1、 4.2.1等差数列的概念知识点1 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于 ，那么这个数列就叫做 ，这个 叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示知识点2 等差中项在由三个数a，A，b组成的等差数列中，A叫做a与b的 这三个数满足关系式 .知识点3 等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么通项公式an .递推公式 .知识点4 等差数列通项公式的推广等差数列an中，若公差为d，则anam(nm)d，当nm时，d_知识点5 等差数列的性质在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则am apaq.特别地，若mn2p，则anam2ap
2、.考法一 等差数列的概念【例1】判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，2n11，；(2)1,11,23,35，12n13，；(3)1,2,1,2，；(4)1,2,4,6,8,10，；(5)a，a，a，a，a，.【变式】数列an的通项公式an2n5，则此数列()A是公差为2的等差数列 B是公差为5的等差数列C是首项为5的等差数列 D是公差为n的等差数列考法二: 等差数列及其通项公式【例1】2000是等差数列4，6，8，的（ ）A第998项B第999项C第1001项D第1000项【例2】若数列满足，则数列（ ）A是公差为1的等差数列B是公差为的等差数列C是公差为的等差数列D不是等差数列
3、【例3】已知数列中，则等于（ ）A-12B12C-16D16【例4】在数列中，则的值为（ ）A52B51C50D49【变式1】已知等差数列，则公差d的值是（ ）A4B-6C8D-10【变式2】数列的前4项依次是20，11，2，-7，的一个通项公式是（ ）ABCD【变式3】若数列满足，则当时，的值是（ ）A679B680C681D690【变式4】已知数列中，且，则（ ）ABC1D2考法三 等差中项【例1】已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（ ）A8B6CD3【例2】与的等差中项是（ ）ABCD【例3】在等差数列中，已知，则（ ）A4B6C8D10【变式1】在等差数列的中，若
4、，则等于（ ）A25B11C10D9【变式2】在数列中，且，（1）求的通项公式考法四 等差数列的判定【例】已知数列an的通项公式为an42n，求证：数列an是等差数列；总结：判断数列an是否为等差数列，主要是利用等差数列的定义，即验证其通项是否满足an1and(nN*)具体步骤为(1)确定数列an的通项公式；(2)由an表示an1，即将an中的n替换为n1得an1；(3)作差：an1an，并判断其结果是否为常数；(4)总结：若an1an是常数(即一个与n无关的数)，则数列an是等差数列，否则数列an不是等差数列【变式】在数列an中，a11，an11，bn，其中nN*.求证：数列bn是等差数列考
5、法五: 等差数列的性质【例1】在等差数列an中，a3a510，则a1a7等于（ ）A5B8C10D14【例2】在等差数列an中，a1a4a758，a2a5a844，则a3a6a9的值为（ ）A30B27C24D21【变式1】在中，角，成等差数列，则等于（ ）ABCD【变式2】已知等差数列𝑎𝑛，若，则_.【变式3】在等差数列an中，若a2a3a4a534，且a2a552求数列an的通项公式an考法六 等差数列的实际应用【例】某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目
6、的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？【变式】在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值如果1 km高度的气温是8.5，5 km高度的气温是17.5，求2 km，4 km,8 km高度的气温【课后作业】1已知等差数列的公差为()，且，若，则为（ ）A12B8C6D42已知为等差数列，则（ ）ABCD3周髀算经中有这样一个问题：冬至小寒大寒立春雨水惊蛰春分清明谷雨立夏小满芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，立夏当日日影长为2.5尺，则春分当日日影长为（ ）A4.5尺B5尺C5.5尺D6尺4等差数列
7、中，则的值是（ ）A20B22C24D85等差数列中，若，则（ ）A3B9C6D126在等差数列中，则的值为（ ）A6B12C24D487九章算术是中国古代第一部数学专著，全书收集了246个数学问题，其中一个问题为“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变细.该问题中由上往下数的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（ ）A升B升C升D升8已知等差数列满足，则（ ）ABCD9下列选项中，为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件的是（ ）ABC数列的通项公式为D10已知数列满足，且.若，则正整数（ ）A24B2
8、3C22D2111已知正项等差数列满足，则_.12已知数列满足：，则_13数学著作孙子算经中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？现将1到1000共1000个整数中同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则数列中共有_项14.已知数列的公差是正数，且，.求它的通项公式；15数列an的通项公式为an2n+5.证明：an是等差数列.16正项数列an中，a11，an1an.(1)数列是否为等差数列？说明理由；(2)求an. 4.2.1等差数列的概念参考答案考法一 等差数列的概念【例1】解由等差数列的定
9、义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列【变式】答案A 解析an1an2(n1)5(2n5)2，an是公差为2的等差数列考法二: 等差数列及其通项公式【例1】【答案】B 数列4，6，8，的通项公式为，.则2n22 000.解得n999.【例2】【答案】B 由，得，即，所以数列是公差为的等差数列【例3】【答案】A 解：数列中，即，所以数列为等差数列，公差为，所以，所以【例4】【答案】A 由题意，数列满足，即，又由，所以数列为 首项为2，公差为的等差数列，所以.【变式1】【答案】A 在等差数列中，公差 【变式2】【答案】B 由已知可看出数列为等差数列，首项为20，公差为-9
10、，由等差数列的通项公式可得.【变式3】【答案】C，是以19为首项，为公差的等差数列，则则，解得【变式4】【答案】A由，得，则数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以，则故选：A.考法三 等差中项【例1】【答案】D，和的等差中项是【例2】【答案】B 解：设2与8的等差中项是，则，解得【例3】【答案】D 由得，所以，所以.【变式1】【答案】D 因为，【变式2】【答案】（1）；（1）因为，所以，所以数列为等差数列，设首项为，公差为，则，解得，所以；考法四 等差数列的判定【例】(1)an42n，an142(n1)22n.an1an(22n)(42n)2.an是等差数列【变式】证明bn1bn2(nN*
11、)，且b12，数列bn是以2为首项，2为公差的等差数列考法五: 等差数列的性质【例1】【答案】C a1a7a3a510.【例2】【答案】A 设b1a1a4a758，b2a2a5a844，b3a3a6a9.因为an是等差数列，所以b1，b2，b3也是等差数列，得b1b32b2，所以b32b2b12445830，即a3a6a930.【变式1】【答案】C 因为角，成等差数列，所以，所以，所以【变式2】【答案】7，.【变式3】【答案】an3n2或an3n19详解：数列an是等差数列，a2a3a4a52(a2a5)34，或，an3n2或an3n19考法六 等差数列的实际应用【例】解根据题意，当该市出租车
12、的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元所以，可以建立一个等差数列an来计算车费令a111.2，表示4 km处的车费，公差d1.2，那么当出租车行至14 km处时，n11，此时需要支付车费a1111.2(111)1.223.2(元)即需要支付车费23.2元【变式】解用an表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a18.5，a517.5，由a5a14d8.54d17.5，解得d6.5，an156.5n.a22，a411，a837，即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2，11，37.【课后作业】1【答案】B 由等差数列性质a3a6a10a13(a3a13)(a6a
13、10)2a82a84a832，a88，又d0，m8.2【答案】B依题意，解得，所以.3【答案】D设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，所以春分当日日影长为.4【答案】C 因为a13a8a155a8120，所以a824，所以2a9a10a10a8a10a824.5【答案】B解：因为，所以.6【答案】D在等差数列中，所以，所以，7【答案】A解：设自上而下依次设各节竹子的容积分别为升，升，升，则数列，为等差数列.依题意有，又因为，故.8【答案】C 根据等差数列的性质，得，因为，所以，所以，9【答案】C对于A：数列是等差数列，A选项为“数列是等差数列”的一
14、个充要条件，故A错误；对于B：易知B选项为“数列是等差数列”的一个既不充分也不必要条件，故B错误；对于C：，数列是等差数列，反之若为等差数列，则，此时不一定为2，所以必要性不成立，C选项为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件，故C正确；对于D：若数列是等差数列，则，成立，反之当，时，满足，但不是等差数列，D选项为“数列是等差数列”的一个必要不充分条件，故D错误10【答案】B 解：由，得，所以数列为首项，公差的等差数列，所以.由，得，.令得，所以，所以，11【答案】9设等差数列的公差为，而是正项数列，则，因，则，整理得，而，解得，则有，所以.12【答案】 ， 又，数列为首项为1，公差为1的等差数列， ，即,13答案】67被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为，则，令，解得，所以该数列的项数共有67项14.【答案】设等差数列的首项，公差为.则解得或（舍去），.15【答案】证明见解析.证明：由an2n+5，得an+12（n+1）+5，则an+1an2（n+1）+5（2n+5）2，为常数.数列an是公差为2的等差数列.即证.16解(1)an1an，an1an，()()，an是正项数列，0，1，是等差数列，公差为1.(2)由(1)知是等差数列，且d1，(n1)d1(n1)1n，ann2.
