5-1 导数的相关概念与几何意义（教师版+学生版）-2022新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第二册.rar

【章节 5-1】：导数的相关概念与几何意义1平均变化率 一般地，对于函数 yf x，12,x x是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式子2121f xf xxx表示，我们把这个式子称为函数 yf x从1x到2x的平均变化率，习惯上用yx表示，即平均变化率为211121f xf xf xxf xyxxxx.2瞬时速度如果物体的运动规律是 ss t，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到tt这段时间内，当0t 时平均速度的极限，即 00limlimtts tts tsvtt .平均变化率与瞬时变化率01【例1】求函数 2f xx在1,2,3x 附近的平均变化率，取x都为13，在哪一点附近平均变化率最大？【例2】若一物体运动方程如下：（位移s：m，时间t：s）2232,32933,03ttstt 求物体在3,5t内的平均速度；物体的初速度0v.育名师原创作品【演练题组1】1.已知函数 21yf xx，则在2,0.1xx 时，y的值为（）A.0.40B.0.41C.0.43D.0.442.分别计算下面三个图象表示的函数 h t在区间0,3上的平均变化率3.已知函数 1f xxx，分别计算 f x在自变量x从 1 变到 2 和从 3 变到 5 时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快4.一质点按规律 21s tat做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在2ts时的瞬时速度为8/m s，求常数a的值 导数的概念02导数：一般地，函数 xfy 在0 xx 处的瞬时变化率是xyxxfxxfxx0000lim)()(lim，我们称它为函数 xfy 在0 xx 处的导数，记作)(0 xf或0|xxy，即xyxxfxxfxfxx00000lim)()(lim)(.【例3】求函数 23f xxaxb在1x 处的导数【例4】已知函数 2331f xxx，求：022lim3xfxfx 的值；0222limxfxfx 的值；022limxfxfxx 的值；0232limxfxfx 的值.【演练题组2】1.设函数 f x在点0 x附近有定义，且有200f xxf xa xbx (,a b为常数)，则（）A.fxaB.fxbC.0fxaD.0fxb2.已知 12f，则 01 21lim_xfxfx .3.求函数 f xx在1x 处的导数4.求函数24yx 在2x 处的导数5.已知函数 2f xaxc，且 12f，求a的值导函数：导函数的概念03如果函数 xfy 在开区间ba,内的每一点x都可导，则称 xf在区间ba,可导.这样对开区间ba,内每个值x，都对应一个确定的导数 xf.于是，在区间ba,内，xf构成一个新的函数，我们把这个函数称为 xfy 的导函数，记作 xf或y.即 xxfxxfyxfx0lim.【例5】利用导数的定义求下列函数的导数（1）2321yxx；(2)23yax(a为常数)【演练题组3】利用导数的定义求函数 32f xxx的导数 fx，并利用 fx求1f，1f曲线的切线（导数的几何意义）若曲线 xfy 在点 00,xfxP及其附近有意义，给横坐标0 x一个增量x，对应的纵坐标也有一个增量 导数的几何意义及其运用04 00 xfxxfy，对应的点yyxxQ00,，则PQ为曲线 xfy 的割线.当0 x时，PQ.如果割线PQ趋近于一确定的直线（即极限位置），那么这条确定的直线即为曲线的切线.当然，此时割线PQ的斜率xy就趋近于切线的斜率，即切线的斜率为：xxfxxfxykxx0000limlim.切线的方程为00 xxkyy.【例6】已知曲线.34313xy .求曲线在点2,4P处的切线方程；求过点2,4P的曲线的切线方程；求斜率为4的曲线的切线方程。【例7】抛物线2yx在点P处的切线与直线420 xy平行，求P点的坐标及切线方程【演练题组4】1.已知曲线313yx及其上一点82,3P.(1)求点P处切线的斜率；(2)写出点P处的切线方程2.已知曲线3:C yx.求：曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；第问中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？3.若曲线26yx在点P处的切线垂直于直线250 xy，求点P的坐标及切线方程【例8】（2009 湖南高考文科）若函数 yf x的导函数在区间,a b上是增函数，则函数 yf x在区间,a b上的图象可能是()对导数的几何意义在图象中的运用05【演练题组5】1.已知 yf x的图象如图所示，则Afx与Bfx的大小关系是()A.ABfxfxB.ABfxfxC.ABfxfxD.Afx与Bfx大小不能确定2.已知函数 ,yf xyg x的导函数的图象如下图，那么 ,yf xyg x的图象可能是()1如果函数 yaxb 在区间1,2上的平均变化率为 3，则 a 的值为()A.-3B.2C.3D.-22若 f x在0 xx处存在导数，则000limhf xhf xh（）A.与 x0，h 都有关B.仅与 x0有关，而与 h 无关C.仅与 h 有关，而与 x0无关D.以上答案都不对3下列说法正确的是()A.若0fx不存在，则曲线 yf x在点00,xf x处没有切线B.若曲线 yf x在点00,xf x处有切线，则0fx必存在随堂训练06C.若0fx不存在，则曲线 yf x在点00,xf x处的切线斜率不存在D.若曲线 yf x在点00,xf x处没有切线，则0fx有可能存在4曲线 yf x在点00,xf x处的切线方程为 x2y30，那么()A.00fxB.00fxC.00fxD.0fx不存在5已知函数 y2x21 的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1x,1y)，则yx等于_6一个物体的运动方程为 s1tt2(t0)，其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么该物体在 3 秒末的瞬时速度是_7已知函数 yf(x)的图象在点 M(1，f(1)处的切线方程是 y12x2，则 1 1_ff.8曲线 y13x32 在点71,3 处切线的倾斜角为_9求 yx21x5 在 x2 处的导数10已知抛物线 yx24 与直线 yx10.求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程一、选择题1在平均变化率的定义中，自变量的增量 x 满足()A.0 x B.0 x C.0 x D.0 x 2设 f(x)1x，则 f(a)等于()A.1aB.2aC.21aD.21a3函数 yx2在 x0到 x0 x 之间的平均变化率为 k1，在 x0 x 到 x0之间的平均变化率为 k2，则 k1与 k2的大小关系为()A.12kkB.12kkC.12kkD.不确定4一质点运动的方程为253st，若该质点在时间段1,1t内相应的平均速度为36t ，则该质点在1t 时的瞬时速度是()A.-3B.3C.6D.-65设函数在1x 处存在导数，则 011lim3xfxfx 等于()A.1fB.3 1fC.1 13fD.3f6若函数 f(x)3x1，则 fx等于()A.0B.3xC.3D.-37设00fx，则曲线 yf x在点00,xf x处的切线()A.不存在B.与x轴平行或重合C.与x轴垂直D.与x轴相交但不垂直8在曲线2yx上与 x 轴相交但不垂直的切线倾斜角为4的点是()A.0,0B.2,4C.11,4 16D.1 1,2 4课后练习079已知曲线2122yx 上一点51,2P，则在点P处的切线的倾斜角为()A.30B.45C.135D.16510已知 yf x的图象如下图，则Afx与Bfx的大小关系是()A.ABfxfxB.ABfxfxC.ABfxfxD.不能确定二、填空题11在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在 24 h 内发现水位从 102.7 m 上涨到 105.1 m，则水位涨幅的平均变化率是_m/h.12已知曲线 y1x1 上两点112,2,22ABxy，当1x 时，割线 AB 的斜率为_13 将半径为 R 的球加热，若半径从 R1 到 Rm 时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为283，则 m 的值为_141yx 在点1,22处的切线方程是_15对于函数 f(x)ax4，若 12f，则 a_.16已知曲线 y2x24x 在点 P 处的切线斜率为 16，则点 P 的坐标为_三、解答题17已知函数 213 82f xxx，且04fx，求0 x的值18一做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是23stt(位移：m；时间：s)(1)求此物体的初速度(2)求此物体在 t2 时的瞬时速度(3)求 t0 到 t2 时的平均速度19已知 f(x)x2，g(x)x3，求满足 2fxgx的x的值20已知曲线 y2x2a 在点 P 处的切线方程为 8xy150，求切点 P 的坐标和实数 a 的值【章节 5-1】：导数的相关概念与几何意义1平均变化率 一般地，对于函数 yf x，12,x x是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式子2121f xf xxx表示，我们把这个式子称为函数 yf x从1x到2x的平均变化率，习惯上用yx表示，即平均变化率为211121f xf xf xxf xyxxxx.2瞬时速度如果物体的运动规律是 ss t，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到tt这段时间内，当0t 时平均速度的极限，即 00limlimtts tts tsvtt .平均变化率与瞬时变化率01【例1】求函数 2f xx在1,2,3x 附近的平均变化率，取x都为13，在哪一点附近平均变化率最大？【解析】在 x1 附近的平均变化率为k1f1xf1x1x21x2x；在 x2 附近的平均变化率为k2f2xf2x2x222x4x；在 x3 附近的平均变化率为k3f3xf3x3x232x6x.若 x13，则 k121373，k2413133，k3613193.由于 k1k2k3，故在 x3 附近的平均变化率最大【例2】若一物体运动方程如下：（位移s：m，时间t：s）2232,32933,03ttstt 求物体在3,5t内的平均速度；物体的初速度0v.育名师原创作品【解析】(1)物体在 t3,5内时，s3t22，且时间增量 t532，物体在 t3,5内的位移变化量为 s3522(3322)3(5232)48，物体在 t3,5上的平均速度为st48224(m/s)(2)求物体的初速度 v0，即求物体在 t0 时的瞬时速度物体在 t0 附近的平均变化率为stf0tf0t2930t32293032t3t18，物体在 t0 处的瞬时变化率为 lim stlim (3t18)18，即物体的初速度为18 m/s.【演练题组1】1.已知函数 21yf xx，则在2,0.1xx 时，y的值为（）A.0.40B.0.41C.0.43D.0.44【解析】选 Byf(2x)f(2)f(2.1)f(2)2.12220.41.2.分别计算下面三个图象表示的函数 h t在区间0,3上的平均变化率【解析】对于图，hh(3)h(0)10010，ht1030103，即平均变化率为103.同理可以算得图、图中函数 h(t)在区间0,3上的平均变化率均为103.3.已知函数 1f xxx，分别计算 f x在自变量x从 1 变到 2 和从 3 变到 5 时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快【解析】自变量 x 从 1 变到 2 时，函数 f(x)的平均变化率为:f2f12121211112；自变量 x 从 3 变到 5 时，函数 f(x)的平均变化率为:f5f353515(313)21415.因为121415，所以函数 f(x)x1x在自变量 x 从 3 变到 5 时函数值变化得较快4.一质点按规律 21s tat做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在2ts时的瞬时速度为8/m s，求常数a的值【解析】因为 ss(2t)s(2)a(2t)21a2214ata(t)2，所以st4aat，故在 t2 s 时，瞬时速度为 s(2)li m t0 st4a(m/s)由题意知，4a8，所以 a2.导数的概念02导数：一般地，函数 xfy 在0 xx 处的瞬时变化率是xyxxfxxfxx0000lim)()(lim，我们称它为函数 xfy 在0 xx 处的导数，记作)(0 xf或0|xxy，即xyxxfxxfxfxx00000lim)()(lim)(.【例3】求函数 23f xxaxb在1x 处的导数【自主解答】yf(1x)f(1)3(1x)2a(1x)b(3ab)3(x)2(6a)x.yx3x26axx3x6a.lim yxlim (3x6a)6a.f(1)6a.【例4】已知函数 2331f xxx，求：022lim3xfxfx 的值；0222limxfxfx 的值；022limxfxfxx 的值；0232limxfxfx 的值.【解析】由题可得：022 2limxfxffx 00222211limlim 25333xxfxffxffxx ；020222222lim2 lim2 2302xxfxffxffxx ；000222222limlimlim2 230 xxxfxfxfxfffxfxxx 00232232lim3lim3 2453xxfxffxffxx .【演练题组2】1.设函数 f x在点0 x附近有定义，且有200f xxf xa xbx (,a b为常数)，则（）A.fxaB.fxbC.0fxaD.0fxb【解析】选 Cf(x0)li m x0 fx0 xfx0 xli m x0(abx)a.2.已知 12f，则 01 21lim_xfxfx .解析：li m x0 f12xf1x(2)li m x0 f12xf12x(2)(2)4.答案：43.求函数 f xx在1x 处的导数【解析】由导数的定义知，函数在 x1 处的导数 f(1)li m x0 f1xf1x，而f1xf1x1x1x11x1，又 li m x0 11x112，所以 f(1)12.4.求函数24yx 在2x 处的导数解：y4x224224x221x24xx22，yxx4x22.f(2)li m x0 yxli m x0 x4x221.5.已知函数 2f xaxc，且 12f，求a的值【解】yf(1x)f(1)a(1x)2c(ac)2ax(x)2，yx2axx2x2ax.因此 f(1)lim x0 yxlim x0(2ax)2a.2a 2，a1.导函数：如果函数 xfy 在开区间ba,内的每一点x都可导，则称 xf在区间ba,可导.这样对开区间ba,内每个值x，都对应一个确定的导数 xf.于是，在区间ba,内，xf构成一个新的函数，我们把这个函数称为 xfy 的导函数，记作 xf或y.即 xxfxxfyxfx0lim.【例5】利用导数的定义求下列函数的导数（1）2321yxx；(2)23yax(a为常数)解(1)y3(xx)22(xx)1(3x22x1)(26x)x3(x)2，yx26xx3x2x26x3x，yli m x0 yxli m x0(26x3x)26x.(2)y3xx2a3x2a6xx3x2x2xx2，yx6xx3x2x2xx2x6x3xx2xx2，li m x0 yxli m x0 6x3xx2xx26x3，即 y6x3.【演练题组3】利用导数的定义求函数 32f xxx的导数 fx，并利用 fx求1f，1f解：利用导数的定义，导函数的概念03得 f(x)li m x0 fxxfxxli m x0 xx3xx2x3x2xli m x0(x)23x23xx13x21，f(x)3x21，则 f(1)4，f(1)4.曲线的切线（导数的几何意义）若曲线 xfy 在点 00,xfxP及其附近有意义，给横坐标0 x一个增量x，对应的纵坐标也有一个增量 00 xfxxfy，对应的点yyxxQ00,，则PQ为曲线 xfy 的割线.当0 x时，PQ.如果割线PQ趋近于一确定的直线（即极限位置），那么这条确定的直线即为曲线的切线.当然，此时割线PQ的斜率xy就趋近于切线的斜率，即切线的斜率为：xxfxxfxykxx0000limlim.切线的方程为00 xxkyy.【例6】已知曲线.34313xy .求曲线在点2,4P处的切线方程；求过点2,4P的曲线的切线方程；求斜率为4的曲线的切线方程。【解析】2y=x,在点4,2p处的切线的斜率=2=|=4xk y.曲线在点2,4p处的切线方程为244xy，导数的几何意义及其运用04 即044 yx.设曲线.34313xy与过点4,2p的切线相切于点30014,33A xx，则切线的斜率为200|xykxx.切线方程为320001433yxxxx,即.34323020 xxxy020303431xxxxy点4,2p在切线上，2300244233xx，整理得：200(+1)(2)=0 xx，解得01x 或02x.故所求的切线方程为044 yx或02 yx.设切点为00,yx，则切线的斜率204k=x=,02x .切点为4,2，34,2.切线方程为244xy或2434xy.即044 yx或020312 yx.【例7】抛物线2yx在点P处的切线与直线420 xy平行，求P点的坐标及切线方程【自主解答】设 P 点坐标为(x0，y0)，ylim x0 yxlim x0 xx2x2xlim x0 2xxx2xlim x0(2xx)2x.y|xx02x0，又由切线与直线 4xy20 平行，2x04，x02，P(2，y0)在抛物线 yx2上，y04，点 P 的坐标为(2,4)，切线方程为 y44(x2)，即 4xy40.【演练题组4】1.已知曲线313yx及其上一点82,3P.(1)求点P处切线的斜率；(2)写出点P处的切线方程解(1)y13x3，yli m x0 yxli m x0 13xx313x3x13li m x0 3x2x3xx2x3x13li m x03x23xx(x)2x2，y|x2224，点 P 处切线的斜率为 4.(2)由(1)知，点 P 处切线斜率为 4，且点 P 的坐标为(2，83)，在点 P 处的切线方程是 y834(x2)，即 12x3y160.2.已知曲线3:C yx.求：曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；第问中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？【解】(1)将 x1 代入曲线 C 的方程，得 y1，切点为 P(1,1)ylim x0 yxlim x0 xx3x3xlim x0 3x2x3xx2x3xlim x03x23xx(x)23x2，y|x13.过 P 点的切线方程为 y13(x1)，即 3xy20.(2)由Error!Error!可得(x1)2(x2)0，解得 x11，x22.从而求得公共点为 P(1,1)或 P(2，8)说明切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另外的点(2，8)3.若曲线26yx在点P处的切线垂直于直线250 xy，求点P的坐标及切线方程解设切点 P 的坐标为(x0，y0)，因为 f(x0)li m x0 fx0 xfx0 xli m x0 x0 x26x2 06xli m x0(2x0 x)2x0，所以 2x021，解得 x014，所以 y0 x2 069716，故点 P 的坐标为(14，9716)，切线方程为 y971612(x14)，即 8x16y950.【例8】（2009 湖南高考文科）若函数 yf x的导函数在区间,a b上是增函数，则函数 yf x在区间,a b上的图象可能是()【思路探究】(1)导数的几何意义是什么？(2)yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，说明 yf(x)图象的切线有什么特点？【来源：21cnj*y.co*m】【自主解答】因为函数 yf(x)的导函数 yf(x)在a，b上是增函数，由导数的几何意义可知，在区间a，b上各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有 A 选项符合【答案】A【演练题组5】1.已知 yf x的图象如图所示，则Afx与Bfx的大小关系是()A.ABfxfxB.ABfxfxC.ABfxfxD.Afx与Bfx大小不能确定【解析】由 yf(x)的图象可知，kAkB，根据导数的几何意义有：f(xA)f(xB)【答案】A2.已知函数 ,yf xyg x的导函数的图象如下图，那么 ,yf xyg x的图象可能是()解析：选 D从导函数的图象可知两个函数在 x0处斜率相同，可以排除 B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出 yf(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除 A.对导数的几何意义在图象中的运用051如果函数 yaxb 在区间1,2上的平均变化率为 3，则 a 的值为()A.-3B.2C.3D.-2解析：选 C根据平均变化率的定义，可知yx2abab21a3.2若 f x在0 xx处存在导数，则000limhf xhf xh（）A.与 x0，h 都有关B.仅与 x0有关，而与 h 无关C.仅与 h 有关，而与 x0无关D.以上答案都不对解析：选 B由导数的定义知，函数在 xx0处的导数只与 x0有关3下列说法正确的是()A.若0fx不存在，则曲线 yf x在点00,xf x处没有切线B.若曲线 yf x在点00,xf x处有切线，则0fx必存在C.若0fx不存在，则曲线 yf x在点00,xf x处的切线斜率不存在D.若曲线 yf x在点00,xf x处没有切线，则0fx有可能存在解析：选 C根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故 A、B、D 错误4曲线 yf x在点00,xf x处的切线方程为 x2y30，那么()A.00fxB.00fxC.00fxD.0fx不存在解析：选 B根据导数的几何意义，f(x)在 x0处的导数即 f(x)在 x0处切线的斜率，故 f(x0)120.5已知函数 y2x21 的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1x,1y)，则yx等于_解析：yx21x211x42x.答案：42x6一个物体的运动方程为 s1tt2(t0)，其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么该物体在 3 秒末的瞬时速度是_解析：sts3ts3tt5，li m t0(t5)5，该物体在 3 秒末的瞬时速度是 5 米/秒随堂训练06答案：5 米/秒7已知函数 yf(x)的图象在点 M(1，f(1)处的切线方程是 y12x2，则 1 1_ff.解析：由导数的几何意义得 f(1)12，由点 M 在切线上得 f(1)121252，所以 f(1)f(1)3.答案：38曲线 y13x32 在点71,3 处切线的倾斜角为_解析：因为 li m x0 fxxfxxli m x0 13xx3213x32xx2，所以 yx2，y|x11，因此倾斜角为 45.答案：459求 yx21x5 在 x2 处的导数解：y(2x)212x5(22125)4x(x)2x22x，yx4x142x，f(2)li m x0 yxli m x0(4x142x)40142 0154.10已知抛物线 yx24 与直线 yx10.求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程解：(1)由Error!Error!得Error!Error!或Error!Error!抛物线与直线的交点坐标为(2,8)或(3,13)(2)yx24，yli m x0 xx24x24xli m x0 x22xxxli m x0(x2x)2x，y|x24，y|x36，即在点(2,8)处的切线斜率为4，在点(3,13)处的切线斜率为 6.在点(2,8)处的切线方程为 4xy0；在点(3,13)处的切线方程为 6xy50.一、选择题1在平均变化率的定义中，自变量的增量 x 满足()A.0 x B.0 x C.0 x D.0 x 解析：选 D根据定义知 x 可正、可负，但不能为 0.2设 f(x)1x，则 f(a)等于()A.1aB.2aC.21aD.21a解析：选 Cfaxfax1ax1axxaxax1aax，f(a)li m x0 1aax1a2.3函数 yx2在 x0到 x0 x 之间的平均变化率为 k1，在 x0 x 到 x0之间的平均变化率为 k2，则 k1与 k2的大小关系为()A.12kkB.12kkC.12kkD.不确定解析：选 Dk1fx0 xfx0 xx0 x2x2 0 x2x0 x；k2fx0fx0 xxx2 0 x0 x2x2x0 x.因为 x 可正也可负，所以 k1与 k2的大小关系不确定4一质点运动的方程为253st，若该质点在时间段1,1t内相应的平均速度为36t ，则该质点在1t 时的瞬时速度是()A.-3B.3C.6D.-6解析：选 D当 t 趋于 0 时，式子3t6 趋于6.5设函数在1x 处存在导数，则 011lim3xfxfx 等于()A.1fB.3 1fC.1 13fD.3f解析：选 Cli m x0 f1xf13x13li m x0 f1xf1x13f(1)6若函数 f(x)3x1，则 fx等于()课后练习07A.0B.3xC.3D.-3解析：选 D法一：f(x)li m x0 fxxfxxli m x0 3xx13x1xli m x0(3)3.法二：由导数的几何意义可知，f(x)为直线 y3x1 的斜率，f(x)3.7设00fx，则曲线 yf x在点00,xf x处的切线()A.不存在B.与x轴平行或重合C.与x轴垂直D.与x轴相交但不垂直解析：选 Bf(x0)0，曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率为 0.8在曲线2yx上与 x 轴相交但不垂直的切线倾斜角为4的点是()A.0,0B.2,4C.11,4 16D.1 1,2 4解析：选 Dkli m x0 yxli m x0 xx2x2xli m x0(2xx)2x，2xtan41，x12，从而 y14.9已知曲线2122yx 上一点51,2P，则在点P处的切线的倾斜角为()A.30B.45C.135D.165解析：选 C点51,2P在曲线 yf(x)12x22 上，在点 P 处的切线斜率为 kf(1)1，在点 P 处的切线的倾斜角为 135.10已知 yf x的图象如下图，则Afx与Bfx的大小关系是()A.ABfxfxB.ABfxfxC.ABfxfxD.不能确定解析：选 B由题图可知，曲线在点 A 处的切线的斜率比曲线在点 B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知 f(xA)f(xB)二、填空题11在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在 24 h 内发现水位从 102.7 m 上涨到 105.1 m，则水位涨幅的平均变化率是_m/h.解析：水位涨幅的平均变化率为105.1102.7240.1(m/h)答案：0.112已知曲线 y1x1 上两点112,2,22ABxy，当1x 时，割线 AB 的斜率为_解析：x1,2x3，y(131)(121)131216，kAByx16.答案：1613 将半径为 R 的球加热，若半径从 R1 到 Rm 时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为283，则 m 的值为_解析：V43m3431343(m31)，VR43m31m1283，即 m2m17，解得 m2 或 m3(舍去)答案：2141yx 在点1,22处的切线方程是_解析：先求 y1x的导数：y1xx1xxxxx，yx1xxx，lim x0 yxlim x0 1xxx1x2，即y1x2，所以 y1x在点(12，2)处的切线斜率为 f(12)4，所以切线方程是 y24(x12)，即 y4x4.答案：y4x415对于函数 f(x)ax4，若 12f，则 a_.解析：因为 f(x0)li m x0 ax0 x4ax04xa，f(1)2，所以 a2.答案：216已知曲线 y2x24x 在点 P 处的切线斜率为 16，则点 P 的坐标为_解析：设 P 点坐标为(x0,2x2 04x0)，则 f(x0)li m x0fx0 xfx0 xli m x02x24x0 x4xx4x04.又f(x0)16，4x0416，x03，P 点坐标为(3,30)答案：(3,30)三、解答题17已知函数 213 82f xxx，且04fx，求0 x的值解：f(x0)li m x0 yxli m x0 138x0 x2x0 x2138x02x2 0 xli m x0 8x22x0 x2x2xli m x0(822x02x)822x0，822x04，x032.18一做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是23stt(位移：m；时间：s)(1)求此物体的初速度(2)求此物体在 t2 时的瞬时速度(3)求 t0 到 t2 时的平均速度解：(1)初速度 v0li m t0 sts0tli m t0 3tt2tli m t0(3t)3(m/s)，即物体的初速度为 3 m/s.(2)vli m t0 s2ts2tli m t0 32t2t23 24tli m t0 t2ttli m t0(t1)1(m/s)，即此物体在 t2 时的瞬时速度为 1 m/s，方向与初速度相反(3)vs2s02064021(m/s)，即 t0 到 t2 时的平均速度为 1 m/s.19已知 f(x)x2，g(x)x3，求满足 2fxgx的x的值解：f(x)li m x0 xx2x2x2x，g(x)li m x0 xx3x3x3x2.因为 f(x)2g(x)，所以 2x23x2，解得 x173或 x173.20已知曲线 y2x2a 在点 P 处的切线方程为 8xy150，求切点 P 的坐标和实数 a 的值解：设切点 P 的坐标为(x0，y0)，切线斜率为 k.由 ylim x0 yxlim x0 2xx2a2x2axlim x0(4x2x)4x，得 kf(x0)4x0.根据题意得 4x08，x02.分别代入 y2x2a 和 y8x15，解得 y01，a7，故所求切点 P 的坐标为(2,1)，a7.