1、7.4.1 二项分布二项分布7.4 二项分布与超几何分布二项分布与超几何分布1.复习复习(1)离散型随机变量的方差：离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，的分布列如下表所示，2()().D aXba D X(2)方差的性质：方差的性质：则称则称222112222211()()()()()().nnnniiiiiiD XxE XpxE XpxE XpxE Xpx pE X为随机变量为随机变量X的的方差方差，并称，并称 为随机变量为随机变量X的的标准差标准差，记为，记为(X).()D X()(1,2,3,).iiP Xxpin随机变量的随机变量
2、的方差和标准差方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度偏离程度，反，反映了随机变量取值的映了随机变量取值的离散程度离散程度.在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含只包含两个可能结果两个可能结果.例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.我们把只我们把只包含两个包含两个可能结果可能结果的试验叫做的试验叫做伯努利试验伯努利试验(Berno
3、ulli trials).我们将一个伯努利试验我们将一个伯努利试验独立地重复进行独立地重复进行n次次所组成的随机试验称为所组成的随机试验称为n重重伯努利试验伯努利试验.显然，显然，n重伯努利试验具有如下共同特征重伯努利试验具有如下共同特征:(1)同一个伯努利试验重复做同一个伯努利试验重复做n次；次；(2)各次试验的结果相互独立各次试验的结果相互独立.2.伯努利试验伯努利试验“重复重复”意味着意味着各次试验的概率各次试验的概率相同相同.思考思考 下面下面3个随机试验是否为个随机试验是否为n重伯努利试验重伯努利试验?如果是，那么其中的伯如果是，那么其中的伯努利试验是什么努利试验是什么?对于每个试验
4、，定义对于每个试验，定义“成功成功”的事件为的事件为A，那么，那么A的概率的概率是多大是多大?重复试验的次数是多少重复试验的次数是多少?(1)抛掷一枚质地均匀的硬币抛掷一枚质地均匀的硬币10次次.(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击，连续射击3次次.(3)一批产品的次品率为一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取，有放回地随机抽取20件件.解：解：(1)是是,P(A)0.5,n10；(2)是是,P(A)0.8,n3；(3)是是,P(A)0.05,n20.在在伯努利试验伯努利试验中，我们关注中，我们关注某个事件某个事件A是否发生是否发生，而在，而
5、在n重伯努利试验重伯努利试验中，中，我们关注我们关注事件事件A发生的次数发生的次数X.进一步地，因为进一步地，因为X是一个离散型随机变量，所以是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的我们实际关心的是它的概率分布列概率分布列.例如，对产品抽样检验，随机抽取例如，对产品抽样检验，随机抽取n件，我件，我们关心样本中不合格品数的概率分布列们关心样本中不合格品数的概率分布列.探究探究 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续连续3次射击，中靶次数次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的的概率分布列是怎样的?解：解：用用Ai表示表示“第第i次射击中靶次射击中靶”(i
6、1,2,3)，则，则X的概率分布列为的概率分布列为3123(0)()0.2P XP A A A，2123123123(1)()()()3 0.8 0.2P XP A A AP A A AP A A A，2123123123(2)()()()3 0.80.2P XP A A AP A A AP A A A，3123(3)()0.8P XP A A A.由于由于3次射击恰好次射击恰好1次中靶次中靶(2次中靶次中靶)的所有可能结果的概率相等，故为的所有可能结果的概率相等，故为了简化表示，中靶次数了简化表示，中靶次数X的分布列可表示为的分布列可表示为33()0.80.20 1 2 3.kkkP XkC
7、k,连续射击连续射击4次，中靶次数次，中靶次数X2的结果有的结果有00444(0)0.80.20.2P XC，中靶次数中靶次数X的分布列为的分布列为思考思考 如果连续射击如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于等于2的结果的结果有哪些有哪些?写出中靶次数写出中靶次数X的分布列的分布列.123412341234123412341234A A A AA A A AA A A AA A A AA A A AA A A A，,.,.11334(1)0.80.24 0.8 0.2P XC，222224(2)0.80.26 0.80.2P XC，33134(3)
8、0.80.24 0.80.2P XC，44044(4)0.80.20.8.P XC我们把上面这种分布称为我们把上面这种分布称为二项分布二项分布.一般地，在一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p(0pp1，所以，所以5局局3胜制对甲有利胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利越有利.若采用若采用3局局2胜制，不妨设赛满胜制，不妨设赛满3局，用局，用X表示表示3局比赛中甲胜的局数，则局比赛中甲胜的局数，则XB(3,0.6)，所以甲最终获胜的概率为，所以甲最终获胜的概率为 例例3 甲、乙
9、两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获，乙获胜的概率为胜的概率为0.4，那么采用，那么采用3局局2胜制还是采用胜制还是采用5局局3胜制对甲更有利胜制对甲更有利?解解2：22313(2)(3)0.60.40.60.648.pP XP XC同理，若采用同理，若采用5局局3胜制，则胜制，则XB(5,0.6)，所以甲最终获胜的概率为，所以甲最终获胜的概率为2(3)(4)(5)pP XP XP X332445550.60.40.60.40.60.68256.CC思考思考 为什么假定赛满为什么假定赛满3局或局或5局，不影响甲最终获胜的
10、概率局，不影响甲最终获胜的概率?采用采用3局局2胜制赛满胜制赛满3局时，若前局时，若前2局获胜，那第局获胜，那第3局的胜负并不影响甲获胜；局的胜负并不影响甲获胜；同样，采用同样，采用5局局3胜制赛满胜制赛满5局，若前局，若前3局获胜，那后局获胜，那后2局的胜负并不影响甲获胜，局的胜负并不影响甲获胜，若前若前4局胜局胜3局，那第局，那第5局的胜负也不影响甲获胜局的胜负也不影响甲获胜.所以赛满所以赛满3局或局或5局，均不会不局，均不会不影响甲最终获胜的概率影响甲最终获胜的概率.对于一个离散型随机变量，除了关心它的概率分布列外，我们还关心它的对于一个离散型随机变量，除了关心它的概率分布列外，我们还关
11、心它的均均值和方差值和方差等数字特征，因此，一个服从二项分布的随机变量，其均值和方差也是等数字特征，因此，一个服从二项分布的随机变量，其均值和方差也是我们关心的我们关心的.探究探究 假设随机变量假设随机变量X服从二项分布服从二项分布B(n,p)，那么，那么X的均值和方差各是什么的均值和方差各是什么?我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上正面朝上”的概率为的概率为0.5，如果掷，如果掷100次硬币，期望有次硬币，期望有1000.550次正面朝上次正面朝上.根据均值的含义，对于服从二项分布根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量的随机变量X,我们猜想我们猜
12、想E(X)np.我们不妨从简单开始我们不妨从简单开始,先考察先考察n较小的情况较小的情况.(1)当当n1时，时，X分布列为分布列为 P(X0)1p，P(X1)p，则有，则有E(X)p，D(X)p(1p).(2)当当n2时，时，X分布列为分布列为 P(X0)(1p)2,P(X1)2p(1p),P(X2)p2.E(X)0(1p)212p(1p)2p2 2p.D(X)02(1p)2122p(1p)22p2(2p)22p(1p).由此可猜想，由此可猜想，若若XB(n,p)，则有，则有()E Xnp，()(1).D Xnpp 若若XB(n,p)，则有，则有()()(1).E Xnp D Xnpp ,4.
13、二项分布的均值与方差二项分布的均值与方差下面对均值进行证明下面对均值进行证明.0()(1)nkkn knkE XkC pp 证明：证明：1111101(1)(1)nnkkn knkppCpp ,()XB n pX由由,可可得得 的的概概率率分分布布列列为为()(1).kkn knP XkC pp 111(1)nkkn knknCpp 1111(1)nkkn knknpCpp ().E Xnp 练习练习 一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的3个红球和个红球和2个黄球，从中有放回地取个黄球，从中有放回地取5次，次，则取到红球次数的数学期望是则取到红球次数的数学期望是 ，方差为，方差为_
14、.解：解：3(5).5XXB用用表表示示取取到到红红球球的的次次数数,则则，3()535E X ，326()5.555D X 解：解：课本课本76页页 1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，次，X表示表示“正面朝上正面朝上”出现的次数出现的次数.(1)求求X的分布列；的分布列；(2)E(X)_，D(X)_.(4 0.5).XXB由由题题意意知知,服服从从二二项项分分布布,即即，(1)X的的分分布布列列为为44()0.50 1 2 3 4.kP XkCk,(2)()4 0.52E X ，()4 0.5(10.5)1.D X 解：解：课本课本77页页2.鸡接种一种疫苗后
15、鸡接种一种疫苗后,有有80%不会感染某种病毒不会感染某种病毒.如果如果5只鸡接种了疫苗只鸡接种了疫苗,求求:(1)没有鸡感染病毒的概率；没有鸡感染病毒的概率；(2)恰好有恰好有1只鸡感染病毒的概率只鸡感染病毒的概率.5(5 0.2).XXB设设 只只接接种种疫疫苗苗的的鸡鸡中中感感染染病病毒毒的的只只数数为为,则则，(1)没没有有鸡鸡感感染染病病毒毒的的概概率率为为5(0)0.80.32768.P X(2)1恰恰好好有有 只只鸡鸡感感染染病病毒毒的的概概率率为为145(1)0.2 0.80.4096.P XC 解：解：课本课本77页页3.判断下列表述正确与否，并说明理由判断下列表述正确与否，并
16、说明理由:(1)12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数XB(12,0.25)；(2)100 件产品中包含件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数件，其中的次品数YB(6,0.1).每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为0.25，故，故猜对答案的题目数猜对答案的题目数X服从二项分布，即服从二项分布，即XB(3,0.6).(1)正确正确.理由如下：理由如下：每次抽到次品的概率为每次抽到次品的概率为0.1，但由于是不放回抽样，所以每次是
17、否抽到，但由于是不放回抽样，所以每次是否抽到次品不独立，不满足二项分布的条件次品不独立，不满足二项分布的条件.(2)错误错误.理由如下：理由如下：解：解：巩固训练巩固训练 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为0.6，且，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求次，求:(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率；其中只在第一、三、五次击中目标的概率；(2)其中恰有其中恰有3次击中目标的概率；次击中目标的概率；(3)其中恰有其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率次连续击中目标，
18、而其他两次没有击中目标的概率.(1)所所求求概概率率为为33333108(1)(1).555553125p 332532216(3)()().55625P XC(2)(5 0.6).3XXB由由题题意意知知,击击中中目目标标次次数数 服服从从二二项项分分布布,即即，则则恰恰有有 次次击击中中目目标标的的概概率率为为(3)所所求求概概率率为为132333324()(1).553125pC1.二项分布：二项分布：一般地，在一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p(0p1)，用，用X表示事件表示事件A发生的次数，则发生的次数，则X的分布列为的分布列为()(1)0 1 2.kkn knP XkC ppkn,如果随机变量如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从服从二项分布二项分布，记作记作X B(n，p).若若XB(n,p)，则有，则有()()(1).E Xnp D Xnpp ,2.二项分布的均值与方差：二项分布的均值与方差：小结：小结：
