1、等差数列的前等差数列的前n项和项和(1)1.等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：2.对于等差数列对于等差数列an：若：若m+n=p+q,1.等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d2.对于等差数列对于等差数列an：若：若m+n=p+q,am+an=ap+aq 探究探究1.“数学王子数学王子”高斯高斯(1777-1855)小时便显示出聪小时便显示出聪颖的数学才能颖的数学才能,他的算术老师提出下面的问题：他的算术老师提出下面的问题：1+2+3+100=？10岁的高斯运用快速的方法第岁的高斯运用快速的方法第一个完成了正确答案。你能找到哪些快速的方法解决该一个完成了正确答案
2、。你能找到哪些快速的方法解决该问题？问题？探究探究2:你能求出等差数列你能求出等差数列 1,2,3,n的前的前n项和吗？项和吗？探究探究3:对于一般的等差数列对于一般的等差数列an，我们求其前，我们求其前n项和，项和，用用Sn表示，如何求表示，如何求 Sn=a1+a2+a3+an等差数列等差数列an的前的前n项和公式：项和公式：2)1()2(2)()1(11dnnnaSaanSnnn 已知一个等差数列已知一个等差数列an前前10项的和是项的和是310,前前20项的和是项的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列由这些条件能确定这个等差数列的前的前n项和的公式吗？项和的公式吗？【例例1】(1)
3、已知等差数列已知等差数列an中，中，a14，S8172，求，求a8和和d;(2)等差数列等差数列10，6，2，2，前多少前多少项的和是项的和是54？【例例2】已知等差数列已知等差数列an前四项和为前四项和为21，最后，最后四项的和为四项的和为67，所有项的和为，所有项的和为286，求项数，求项数n.【例例3】.,743 ,724 ,5 的的值值最最大大的的序序号号求求使使和和是是项项之之的的前前已已知知等等差差数数列列nSSnnn【例例4】问题探究问题探究2：由等差数列前由等差数列前n项和求最值项和求最值等差数列前等差数列前n项和的最值项和的最值.,0,0,0,0,0,0,0,0 ,1111的
4、的值值求求得得可可由由项项和和有有最最小小值值前前时时当当的的值值；求求得得且且最最大大值值，可可由由项项和和有有前前时时当当中中在在等等差差数数列列naandanaandaannnnn 【变式训练变式训练】取取最最大大值值？取取何何值值时时候候，当当那那么么已已知知等等差差数数列列nnSnSSaa,13,1131 _.|.|,72 151421 aaaanaann则则的的通通项项公公式式 问题探究问题探究3：等差数列等差数列|an|的前的前n项和项和【例例5】变式训练：变式训练：在等差数列在等差数列an中，中，Sn为前为前n项和，项和，且且S3=36,S6=45,求数列求数列|an|的前的前
5、n项项Tn。1.在等差数列在等差数列an中，已知中，已知a3+a99=200，求，求S101.2.在等差数列在等差数列an中，已知中，已知a15+a12+a9+a6=20，求求S20.引入：引入：.,一一定定是是等等差差数数列列为为常常数数，那那么么这这个个数数列列其其中中的的通通项项公公式式为为已已知知qpqpnaann 探究探究1：引入：引入：.,一一定定是是等等差差数数列列为为常常数数，那那么么这这个个数数列列其其中中的的通通项项公公式式为为已已知知qpqpnaann 为为等等差差数数列列吗吗？仍仍则则项项和和为为前前设设等等差差数数列列,nSSnannn 一般地一般地,如果一个数列如果
6、一个数列an的前的前n项和为项和为Sn=pn2+qn,其中其中 p,q为常数为常数,且且 p0，那么这个数列一定是等差数，那么这个数列一定是等差数列。试证明之。列。试证明之。探究探究2：如果如果Sn=pn2+qn+r,其中其中p,q,r为常数为常数,且且p0,r0？这？这个数列是否为等差数列？个数列是否为等差数列？一般地一般地,如果一个数列如果一个数列an的前的前n项和为项和为Sn=pn2+qn,其中其中 p,q为常数为常数,且且 p0，那么这个数列一定是等差数，那么这个数列一定是等差数列。试证明之。列。试证明之。探究探究2：探究探究3：成成等等差差数数列列吗吗？中中，在在等等差差数数列列mm
7、mmmnSSSSSa232,【例【例6】260.D 210.C 170.B 130A.)(3100230 项项的的和和为为，则则它它的的前前和和为为项项的的，前前项项和和为为的的前前等等差差数数列列mmman一个等差数列的前一个等差数列的前10项和为项和为100，前，前100项的项的和为和为10，求它的前，求它的前110项的和。项的和。【例例7】探究探究3：等差数列中项与和的关系等差数列中项与和的关系.,1212 nnnnnnnnTSbaTSnba则则项项和和分分别别为为的的前前等等差差数数列列.:),32()13(,1515bannnbann求求：项项和和比比为为的的前前等等差差数数列列 【
8、例例8】【变式变式】._,5,5935 SSaaSnann则则若若项项和和为为前前等等差差数数列列1.在等差数列在等差数列an中，已知中，已知a3+a99=200，求，求S101.2.在等差数列在等差数列an中，已知中，已知a15+a12+a9+a6=20，求求S20.【例例9】已知等差数列已知等差数列an前四项和为前四项和为21，最后四项的，最后四项的和为和为67，所有项的和为，所有项的和为286，求项数，求项数n.【例例10】.,548)2(,20,16)1(,54210203SaaSSaan求求已已知知；求求已已知知中中在在等等差差数数列列 【例例11】.,5,23,65)3(,172,
9、4)2(,7,1)1(,1881941dnSaadaSaSaaannn和和求求；和和求求；求求中中在在等等差差数数列列 【变式训练变式训练】(1)已知等差数列前已知等差数列前3项的和为项的和为30,前前6项项的和为的和为100,则它的前则它的前9项和为项和为 ()A.130 B.170 C.210 D.260【例例12】._10,12)2(项项和和为为的的前前则则数数列列项项和和为为前前其其的的通通项项公公式式是是已已知知等等差差数数列列 nSSnnaannnn._,1311,10,120,(2)._,36,9,)1(1098763 dSSSaaaaSSSnannn则则公公差差项项中中且且在在这这中中在在等等差差数数列列则则若若项项和和为为的的前前设设等等差差数数列列偶偶奇奇【变式训练变式训练】.,25,1791的的最最大大值值求求且且若若中中在在等等差差数数列列nnSSSaa 【例例13】.,)2(;)1(.155,18,510取取最最小小值值并并指指出出何何时时项项和和的的最最小小值值的的前前求求数数列列的的通通项项公公式式求求数数列列的的和和项项前前中中在在等等差差数数列列naaSaannn 【变式训练变式训练】
