1、学习目标XUE XI MU BIAO1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式知识点一等比数列的前n项和公式知识点二等比数列前n项和的性质1.数列an为公比不为1的等比数列(或公比为1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2nSn，仍构成等比数列.2.若an是公比为q的等比数列，则SnmSn(n，mN*).S3nS2nqnSm4.若某数列的前n项和公式为Snaqna(a0，q0且q1，nN*)，则此数列一定是
2、等比数列.()1.等比数列前n项和Sn不可能为0.()2.若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.()思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU2题型探究PART TWO一、等比数列前n项和公式的基本运算例1在等比数列an中，(1)S230，S3155，求Sn；又a1a3a1(1q2)10，所以a18，(3)a1an66，a2an1128，Sn126，求公比q.解因为a2an1a1an128，所以a1，an是方程x266x1280的两个根.反思感悟等比数列前n项和运算的技巧(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n
3、，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答.(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体.(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.跟踪训练1在等比数列an中.q2，n5.(2)已知S41，S817，求an.解若q1，则S82S4，不符合题意，q1，q2或q2，二、利用错位相减法求数列的前n项和反思感悟错位相减法的适用范围及注意事项(1)适用范围：它主要适用于an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和.(
4、2)注意事项：利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出(1q)Sn的表达式.利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(2n1)an，求数列bn的前n项和Sn.解根据题意得两式相减得三、等比数列前n项和的性质例3(1)在等比数列an中，若S27，S691，则S4_.28解析数列an是等比数列，且易知公比q1，S2，S4S2，S6S4也构成等比数列，即7，S47,91S4构成等比数列，(S47)27(91S4)，解得S428或S421.又S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2(a1a2)(1q2
5、)S2(1q2)0，S428.(2)已知等比数列an共有2n项，其和为240，且(a1a3a2n1)(a2a4a2n)80，则公比q_.2解析由题意知S奇S偶240，S奇S偶80，(3)若数列an是等比数列，且其前n项和为Sn3n12k，则实数k_.解析Sn3n12k33n2k，且an为等比数列，延伸探究反思感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.跟踪训练3(1)已知等比数列an的前n项和为Sn，S41，S83，则a9a10a1
6、1a12等于A.8B.6C.4D.2解析S4，S8S4，S12S8成等比数列.即1,2，a9a10a11a12成等比数列.a9a10a11a124.(2)一个项数为偶数的等比数列an，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式.解设数列an的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇S偶4S偶，即S奇3S偶.3随堂演练PART THREE1.在数列an中，已知an12an，且a11，则数列an的前5项的和等于A.25B.25C.31D.3112345解析因为an12an，且a11，所以数列an是首项为1，公比为2的等比数列，解析当x
7、1时，Snn；123452.等比数列1，x，x2，x3，的前n项和Sn等于3.设等比数列an的前n项和为Sn，若S10S512，则S15S5等于A.34B.23C.12D.1312345解析在等比数列an中，S5，S10S5，S15S10，成等比数列，得S15S534，故选A.123451234512345所以a1a23，1234580解析令Xa1a3a9960，Ya2a4a100，则S100XY，所以Y20，即S100XY80.1.知识清单：(1)等比数列前n项和公式.(2)利用错位相减法求数列的前n项和.(3)等比数列前n项和的性质.2.方法归纳：错位相减法、方程(组)思想、分类讨论.3.
8、常见误区：(1)忽略q1的情况而致错.(2)错位相减法中粗心出错.(3)忽略对参数的讨论.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PART FOUR1.在等比数列an中，a12，a21，则S100等于A.42100B.42100C.4298D.42100基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 16解析易知q1，因为a7a8a9S9S6，且S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即8，1，S9S6成等比数列，所以8(S9S6)1，2.设等比数列an的前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于12345678910 11 12 13 14 15 16解析等比数
9、列an的前n项和Sn2n1a，n2时，anSnSn12n1a(2n2a)，化简得an2n2.则a3a522316.3.若等比数列an的前n项和Sn2n1a，则a3a5等于A.4B.8C.16D.3212345678910 11 12 13 14 15 164.设Sn为等比数列an的前n项和，若27a4a70，则等于A.10B.9C.8D.5解析设数列an的公比为q，由27a4a70，得a4(27q3)0，因为a40，所以27q30，则q3，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解析设数列an的公比为q，显然q1，12
10、345678910 11 12 13 14 15 166.若等比数列an的前n项和Sn23nr，则r_.12345678910 11 12 13 14 15 162解析Sn23nr，由等比数列前n项和的性质得r2.7.已知Sn为等比数列an的前n项和，Sn93，an48，公比q2，则项数n_，a1_.解析由Sn93，an48，公比q2，5312345678910 11 12 13 14 15 168.设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn1，Sn，Sn2成等差数列，则q的值为_.解析由题意知2SnSn1Sn2，若q1，则Snna1，式子显然不成立，12345678910 11 12
11、13 14 15 162故2qnqn1qn2，即q2q20，q2.12345678910 11 12 13 14 15 169.等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列.(1)求数列an的公比q；解依题意有a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)，由于a10，故2q2q0.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)若a1a33，求Sn.12345678910 11 12 13 14 15 16(1)求an与bn；12345678910 11 12 13 14 15 16解由a12，an12an，得an2n(nN*).由题意知：当n1时，b1b21，故
12、b22.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.解由(1)知anbnn2n，因此Tn2222323n2n，2Tn22223324n2n1，所以Tn2Tn222232nn2n1.故Tn(n1)2n12(nN*).11.在等比数列an中，a14，q5，则使Sn107的最小正整数n的值是A.11B.10C.12D.9综合运用解析由题意可知在等比数列an中，a14，q5，12345678910 11 12 13 14 15 16Sn107，5n1107，n10.01，n为正整数，n11，故n的最小值为11.12345678910 11 1
13、2 13 14 15 16解析设数列an共有(2m1)项，由题意得12345678910 11 12 13 14 15 1623222,nn-故当n1或2时，Tn取最大值，为2.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解析因为数列a1，a2，a5的“理想数”为2014，即S1S2S3S4S552014，所以数列2，a1，a2，a5的“理想数”为14.已知数列an的前n项和为Sn，a11,2Snan11，则Sn_.解析当n1时，则有2S1a21，a22S112a113；当n2时，由2Snan11得出2Sn1an1，上述两
14、式相减得2anan1an，数列an是以1为首项，以3为公比的等比数列，12345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 16123,na 12345678910 11 12 13 14 15 16当n2时，anSnSn11223,3nnnab12345678910 11 12 13 14 15 16可知bn为公比为9的等比数列，b13219，12345678910 11 12 13 14 15 1616.已知等差数列an满足a20，a6a810.(1)求数列an的通项公式；解设等差数列an的公差为d，故数列an的通项公式为an2n，nN*.12345678910 11 12 13 14 15 16所以，得12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16
