1、4.2.2 4.2.2 等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式的性质的性质(1)当当a10，d0时，时，数列前面有若干项为正数列前面有若干项为正,此时此时所有正项的和所有正项的和为为Sn的最大值的最大值.此时由此时由an0且且an+10求求n的值；的值；(2)当当a10时，时，数列前面有若干项为负数列前面有若干项为负,此时此时所有负项的和所有负项的和为为Sn的最小值的最小值.此时由此时由an0 且且an+1 0求求n的值；的值；注意：注意：当数列的当数列的项项中有数值为中有数值为0时，时，n应有两解应有两解.求等差数列等差数列an的前的前n项和项和Sn的的最值的方法的方法1.前n项和公
2、式法2.通项公式法 利用等差数列的利用等差数列的增减性增减性及及an的符号变化的符号变化复习引入复习引入探究一：探究一：如果数列如果数列an的前的前n项和为项和为Sn=pn2+qn+r，其中，其中p,q,r为为常数，且常数，且p0，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，则它，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与公差分别是什么？的首项与公差分别是什么？证：证：当当n2时，时，当当n=1时，时，a1=S1=p+q+r当且仅当当且仅当r=0时，时，a1满足满足an=2pn-p+q，此时此时该数列是等差数列该数列是等差数列.an=Sn-Sn-1=pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)
3、-r =2pn-p+q当当r 0时，时，a1不不满足满足an=2pn-p+q，此时数列不是等差数列，此时数列不是等差数列.探究新知探究新知故只有当故只有当r=0时该数列才是等差数列时该数列才是等差数列,其中首项其中首项a1=p+q,公差公差d=2p(p0).的二次方程组求解转化为关于n小试牛刀小试牛刀解：设 SnAn2Bn(A，B 为常数)由题意，得 310100A10B，1 220400A20B，解得 A3，B1.Sn3n2n.S303900302 730.1 1.已知等差数列已知等差数列an的的n项和为项和为Sn,且且S10310,310,S201220,1220,求求S30.小试牛刀小试
4、牛刀2.2.已知数列已知数列an的的n项和为项和为 ,求数列求数列an的通项公式的通项公式.212343nSnn解：当n 2时，22112123 (1)(1)34343 nnnaSSnnnn15212n当n=1时，11124734312aS，不满足上式故数列an的通项公式为47,11215,2212nnann2111222nn nddSnadnan-111(1)122222nnSSdddddnanann证明：.2的等差数列是公差为故dnSn探究新知探究新知.2 nnnadSnSdn若若数数列列是是公公差差为为的的等等差差数数列列，为为其其前前项项和和，求求证证数数列列也也是是等等差差数数列列，
5、且且公公差差是是探究二：探究二：性质性质2 122nSddnan等差数列转化为nSn小试牛刀小试牛刀1 1.已知等差数列已知等差数列an的的n项和为项和为Sn,且且S10310,310,S201220,1220,求求S30.mmaaaS212212212mmmmmmSSaaaaaam d23221223122mmmmmmmmSSaaaaaam d 22322mmmmmmmSSSSSSSm d证明：.,2232dmSSSSSmmmmm构成等差数列，公差为,.2232 nnmmmmmadSnSSSSSm d若若等等差差数数列列的的公公差差为为，为为其其前前项项和和，求求证证仍仍构构成成等等差差数数
6、列列，且且公公差差为为探究三：探究三：探究新知探究新知性质性质3 成等差数列转化为2030102010,SSSSS小试牛刀小试牛刀1 1.已知等差数列已知等差数列an的的n项和为项和为Sn,且且S10310,310,S201220,1220,求求S30.2.在等差数列在等差数列an中，已知第中，已知第1项到第项到第10项的和为项的和为310，第，第11项项到第到第20项的和为项的和为910，求第，求第21项到第项到第30项的和项的和.解：数列S10,S20S10,S30S20构成等差数列 2910=310+(S30S20)S30S20=1510小试牛刀小试牛刀故第21项到第30项的和为1510
7、.12112122mmmnnnaaaabbbb证明：当当m=n时，公式变化？时，公式变化？探究新知探究新知探究四：探究四：12121212nmnmnnnnTSmnbaTSnba则则项项和和分分别别为为它它们们的的前前都都为为等等差差数数列列若若数数列列,121121211221211221mnmaamnbbn21212121mnnSmT性质性质4 nnab 2121nnST 小试牛刀小试牛刀53176nn10322 ，12121222nnnnnaanaanaanS ndaaaaaaSSnn1223412奇偶.2222111212212122nnnnnnnnaaaaaaaaaanaanSS奇偶证
8、明：探究新知探究新知探究五：探究五：.1212 nnnnnnanSaSn aaSSndSa偶偶奇奇偶偶奇奇 若若等等差差数数列列的的项项数数为为，则则，性质性质51.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32 27，则公差d=_.小试牛刀小试牛刀51112112122212212nnnnananaanS 1325421211nnnSSaaaaaaaanda奇偶.112121212212122nnaanaanaanaanSSnnnn奇偶证明：探究六：探究六：.211121 211nnnnanSnSnaSSaSn偶偶奇奇偶偶奇奇 若若等等差差数数列列的的项项数数为为，
9、则则，探究新知探究新知性质性质6小试牛刀小试牛刀2902612919中间项为，项数为课堂小结课堂小结性质性质3:若若数列数列an是公差为是公差为d的等差数列的等差数列,则则数列数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m构成构成等差数列等差数列,且公差为且公差为m2d.性质性质2:若若数列数列an是公差为是公差为d的等差数列的等差数列,则则数列数列 也也是是等差数列等差数列,且公差为且公差为 .nSn2d等差数列的前等差数列的前n n项和公式的性质项和公式的性质 ,.21212121nnmnmnnnaSnbmabnS TT若若数数列列都都为为等等差差数数列列 它它们们的的前前 项项和和分分别别为为则则性质性质4:当当m=n时，时，nnab 2121nnST 课堂小结课堂小结等差数列的前等差数列的前n n项和公式的性质项和公式的性质.1212 nnnnnnanSaSn aaSSndSa偶偶奇奇偶偶奇奇 若若等等差差数数列列的的项项数数为为，则则，性质性质5：.211121 211nnnnanSnSnaSSaSn偶偶奇奇偶偶奇奇 若若等等差差数数列列的的项项数数为为，则则，性质性质6：
