1、F佳 2022年04月二项式系数的性质011()(*)nnnkn kkn nnnnnabC aC abC abC bnNkn kknC ab 1kT 012,nnnnnCCCC),1,0(nkCkn n(a+b)n展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111,0,1,knCkn 二项式系数:,0,1,knCkn 二项式系数:n(a+b)n展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111011101222201233333012344444401234555555501234566666666CCCC
2、CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC你能发现这些数据有什么新的规律吗你能发现这些数据有什么新的规律吗?(1)(1)每行两端的数都是每行两端的数都是1 1；(2)(2)系数呈对称分布；与首末两端系数呈对称分布；与首末两端“等距离等距离”的两个系数相等；的两个系数相等；(3)(3)同一行中，系数先增后减，两端的系数小，中间的系数大同一行中，系数先增后减，两端的系数小，中间的系数大.(4)(4)在相邻的两行中在相邻的两行中,除除1 1以外的每一个数都等于它以外的每一个数都等于它“肩上肩上”两个数的和两个数的和,等等等等.展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依次是：nba)(nnnn
3、nC,C,C,C210 从函数角度看，从函数角度看，可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 ,其定义域是：其定义域是：rnC)(rfn,2,1,0 当当 时，其图象是右时，其图象是右图中的图中的7个孤立点个孤立点6n 二项式系数的性质：二项式系数的性质：二项式系数的性质 对称性对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式 得到mnnmn CC图象的对称轴：2nr 练习：在(a-b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是()A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项增减性与最大值增减性与最大值 kknkkknnnnknkn1
4、C)!1()1()2)(1(C1由于由于：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定 knC1Ckn增减性与最大值增减性与最大值 由由：2111nkkkn 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。21nk 可知，当可知，当 时，时，当当n n为偶数如为偶数如2 2、4 4、6 6时，中时，中间一项最大间一项最大当当n n为奇数如为奇数如1 1、3 3、5 5时，中时，中间两项最大间两项最大二项式系数的增减性与最大值二项式系数的增减性与最大值 因此因此,当当
5、n为偶数时为偶数时,中间一项的二项式中间一项的二项式2Cnn系数系数 取得最大值；取得最大值；当当n为奇数时为奇数时,中间两项的二项式系数中间两项的二项式系数 12Cnn 12Cnn 相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。增减性与最大值增减性与最大值 二项式系数的性质二项式系数的性质在二项式定理中,令 ，则：1ab 012CCCC2nnnnnn 这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于()nab 2n同时由于 上式还可以写成：0C1n 123CCCC21nnnnnn 这是组合总数公式.（赋值法）一般地，的展开式的二项式系数有如下性质：nba)(1)mnnmnCC(2)mnmnmnCC
6、C11(3)当 时,21nk1knknCC 当 时,12nkknknCC1(4)nnnnnCCC210课本P34 练习 4若一个集合含有n个元素，则这个集合共有多少个子集?例3 证明:在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.1,1,ab 令得0123(1 1)(1)nnnnnnnnCCCCC 02130()()nnnnCCCC 即：赋值法证:01-1()nnnrn rrnnnnnnabC aC abC abC b 在展开式中，0213nnnnCCCC =2n-1即：结合二项式系数和为2n课本P34 练习 1练习：已知(2x-1)5=a0 x5+a1x4+a2x+a3x2+a4x+a5，求aoa1a2a3a4a5.变式1：已知(2x-1)5=a0 x5+a1x4+a2x+a3x2+a4x+a5，求a0变式2：已知(2x-1)5=a0 x5+a1x4+a2x+a3x2+a4x+a5，求a4变式3：已知(2x-1)5=a0 x5+a1x4+a2x+a3x2+a4x+a5，求a1a3a5.变式4：已知(2x-1)5=a0 x5+a1x4+a2x+a3x2+a4x+a5，求a2a4a6.变式5：已知(2x-1)5=a0 x5+a1x4+a2x+a3x2+a4x+a5，求|ao|a1|a2|a3|a4|a5|.本小节结束
