢，作者孔企平荷蘭1998-2003年教學課程目標評介，作者孫曉天 引用自新竹教育網九年一貫數學領域經驗分享第9页，共54页。不僅是荷蘭 新加坡、中國大陸甚至是美國的數學教材，都是目前我們現行課程參考的對象。印度的數學教學重視邏輯及概念的釐清，你也許不相信，美國矽谷有許多工程師來自印度。第10页，共54页。省思 我想要的數學教育 計算能力 思考能力 解決問題能力 能力的優先次序排序第11页，共54页。這也是數學？第12页，共54页。我們的孩子416416第13页，共54页。這也是數學？第14页，共54页。這也是數學？第15页，共54页。這也是數學
5、？第16页，共54页。這也是數學？第17页，共54页。我們的孩子52321131212顆糖果中的1顆糖果是1/2；3顆糖果中的1顆糖果是1/3；+1/3為什麼不是5顆糖果中的2顆糖果？第18页，共54页。學習的過程出現大人無法預料的錯誤？當錯誤一再出現，興趣就會降低如何讓孩子一直保持對於學習數學的熱忱，是老師的責任第19页，共54页。第20页，共54页。第21页，共54页。為什麼學數學常是親子關係緊繃的一大因素？學生總是學不好？不求甚解卻一直錯誤應用？為什麼講過還是會犯錯？笨方法要用到什麼時候？英文字母變數字 買門票問題第22页，共54页。數字變英文字母 當數字1、2、3、4、5、6、7、8、
6、9、0變成英文字母a、b、c、d、e、f、g、h、i、j b+c=？d+e=？第23页，共54页。買門票問題 為了看王建民的棒球賽，球場外面擠了數以萬計的球迷排隊買票。但是，洋基隊為了季後賽打得順利，特別把有4的流水號的門票都抽走了。1、2、3、5、6、7、8、9、10、11、12、13、15、請問第100個人拿到的門票是幾號？第10000個人拿到的門票是幾號？第24页，共54页。數學課不只是坐著站著講，融入一些有趣的要素，可以讓教學活潑有趣，同時也達到教師的目的第25页，共54页。房客租屋問題 有3個房客，分租了月租3000元的房子，每人每月出1000元。到了月底，房東覺得房租太高，退還50
7、0元房租，請女兒交還3個房客。女兒覺得3人無法均分，於是私呑200元，只退還3人300元。每人平均退回100元，等於出900元，9003=2700，加上女兒的200元=2900元 2900元？3000元？那裡少了100元？第26页，共54页。房客租屋問題 為什麼會有這樣的結果？真的如題目所說的這樣嗎？學生會去檢視解題的過程嗎？怎樣重新去詮釋這個問題並找出合理的說法？第27页，共54页。三兄弟分牛問題 老農夫過世前留給三兄弟17頭牛，註明大哥分1/2，二哥分1/3，小弟分1/9 三兄弟不知如何分最適當(總不能把全部的牛打成果汁均分吧)。鄰居的智者牽來1隻加進去，於是就有18頭牛，大哥分9隻，二哥
8、分6隻，小弟分2隻，共17隻，剩下1隻智者再牽回去！第28页，共54页。三兄弟分牛問題 為什麼會有這樣的結果？真的如題目所說的這樣嗎？學生會去檢視解題的過程嗎？怎樣重新去詮釋這個問題並找出合理的說法？第29页，共54页。在教學上的應用1.故事情境2.排列出一個範圍的數字卡例：110,112,120,124,130,1313.任取一數且將其所有因數全部給政府4.已無因數的數字卡最後歸政府所有中華民國萬萬稅適用高年級第30页，共54页。在教學上的應用中華民國萬萬稅適用高年級12345678910 1112老百姓政 府第31页，共54页。在教學上的應用1.適時引導討論解題策略2.探討【理論最佳解】指
9、用推論所得到合理的最高解3.探討【實際最大值】指實際能拿到的最高解中華民國萬萬稅適用高年級請參考“讓我們來玩數學吧！”第32页，共54页。u想要自己拿一張，對方也只能拿走一張，那麼自己最多能拿到幾張？在教學上的應用中華民國萬萬稅適用高年級123456789101112u哪幾張牌是必定得白白犧牲給別人的？7張張張張12,11,10,9,8u扣除之後，還剩幾張？u數字最好是多少？第33页，共54页。在教學上的應用中華民國萬萬稅適用高年級123456789 101112老百姓政 府5028第34页，共54页。在教學上的應用中華民國萬萬稅適用高年級1-10 1-12 1-20 1-24 1-30 1-
10、3140501241853013034050124182301303範圍理論最佳解實際最大值請參考“第三十七屆科展作品數學組第二名”第35页，共54页。在教學上的應用變化玩法：一次取兩數並交出所有中華民國萬萬稅適用高年級123456789101112老百姓政 府5721第36页，共54页。中華民國萬萬稅問題 學生從中學到什麼？老師可以藉由這個問題檢視學生什麼？是不是只有找到正確答案才算是達到老師所要的目標？第37页，共54页。立志當孩子的第一個伯樂 用欣賞的眼光看孩子常給予驚喜、讚嘆的眼神。因為，對兒童而言，失敗並非成功之母，小成功才是大成功之母，請別忽視肯定和讚美的力量。說正面積極的話鼓勵我
11、們想看到的行為。試想，如果您一天之中，接受到的都是責備，您還有力氣努力做事嗎？大人都如此了，何況是小孩？第38页，共54页。如何引導孩子學數學 從說數學開始：會算數學的孩子很棒，會說數學的孩子更棒。希望孩子敢說、會聽、能思考，而非一味的算數學。真正的將學習舞台還給孩子：當孩子嚐到自己解題成功的喜悅，自然就會主動投入學習。當孩子嚐到合作解題的樂趣，自然就會主動參與討論。第39页，共54页。注重有意義的學習 先建立數學概念，再發展運算格式。先講求效果，再講求效率。希望孩子知其然也知其所以然 第40页，共54页。休息一下第41页，共54页。第42页，共54页。第43页，共54页。2005台灣學生學習
12、成就檢測測驗結果 臺灣教育史上第一次全國性、長期性的學生學習成就評量資料庫之建置。建置目的：瞭解國內學生學習成就的現況，供改善課程與推動補救教學之參考。二、追蹤臺灣學生學習成就的變遷趨勢，以檢視國家課程與教學實施的成效。三、提供完整、標準化的量化資料，供相關人員深入探討學生學習成就方面相關議題之 研究，並供教育決策之參考，以提升教育品質第44页，共54页。題目分配選擇題應用題總題數%數與計算58442.8%量與實測26320%幾何26320%統計與機率736.9%代數13210.3%第45页，共54页。測驗將學生成績分成4個等級 基礎以下(未達下述基礎成就水準表現內容)基礎(能呈現初步概念性及
13、程序性的理解，並能解決單步驟的簡單情境問題。接近精熟表現水準的基礎水準學生，可以正確辨識出解決問題所需的必要及充分資訊，但應用題的數學表達技巧仍有待補強。)精熟(學生能統整運用數學的概念與程序解決五個內容領域的複雜情境問題，在解決問題時能靈活運用基本的運算規則，精確、有效地掌握問題中數量或空間的關係，並呈現計算以外的推理技巧。)進階(學生能靈活區辨及應用各種數學規則，並且能類推、統整數學的概念及原則。他們能統整應用程序性知識和概念性理解進行複雜情境的問題解決、能進行抽像思考、具有獨特的問題解決方法、並能為解題過程提供精準且周延的書面說明。)第46页，共54页。各等級人數比例人數百分比基礎以下1
14、93119.1%基礎410240.5%精熟350634.7%進階5785.7%第47页，共54页。綜合結論評量水準分為基礎、精熟、和進階，包含未達基礎水準。學生表現可分為四類。基礎水準內涵主要為學習該年級數學內容所需的先備知能，達到精熟水準則指學生充分掌握該年級學習內容的重點，而達進階水準學生則在各項重要知能的彈性應用表現優異。就全體學生而言，未達基礎水準佔 19.1%，他們的平均答對率為 35%左右，亟待補救資源的協助，以利國中數學學習的進展。達到基礎、精熟、和進階水準人數比率依序為 40.5%，34.7%和 5.7%，相鄰兩水準間學生平均答對率的差異約為 18%左右，其中進階水準學生表現極
15、為優異，平均答對率約為 88.32%，換言之，這 5.7%學生對六年級數學內容的內化深刻，因此面對新穎情境亦能流暢有效的進行解題。就 19.1%未達基礎水準的學生而言，國民教育系統宜積極規劃有效的補救和支援方案，否則他們而後的數學學習將存在明顯的障礙。第48页，共54页。台南縣95年度學生學習成就檢測結果報告第49页，共54页。數學修女與邏輯修女 有兩個修女一個是叫做 數學修女，另一個則是叫 邏輯修女現在已經快天黑了但她們離修道院還有很遠的路程。數學：妳有沒有注意到，後面有個男人已經跟蹤我們有三十八分鐘三十秒了，不知道他想要做什麼？邏輯：這很合理的，他想侵犯我們。數學：天哪！在這樣的速度下，他
16、會在十五分鐘之內抓到我們的，我們該怎麼辦？邏輯：唯一合理的方法當然是走快一點。數學：好像沒用呀！邏輯：當然沒用，那個男人也很合理的越走越快。數學：那我們該怎麼辦？在這樣的速度下，他還有一分鐘就能抓到我們了。邏輯：唯一合理的方法就是我們分開逃，妳走那邊，我走這邊，他不可能兩個都抓。第50页，共54页。那個男人繼續跟蹤邏輯修女。數學修女平安地到達修道院，但很擔心邏輯修女會不會出事，然後就看到邏輯修女進了門口。數學：邏輯修女妳終於回來啦！感謝主！快告訴我發生什麼事了？邏輯：發生了唯一合理的事情，那個男人不能兩個都跟蹤，所以他就來追我。數學：對對，但後來發生什麼事？邏輯：發生了唯一合理的事情，我用盡全力地跑，他也用盡全力地在後面追。第51页，共54页。數學：然後呢？邏輯：發生了唯一合理的事情，他抓到我了。數學：天哪！那妳怎麼辦？邏輯：我做了唯一合理的事，把裙子拉起來。數學：天哪，邏輯修女！那個男人呢？邏輯：他做了唯一合理的事，他把褲子拉了下去。數學：我的天哪！那後來呢？邏輯：不是很合理嗎，數學修女，第52页，共54页。一個把裙子拉起來的修女，一定跑得比一個把褲子拉下去的男人快得多!剛才在亂想的你，趕快說兩聲：阿們！第53页，共54页。謝謝指教第54页，共54页。
