1、5.1 导数的概念及其意义第一课时第一课时平均速度瞬时速度割线斜率切线斜率2()4.94.811h ttt 2()f xx问题1 高台跳水运动员的速度高台跳水运动员的速度问题2 抛物线的切线的斜率抛物线的切线的斜率新课导入时间段时间段t0,t0+t内的平均速度内的平均速度当当t=t0时时的瞬时速度的瞬时速度000000)()()(lim)(tttthtthtvttthtthv)()(00 xxfxxfkx)()(lim0000 xxfxxfk)()(00函数图象在点函数图象在点P0(x0,f(x0)处的斜率处的斜率解决解决这这两类问题时有什么共性？两类问题时有什么共性？思考1平均速度瞬时速度割
2、线斜率切线斜率2()4.94.811h ttt 2()f xx问题1 高台跳水运动员的速度高台跳水运动员的速度问题2 抛物线的切线的斜率抛物线的切线的斜率000000)()()(lim)(tttthtthtvttthtthv)()(00 xxfxxfkx)()(lim0000 xxfxxfk)()(00平均变化率平均变化率瞬时变化率瞬时变化率都采用了由都采用了由“平均变化率平均变化率”逼近逼近“瞬时变化率瞬时变化率”的思想方法的思想方法.求极限求极限逼近逼近求极限求极限逼近逼近思考2 一般地，对于函数一般地，对于函数yf(x)，你能用，你能用“平均变化率平均变化率”逼近逼近“瞬瞬时变化率时变化
3、率”的思想方法研究其在某点（如的思想方法研究其在某点（如xx0）处的）处的瞬时变化率吗瞬时变化率吗？为了研究函数为了研究函数 yf(x)在在 x x0 处的瞬时变化率，我们可以研究哪处的瞬时变化率，我们可以研究哪个范围内函数值的个范围内函数值的平均变化率呢平均变化率呢？新课讲授自变量自变量 x 从从 x0 变化到变化到 这个过程中，这个过程中，函数值的平均变化率函数值的平均变化率如如何表示呢？何表示呢？0 xx00()()yf xxf xxx 自变量自变量x：0 x0 xxx函数值函数值y：0()f xx0()f x00()()yf xxf x 函数 yf(x)函数函数yf(x)从从 x0 到
4、到 的的平均变化率平均变化率：0 xx函数函数 yf(x)在在 xx0 处的瞬时变化率该如何表示呢？处的瞬时变化率该如何表示呢？逼近取极限瞬时速度切线斜率2()4.94.811h ttt 2()f xx问题1 高台跳水运动员的速度高台跳水运动员的速度问题2 抛物线的切线的斜率抛物线的切线的斜率000000)()()(lim)(tttthtthtvtxxfxxfkx)()(lim0000瞬时变化率瞬时变化率00()()yf xxf xxxx00 x0 xx 无限趋近于无限趋近于？无限趋近于函数 yf(x)逼近取极限(0)(0)|.yfxfxxxx考查考查 f(x)|x|在在 x0 附近的变化情况
5、附近的变化情况.举反例：当当 时，时，当当 时，时，0 x 0 x 1.yxxx 1.yxxxxyx当当 无限趋近于无限趋近于0时，平均变化率时，平均变化率 是否一定会无限趋近于一是否一定会无限趋近于一个确定的值呢？个确定的值呢？不一定导数（瞬时变化率）定义：如果如果当当 无限趋近于无限趋近于 0 时，平均变化率时，平均变化率 无限趋近于一个确定的无限趋近于一个确定的值，值，即即 有极有极限限，则，则称称_，并把这个确定的值叫做并把这个确定的值叫做_(也称为也称为_)，记作记作_或或_.用用极限符号极限符号表示这个定义，就是表示这个定义，就是_ xyxyx0()fx0|x xy00000()(
6、)()limlim.xxf xxf xyfxxx 导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.y f(x)在在x x0处处可导瞬时变化率 y f(x)在在xx0处的处的导数思考3 根据导数的定义，你能用导数来重述跳水运动员速度问题根据导数的定义，你能用导数来重述跳水运动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？和抛物线切线问题的结论吗？平均速度瞬时速度割线斜率切线斜率2()4.94.811h ttt 2()f xx问题1 高台跳水运动员的速度高台跳水运动员的速度问题2 抛物线的切线的斜率抛物线的切线的斜率000000)()()(lim)(tttthtthtvttthtthv)()(00 xxfx
7、xfkx)()(lim0000 xxfxxfk)()(00实际上，导数可以描述许多运动变化事物的瞬时变化率.比如效率、国内生产总值的增长率等.例题1 设设 ，求，求1()f xx(1).f 分析：分析：因为因为00000()()()limlim,xxf xxf xyfxxx 所以所以00(1)(1)(1)limlim.xxyfxffxx 为了便于计算，我们可以先求出为了便于计算，我们可以先求出 ，再对它取极限，再对它取极限.yx例题巩固解：(1)(1)yfxfxx111xx1.1x 001(1)limlim()1xxyfxx 1.思考4 你能总结出你能总结出求函数求函数yf(x)在在 xx0
8、处导数处导数的步骤吗？的步骤吗？例题1 设设 ，求，求1()f xx(1).f 例题巩固求函数求函数yf(x)在在 x1处导数处导数求求y|x1查看导数定义，思考题目还可以怎么表述？第一步，写出写出 并化简；并化简；00()()f xxf xyxx第二步，求极限求极限 ，若若 存在，则存在，则0limxyx 0limxyx 00()lim.xyfxx 思考4 你能总结出求函数你能总结出求函数yf(x)在在 xx0 处导数的步骤吗？处导数的步骤吗？2()715(0 8).yf xxxx 这个实际问题与导数有什么关系？这个实际问题与导数有什么关系？例题2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品
9、，需要对将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热原油进行冷却和加热.已知在第已知在第 x h时，原油的温度（单位：时，原油的温度（单位：）为）为 计算第计算第2 h与第与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义的意义.例题巩固导数是瞬时变化率的数学表达.解：解：在在第第2h和和第第6h时，时，原油温度的瞬时变化率原油温度的瞬时变化率就是就是 和和(2)f(6).f(2)(2)yfxfxx22(2)7(2)15(27 2 15)xxx 3,x 00(2)limlim(3)xxyfxx 所以所以3.因为因为同理，同理，(6)
10、5.f 在本题中 是原油温度在时刻 x0 的瞬时变化率，它反映的是原油温度在时刻 x0 附近的变化情况.00()(08)fxx 表示在第2h时，原油温度的瞬时变化率为3/h.这说明在第2h附近，原油温度大约以3/h的速率下降.(2)3f 导数(瞬时变化率)为负，体现了下降的变化趋势.(6)5f(2)3f 和和 在这个实际问题中的意义是什么？在这个实际问题中的意义是什么？表示在第6h时，原油温度的瞬时变化率为5/h，这说明在第6h附近，原油温度大约以5/h的速率上升.(6)5f 导数(瞬时变化率)为正，体现了上升的变化趋势.瞬时加速度就是速度的瞬时变化率.例题3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，
11、假设一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度时汽车的速度（单位：（单位：m/s）为）为 yv(t)t26t60，求汽车在第，求汽车在第2s与第与第6s时时的瞬时加速度，并说明它们的意义的瞬时加速度，并说明它们的意义.例题巩固 速度与瞬时加速度的关系是什么？速度与瞬时加速度的关系是什么？解：在第2s和第6s时，汽车的瞬时加速度就是 和(2)v(6).v(2)(2)yvtvtt22(2)6(2)60(26 260)ttt 2,t 00(2)limlim(2)ttyvtt 所以2.因为同理，(6)6.v 在本题中 是 t0时刻汽车的瞬时加速度，反映了速度在 t0时刻附近的变化情况.00(
12、)(0)v tt 表示在第2s时，汽车的瞬时加速度是2m/s2，这说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s.(2)2v导数(瞬时变化率)为正，体现了增加的变化趋势.(6)6v(2)2v 和和 在这个实际问题中的意义是什么？在这个实际问题中的意义是什么？表示在第6s时，汽车的瞬时加速度是-6m/s2，这说明在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s.(6)6v 导数(瞬时变化率)为负，体现了减少的变化趋势.瞬时速度是位移的瞬时变化率，瞬时加速度是速度的瞬时变化率.根据路程关于时间的函数求速度与加速度是一类基本问题，它和求已知曲线的切线这两类问题直接促进了导数的产生.课堂小结知识层面导数的概念；根据定义求给定函数在某点处导数的步骤；应用导数的意义对实际问题进行了分析和解释.思想方法层面运动变化的观点；极限思想.
