1、第6章 计数原理（2019人教A 选择性必修三）单元测试卷考试时间：120分钟 满分：150分姓名：_ 班级：_考号：_题号一二三四总分评分一、单选题(共8题；共40分)1志愿服务是办好2022年北京冬奥会的重要基础和保障，冬奥会城市志愿者已于2021年12月5日在主要服务站点开始上岗，预计2022年1月25日开始全面上岗服务现有4名志愿者要安排到3个服务站点参加服务，每名志愿者只能安排到一个站点，每个站点至少安排一名志愿者，则不同的安排方案共有（）A48种B36种C24种D12种2易经是中国文化中的精髓，下图是易经八卦图(含乾坤巽震坎离艮兑八卦)，每一卦由三根线组成(表示一根阳线，一一表示一
2、根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有1根阳线和2根阴线的概率为（） ABC D3将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法种数为（）A192B240C384D48045位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（） A10种B20种C25种D32种55名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有（） A60种B90种C150种D240种6已知直线的斜率大于零，其系数a、b、c是取自集合中的3个不同元素，那么这样的不重合直线的条数是（）A11B12C1
3、3D147二项式的展开式中的项的系数为（）A240B80C-160D-808现有语文书第一二三册，数学书第一二三册共六本书排在书架上，语文第一册不排在两端，数学书恰有两本相邻的排列方案种数（） A144B288C216D360二、多选题(共4题；共20分，漏选得3分，错选得0分)9若 ，则正整数x的值是（） A1B4C6D810某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（） A若任意选择三门课程，选法总数为 B若物理和化学至少选一门，选法总数为 C若物理和历史不能同时选，选法总数为 D若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数
4、为 11对于式子 ，下列说法正确的有（） A它的展开式中第4项的系数等于135B它的展开式中第3项的二项式系数为20C它的展开式中所有项系数之和为64D它的展开式中第一项的系数为 12若直线 与曲线 满足下列两个条件：直线 在点 处与曲线 相切；曲线 在点 附近位于直线 的两侧，则称直线 在点 处“切过”曲线 .则下列结论正确的是（） A直线 在点 处“切过”曲线 B直线 在点 处“切过”曲线 C直线 在点 处“切过”曲线 D直线 在点 处“切过”曲线 三、填空题(共4题；共20分)13在的展开式中，x的系数为 .14从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学
5、又有女同学的不同选法共有 种（用数字作答）15小红同学去买糖果，现只有四种不同口味的糖果可供选择，单价均为一元一颗，小红只有7元钱，要求钱全部花完且每种糖果都要买，则不同的选购方法共有 种（用数字作答）16现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有 种.（用数字作答）.四、解答题(共6题；共70分)17设 （1）求 的值； （2）求 的值. 18用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（1）六位奇数； （2）个位数字不是5的六位数； （3）
6、不大于4 310的四位偶数. 19有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内：（1）共有多少种方法？ （2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？ （3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？ 20“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数（如1458），若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，求第30个“渐升数” 21（1）若 ，求n； （2）已知 ，求 的展开式中 的系数.(用数字表示结果) 22已知n为正整数，在二项式（ +2x）n的展开式中，若前三项的二项式系数的和等于79 （1）求n的值； （2）判断展开式中第几项的系数最大？ 第6章 计数原理（2019人教A 选择性
7、必修三）单元测试卷答案解析部分一、单选题： BCDD CACB1【答案】B【解析】先将4名志愿者分成3组，其中3组1人，1组2人，由种分法，2【答案】C【解析】从八卦中任取一卦，基本事件有 种， 其中恰有1根阳线和2根阴线，基本事件共有3种，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有1根阳线和2根阴线的概率为 利用实际问题已知条件结合古典概型求概率公式，从而求出从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有1根阳线和2根阴线的概率。3【答案】D【解析】解：第一类，字母C排在左边第一个位置，有 种；第二类，字母C排在左边第二个位置，有 种；第三类，字母C排在左边第三个位置，有 种，由对称性可知共有2（）=4
8、80种故选D分类讨论，考虑C排在左边第一、二、三个位置的情况，再利用对称性可得结论4【答案】D【解析】每个同学都有2种选择，根据分步乘法计数原理，不同的报名方法共有 种， 故答案为：D.利用实际问题的已知条件结合分步乘法计数原理，从而求出不同的报名方法种数。5【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：将5名同学分为3组，若分为1，2，2的三组，有 种分组方法，若分为113的三组，有 种分组方法，则有 种分组方法，将分好的三组安排到3个小区，有 种情况，则有 种不同的安排方法。故答案为：C.利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，从而求出不同的安排方法
9、共有的种数。6【答案】A【解析】因为直线的斜率大于零，所以， 当，a有2种选法，b有2种选法，c有1种选法；因为直线与直线重合，所以这样的直线有条；当时，a有1种选法，b有2种选法， c有2种选法；所以这样的直线有条，当时，a有2种选法，b有1种选法， c有2种选法；所以这样的直线有条，综上所述：这样的不重合直线的条数是3+8=11条。故答案为：A利用直线的斜率大于零，所以， 再利用已知条结合分类讨论的方法，从而利用分类加法计数原理，进而求出这样的不重合直线的条数。7【答案】C【解析】因为二项式的展开式为：，所以的展开式中含的项为，则的系数为-160，故答案为：C.首先求解出二项展开式的通项公
10、式，再由已知条件把数值代入，计算出结果即可。8【答案】B【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：1、若语文第一册排在3本数学书之间，分3步进行分析：、将三本数学书分为12的两组，有C31=3种分组方法，考虑2本一组的顺序，有2种情况， 将两组全排列，有A22=2种顺序，、将语文第一册安排在数学书的两组之间，有1种情况，、将3本数学书和语文第一册看成一个整体，与语文第二、三册全排列，有A33=6种情况，此时不同的排法有3226=72种排法；2、若语文第一册不排在三本数学书之间，分3步进行分析：、将语文第二、三册全排列，有A22=2种顺序，排好后有3个空位可用，、将三本数学书分为12的两组，有C31
11、=3种分组方法，考虑2本一组的顺序，有2种情况，在3个空位中，任选2个，安排2组数学书，有A32=6种情况，则数学书的安排有326=36种情况，、数学书和2本语文书排好后，除去2端，有3个空位可选，在3个空位中，任选1个，安排语文第一册，有C31=3种情况，此时不同的排列方法有2363=216种；综合可得：不同的排列方法有72+216=288种；故选：B根据题意，分2种情况讨论：1、若语文第一册排在3本数学书之间，分3步进行分析：、将三本数学书分为12的两组，将两组全排列，、将语文第一册安排在数学书的两组之间，、将3本数学书和语文第一册看成一个整体，与语文第二、三册全排列，2、若语文第一册不排
12、在三本数学书之间，也需要分3步进行分析：、安排语文第二、三册，将其全排列即可，、安排3本数学书，先将将三本数学书分为12的两组，再在语文书的3个空位中，任选2个，安排2组数学书，、安排语文第一册，分别求出每一步的情况数目，由分类计数原理计算可得答案二、多选题9【答案】A,C【解析】由组合数的性质可知 或 ，解得： 或 。 故答案为：AC利用已知条件结合组合数的性质得出正整数x的值。10【答案】A,B,D【解析】对于A，若任意选择三门课程，选法总数为 种，A不符合题意 对于B，若物理和化学选一门，有 种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有 种选法若物理和化学选两门，有 种选法，剩下一门从剩余的
13、5门中选1门，有 种选法由分步乘法计数原理知，总数为 种选法，B不符合题意对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为 种，C符合题意对于D，若物理和化学至少选一门，有3种情况，只选物理不选历史，有 种选法选化学，不选物理，有 种选法物理与化学都选，不选历史，有 种选法故总数为 种，D不符合题意，故答案为：ABD A若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为种，可判断A错误；B若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为种，可判断B错误；C若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为种，可判断C正确；D若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D错误11【答案】C
14、,D【解析】 的展开式的通项公式是 ， A. ，所以第4项的系数等于-540，故错误；B. ，所以它的展开式中第3项的二项式系数为15，故错误；C. 令 ，得 ，所以它的展开式中所有项系数之和为64，故正确；D. ，所以它的展开式中第一项的系数为 ，故正确；故答案为：CD 由题意利用二项式定理，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.12【答案】A,C,D【解析】A项,因为 ,当 时, , 所以 是曲线 在点 处的切线.当 时, ；当 时, ,所以曲线 在点 附近位于直线 的两侧,结论正确；B项, ,当 时, ,在 处的切线为 .令 ,则 ,当 时, ；当 时, ,所以 .故 ,即当 时,曲线
15、 全部位于直线 的下侧（除切点外）,结论错误；C项, ,当 时, ,在 处的切线为 ,由正弦函数图像可知,曲线 在点 附近位于直线 的两侧,结论正确；D项, ,当 时, ,在 处的切线为 ,由正切函数图像可知,曲线 在点 附近位于直线 的两侧,结论正确.故答案为：ACD. 首先求出曲线C在点P处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小，由此对选项逐一判断即可得出答案。.三、填空题13【答案】-80【解析】解：的展开式中，含的项为：，故的系数为-80. 故答案为：-80 利用二项式定理可求得的展开式中，含x的项，从而可得答案.14【答案】420【解析】解：由题意共有两类不同
16、选法，男同学选1人，女同学中选2人，不同选法C101C62=150；男同学选2人，女同学中选1人，不同选法C102C61=270；共有：C101C62+C102C61=150+270=420 故答案为：420由题意分类：男同学选1人，女同学中选2人，确定选法；男同学选2人，女同学中选1人，确定选法；然后求和即可15【答案】20【解析】由题得小红要买7颗糖果，把7颗糖果看作7个相同的小球，排成一横排，它们产生6个空位，从六个空位里选三个空位，插入三块隔板，隔板不能放在两端，共有 种方法，所以不同的选购方法共有20种.(如果这一横排为：小球，小球，隔板，小球，隔板，小球，小球，隔板，小球，小球，则
17、代表第一种糖果买2颗，第二种糖果买1颗，第三种糖果买2颗，第四种糖果买2颗). 故答案为：20由题意把7颗糖果看作7个相同的小球，排成一横排，它们产生6个空位，从六个空位里选三个空位，插入三块隔板，隔板不能放在两端，即可求出答案。16【答案】96【解析】根据题意，假设正五角星的区域依此为 、 、 、 、 、 ，如图所示： 要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对 区域涂色有3种方法， 、 、 、 、 这5个区域都与 相邻，每个区域都有2种涂色方法，所以共有 种涂色方案。故答案为：96。利用已知条件结合分步乘法计数原理，进而求出每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色
18、不同的涂色方案种数。四、解答题17【答案】（1）解： 的展开式的通项为 所以 （2）解：当 时， ， 当 时， ，得 ，所以 【解析】（1）写出 的展开式的通项即可得到答案；（2）令 ，求出 的值，然后再令 ，求出 的值，从而可求出 的值.18【答案】（1）解：先排个位数，有 种，因为0不能在首位，再排首位有 种，最后排其它有 ，根据分步计数原理得，六位奇数有 ； （2）解：因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0， 当个位数是0，有 ， 当个位不数是0，有 ，根据分类计数原理得，个位数字不是5的六位数有 ； （3）解：当千位小于4时，有 种， 当千位是4，百位小于3时，有 种， 当千
19、位是4，百位是3，十位小于1时，有1种， 当千位是4，百位是3，十位是1，个位小于等于0时，有1种， 所以不大于4310的四位偶数4有 . 【解析】（1）先排个位，再排首位，其余的位任意排，根据分步计数原理；（2）2因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0；（3）需要分类，不大于4310的四位偶数，即是小于等于4310的偶数，当千位小于4，当百位小于3，当十位小于1时，然后根据分类计数原理可得19【答案】（1）解：每个球都有4种方法，故有4444256种， （2）解：每个盒子不空，共有 不同的方法 （3）解：四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个
20、盒子中有2个小球， 从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有 种不同的放法【解析】(1)由分步计数原理代入数值计算出结果即可。(2)由排列的定义结合已知条件计算出答案即可。(3)由排列组合以及计数原理结合已知条件代入数值计算出结果即可。20【答案】解：根据题意，“渐升数”中不能有0，则在其他9个数字中任取4个，每种取法对应一个“渐升数” 对于这些“渐升数”，1在首位、2在百位的有 =21个；1在首位、3在百位，4在十位的有5个，1在首位、3在百位，5在十位的有4个故第30个“渐升数”为1359【解析】根据题意，“渐升数”中不能有0，则在其他9个数字中任取4个，每种
21、取法对应一个“渐升数”，再确定1在首位、2在百位；3在百位，4在十位，5在十位“渐升数”的个数，即可得出结论 21【答案】（1） ， ，即 ，解得： ( 舍).（2）由题意得：展开式中 的系数为： . 展开式中 的系数：330.【解析】(1)利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，从而结合一元二次方程求解集的方法，进而求出n的值。 （2）利用已知条件结合二项式系数与组合数的性质，再结合组合数公式求出 的展开式中 的系数。 22【答案】（1）解：根据题意， + + =79， 即1+n+ =79，整理得n2+n156=0，解得n=12或n=13（不合题意，舍去） 所以n=12（2）解：设二项式 = （1+4x）12的展开式中第k+1项的系数最大， 则有 ，解得9.4k10.4，所以k=10，所以展开式中第11项的系数最大【解析】（1）根据题意列出方程 + + =79，解方程即可；（2）设该二项式的展开式中第k+1项的系数最大，由此列出不等式组，解不等式组即可求出k的值
