1、第2课时等比数列的应用及性质学习目标1.理解复利计算方法，能解决存款利息的有关计算方法.2.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题. 3.理解等比数列的常用性质.4.掌握等比数列的判断及证明方法知识点一实际应用题常见的数列模型1储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y a(1r)n.2总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n， 则总产值y N (1 p)n.知识点二等比数列的常用性质设数列an为等比数列，则：(1)若klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列(3)在等比数列an中，连续
2、取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列(4)若an是等比数列，公比为q，则数列an(0)，a都是等比数列，且公比分别是q，q2.(5)若an，bn是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么anbn与也都是等比数列，公比分别为pq和.1某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成()A64 B128 C256 D2552已知an，bn都是等比数列，那么()Aanbn，anbn都一定是等比数列Banbn一定是等比数列，但anbn不一定是等比数列Canbn不一定是等比数列，但anbn一定是等比数列Danbn，anbn都不一
3、定是等比数列3某储蓄所计划从2018年底起，力争做到每年的吸蓄量比前一年增加8%，则到2021年底该储蓄所的吸蓄量比2018年的吸蓄量增加()A24% B32% C1.0831 D1.08414已知等比数列an共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是()A. B. C2 D2一、数列的实际应用例1某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值(1)用一个式子表示n(nN*)年后这辆车的价值；(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
4、反思感悟等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题跟踪训练1有纯酒精a(a>1)升，从中取出1升，再用水加满，然后再取出1升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共取出纯酒精_升二、等比数列的性质及其应用例2已知an为等比数列(1)等比数列an满足a2a4，求a1aa5；(2)若an>0，a5a72a6a8a6a1049，求a6a8；(3)若an>0，a5a69，求log3a1log3a2log3a10的值反思感悟利用等比数列的性质解题(1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系
5、，选择恰当的性质解题(2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量跟踪训练2(1)公比为的等比数列an的各项都是正数，且a3a1116，则log2a16等于()A4 B5 C6 D7(2)已知在各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6_.三、等比数列的判定与证明例3已知Sn是数列an的前n项和，且Sn2ann4.(1)求a1的值；(2)若bnan1，试证明数列bn为等比数列反思感悟判断一个数列是等比数列的常用方法(1)定义法：若数列an满足q(nN*，q为常数且不为零)或q(n2，且nN*，q为常数且不为零)，则
6、数列an是等比数列(2)通项公式法：若数列an的通项公式为ana1qn1(a10，q0)，则数列an是等比数列(3)等比中项法：若aanan2(nN*且an0)，则数列an为等比数列(4)构造法：在条件中出现an1kanb关系时，往往构造数列，方法是把an1xk(anx)与an1kanb对照，求出x即可跟踪训练3(1)已知各项均不为0的数列an中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列(2)已知数列an是首项为2，公差为1的等差数列，令bn求证数列bn是等比数列，并求其通项公式1在等比数列an中，若a1<
7、0，a218，a48，则公比q等于( 1="" 2="" 3="" 4="" 7="" 9="" 10="" 38="" 39="" 100="" a.="" b.="" 000="" c.="" _.="" an="">0，且a2a42a3a5a4a636，求a3a5的值
8、；(2)若数列an的前三项和为168，a2a542，求a5，a7的等比中项11设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和若S1，S2，S4成等比数列，则a1等于()A2 B2C. D12等比数列an是递减数列，前n项的积为Tn，若T134T9，则a8a15等于()A2 B4 C2 D413在等比数列an中，若a72，则此数列的前13项之积等于_14已知等比数列an满足a2a52a3，且a4，2a7成等差数列，则a1a2a3an的最大值为_15在等比数列an中，若a7a116，a4a145，则_.16设关于x的二次方程an
9、x2an1x10(n1,2,3，)有两根和，且满足6263.(1)试用an表示an1；(2)求证：是等比数列；(3)当a1时，求数列an的通项公式参考答案1.答案C解析某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次，所以经过2小时，这种细菌由1个繁殖成28256.2.答案C解析当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列两个等比数列的积一定是等比数列3.答案C解析设2018年储蓄量为a ，根据等比数列通项公式得2019年储蓄量为a(10.08)1.08a，2020年储蓄量为a(10.08)(10.08)1.08
10、2a，2021年储蓄量为a(10.08)(10.08)(10.08)1.083a，所以2021年底该储蓄所的吸蓄量比2018年的吸蓄量增加了 1.0831.4.答案C解析奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1a3a5a7a92，a2a4a6a8a1064，则q532，则q2.例1解(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，an，由题意，得a113.5，a213.5(110%)，a313.5(110%)2，.由等比数列的定义，知数列an是等比数列，首项a113.5，公比q110%0.9，ana1qn113.50.9n1.n年后车的价值为an1(13.50.9n)万元(2
11、)由(1)得a5a1q413.50.948.9(万元)，用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元跟踪训练1答案8解析由题意可知，取出的纯酒精数量是一个以1为首项，1为公比的等比数列，即：第一次取出的纯酒精为1升，第二次取出的为1(升)，第三次取出的为2升，第n次取出的纯酒精为n1升，则第九次和第十次共取出纯酒精数量为a9a10898(升)例2解(1)在等比数列an中，a2a4，aa1a5a2a4，a1aa5.(2)由等比中项，化简条件得a2a6a8a49，即(a6a8)249，an>0，a6a87.(3)由等比数列的性质知a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79，log3a1log
12、3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)log39510.跟踪训练2(1)答案B解析因为a3a1116，所以a16.又因为an>0，所以a74，所以a16a7q932，即log2a165.(2)答案5解析方法一因为an是等比数列，所以a1a7a，a2a8a，a3a9a.所以aaa(a1a7)(a2a8)(a3a9)(a1a2a3)(a7a8a9)51050.因为an>0，所以a4a5a65.方法二因为a1a2a3(a1a3)a2aa2a5，所以a2因为a7a8a9(a7a9)a8a10，所以a8同理a4a5
13、a6a例3(1)解因为Sn2ann4，所以当n1时，S12a114，解得a13.(2)证明因为Sn2ann4，所以当n2时，Sn12an1n14，SnSn1(2ann4)(2an1n5)，即an2an11，所以an12(an11)，又bnan1，所以bn2bn1，且b1a1120，所以数列bn是以2为首项，2为公比的等比数列跟踪训练3(1)证明由已知，有2a2a1a3，aa2a4，.由得，a4.由得a2.将代入，得a.a3，即a3(a3a5)a5(a1a3)化简，得aa1a5.又a1，a3，a5均不为0，a1，a3，a5成等比数列(2)解依题意an2(n1)(1)3n，于是bn3n.而12.数
14、列bn是首项为，公比为2的等比数列，通项公式为bn2n12n3.1.答案C解析因为a4a2q2，所以q2.又因为a1<0，a2>0，所以q<0.所以q. 10="" 19="" b="" 2.="" c="" lg="" 000.="" cd="" 0.="" 1.="" .="" a="" 9.="" 3.="
15、;" abc="" n="">1)A中，2q2为常数，故A正确；B中，q2，故B正确；C中，为常数，故C正确；D中，不一定为常数，故D错误6.答案32n3解析由已知得a10a3q73q7384，所以q712827，故q2.所以ana3qn332n3.7.答案2解析因为数列an为等比数列，且a3a5，所以a4(a22a4a6)a4a22aa4a6a2a3a5a(a3a5)22.8.答案2解析因为在数列an中，a2，a3，且数列nan1是等比数列，2a21314,3a31718，所以数列nan1是首项为2，公比为2的等比数列，所以nan12n
16、，解得an.9.解an为等比数列，a1a9a3a764.又a3a720，a34，a716或a316，a74.当a34，a716时，q44，此时a11a3q844264.当a316，a74时，q4，此时a11a3q81621.10.解(1)a2a42a3a5a4a636，a2a3a5a36，即(a3a5)236，又an>0，a3a56.(2)设等比数列an的公比为q，a2a542，q1.由已知，得解得若G是a5，a7的等比中项，则有G2a5a7a1q4a1q6aq10962109，a5，a7的等比中项为3.11.答案D解析因为an是首项为a1，公差为1的等差数列，所以Snna1n(n1)(
17、1)，由S1，S2，S4成等比数列可知SS1S4，代入可得(2a11)2a1(4a16)，解得a1.12.答案C解析T134T9，a1a2a9a10a11a12a134a1a2a9，a10a11a12a134.又a10a13a11a12a8a15，(a8a15)24，a8a152.又an为递减数列，q>0，a8a152.13.答案213解析由于an是等比数列，a1a13a2a12a3a11a4a10a5a9a6a8a，a1a2a3a13(a)6a7a，而a72.a1a2a3a13(2)13213.14.答案1 024解析因为等比数列an满足a2a52a3，且a4，2a7成等差数列，所以解
18、得a116，q，所以an16n125n，所以a1a2a3an2432(5n)所以当n4或n5时，a1a2a3an取最大值，且最大值为2101 024.15.答案或解析an是等比数列，a7a11a4a146，又a4a145，或q10，q10或q10.而q10，或.16.(1)解根据根与系数的关系，得代入题设条件6()23，得3.所以an1an.(2)证明因为an1an，所以an1.若an，则方程anx2an1x10，可化为x2x10，即2x22x30.此时(2)2423<0，所以an，即an0.所以数列是以为公比的等比数列(3)解当a1时， a1，所以数列是首项为，公比为的等比数列所以ann1n，所以ann，nN*即数列an的通项公式为ann，nN*.
