1、导数的运算yOxyc0y 则解释为某物体的瞬时速度始终为0即一直处于静止状态yc若表示路程关于时间的函数00ccx1.()f xC函数的导数()()yf xxf xxx0lim 0 x 0limxyyx 一、基本初等函数的导数1y 则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动yx若表示路程关于时间的函数112.()f xx()()yf xxf xxx0lim1x 0limxyyx()xxxx2xx22()xxxx23.()f xx函数的导数()()yf xxf xxx2222()xxxxxx 220|yxxxyyx 表明：当时，随着 的增加，越来越大，减少得越来越慢x说明随着 的变化，切线的
2、斜率也在变化22(,)2yxyxx yx 表示函数的图像上点处的斜率为2x2xx它在时刻 的瞬时速度为2yx 则可以解释为某物体做变速运动2yx若表示路程关于时间的函数20|xxyyx当时，随着 的增加，越来越大，增加得越来越快0lim(2)xxx 0limxyyx 2233()xxxx 3223333()()xxxxxxxx 33()xxxx()()yf xxf xxx34.()f xx函数导数x这说明随着 的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数2323(,)3yxyxx yx 表示函数的图像上点处切线的斜率为23x220lim33()xxxxx 0limxyyx 21xxx21x()()
3、xxxx xxx11xxxx()()yf xxf xxx15.()f xx函数的导数201limxxxx 0limxyyx 2yx 即：11(1)yx 切线方程为(1)1kf 切线的斜率21()fxx 解：1(1,1)yx求出曲线在点处的切线方程思考1xxx 12 x()()()xxxxxxxxxx xxxx()()yf xxf xxx6.()f xx函数的导数()xxxxxxx 01limxxxx 0limxyyx 1.()(),()0f xc cfx若为常数则5.()(0,1),()lnxxf xaaafxaa若则1()ln()f xxfxx若，则基本初等函数的导数公式12.()(,0)(
4、)f xxQfxx若，则()()xxf xefxe若，则3.()sin,()cosf xxfxx若则16.()log(0,1),()lnaf xx aafxxa若则4.()cos()sinf xxfxx 若，则232(1)(2)logyxyx例求下列函数导数1.的1ln2x1323x21323x23(1)()yx解：2(2)(log)yx00010205%()()()(1 5%)0110(0.01)?(1.051.629,ln1.050.0488)tPtp tpptp假设某地在年间的年均通货膨胀率为，物价单位：元 与时间单位：年之间的关系为其中为时的物价。假定某种商品的，那么在第个年头，这种商
5、品的价例格上涨的速度大约是多少 精确到元/年参考数：2.据100.08/在第个年头，这种商品的价格约以元 年的速度上涨0.0810(10)1.05 ln1.05p()1.05 ln1.05tp t解：1.629 0.04883444121(1)(2)(3)31(4)()(5)log(6)log2xxyyxyxyyxyx1.求下列函数的导数练习1(6)ln2yx 1(5)ln4yx 1(4)()ln22xy (3)3 ln3xy 134(2)3yx 5(1)4yx 解：132(7)(8)(9)51(10)sin(11)lg(12)2xyxyxyyxyxy 1.求下列函数的导数(12)0y 1(1
6、1)ln10yx(10)cosyx(9)5 ln5xy 121(8)2yx 2(7)3yx 解：56214(13)cos(14)(15)21(16)()(17)log(18)log8xxyxyxyyyxyx1.求下列函数的导数1(18)ln4yx 1(17)ln2yx 1(16)()ln88xy (15)2 ln2xy 156(14)5yx(13)sinyx 解：52(1)3(2)ln3(3)sin2(4)0 xyxxyxxyxxyex2.求下列函数在给定点的导数在处的导数在处的导数在处的导数在处的导数00|1xye2|cos21xy233|2xy43|5 3405xy 4(1)5yx 解：1
7、(2)yx(3)cosyx(4)xye cos(,0)2yx3.求曲线在点处的切线方程2yx 即：01()2yx 切线方程为sin12k 切线的斜率sinyx 解：12(4,2)yx4.求曲线在点处的切线方程114yx即：12(4)4yx切线方程为1211424k切线的斜率1212yx 解：二、导数的四则运算法则2()()()()()()()()f xxg xxf xg xf xg xfxg x设，计算与它们与和有什么关系()()()()f xg xfxg x探究()()f xg xy21xx 2()2xxxxx 22()()()yxxxxxxxx2()()yf xg xxx设()()1g x
8、x2()()2fxxx又21x0lim(21)xxx ()()()()f xg xfxg x()()1g xx2()()2fxxx又21x0lim(21)xxx ()()f xg xy22()()()yxxxxxxxx21xx 2()2xxxxx 2()()yf xg xxx设3(1)3(2)2cosxyxxyx例求下列函数的数3.导2 ln2sinxx(2)(cos)xx(2)(2cos)xyx231x3()()(3)xx3(1)(3)yxx解：()()()()f xg xfxg x2()()()()()()0)()()f xfx g xf x g xg xg xg x()()c f xc
9、fx322sin(1)(2)xxyx eyx例求下列函数的导函4.数233xxx ex e()()()()()()f x g xfx g xf x g x33()()xxxex e3(1)()xyx e解：32 cos4sinxxxx24cos2 sin2xxxxx2222(sin)sin()2()x xxxx2sin2()xx22sin(2)()xyx52841%()()(80100)100(1)90%(2)98%txc xxx日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水的净化度的提高，所需净化费用不断增加。已知将水净化到纯净度为时所需费用 单位：元 为求净化到下列例纯净度时，所需净化费用的瞬
10、时变率：5.化98%1321/净化到纯净度为时，净化费用的瞬时变化率是元 吨25284(2)(98)1321(10098)c90%52.84/净化到纯净度为时，净化费用的瞬时变化率是元 吨25284(1)(90)52.84(10090)c25284(100)x2(5284)(100)5284(100)(100)xxx15284()100 x5284()()100c xx解：这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快90%25大约是净化到纯净度为左右时净化费用变化率的倍(98)25(90)98%cc它表示净化到纯净度为左右时净化费用的变化率()f x函数在某点处导
11、数的大小表示函数在此点附近变化的快慢322(1)234(2)3cos2(3)lnln(4)(2)(5)(6)tanxxyxxyxyexxyxxxyyxx1.求下列函数的导数21cos x练习21 ln xx3122532xx(3)lnxxeyexx(2)3sin2 ln2xyx 2(1)66yxx 解：5322(4)(2)yxx21ln(5)xxxyx 2cos cossin(sin)cosxxxxxsin(6)()cosxyx3222(7)21(8)3sin3(9)2 lg1(10)(2)(11)(12)lntanxxxyxxyxyxxyxx eyyxx1.求下列函数的导数21sin x 2
12、(42)xxxe2(9)2 ln2lgln10 xxyxx(8)3cos3 ln3xyx 43(7)34yxx 解：2(10)(22)(2)xxyxexx e 22 ln(11)lnxxxyx 2sin sincos cossinxxxxxcos(12)()sinxyx252321cos(13)1(14)(15)lgsin(16)()ln(17)(18)2xxxxyxxyyexxxyxxxyyx1.求下列函数的导数22 lgln10(15)lgxxxyx sincos(14)xxxye 133225(13)32yxx 解：22(16)(1)ln1yxxx 2cossin(17)xxxyx 1l
13、n2xxx21 22 ln(18)(2)xxxxxy 23(1,4)yxx2.求曲线在点处的切线方程5yx 即：4(1)yx 切线方程为232 111k 切线的斜率232yxx 解：00001.2.3.4.判断是否为切点求导函数求切线的斜率点斜式写切线方程三、简单复合函数的导数()()()xuxyf uug xyf g xyyu一般地，对于由函数和复合而成的函数3(1)sin2(2)(35)yxyx例求下列函数的导数6.2cos2x29(35)xcos2u(sin)(2)uxxuxyyu(1)2sinuxyu解：原函数由和复合而成233u3()(35)uxxuxyyu3(2)35uxyu原函数
14、由和复合而成0.0510.05xe 221x0.051(3)(4)ln(21)xyeyx例函6.求下列数的导数()(0.051)uex xuxyyu(3)0.051uuxye 原函数由和复合而成(0.05)ue 12u(ln)(21)uxxuxyyu(4)21lnuxyu原函数由和复合而成()()218sin()332ymmtsytyts某个弹簧振子在振动过程中的位移 单位：与时间 单位：之间的关系为，求函数 在时导数，并解释它的实际意义例7.218cos3u2(18sin)()32uttutyyu218sin()32218sin32ytutyu解：由和复合而成30/tsmm s它表示当时，弹
15、簧振子振动的瞬时速度为032|12 cos(3)32ty 212 cos()32t312 cos232()(1)3ln(1)f xxfxxf例已，求8.知(1)2f(1)32(1)3ff3(1)6f 23()32(1)fxxfxx解：1()()(1)3()Rf xfxxfxf x已知定义在的函数的导函数是，且，求函数的解析式例9.21()ln2f xxxc解：据题意设1(1)ln132fc由52c 215()ln22f xxx1c 解之得：0(0)022fc由2()()2 ln2(0)2()xRf xfxxff x已知定义在 的函数的导函数是，且，求函数的解析式例10.31()23xf xxc
16、解：据题意设31()213xf xxce解之得：21(1)12fece由2()()(2)(1)2()xRf xfxexxfef x已知定义在 的函数的导函数是，且，求函数的解析式例11.2()xf xx ec解：据题意设2()xf xx ee322(1)(2)(1 2)(3)log(21)31yyxyxx1.求下列函数的导数练习2(21)ln2x323(31)x 26(1 2)x 3212()(31)(31)2xx 12(1)(2(31)yx解：2(2)3(1 2)(1 2)yxx(21)(3)(21)ln2xyx 213(4)cos(5)sin(3)(6)232xxyyxy1.求下列函数的导
17、数222ln2x3sin3x1sin33x(4)sin()33xxy 解：3(sin3)x 33(5)cos(3)(3)22yxx21(6)2ln2(21)xyx23(7)cos(sin2)(8)(lg2)yxyx1.求下列函数的导数2cos2sin(sin2)xx sin(sin2)cos2(2)xxx (7)sin(sin2)(sin2)yxx 解：1321(lg2)232 ln10 xx13(lg2)3 ln10 xx132(8)(lg2)(lg2)3yxx12ln(3)(9)(10)ln1xxyxyx1.求下列函数的导数11(ln)xxxxx(1)ln(1)ln xxexx(1)ln(
18、)xxe1ln(9)()xxye2221(3)(ln1)ln3(2ln)(ln)3(8)(ln1)xxxxxxyx 22211(ln1)ln3(2ln)(ln1)xxxxxx222ln1 2lnln3(ln1)xxxxx 211(1)(2)ln(52)12xyexyxx2.求下列函数在给定点处的导数在处的导数在处的导数15|7xy552x2 212xe 21(1)(21)xyex解：121212|2xye (52)(2)52xyx 3231(,1)3yx3.求函数在点处的切线方程13yx即：213yx 切线方程为232(31)13k切线的斜率23(31)x231(31)(31)3yxx解：32
19、224(1)235(2)(3)2log1xyxxyyxxx1.求下列函数的导数5.2习题1(3)2 ln2ln2xyx 2224(2)(1)yxx 2(1)66yxx 解：351sin(4)(5)(6)sinsincosxxxyx eyyxxx21(sincos)xx2323sin(1)cos(5)(sin)xxxxyx 45(4)(5)xyxx e 解：2cos(sincos)sin(cossin)(6)(sincos)xxxxxxyxx 99(1)(1)(2)(3)(23)sin(25)21xyxyyxxx2.求下列函数的导数2sin(25)(46)cos(25)xxx321(21)xx2
20、1(21)21xxxx 1221(21)(21)xxxx 1221121(21)(21)2(2)(21)xxxxyx 9899(1)x98(1)99(1)(1)yxx解：(3)2sin(25)(23)cos(25)(25)yxxxx23cos(32)(4)(5)(31)ln(3)(6)32xxxyyxxyex2.求下列函数的导数13(3 ln33)xxxe21(5)2(31)(31)ln(3)(31)(3)3yxxxxxx2(31)6(31)ln(3)xxxx23 sin(32)cos(32)2xxxx2sin(32)(32)cos(32)(4)2xxxxyx 解：33(6)3 ln33(3)
21、xxxxyeex 31(7)(8)lg(2)xxyxyx2.求下列函数的导数(ln1)xxxln(ln)xxexx ln()xxeln(7)()xxye解：23 ln10 lg(2)2(31)2 ln1031 lg(2)xxxxxx 1122231(31)lg(2)(31)2ln10lg(2)xxxxx1122211(31)(31)lg(2)(31)(2)22 ln10(8)lg(2)xxxxxxyx 200()13 82()4f xxxfxx3.已知函数，且，求03 2x 得00()82 24fxx 由()82 2fxx 解：ln(1)(2)(1,0)yxx4.已知函数求这个函数的导数求这个
22、函数的图像在点处的切线方程1yx所求切线方程为(2)ln1 1 1k (1)ln1yx 解：sin(,0)xyMx5.求曲线在点处的切线方程11yx 即：1()yx 所求切线方程为1 2cossinxxxyx 解：2cossink切线斜率()()()sincos()44f xf xfxxf xx6.已知函数满足，求在处的导数2122()4212f()()cossin4444ff()()cossin4fxfxx解：121222()1xf xexPP 7.设函数的图像与 轴相交于点，求该曲线在点 处的切线方程yx 切线方程:(0)1kf 切线斜率()xfxe(0,0)P点 的坐标为0 x 解之得(
23、0)0f10 xe解：由2()23ln()()02xf xxxf xfx8.已知函数，求的导数，并求出的解集|1x x所求解集为22300 xxx即3200 xxx得()0fx由3()2()0fxxxx解：1x 解之得：(1)(03)0 xxx即2()()3()2(1)2(2)3(3)38lmtsl tttlttsm9.设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程单位：与时间单位：之间的关系为求 关于 的导数，并解释它的实际意义当时，求运动员的滑雪速度当运动员的滑雪路程为时，求此时的滑雪速度(4)17.5/vlm s194()4tt 或舍去23(3)2382tt(2)(3)13.5/vlm s
24、34/2tvtm s表示运动员在时间 时的滑雪速度3(1)()42l tt解：2(0,1)210axyexya 10.设曲线在点处的切线与直线垂直，求 的值14a 122a 据题意知0|2xya22(2)2axaxyeaxa e解：探究与发现ln(1,0)yx求曲线在点处的切线方程1yx 解：111k切线的斜率1yx切线的方程为1lnxx(1)x 当且仅当时取等号xye 解：(0,1)xye求曲线在点处的切线方程探究与发现01ke切线的斜率1yx切线的方程为1xex(0)x 当且仅当时取等号sin(0,0)yx求曲线经过原点的切线的方程探究与发现cos01k切线的斜率yx切线的方程为sin0
25、xxx，当时cosyx 解：00(,)xT x e解：设切点为(0,0)xye求曲线经过原点的切线的方程探究与发现0 xke切线的斜率000()xxyeexx切线的方程为xeex(1)x 当且仅当时取等号xye(0,0)切线经过原点0000(0)xxeex 01xyex切线的方程为00(,ln)T xx解：设切点为ln(0,0)yx求曲线经过原点的切线的方程探究与发现01kx切线的斜率0001ln()yxxxx切线的方程为lnxxe()xe当且仅当时取等号1yx(0,0)切线经过原点00010ln(0)xxx 0 xe1yxe切线的方程为31.(1,0)yx求曲线经过点的切线的方程300(,)
26、T x x解：设切点为23yx 习题203kx切线的斜率320003()yxxxx切线的方程为(1,0)切线经过点3200003(1)xxx 3200003(1)xxx 00302xx或270(1)4yyx切线的方程为或32.33(1,0)yxx求曲线经过点的切线的方程3000(,33)T x xx解：设切点为233yx 2033kx切线的斜率32000033(33)()yxxxxx切线的方程为(1,0)切线经过点3200230 xx00302xx或1533(1)4yxyx 切线的方程为或320000033(33)(1)xxxx 奇函数的导函数是偶函数x把等式的两边同时对“”求导探究与发现xD
27、 则，都有()f xD若是定义在上的奇函数()()fxf x()()fxfx 得()()fxfx即()yfx函数是偶函数偶函数的导函数是奇函数x把等式的两边同时对“”求导探究与发现xD 则，都有()f xD若是定义在上的偶函数()()fxf x()()fxfx得()()fxfx 即()yfx函数是奇函数周期函数的导函数是周期函数x把等式的两边同时对“”求导探究与发现xD 则，都有()f xD若是定义在上的周期函数()()f xTf x()()fxTfx得()yfx函数是周期函数T且周期为拓广与延申1.()()0()yf xDfxyf xD若函数在区间上满足则函数在区间上是凹函数2.()()0(
28、)yf xDfxyf xD若函数在区间上满足则函数在区间上是凸函数()lnf xx是凸函数21()0fxx 1()fxx()lnf xx例如：2()f xx例如：()2fxx()20fx2()f xx是凹函数2200221(,)xyP xyab求椭圆在切点处的切线的方程拓广与延申200020()b xyyxxa y 切线方程为22b xya y 22yyxba 即22220 xyyab得：22221xyxab把方程的两边对 求导2200221xyab2020b xka y 切线的斜率22222200b xa ya b2222220000b x xa y yb xa y即2222220000a
29、y ya yb x xb x 即222200b x xa y ya b切线方程为00221x xy yab即拓广与延申200020()b xyyxxa y切线方程为22b xya y22yyxba即22220 xyyab得：22221xyxab把方程的两边对 求导2200221xyab2020b xka y切线的斜率22222200b xa ya b2222220000b x xa y yb xa y即2222220000a y ya yb x xb x即222200b x xa y ya b切线方程为00221x xy yab即2200221(,)xyP xyab求双曲线在切点处的切线的方程
30、拓广与延申000()pyyxxy切线方程为pyy22yyp 得：22ypxx把方程的两边对 求导2002ypx0pky切线的斜率2000y yypxpx即00()y yp xx切线方程为2002(,)ypxP xy求双曲线在切点处的切线的方程2000y ypxpxy即00()y yp xx000()()()()f xf xfxxx近似计算公式：10(0.01)例：求的近似值 精确到12()f xx令121()2fxx(10)(9)(9)(109)fff 09x 取01()6fx0()3f x13(109)63.17sin0.01(0.01)例：求的近似值 精确到()sinf xx令()cosfxx(0.01)(0)(0)(0.01 0)fff 00 x 取0()1fx0()0f x0 1(0.01 0)0.01谢谢谢谢观看观看
