1、()函数的最大 小 值()三、函数的最大 小 值0()xyf x如果是函数的极小值点246()()()()f xf xf xyf x，是函数的极大值()f a最大值是00()xxf x那么在附近找不到比更小的值00()xxf x那么在附近找不到比更大的值0()xyf x如果是函数的极大值点0()()f xyf x那么不大于函数在此区间上的所有函数值0()xyf x如果是某个区间上函数的最小值点0()()f xyf x那么不小于函数在此区间上的所有函数值0()xyf x如果是某个区间上函数的最大值点135()()()()f xf xf xyf x，是函数的极小值3(),()yf xa bf x函
2、数在区间上的最小值是,()(),a byf xyg xa b观察上的函数和的图像，它们在上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？,()a byf x如果在区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值最小值函数的所有极小值和端点的函数值中的最小者最大值函数的所有极大值和端点的函数值中的最大者31()440,33f xxx求函数在区间上的最大值与最小值例6.4(2)3f 最小值为22xx 解之得：或(2)()()()yf xf af b将函数的各极值与，比较，其中最大的一个是最大值，最小的是最小值()0fx由2()4(2)(2)fxxxx解：()0,3(0)4f
3、xf函数在上的最大值为(1)()(,)yf xa b求函数在区间上的极值(),yf xa b求连续可导函数在区间上的最值0单调递减(0 2)，2(2,3)单调递增13434101lnxxx当时，1x 解之得101lnxxx当时，()0fx由22111()xfxxxx 1()1 lnf xxx 令11 ln0 xx()(1)0f xf(0,1)(1,)10单调递减单调递增01ln101lnxxxxxx 请你想想下面两个不等式之间的联系当时，当时，思考观察右图，我们发现：112x 得149()0,2()1224f xf 函数在上的最小值()0fx由()121fxx解：21.(1)()620,2f
4、xxx求函数在区间上的最大值和最小值(2)20f最大值为练习01(0,)121121(,2)122单调递减单调递增2492420()4,4(3)54f xf函数在上的最大值为2()327fxx解：()0fx由33xx 得或(3)54f 最小值为31.(2)()27 4,4f xxx求函数在区间上的最大值和最小值4(3,4)44单调递增54单调递减54单调递增443(4,3)(3,3)342()123fxx解：()0fx由22xx 得或311.(3)()6 12,33f xxx求函数在区间上的最大值和最小值1(),3(2)223f xf函数在上的最大值为155()327f 最小值为131(,2)
5、32(2,3)3单调递增单调递减552722152()33fxx解：()0fx由11xx 得或31.(4)()32,3f xxx求函数在区间上的最大值和最小值()2,3(2)2f xf 函数在上的最大值为(3)18f 最小值为2(2,3)3单调递减218(0,)1lnxxx 2.证明：当时，1x 解之得：1lnxx ()(1)0f xf11()1(0)xfxxxx 则()1 ln(0)f xxxx 证明：令()0fx由(0,1)1(1,)单调递减单调递增0()(1)(1)()()(2)()(3)()()xf xxef xf xf xf xa aR给定函数判断函数的单调性，并求的极值画出函数的大
6、致图像求出方程的解的个数例7.2x 解之得：22()(2)xf xfe 当时，取极小值(2,)在区间单调递增(2)xxe(1)xxexe()(1)(1)()xxfxxexeR解：函数的定义域为()0fx由()(,2)f x 在区间上单调递减，(,2)2(2)，单调递减单调递增201.0ae 当时，解为个()fx()0fx2()(2,)(1,0)(0,1)f xAeBC函数的图像经过，1()0 xf x 当时，1()0 xf x 当时，(2)()01f xx 令，解之得(3)()()f xayf xya方程的解的个数是曲线与直线的交点的个数()0 xf x 当时，()xf x 当时，203.02
7、ea当时，解为个2012.0aea 当或时，解为 个27.39e 10.368e(5)()f x画出的大致图像(4)()f x确定的图像所经过的一些特殊点，以及图像的变化趋势(3)()()()()fxf xfxf x用的零点将的定义域划分成若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出的单调性与极值(2)()()fxfx求导数及函数的零点(1)()f x求出函数的定义域()f x按如下步骤画函数的大致图像函数值的变化趋势001xxe 当时，1xxe 当时，xxe 当时，10 xx当时，10 xx当时，1lnxx当时，1lnxx当时，lnxx 当时，1xx 当时，0001xx 当时，0 xxe 当
8、时，0lnxx当时，00000()()(1)lim()0lim()0(2)()()()0()0()(3)lim()()()()limlim()()xxxxxxxxxxf xg xf xg xf xg xg xg xfxA Ag xf xfxAg xg x若函数、满足下列条件，函数、是可导函数，可为实数，也可为则0洛必达法则0lim()xx021lim1xxx00lnlimlnlim1xxxxxx例：零比零型100sincoslimlim1xxxxx例：1111lnlimlim11xxxxx例：001limlim1xxxxeex例：10000000()()(1)lim()lim()(2)()()
9、()0()0()(3)lim()()()()limlim()()xxxxxxxxxxf xg xf xg xf xg xg xg xfxA Ag xf xfxAg xg x 若函数、满足下列条件，函数、是可导函数，可为实数，也可为则0 00 000化为或化为无穷大比无穷大型1limlimxxxxxeeln1limlimxxxxx()lnf xxx作函数的图象01.(0,)定义域为1xe得()0fx由02.()ln1fxx1()0 xf x当时，()fxx()f x1e1(0,)e1(,)e单调递增单调递减(1)0flim()xf x 003.lim()0 xf x01()0 xf x当时，1e
10、拓广与探究o01.()(1)xfxxe拓广与探究()xf xxe作函数的图象()0fx由1x 得lim()xf x 1e(0)0fx()fx()f x(,1)1(1,)单调递减单调递增0lim()xxe1limxxelimxxxe02.lim()limxxxf xxe012.()xxfxe拓广与探究()xef xx作函数的图象()0fx由1x 得001limxxlimxxe03.lim()limxxxef xx01.(,0)(0,)定义域为(,0)1(1,)x()fx()f x单调递减单调递增(0,1)单调递减00lim()limxxxef xx 00lim()limxxxef xx01lim
11、xx lim()limxxxef xxlim1xxe e011.()xxfxe拓广与探究()xxf xe作函数的图象()0fx由1x 得1e(0)0fx()fx()f x(,1)1(1,)单调递减单调递增0limlimxxxxe02.lim()limxxxxf xe lim()limxxxxf xe1limxxe021 ln2.()xfxx拓广与探究ln()xf xx作函数的图象()0fx由xe得1ex()fx()f x(0,)ee(,)e 单调递减单调递增0001lim lnlimxxxx000ln3.lim()limxxxf xx lnlim()limxxxf xx1limxx01.(0,
12、)定义域为02ln12.()(ln)xfxx拓广与探究()lnxf xx作函数的图象()0fx由xe得011limlnxx11lim()limlnxxxf xx01.(0,1)(1,)定义域为(0,1)e(,)e x()fx()f x单调递减单调递增(1,)e单调递减11lim()limlnxxxf xx 0003.lim()limlnxxxf xxlimxx lim()limlnxxxf xx1lim1xx e001limlimlnxxxx11limlnxxo20.8()10.26(1)(2)rrcmmLcm某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料。瓶子的制造成本是分，其中单位：是瓶子的半径。已
13、知每出售的饮料，制造商可以获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？例8.()0fr令(2)0f这时，利润是负数2r 解之得：2()0.8(2)frrr06r324()0.20.83f rrr解：每瓶饮料的利润2 cm半径为时，利润最小6 cm半径为时，利润最大(0,2)2(2,6)6单调递减单调递增16151445320.8()3rr(0,)sinxxx1.证明：当时，练习0sinxxx即当时，0()(0,)f x函数在上递增(0)x 当且仅当时取等号0(0)x()sinf xxx证明：令()(0)f xf()1 co
14、sfxx 则22.a m如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为为使所用材料最省，圆的直径应为多少？8(0)ax2()24xaxl xxx铁丝的长8axxx矩形的两条邻边的长分别为，28xa矩形的面积为28x半圆的面积为2xx解：设圆的直径为，则圆的半径为2(1)4axx84a当圆的直径为时，所用材料最省8()4axl x时，取得最小值8()4ax得：负值舍去22()104al xx 由84a8(0,)4a88(,)4aa单调递减单调递增3(1)()21(2)()cos(0)2(3)()24(4)()24f xxf xxxxf xxf xxx 1.判断下列函数的单调性，并求出
15、单调区间5.3习题()(0,)2f x函数在单调递增(1)()20fx 解：()0fx02x(2)()1 sinfxx()f xR函数在单调递减(3)()20fx()f xR函数在单调递增2(4)()640fxx()f xR函数在单调递增22.(1)()24f xxx判断函数的单调性，并求出单调区间(1,)在上递增()0fx由(1)()22fxx解：()(,1)f x 函数在上递减单调递减单调递增1x 解之得：(,1)1(1,)22.(2)()233f xxx判断函数的单调性，并求出单调区间(1)()43fxx解：()0fx由34x 解之得：3()(,)4f x函数在上递减3(,)4在上递增单
16、调递增单调递减3(,)4343(,)432.(3)()3f xxx判断函数的单调性，并求出单调区间2(1)()33fxx解：()0fx()(,)f x 函数在上单调递增322.(4)()f xxxx判断函数的单调性，并求出单调区间2(1)()321fxxx解：()0fx由113xx 解之得：或1()(,1)(,)3f x 函数在上递增1(1,)3在上递减(,1)11(1,)3131(,)3单调递增单调递减单调递增(1)()0(2)()(1)yf ttyf tt3.如图，已知汽车在笔直的公路上行驶如果表示时刻 时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于 的点如果表示时刻 时汽车的速度，那么中标出点的
17、意义是什么？(1)()0vf t解：123456ttttttt汽车在、处加速度为零tt1t2t3t4t5t6t(2)()vf ta()(1)()(2)()(3)()(4)()yfxyfxyfxf xf x4.导函数的图像如图所示，在标记的点中，在哪一点处导函数有极大值？导函数有极小值？函数有极大值？函数有极小值？5(4)()xxyf x在处，函数有极小值3(3)()xxyf x在处，函数有极大值14(2)()xxxxyfx在和处，导函数有极小值2(1)()xxyfx解：在处，导函数有极大值25.(1)()62f xxx求函数的极值112x 解之得：147()1224f xx 函数在处取得极小值
18、()0fx由()121fxx解：单调递减单调递增1(,)121121(,)12 35.(2)()12f xxx求函数的极值2()312fxx解：()0fx由22xx 解之得：或()216f xx 函数在处取得极大值()216f xx 函数在处取得极小值单调递减单调递增单调递增1616(,2)2(2,2)2(2,)35.(3)()6 12f xxx求函数的极值()0fx由()222f xx 函数在处取得极大值2()312fxx解：22xx 解之得：或()210f xx 函数在处取得极小值单调递减单调递增单调递增(,2)2(2,2)2(2,)221035.(4)()48f xxx求函数的极值()0
19、fx由()4128f xx 函数在处取得极小值2()348fxx解：44xx 解之得：或()4128f xx 函数在处取得极大值单调递减单调递增单调递减128128(,4)4(4,4)4(4,)26.(1)()62 1,1f xxx求函数在区间上的最大值和最小值4724最小值为()121fxx解：()0fx由112x 解之得：()1,19f x函数在上的最大值为472411(1)12，1121(,1)12179单调递减单调递增36.(2)()12 3,3f xxx求函数在区间上的最大值和最小值()0fx由2()312fxx解：22xx 解之得：或()3,316f x函数在上的最大值为16最小值
20、为3单调递增(3,2)92(2,2)2(2,3)316单调递减16单调递增9316.(3)()6 12,13f xxx求函数在区间上的最大值和最小值()0fx由2()312fxx解：22xx 解之得：或1269(),1327f x函数在上的最大值为5最小值为5单调递减26927131(,1)3136.(4)()48 3,5f xxx求函数在区间上的最大值和最小值()0fx由2()483fxx解：44xx 解之得：或()3,5128f x函数在上的最大值为117最小值为1171281153(3,4)4(4,5)5单调递增单调递减l7.将一条长为 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形
21、的面积和最小两段铁丝的长度分别为多少？2lx 得22lxl当，即两段铁丝的长度都是时，两个正方形的面积和最小(0)xl221(22)16xlxl22()()()44xlxSf x其面积44xlx则这两个正方形的边长分别为、xlx解：设两段铁丝的长度分别为、()0fx由1()()42lfxx单调递减单调递增232l(,)2ll(0,)2l2l()2lxf x是函数的极小值点，也是最小值点(1)(2)axVxxV8.将一个边长为的正方形铁皮的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒试把方盒的容积表示为的函数多大时，方盒的容积最大？()62aaxx解之得：或舍去()0Vx由22()128Vx
22、xaxa322(2)()44V xxaxa x2(1)()(2)(0)2aV xx axx2axx解：底面正方形的边长为，盒子高()6axV x是函数的极大值点，也是最大值点单调递减单调递增(,)6 2a a6a(0,)6a3227a6ax当时，无盖方盒的容积最大12312111()()nniiniinaaaanxannf xxan9.用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得个数据，。证明：用个数据的平均数表示这个物体的长度，能使这个数据的方差最小11niinan这个结果说明：用 个数据的平均值表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理11()niixaf
23、 xn是函数的极小值点，也是最小值点 11niixan解之得：()0fx由12()()niifxxan解：11niian11(0,)niian11(,)niian单调递减单调递增10041258CqCqpqpqq10.已知某商品的生产成本与产量 之间的关系为，单价 与产量之间的关系为，产量 为何值时，利润最大？84L即当产量为时，利润 最大(0,84)84(84 200)，单调递增单调递减(0200)q21211008qq 21(25)(1004)8qqq21258qq84qL是函数 的极大值点，也是最大值点84q 解之得：0L由1214Lq LRC利润1(25)8qqRqp解：收入4()/3
24、10%40%ab bac11.已知某商品进价为 元/件，根据以往经验，当售价是元 件时，可卖出件，市场调查表明，当售价下降时，销量可增加。现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？458ab当销售价为元/件时，可获得最大利润845()cacbcL xxbb 5()4bax4()(5)c xaxb()()(4)bxL xxa ccb x解：设销售价为，则45()8abxL x是函数的极大值点，也最大值点458abx得()0L x由45(,)8aba458ab455(,)84abb单调递增单调递减12.(1)01xxex 已知，证明：01xxex 即时，0()(0)0 xf xf当时，0(
25、)0 xf x当且仅当时，取得最小值0 x 得()0fx由()1xfxe则:()1xf xex 解 设0(,0)(0,)单调递增单调递减012.(2)0lnxxxxe已知，证明：0lnxxexx当时，单调递增单调递减1x 解之得()0g x由11()1xg xxx()ln(0)g xxx x解：设(1)01xxexx 由知当时,0lnxxx当时,0()(1)10 xg xg 当时,1()1xg x当时，函数取得最小值(0,1)1(1,)32()(0)f xaxbxcxd a求函数的单调区间()f xR函数在 上单调递增()0fx20(1)3abac当时224124(3)bacbac 2()32
26、(0)fxaxbxc a解：1212()(,)(,)(,)f xxxx x函数在、上单调递增在上单调递减()0fx由2233bbacxa 20(2)3abac当时1(,)x1x12(,)x x2x2(,)x 单调递增单调递增单调递减2133bbacxa 得32()(0)f xaxbxcxd a求函数的单调区间2(,)x单调递增单调递减单调递减2x21(,)x x1x1(,)x 2233bbacxa()0fx由2121()(,)(,)(,)f xxxx x函数在、单调递减在单调递增20(2)3abac当时()f xR函数在单调递减()0fx20(3)3abac当时2133bbacxa 得32()
27、(0)f xaxbxcxd a分析函数图象的凸凹性和对称性()(,)3bf xa在上为凹函数3bxa 得()0fx由()62fxaxb2()32fxaxbxc解：(,)3bxa 当时()(,)3bf xa 在上为凸函数()0fx(,)3bxa 当时(1)0a 若()0fx(2)0a 若(,)3bxa 当时()0fx()(,)3bf xa 在上为凹函数(,)3bxa 当时()0fx()(,)3bf xa在上为凸函数()(,()33f xbbfaa函数的图象关于点成中心对称22314(1)(2)PQyxxPQPQP1.已知点 和点是曲线上的两点，且点的横坐标是，点的横坐标是求割线的斜率点 处的切线
28、方程5复习参考题(1)0kf 切线的斜率(4,5)Q(1,4)P(4)5f(1)(1)4f 2()23f xxx解：40y切线方程为(2)()22fxx5(4)34 1PQk(1)2 tan(2)2 lnxyxxyx2.求下列函数的导数2(2)2 ln2 lnxxyxx 22sin cos2cosxxxx21(1)2(tan)cosyxxx 解：2323(3)(2)(31)(4)(21)xyxxyx2.求下列函数的导数2422(21)xxx32262(21)6(21)(21)xxxxx32262(21)3(21)(21)(4)(21)xxxxxyx 23(2)(31)(53)xxx2233(2
29、)(31)6(2)(31)xxxx223(3)3(2)(31)(2)2(31)(31)yxxxxx242(21)6(21)xxxx212sin2(5)cos()(6)xxyexxyx2.求下列函数的导数4cos2sin22xxxx121cos2(2)sin22(6)xxxxyx 21222cos()(21)sin()xexxxxx 2122122cos()sin()(21)xxexxexxx 2122122(5)(21)cos()sin()()xxyexxxexxxx 解：()()yf xyfx3.已知函数的图像是下列四个图像之一，且其导函数图像如图所示则该函数的图像是B选14.(1)(1,0
30、)yxx求曲线在点处的切线方程22yx即2(1)yx切线方程为1|2xky切线的斜率211yx 解：21214.(2)(,4)2xeyx求曲线在点处的切线方程88yx 148()2yx 切线方程为12|8xky 切线斜率为2132(1)xexx212214(21)2xxexxexyx 解：2GMmrmFFrMGFr5.一个距地心为，质量为 的人造卫星，与地球之间的万有引力由公式给出其中为地球质量，为引力常数。求 对于 的瞬时变化率32GMmFr 解：00008020()(min)()(1)()(2)(3)4(3)65()3CCTCtTf tf tffCf tt 6.一杯的热红茶置于的房间里，它
31、的温度逐渐下降，温度单位：与时间单位：之间的关系由函数给出判断的正负，并说明理由的实际意义是什么？如果，你能画出函数在附近图像的大致形状吗？0(2)(3)43 min4/minfC 表明在附近时，红茶温度约以的速度下降(1)()0.f t解：因为红茶的温度在下降tT6532()f xx7.求函数的单调区间0 x 得单调递增单调递减()0fx由132()3fxx解：(0,)0(,0)(0,)在上递增()(,0)f x函数在上递减2()1()4f xxpxqpqxf x8.已知函数，试确定，的值，使得当时，有最小值5q(,)2p 单调递减单调递增(,)2p2p()2pf xx 函数在处取得最小值2
32、px 解之得：()0fx由()2fxxp解：(1)14fpq 12p据题意知2p 解之得：2()()2f xx xcxc9.已知函数在处有极大值，求 的值6c 单调递减单调递增()3cxf x当时，取得极大值3cxxc解之得：或()(3)()0fxxc xc由322()2f xxcxc x解：(,)3c3c(,)3ccc(,)c 单调递增23c(1,1).PABxyABABAOB10.如图，过点作直线，分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于点，当直线在什么位置时，的面积最小？最小面积是多少？021352aABAOB当，即直线的倾斜角是时的面积最小，最小值为单调递增单调递减(0,)1aBa01axya
33、由，得1xaya即：0:1 01yxaABa直线的方程为(,0)1A aa 解：设，则20()aa解之得：或舍去()0S a由2(2)()2(1)a aS aa22(1)aa(1,2)2(2,)121aaa()AOBSS a00(90)lPllOSt11.如图，直线 和园，当 从开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动 转动角度不超过时，它扫过的园内阴影部分的面积是时间 的函数。这个函数的图像大致是D选543 2()101010(1)510(2)t hb ttttt12.当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂。刚开始使用是时候，细菌数量还是继续增加，随着时间的增加，它增加的幅度逐渐变小，到一定
34、时间，细菌数量开始减少。已知使用杀菌剂后的细菌数量为求细菌数量在与时的瞬时变化率细菌数量在哪段时间增加，在哪段时间减少？为什么？555 5t 当时，细菌数量在减少单调递减单调递增2101000tt得(2)()0b t 由434(10)102 101010b 43(5)102 1050b 43(1)()102 10b tt 解：05t 当时，细菌数量在增加5()0b t由055 5t 0t(0,5)(5,55 5)2ln(1,1)(23)1yxxyaxaxa13.已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点求 的值21yx即12(1)yx 切线方程为1121k 切线斜率1(ln)1xxx 解：200
35、021(,(23)1)yxT x axax设切线与抛物线相切于点2(23)1)223axaxaxa(2)0a 当时2131yxyx切线与直线相交满足题意(1)0a 当时102aa综上知：或12a 00(2)(1)0 xax200(21)20axax2000(23)121axaxx 02232kaxa则则02(1)1a x 则02(1)1a x 02x 解之得：14.80.5mm14.用总长的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多，那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少？41()15xx 解之得：或舍去单调递减单调递增(0,1)1(1,1.6)3222.21.
36、6xxx()(0.5)(3.22)V xx xx容器的容积12.8 83.224xx14.844(0.5)4xxh长方体的高0.5x则另一边的长为x解：设底面一边的长为()0V x由2()64.41.6V xxx(01.6)x1.831.21.8mm当容器高为时，容积最大，最大容积为1()xV x是函数的极大值点，也最大值点R15.用半径为 的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器。扇形的圆心角为多大时，容器的容积最大？33hR得221()3Rh h21()3V hr h0hR222rhR则()rhV h解：设圆锥的底面半径为，高为，体积为(0)hR221()3V hRh23113
37、3R hh()0V h由2 63当时，容积最大2 6363rR此时33hR当时容积最大3()3hRV h是函数的极大值点，也是最大值点2 rRlR2130.50 100/7/,/(3)/36035ABkmkm hxLx km hL h16.已知，两地距离是据交通法规，两地之间的公路车速应限速在假设油价是 元以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是元，那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？24 5x 解之得：(50100)x24 550(50,24 5)(24 5,100)100单调递增单调递减8910()360 xx2910(8)360 xx291013
38、0(3)35360 xyxx行车的总费用/x km h解：设汽车以的速度行驶时0y 由281910()360yx 24 5/;364 53km h最经济的车速为如果不考虑其他费用，这次行车的总费用为元24 5xy是函数 的极小值点，也是最小值点(21)1xexyx17.作函数的大致图像,xy 当时,0 xy 当时302xx解之得或0y 由2(23)(1)xxxex2(21)2(1)(21)(1)xxxexexexyx 1,xy 当时1,xy 当时(,0)0(0,1)3(1,)2323(,)2单调递减单调递减单调递增单调递增|1x x 解：定义域为324e1()ln()2()0 xf xexmm
39、f x18.已知函数，当时，求证：2()0mf x综上知：当时，2()0mf x只需证明：当时，()ln()ln(2)xxf xexmex则2,(,),ln()ln(2)mxmxmx 证明：当时()(2,)fx函数在上单调递增01()2xfxex()ln(2)(2)xf xexx 2m 当时0()xxf x当时，函数取得最小值00(2,),()0 xfx 01(0)02fe1(1)10fe 又0012xx0()()f xf x00ln(2)xx 0()0fx由0012xex得0200(1)2xx21()(2)xfxex()ln()2()0 xf xexmmf x18.已知函数，当时，求证：2(
40、)0mf x当时，(0)x 当且仅当时取等号ln()xexm(2)m 当且仅当时取等号(1)xm 当且仅当时取等号1xex另证：12 11xxxm 2m 1ln()xmxm 1xex1lnxx 2()(2)(1)()(2)()xxf xaeaexf xf xa19.已知函数讨论的单调性若有两个零点，求 的取值范围(ln,)a在上单调递增()(,)f x 函数在上单调递减()0fx则()0ia 若(1)(21)xxaee2()2(2)1xxfxaeae:(1)()(,)f x 解的定义域为()(,ln)f xa 函数在上单调递减lnxa 解之得：()0fx由()0iia 若01a 满足题意2()
41、(2)(2)()xxf xaeaexf xa19.已知函数若有两个零点，求 的取值范围()(0,)a函数在上单调递增211()0aaa则1()1ln(0)aaaa 令min11()(ln)1lnf xfaaa 0a 若(2)0,()af x若函数至多只有一个零点0332lnln33(ln)(2)lnaaaaaafaeaeaa0min101()(ln)0af xfa即当时，01()0aa当时，(1)0又22(1)e42(2)(2)2faeae又33lnaaaa1()(2,ln)13(ln,ln)f xaaaa函数在、各有一个零点22xxxexaee()0g x由2()(2)(2)()xxf xa
42、eaexf xa19.已知函数若有两个零点，求 的取值范围()0f x 另解：方程变为22()xxxexg xee令2222(21)()(2)(2)()()xxxxxxxxeeeexeeg xee2(21)(1)(1)xxxxeexe e222(1 2)1(1)xxxxex exe e 2(21)(1)(2)(21)(1)xxxxxxeeexee e10 xex 即0 x 得010 xxex 当时，010 xxex 当时，x()g x()g x(,0)0(0,)单调递减单调递增lim()xg x 101a由它们有两个公共点知：02lim41xxe22lim4xxxxeee221lim2xxxxeee22lim()limxxxxxexg xee()yayg x如图，作出直线与曲线谢谢谢谢观看观看
