1、函数的单调性与导数函数的单调性与导数y=f(x)xoyab讲课人：邢启强2函数函数 y=f(x)在给定区间在给定区间 G 上，当上，当 x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都有 f(x 1)f(x2)，则则f(x)在在G上是增函数上是增函数；2）都有）都有f(x1)f(x2)，则则f(x)在在G上是减函数上是减函数；若若f(x)在在G上是单调递增函数或单调递减函数，上是单调递增函数或单调递减函数，则则f(x)在在G上具有严格的单调性。上具有严格的单调性。G称为称为单调区间单调区间G=(a,b)一、复习与引入一、复习与引入:讲课人：邢启强3(1)(1)函数
2、的单调性也叫函数的增减性；函数的单调性也叫函数的增减性；(2)(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。(3)(3)单调区间：针对自变量单调区间：针对自变量x而言的。而言的。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。以前以前,我们用定义来判断函数的单调性我们用定义来判断函数的单调性.在假设在假设x1x2的前提下的前提下,比较比较f(x1)0 时时,函数函数
3、y=f(x)在区间在区间(2,+)内为增函数内为增函数.y 在区间在区间(-,2)内内,切线的斜率为负切线的斜率为负,函数函数y=f(x)的值随着的值随着x的增大而减小的增大而减小,即即 0f(x)0,那么函数那么函数y=f(x)在在区间区间(a,b)上单调递上单调递增增;在某个区间在某个区间(a,b)上，如果上，如果f(x)0.所以，函数f(x)=x3+3x在R上单调递增，如图所示.解：(2)因为f(x)=sinx-x,x(0,),所以f(x)=cosx-10.所以，函数f(x)=sinx-x在(0,)上单调递减，如图所示.讲课人：邢启强9例2已知导函数f(x)的下列信息：当1x0;当x4时
4、,f(x)0;当x=1,或x=4时,f(x)=0.试画出函数f(x)图象的大致形状.解：当1x0,可知f(x)在区间(1,4)上单调递增；当x4时，f(x)0(x(0,+),所以y=x在区间(0,+)上单调递增，当x越来越大时,y=3x2越来越大,函数y=x3递增得越来越快,图象上升得越来越“陡峭”(如图(2).一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）;反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”。讲课人：邢启强15B讲课人：邢启强16练习：1.判断下列函数的单调性，并求出单调区间：(1)f(x)
5、=3x-x3;(2)f(x)=x3-x2-x.2.证明函数f(x)=2x3-6x2+7在区间(0,2)上单调递减.3.函数y=f(x)的图象如图所示，试画出函数y=f(x)图象的大致形状.讲课人：邢启强17利用导数讨论函数单调的步骤利用导数讨论函数单调的步骤:(1):求函数定义域求函数定义域(3)令令 0解方程，得方程的根。解方程，得方程的根。)(xf )(xf (4)列表：方程列表：方程 0的根将函数的定义域分成若的根将函数的定义域分成若干个区间，利用表格判断各区间的正负。干个区间，利用表格判断各区间的正负。(5)大于大于0的区间是的区间是 f(x)的单调递增区间的单调递增区间;小于小于0的
6、区间是的区间是 f(x)的单调递减区间的单调递减区间.).(xf (2):求导数求导数讲课人：邢启强18例例5:确定下列函数的单调区间确定下列函数的单调区间:(1)f(x)=x/2+sinx;解解:(1)函数的定义域是函数的定义域是R,.cos21)(xxf 令令 ,解得解得0cos21 x).(322322Zkkxk 令令 ,解得解得0cos21 x).(342322Zkkxk 因此因此,f(x)的递增区间是的递增区间是:递减区间是递减区间是:);)(322,322(Zkkk ).)(342,322(Zkkk 讲课人：邢启强19解解:函数的定义域是函数的定义域是(-1,+),.)1(2111
7、21)(xxxxf (2)f(x)=x/2-ln(1+x)+1由由 即即 得得x1.,0)1(210)(xxxf注意到函数的定义域是注意到函数的定义域是(-1,+),故故f(x)的递增区间的递增区间是是(1,+);由由 解得解得-1x100,故故f(x)的递减区间是的递减区间是(100,+).,0)(xf说明说明:(1)由于由于f(x)在在x=0处连续处连续,所以递增区间可以扩大到所以递增区间可以扩大到0,100)(或或0,100).(2)虽然在虽然在x=100处导数为零处导数为零,但在写单调区间时但在写单调区间时,都可以把都可以把100包含在内包含在内.讲课人：邢启强21(0，)讲课人：邢启
8、强22四、小结四、小结:1.在利用导数讨论函数的单调区间时在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中解决问题的过程中,只能在函数的定义域内只能在函数的定义域内,通过讨论导数的符通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间号来判断函数的单调区间.2.在对函数划分单调区间时在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外除了必须确定使导数等于零的点外,还还要注意在定义域内的不连续点和不可导点要注意在定义域内的不连续点和不可导点.3.注意在某一区间内注意在某一区间内 ()0只是函数只是函数f(x)在该区间在该区间 上为增上为增(减减)函数的充分不必
9、要条件函数的充分不必要条件.)(xf 4.利用求导的方法可以证明不等式利用求导的方法可以证明不等式,首先要根据题意构造函数首先要根据题意构造函数,再再判断所设函数的单调性判断所设函数的单调性,利用单调性的定义利用单调性的定义,证明要证的不等式证明要证的不等式.当函数的单调区间与函数的定义域相同时当函数的单调区间与函数的定义域相同时,我们也可用求导的方我们也可用求导的方法求函数的值域法求函数的值域.5.若函数若函数f(x)在开区间在开区间(a,b)上具有单调性上具有单调性.则当函数则当函数f(x)时在闭区时在闭区间间a,b上连续上连续,那么单调区间可以扩大到闭区间那么单调区间可以扩大到闭区间a,b上上.6.利用导数的符号来判断函数的单调区间利用导数的符号来判断函数的单调区间,是导数几何意义在研是导数几何意义在研究曲线变化规律的一个应用究曲线变化规律的一个应用,它充分体现了它充分体现了 数形结合的思想数形结合的思想.
