1、 7.5 正 态 分 布 高二数学选择性必修 第三册 第七章 随机变量及其分布学习目标1.利用实际问题的频率分布直方图,了解正态曲线的特征、意义以及正态曲线的性质;2.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率;3.核心素养:数学抽象、直观想象、数学运算.X01P1-pp111nnC p q0nnnC p q00nnC p qkkn knC p qX01knP0nMN MnNC CC11nMN MnNC CCkn kMN MnNC CC0nMN MnNC CCX01knP一、回顾旧知).,(pnBX4.连续性随机变量 连续型随机变量是指可以取某一区间的一切 值的随机变量,又称作连续型随机变
2、量但取一点的概率为0二、探究新知1.问题:自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400 g.由于各种不可控的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多 或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用 X 表示这种误差，则X 是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差 X(单位:g)的观测值如下:-0.6-1.4-0.7 3.3-2.9-5.2 1.4 0.1 4.4 0.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2 0.5-3.7 2.7 1.1-3.0-2.6-1.9 1.7 2.6 0.4 2.6-2.0-
3、0.2 1.8-0.7-1.3-0.5-1.3 0.2-2.1 2.4-1.5-0.4 3.8-0.1 1.5 0.3-1.8 0.0 2.5 3.5-4.2-1.0-0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9-0.6-4.4-1.1 3.9-1.0-0.6 1.7 0.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.8 1.7 1.4 4.4 1.2-1.8-3.1-2.1-1.6 2.2 0.3 4.8-0.8-3.5-2.7 3.8 1.4-3.5-0.9-2.2-0.7-1.3 1.5-1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7-0.9(1).如何描述这100个样本误差数据的分布?(2).如
4、何构建适当的概率模型刻画误差X的分布?可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布,如右图.根据频率与概率的关系，可用以用上图中的钟型曲线来描述袋装食盐质量误差的概率分布.曲线与水平轴之间的面积为1任意抽取一袋盐，误差落在-2,-1内的概率如何表示?可以用图中黄色阴影部分的面积表示.2.正态密度曲线（简称）0YX相应的函数解析式为：称为正态密度函数22()2,1(),.02xxRRf xe其中为参数,0)(,xfRx对.轴上方它的图象在x1面积为轴和曲线之间的区域的x3.正态分布的定义NoImage22()21(),2xXf xexR若随机变量 的概率分布密度函数为,X服从正则称随机变态分布量).
5、,(2NX记为0,.1X特别地 当时 称服从标准机变量正态分布随).1,0(NX即为的概率取值不超过如上图所示若)(,),(2xXPxXNX.的面积图中区域AASxXP)(即)(bXaPBSy012-1-2x-33=0=1正态分布在概率和统计中占有重要地位,它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中,很多随机变量都服从或近似服从正态分布.例如,某些物理量的测量误差某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量 自动流水线生产的各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容)某地每年7月的平均气温、平均湿度、降水量等一般都近似服从正
6、态分布4.例1.下列函数是正态密度函数的是（）A.B.C.D.22()21(),(0)2xf xe 都是实数222()2xf xe2(1)41()2 2xf xe221()2xf xeB具有两头低、中间高、左右对称的基本特征012-1-2xy-3=-1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2 .0,21)(222)(为参数其中RRxexfx012-1-2xy-3=-1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2(1)对称性:曲线是单峰的,它关于直线x=对称.(2)最值性:曲线在x=处达到峰值(最高点)1 1 22x=x=x=.0,
7、21)(222)(为参数其中RRxexfx(3)当 无限增大时，曲线无限接近 轴.xx.0,21)(222)(为参数其中RRxexfx)()(xfyxfy7.参数 含义及对正态曲线的形状的影响,一个正态分布由参数 和 完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响?它们反映正态分布的哪些特征?312=1=-1=0=1若 固定,随 值的变化而沿x轴平移,故 称为位置参数；(1).当参数 取定值时=0.5=1=2=0若 固定,大时,曲线“矮而胖”；小时,曲线“瘦而高”,故称 为形状参数.所以越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.成反比，与峰值21轴曲
8、线与又x,0.1围成的面积为(2).当参数 取定值时,位置反映了正态分布的集中参数.的离散程度相对于均值反映了随机变量的分布则若),(2NX2)(,)(XDXE三、巩固新知1.例2.次坐他各记录了有时骑自行车李明上学有时坐公交车50.,坐公交车平均经数据分析得到的时间公交车和骑自行车所花:,样本方差为骑自行车平均用时样本方差为用时min,34;36min,30.4都服从正态分布和骑自行车用时假设坐公交车用时YX;,)1(的分布中的参数估计YX;,)1()2(的分布密度曲线和利用信息技术工具画出中的估计结果估计YX如果某天只有具李明应选择哪种交通工可用如果某天有?,min38)3(34min,.
9、可用 又应该选择哪种交通工 具？请说明理由解:由题意可知)1()6,30(2NX)2,34(2NY26 30 3438tyO(2)如右图的密度曲线X的密度曲线Y1.例2.次坐他各记录了有时骑自行车李明上学有时坐公交车50.,坐公交车平均经数据分析得到的时间公交车和骑自行车所花:,样本方差为骑自行车平均用时样本方差为用时min,34;36min,30.4都服从正态分布和骑自行车用时假设坐公交车用时YX如果某天只有具李明应选择哪种交通工可用如果某天有?,min38)3(.,min34具？请说明理由又应该选择哪种交通工可用)6,30(2NX)2,34(2NY.)3(具迟到的概率大的交通工应选择在给定
10、时间内不由右图可知),38()38(YPXP),34()34(YPXP26 30 3438tyO的密度曲线X的密度曲线Y,38min,所以 如果有可用 那么骑自行车不迟到的 概率大应选择骑自行车；34min,如果只有可用 那么坐公交车不迟到的 概率大.应选择坐公交车2.变式训练1_,),1,0()1(的密度函数为则设随机变量XNX._)0(XP221()2xf xe5.0求出总体随机是一条正态曲线如右图1,)2(.态密度函数的解析式变量的期望和方差和正2,2022(20)41()2xf xe,(21)3(222)(Rxeiixii已知三个正态密度函数)(,)3,2,1则的图象如右图所示i321
11、321321321,.,.BA321321321321,.,.DCD2323可以证明：假设),(2NX,().kNPkXkk对给定的是一个只与 有关的定值特别地6827.0)(XP9545.0)22(XP(33)0.9973PX33.正态分布的 原则的但在一次试验中围是尽管正态变量的取值范X,),(率而在此区间外取值的概内取值几乎总落在区间,3,3.,0027.0不可能发生通常认为这种情况几乎大约只有的随机变量布通常认为服从于正态分在实际应用中),(,2N,.33 3X 只取中的值 这在统计学中称为原则4.例3.在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布XN(90,100).(1).求考试成绩
12、X位于区间(70,110)上的概率是多少?(2).若此次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在 (80,100)间的考生大约有多少人?解:(1)依题意,X XN(90,100),N(90,100),90,10.0.95425(2)PX即考试成绩在(80,100)间的概率为0.6827.考试成绩在(80,100)间的考生大约有6827.0)(XP13656827.02000(70110)PX)10080()2(XP5.例4.若XN(5,1),求P(6X7).解:因为XN(5,1),故正态密度曲线关于直线 x=5 对称,1(57)(37)2PxPx1(56)(46)2PxPx(67)(57)(5
13、6)PxPxPx 1(52 152 1)2Px 47725.09545.02134135.06827.0211359.034135.047725.0 1).若XN(,2),问X位于区域(,+)内的概率是多少？解：由正态曲线的对称性可得，1()()0.34132PxPx6.变式训练22.(1,),(4)0.9,(1)2)3()X NP XPX 已知若则6.0.4.0.3.0.2.0.DCBAC(0,1),(1)_,(12)_,(1)_.XNP XP XP X设随机变量则6827.08413.01587.0四、课堂小结.0,21)(222)(为参数其中RRxexfxOxy1.正态曲线及正态密度函数2.正态分布),(2NX2)(,)(XDXE3.正态曲线的性质(1)对称性:曲线是单峰的,它关于直线x=对称.(2)最值性:曲线在x=处达到峰值(最高点)1 1 22(3)当 无限增大时，曲线无限接近 轴.xx6827.0)(XP9545.0)22(XP(33)0.9973PX34.正态分布的 原则作业:课本P87 习题7.5 1,2,3题
