1、第二节一元二次不等式及其解法,总纲目录,教材研读,1.“三个二次”的关系,考点突破,2. (x-a)(x-b)0和(x-a)(x-b)0和(x-a)(x-b)0型不等式的解集,口诀:大于取两边,小于取中间.,1.不等式x2-3x+20的解集为?()A.(-,-2)(-1,+)B.(-2,-1)C.(-,1)(2,+)D.(1,2),答案D将x2-3x+20化为(x-1)(x-2)0,解得1x0的解集为(-,-2)?,则m=?()A.?B.?C.?D.,C,答案C由已知可得-2,-?为方程mx2+2x+1=0的两根,故?解得m=?,故选C.,3.不等式?0的解集为?()A.x|x1或x3B.x|
2、1x3C.x|1x3D.x|1x3,C,答案C由?0,得?解得1x3.,4.不等式x2+ax+40的解集不是空集,则实数a的取值范围是 .,(-,-44,+),答案(-,-44,+),解析由题意得=a2-160,即a216,a的取值范围是(-,-44,+).,5.不等式?1或x1或x1或x-1.,典例1(1)不等式-2x2+x-3的解集为?()A.?B.?C.?D.?(2)解关于x的不等式:x2-(a+1)x+a0,方程2x2-x-3=0的两实根为x1=-1,x2=?,2x2-x-30的解集为?.(2)由x2-(a+1)x+a=0,得(x-a)(x-1)=0,x1=a,x2=1,当a1时,x2
3、-(a+1)x+a0的解集为x|1xa;当a=1时,x2-(a+1)x+a0的解集为?;当a1时,x2-(a+1)x+a0的解集为x|ax1.,探究若将本例(2)中的不等式改为ax2-(a+1)x+10,原不等式等价于?(x-1)1时,?1,解?(x-1)1;当01时,解集为?.,方法技巧一元二次不等式的解法(1)对于常系数一元二次不等式,可以用分解因式法或判别式法求解,题目简单,情况单一.(2)含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论.若二次项系数为常数,需先将二次项系数化为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论;若二次项系数为参数
4、,则应先考虑二次项系数是否为零,以确定不等式是一次不等式还是二次不等式,再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;,对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.(3)若一元二次不等式的解集为区间的形式,则区间的端点值恰对应相应的一元二次方程的根,要注意解集的形式与二次项系数的联系.提醒当不等式中二次项的系数含有参数时,不要忘记讨论其等于0的情况.,1-1若不等式ax2+bx+20的解集为?,则不等式2x2+bx+a0的解集是.,x|-2x3,答案x|-2xa2(aR)的解集.,解析12x2-axa2,12x2-ax-a20,即(4x+a)(3x-a)0.令(4x+a)(3x-a)=0,
5、解得x1=-?,x2=?.当a0时,-?,不等式的解集为?.综上所述,当a0时,不等式的解集为?;当a=0时,不等式的解集为x|xR且x0;当a0时,不等式的解集为?.,考点二一元二次不等式的恒成立问题,典例2若一元二次不等式2kx2+kx-?0对一切实数x都成立,则k的取值范围为?()A.(-3,0B.-3,0)C.-3,0D.(-3,0),命题方向一在R上的恒成立问题,D,答案D,解析设f(x)=2kx2+kx-?,2kx2+kx-?0为一元二次不等式,k0,2kx2+kx-?0对一切实数x都成立,即函数f(x)=2kx2+kx-?的图象全部在x轴的下方,则有?解得-3k0.,典例3设函数
6、f(x)=mx2-mx-1(m0),若对于x1,3, f(x)-m+5恒成立,求m的取值范围.,命题方向二在给定区间上的恒成立问题,解析f(x)0时,g(x)在1,3上是增函数.所以g(x)max=g(3)=7m-60.所以m?,则0m?.当m0时,g(x)在1,3上是减函数,所以g(x)max=g(1)=m-60,所以m6,所以m0,又因为m(x2-x+1)-60,所以m?.因为y=?=?在1,3上的最小值为?,所以只需m0,则a的取值范围是()A.(0,4)B.0,4)C.(0,+)D.(-,4),B,答案B?xR,ax2+ax+10,则必有?或a=0,0a4.,2-2已知函数f(x)=x
7、2+mx-1,若对于任意xm,m+1,都有f(x)0成立,则实数m的取值范围是.,答案,解析要满足f(x)=x2+mx-10对于任意xm,m+1恒成立,只需?即?解得-?m0.,典例5甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10),每小时可获得的利润是100?元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,求x的取值范围;(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,则甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.,考点三一元二次不等式的应用,规律总结求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系.(2)引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等式表示不等关系,建立相应的数学模型.(3)解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量的实际意义.(4)回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果.,3-1某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加?x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商品一天的营业额为y元,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域;(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元,求x的取值范围.,
