1、专题01极值点便宜的概念一极值点偏移的含义众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点.如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同.故单峰函数定义域内任意不同的实数，满足，则与极值点必有确定的大小关系：若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.二极值点
2、偏移问题的一般题设形式：1.若函数存在两个零点，且，求证：(为函数的极值点)；2.若函数中存在，且满足，求证：(为函数的极值点)；3.若函数存在两个零点，且，令，求证：；4.若函数中存在，且满足，令，求证：.三问题初现，形神合聚函数有两极值点，且.证明：.【解析】令，则，是函数两个零点.令，得，令，则，可得在区间单调递减，在区间单调递增，所以，令，则，当时，单调递减，有，所以，所以，因为，在上单调递减所以，即.已知函数的图象与函数的图象交于，过的中点作轴的垂线分别交，于点，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.【分析】设，则，点，的横坐标，是函
3、数的两个零点，原问题即探究，的大小关系，即的符号，实质也是探究极值点是否偏移中点.四招式演练1. 已知函数f(x)=xex(xR)（1）求函数f(x)的单调区间和极值；（2）若x(0，1)，求证：f(2x)f(x)；（3）若x1(0，1)，x2(1，+)，且f(x1)=f(x2)，求证：x1+x22.【答案】（1）在()内是增函数，在()内是减函数.极大值；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求函数的导数，求出极值点，判断导函数的符号，得到函数的单调区间和极值；（2）令利用导函数的符号，判断函数的单调性，然后证明结果；（3）由（2）得：，得到，利用函数的单调性，转化证明即
4、可.【详解】（1）=(1x)ex，令，则x=1当x变化时，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，+)+0f(x)极大值f(x)在(，1)上是增函数，在(1，+)上是减函数f(x)在x=1处取得极大值；（2）证明：令g(x)=f(x)f(2x)则g(x)=xex(2x)ex2g(x)=(x1)(e2x21)ex当时，从而所以，从而函数在是增函数.ex0，g(x)0，g(x)在1，+)上是增函数又g（1）=00x1时，g(x)g（1）=0即当0x1时，f(x)f(2x)（3）证明：，由（2）得：在()内是减函数，即.【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，构造法的
5、应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题.2. 已知函数f（x）=-x2+ef（）x（）求f（x）的单调区间；（）若存在x1，x2（x1x2），使得f（x1）+f（x2）=1，求证：x1+x22【答案】（）在R上单调递增；（）见解析【解析】【分析】（I）f（x）=e2（x-1）-2x+ef（）令x=，则f（）=-1+ef（），解得f（），进而得出函数f（x）的单调性（II）由（I）可得：函数f（x）=-x2+x在R上单调递增要证明：x1+x22x12-x2f（x1）f（2-x2），又f（x1）+f（x2）=1，因此f（x1）f（2-x2）1-f（x2）f（2-x2），即f（x2）+f（2-x2
6、）-10，f（1）=-1+1=，则x11x2令g（x）=f（2-x）+f（x）-1=+-2x2+4x-2，x1，g（1）=0利用导数研究其单调性即可证明结论【详解】（I）f（x）=e2（x-1）-2x+ef（）令x=，则f（）=-1+ef（），解得f（）=f（x）=e2（x-1）-2x+1f（x）=2e2（x-1）-2=2（ex-1+1）（ex-1-1），时单调递增；时单调递减，x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（x）f（1）=0，函数f（x）在R上单调递增（II）由（I）可得：函数f（x）=-x2+x在R上单调递增要证明：x1+x22x12-x2f（x1）f（2-x2），又f（x1
7、）+f（x2）=1，因此f（x1）f（2-x2）1-f（x2）f（2-x2），即f（x2）+f（2-x2）-10，f（1）=，则x11x2令g（x）=f（2-x）+f（x）-1=-（2-x）2+2-x+-x2+x=+-2x2+4x-2，x1，g（1）=0g（x）=-e2（1-x）+e2（x-1）-4x+4，g（x）=2e2（1-x）+2e2（x-1）-40，g（x）在（1，+）上单调递增g（x）g（1）=0，函数g（x）在（1，+）上单调递增g（x）g（1）=0，因此结论x1+x22成立【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了
8、推理能力与计算能力，属于难题3. 已知函数在内有两个极值点x1，x2（x1x2），其中a为常数.（1）求实数a的取值范围；（2）求证：x1+x22.【答案】（1）a1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）转化问题为有两个变号零点,设,利用导函数可得在上单调递增,则,即转化问题为有两个变号零点,即,则,设,则直线y=a与在x（0,+）有两个交点,进而利用导函数求的最值,即可求解；（2）由（1）,若x1+x22,则g（x2）g（2x1）,即g（x1）g（2x1）,构造函数F（x）=g（x）g（2x）,进而证明x（0，1）时F（x）0即可.【详解】（1）因为,由题意知x1，x2是导函数的变号零点
9、,令,则,所以在上单调递增,又,所以,所以x1，x2是的两个零点,即,则,又令,则g（x1）=g（x2）,从而只需直线y=a与函数g（x）的图象在x（0,+）上有两个交点,由可得当时,；当时,所以g（x）在（0,1）递减,在（1,+）递增,从而,所以a1.（2）证明:由（1）知,0x11x2,若不等式x1+x22成立,则g（x2）g（2x1）,即g（x1）g（2x1）,令F（x）=g（x）g（2x）,x（0，1）,则只需F（x）0,而,只需研究的符号,因为,所以,所以,则,所以,即x1+x22成立.【点睛】本题考查由极值点求参数范围,考查利用导函数处理双变量问题,考查运算能力与转化思想.4.
10、已知函数（1）求函数的单调区间及极值；（2）若满足，求证：【答案】（1）函数的单调递增区间：，函数的单调递减区间：，极小值，无极大值；（2）证明过程见详解.【解析】【分析】（1）先求出，再求出函数的单调区间，根据单调性最后求出函数在处取得极小值，无极大值；（2）先判断，异号，接着设，则，再构建新函数并求导判断是上的增函数，得到，最后根据函数在上单调递增证明.【详解】解：（1）因为，所以当时，；当时，；故函数的单调递增区间：，函数的单调递减区间：，所以函数在处取得极小值，无极大值.（2）因为且，由（1）可知，异号不妨设，则令，则，因为，所以所以在上是增函数，因为，则，则，则又，所以，又因为，且函
11、数在上单调递增，所以，则【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间和极值、利用导数判断函数的单调性、利用导数证明不等式，是中档题.5. 已知函数有两个零点.（）求a的取值范围；（）设x1，x2是的两个零点，证明：.【答案】（）；（）见解析【解析】【详解】试题分析：（）求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；（）借助（）的结论来证明，由单调性可知等价于，即设，则则当时，而，故当时，从而，故试题解析：（）（）设，则，只有一个零点（）设，则当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增又，取满足且，则，故存在两个零点（）设，由得或若，则，故当时，因此在单调递增又当时，所以不存在两个零点若
12、，则，故当时，；当时，因此在单调递减，在单调递增又当时，所以不存在两个零点综上，的取值范围为（）不妨设，由（）知，在单调递减，所以等价于，即由于，而，所以设，则所以当时，而，故当时，从而，故【考点】导数及其应用【名师点睛】对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简.解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.视频6. 已知函数f（x）ex有两个极值点（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x22【答案】（1）（e，+）；（2）见解析【解析】【
13、分析】（1）f（x）exax函数f（x）ex有两个极值点f（x）exax0有两个实数根x0时不满足上述方程，方程化为：a，令g（x），（x0）利用导数已经其单调性即可得出（2）由（1）可知：ae时，函数f（x）有两个极值点分别为，x2，不妨设，+221，由，因此即证明：构造函数h（x），0x1，2x1利用导数已经其单调性即可得出【详解】（1）解：f（x）exax函数f（x）ex有两个极值点f（x）exax0有两个实数根x0时不满足上述方程，方程化为：a，令g（x），（x0）g（x），可得：x0时，g（x）0，函数g（x）单调递减；0x1时，g（x）0，函数g（x）单调递减；x1时，g（x）0，
14、函数g（x）单调递增g（1）=e,得到函数草图如图所示.ae时，方程f（x）exax0有两个实数根实数a的取值范围是（e，+）（2）证明：由（1）可知：ae时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1x2证明：+221，由，因此即证明：构造函数h（x），0x1，2x1h（x）（x1），令函数u（x），（0x2）u（x）可得函数u（x）在（0，2）内单调递减，于是函数v（x）在（0，1）内单调递减v（x）v（1）0h（x）（x1）,h（x）在（0，1）内单调递减h（x）h（1）0, 因此+2成立【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考
15、查了推理能力与计算能力，属于难题7. 已知函数，.(1)若曲线的一条切线经过点，求这条切线的方程.(2)若关于的方程有两个不相等的实数根求实数a的取值范围； 证明：.【答案】（1）或.（2），证明见解析.【解析】【分析】（1）先设切线点斜式方程，再与二次函数联立方程组，利用判别式为零得斜率；（2）先求函数导数，分类讨论导函数零点，单调函数至多一个零点，所以函数不单调，再依次讨论对应单调区间上有零点满足的条件；构造函数，利用导数易得函数单调递增，即得结论.【详解】解:(1)解法一：设经过点的切线与曲线相切于点，由得，所以该切线方程为， 因为该切线经过，所以，解得，所以切线方程为或. 解法二 ：由
16、题意得曲线的切线的斜率一定存在，设所求的切线方程为，由 ，得， 因为切线与抛物线相切，所以，解得，所以所求的切线方程为或. （2）由，得.设，则，由题意得函数恰好有两个零点. （i）当，则，只有一个零点1 （ii）当时，由得，由得，即在上为减函数，在上为增函数，而，所以在上有唯一零点，且该零点在上.取且，则所以在上有唯一零点，且该零点在上，所以恰好有两个零点. （iii）当时，由得或，若，所以在上至多有一个零点.若，则，当时，即在上单调递减又，所以在上至多有一个零点.当时，在上单调递增，在上为减函数，又，所以h(x)在上无零点. 若，则，又当时，所以不存在零点在上无零点故当时，；当时，因此在上
17、单调递增，在上单调递减又所以在无零点，在至多有一个零点 综上，的取值范围为 不妨设，由知，且，在单调递减，所以等价于，即由于，且，所以 设，则，当时，所以.而，故当时，从而，故【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.8. 已知有两个零点(1)求a的取值范围(2)设是的两个零点,求证：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求的函数的导数，根据函数有两
18、个零点，分类讨论，即可求解实数的取值范围；（2）不妨设，由（1）知，构造函数，得到，得到，得到函数的单调性和最值，即可得到证明.【详解】（1），当时，此时在单调递增，至多有一个零点.当时，令，解得，当时，单调递减，当，单调递增，故当时函数取最小值当时，即，所以至多有一个零点.当时，即因为，所以在有一个零点； 因为，所以，由于，所以在有一个零点.综上，的取值范围是. （2）不妨设，由（1）知，.构造函数， 则 因为，所以，在单调递减.所以当时，恒有，即 因为，所以于是又，且在单调递增，所以，即【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的证明和不等式的恒成立问题，考查了转化与化归思想、逻辑推理
19、能力与计算能力，导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用.9. 已知函数f（x）xlnxx2ax+1（1）设g（x）f（x），求g（x）的单调区间；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求证：x1+x22【答案】（1）g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+）；（2）见解析【解析】【分析】（1）先得到解析式
20、，然后对求导，分别解和，得到其单调增区间和单调减区间；（2）由题可知x1，x2是g（x）的两零点，要证x1+x22，只需证x22x11，只需证g（2x1）g（x2）0，设h（x）ln（2x）lnx+2x2，利用导数证明在（0，1）上单调递减，从而证明，即g（2x1）g（x2），从而证明x1+x22.【详解】（1）f（x）xlnxx2ax+1，g（x）f（x）lnxx+1a（x0），g（x）令g（x）0，则x1，当x1时，g（x）0；当0x1时，g（x）0，g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+）；（2）f（x）有两个极值点x1，x2，x1，x2是g（x）的两零点，则g（x1
21、）g（x2）0，不妨设0x11x2，由g（x1）0可得alnx1x1+1，g（x）在（1，+）上是减函数，要证x1+x22，只需证x22x11，只需证g（2x1）g（x2）0，g（2x1）ln（2x1）2+x1+1（lnx1x1+1）ln（2x1）lnx1+2x12，令h（x）ln（2x）lnx+2x2（0x1），则，h（x）在（0，1）上单调递减，h（x）h（1）0，g（2x1）0成立，即g（2x1）g（x2）x1+x22【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，构造函数证明极值点偏移问题，属于难题.10. 已知函数（1）若曲线y=f（x）在（0，f（0）处的切线方程为y=-x-1，求a，b
22、的值；（2）当b=1，a0时，证明：函数f（x）有两个零点x1，x2，且x1+x22【答案】（1）1；（2）见解析【解析】【分析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义，建立方程关系进行求解即可（2）求函数的导数，判断函数的单调性，由零点存在性定理，转化为证明f（x2）f（2-x1）即可【详解】（1）f（0）=-b=-1，所以b=1又f（x）=2x-2+，则f（0）=-2+a，所以-2+a=-1，得a=1（2）当b=1时f（x）=x2-2x+-1，则f（x）=2x-2+=（x-1）（2-）已知a0，所以2-0，故f（x）=0得x=1当x（-，1）时，f（x）0；当x（1，+）时，f（x）0所以
23、函数f（x）在（-，1）上单调递减在（1，+）上单调递增又f（1）=-2+0，f（-1）=2-ae0，当-1a0时，3a-3，2e3+3a2e3-30，所以f（3）=2+0；当a-1，-e3ae3ln（-e3a）lne3=31不妨没ln（-e3a）=t3，则f（t）=t2-2t+-1=t2-2t+-1=t2-（2+）t-1二次函数g（t）=t2-（2+）t-1的对称轴为t=3所以f（t）g（3）=9-6-1=2-0，由零点存在性定理，函数f（x）存在两个零点x1，x2，设x11x2，由x1+x22，得x22-x11x1，由函数f（x）在（1，+）上单调递增，只需证f（x2）f（2-x1）即可又
24、f（x1）=f（x2）=0，所以只需证f（x1）f（2-x1）即可f（x1）=x12-2x1+-1，f（2-x1）=（2-x1）2-2（2-x1）+-1，只需证x12-2x1+（2-x1）2-2（2-x1）+，化简得即证，=设h（x）=xe2-x-（2-x）ex，则h（x）=（1-x）（e2-x-ex）当x（1，+）时，h（x）0；当x（-，1）时，h（x）0而h（1）=0，故当x1时，h（x）0而0恒成立故f（x1）f（2-x1），即f（x2）f（2-x1），则x22-x1，即x1+x22，成立【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，以及导数的几何意义，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是
25、解决本题的关键综合性较强，运算量较大，难度较大11. 已知f（x）=x2+ax+sinx，x（0，1）（1）若f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（2）当a=2时，记f（x）得极小值为f（x0），若f（x1）=f（x2），求证：x1+x22x0【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【详解】试题分析：（1）函数f（x）在定义域内单调递增，则导函数f（x）0恒成立，然后问题转化为函数的最值问题求解；（2）先利用导数研究函数f（x）在区间（0，1）上的单调性、极值，判断x0所在的区间，结合函数的单调性找到x1，x2，x0之间的关系（1）解：依题意f（x）0恒成立，即令，g（x）在（0，1）上
26、递减，且g（0）0，g（1）0，g（x）在区间（0，1）上存在唯一零点mg（x）在（0，m）上递增，在（m，1）上递减由，解得a的取值范围是；（2）证明：当a=2时，f（x）=令（x）=f（x），x（0，1（x）=，显然（x）在（0，1）上递减，又（0）=20，（1）=2故存在唯一实数n，使得（n）=0，（x）在（0，n）上递增，在（n，1）上递减而f（0）=2+0，f（1）=0，f（n）0由f（x0）=0知0x0n1令x1x2，f（x）在（0，x1）递减，在（x2，1）递增由f（x1）=f（x2）得，0x1x0x21令F（x）=f（x0+x）f（x0x），则F（x）=4x04+，又F（x）在（0，1）上单调递减，F（x）F（0）=4x04+=2f（x0）=0，F（x）在（0，1）上单调递减，F（x）F（0）=0，f（x0+x）f（x0x），f（x1）=f（x2）=fx0（x0x2）fx0+（x0x2）=f（2x0x2），0x21，02x0x2x0，又0x1x0，而f（x）在（0，x0）上单调递减，x12x0x2，即x1+x22x0考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性
