1、A组 自主命题北京卷题组,五年高考,1.(2016北京,10,5分)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为 .(用数字作答),答案 60,解析 Tr+1= 16-r(-2x)r=(-2)r xr(r=0,1,6),令r=2,得T3=(-2)2 x2=60x2.故x2的系数为60.,方法点拨 求二项展开式中的特定项及特定项的系数问题,一般抓住通项,并进行整理,令字 母的指数符合要求,解出项数,代回通项即可.,2.(2015北京,9,5分)在(2+x)5的展开式中,x3的系数为 .(用数字作答),答案 40,解析 (2+x)5的展开式的通项为Tr+1= 25-rxr(r=0,1,5),则x3的系
2、数为 22=40.,B组 统一命题省(区、市)卷题组,考点 二项式定理的应用,1.(2019课标全国理,4,5分)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为 ( ) A.12 B.16 C.20 D.24,答案 A 本题考查二项式定理的应用,通过求解二项展开式中指定项的系数考查学生对公 式的运用能力,考查了数学运算的核心素养. (1+x)4的二项展开式的通项为Tk+1= xk(k=0,1,2,3,4),故(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为 +2 =12.故选A.,解题关键 掌握多项式乘法的展开式,熟记二项展开式的通项是解决本题的关键.,2.(2018课标,5,5分) 的展开
3、式中x4的系数为 ( ) A.10 B.20 C.40 D.80,答案 C 本题考查二项式定理. 的展开式的通项Tr+1= (x2)5-r(2x-1)r=2r x10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以x4的系数为22 =4 0.故选C.,3.(2017课标,6,5分) (1+x)6展开式中x2的系数为 ( ) A.15 B.20 C.30 D.35,答案 C 本题考查二项展开式中的系数问题,考查学生应用二项式定理解决与展开式系数 有关问题的能力和运算求解能力. 解法一: (1+x)6=1(1+x)6+ (1+x)6,(1+x)6的展开式中的x2的系数为 =15, (1+x)6的展 开式中
4、的x2的系数为 =15,所以所求展开式中x2的系数为15+15=30. 解法二:因为 (1+x)6= ,所以 (1+x)6展开式中x2的系数等于(1+x2)(1+x)6 展开式中x4的系数,而(1+x2)(1+x)6展开式中x4的系数为 + =30,故 (1+x)6展开式中x2的 系数为30.,方法总结 对于几个二项式积的展开式中的特定项系数问题,一般可以根据因式连乘的规律, 结合组合思想求解,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏.,4.(2017课标,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为( ) A.-80 B.-40 C.40 D.80,答案 C 本题考查二项式
5、定理,求特定项的系数. (2x-y)5的展开式的通项为Tr+1= (2x)5-r(-y)r=(-1)r25-r x5-ryr.其中x2y3项的系数为(-1)322 =-40,x 3y2项的系数为(-1)223 =80.于是(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为-40+80=40.,5.(2016四川,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为 ( ) A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4,答案 A T3= x4i2=-15x4,故选A.,易错警示 易误认为i2=1而致错.,评析 正确应用二项展开式的通项是解题的关键.,6.(2015陕西
6、,4,5分)二项式(x+1)n(nN+)的展开式中x2的系数为15,则n= ( ) A.4 B.5 C.6 D.7,答案 C 因为(x+1)n的展开式中x2的系数为 ,所以 =15,即 =15,亦即n2-n=30,解得n=6 (n=-5舍).,7.(2015湖南,6,5分)已知 的展开式中含 的项的系数为30,则a= ( ) A. B.- C.6 D.-6,答案 D 的展开式的通项为Tr+1= ( )5-r =(-a)r . 依题意,令5-2r=3,得r=1, (-a)1 =30,a=-6,故选D.,8.(2019浙江,13,6分)在二项式( +x)9的展开式中,常数项是 ,系数为有理数的项的
7、个 数是 .,答案 16 ;5,解析 本题主要考查二项式展开式的通项公式的运用,通过通项公式的化简和运算确定其中 的特定项,以此考查学生数学运算的能力和核心素养,以及用方程思想解决求值问题的能力. ( +x)9展开式的通项Tr+1= ( )9-rxr= xr(r=0,1,2,9), 令r=0,得常数项T1= x0= =16 , 要使系数为有理数,则只需 Z,则r必为奇数, 满足条件的r有1,3,5,7,9,共五种, 故系数为有理数的项的个数是5.,解后反思 二项式的展开式中特定项的确定需写出其通项公式,并化简整理,根据特定项的特 点列方程确定r的值,进而可求解特定项.,9.(2019天津理,1
8、0,5分) 的展开式中的常数项为 .,答案 28,解析 本题考查二项展开式的通项,通过二项展开式中指定项的求解考查学生的运算能力,从 而体现运算法则及运算对象选择的素养要素. 二项展开式的通项公式为Tk+1= (2x)8-k =(-1)k 28-k2-3kx8-4k=(-1)k 28-4kx8-4k,令8-4k=0,得 k=2,即T3=(-1)2 20= =28,故常数项为28.,解题关键 熟记二项展开式的通项公式是求解本题的关键.,10.(2018天津,10,5分)在 的展开式中,x2的系数为 .,答案,解析 本题主要考查二项展开式特定项的系数. 由题意得Tr+1= x5-r = , 令5-
9、 =2,得r=2,所以 = = . 故x2的系数为 .,方法总结 求二项展开式中的某一项的系数时,直接利用展开式的通项Tr+1= an-rbr进行求解.,11.(2018浙江,14,4分)二项式 的展开式的常数项是 .,答案 7,解析 本小题考查二项式定理,二项展开式的通项和相关计算. 的展开式的通项Tk+1= x-k= ,要使Tk+1为常数,则 =0,k=2, 此时T3= =7,故展开式的常数项为7.,思路分析 (1)求出二项展开式的通项.(2)令通项中x的指数为0,得k的值.(3)计算此时的Tk+1.,12.(2017浙江,13,6分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a
10、2x3+a3x2+a4x+a5,则a4= ,a5= .,答案 16;4,解析 本题考查二项式定理,求指定项系数,组合数计算,考查运算求解能力. 设(x+1)3=x3+b1x2+b2x+b3,(x+2)2=x2+c1x+c2, 则a4=b2c2+b3c1= 1222+13 2=16, a5=b3c2=1322=4.,13.(2016课标全国,14,5分)(2x+ )5的展开式中,x3的系数是 .(用数字填写答案),答案 10,解析 Tr+1= (2x)5-r( )r=25-r ,令5- =3,得r=4,T5=10x3,x3的系数为10.,14.(2016天津,10,5分) 的展开式中x7的系数为
11、 .(用数字作答),答案 -56,解析 Tr+1= x16-2r(-x)-r=(-1)-r x16-3r, 令16-3r=7,得r=3, 所以x7的系数为(-1)-3 =-56.,易错警示 本题中,展开式的通项易写错,尤其是符号,正负易混,需引起注意.,评析 本题主要考查二项式定理,对运算求解能力要求较高.属中档题.,15.(2015天津,12,5分)在 的展开式中,x2的系数为 .,答案,解析 的展开式的通项为Tr+1= x6-r = x6-2r,令6-2r=2,得r=2, 所以x2的系数为 = .,16.(2015福建,11,4分)(x+2)5的展开式中,x2的系数等于 .(用数字作答),
12、答案 80,解析 Tr+1= x5-r2r(r=0,1,5), 令5-r=2,得r=3, 所以x2的系数为 23=80.,17.(2015重庆,12,5分) 的展开式中x8的系数是 .(用数字作答),答案,解析 二项展开式的通项为Tr+1= (x3)5-r = ,令15-3r- =8,得r=2,于是展开式 中x8的系数为 = 10= .,C组 教师专用题组,1.(2015课标,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60,答案 C (x2+x+y)5=(x2+x)+y5的展开式中只有 (x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数
13、为 =30, 故选C.,2.(2018上海,3,4分)在(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为 (结果用数值表示).,答案 21,解析 本题主要考查二项展开式.(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为 = =21.,3.(2015广东,9,5分)在( -1)4的展开式中,x的系数为 .,答案 6,解析 ( -1)4的展开式的通项为Tr+1= ( )4-r(-1)r=(-1)r , 令 =1,得r=2,从而x的系数为 (-1)2=6.,4.(2015安徽,11,5分) 的展开式中x5的系数是 .(用数字填写答案),答案 35,解析 展开式的通项为Tk+1= (x3)7-kx-k= x21-
14、4k, 令21-4k=5,得k=4, 则展开式中x5的系数为 =35.,5.(2014课标,13,5分)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为 .(用数字填写答案),答案 -20,解析 由二项展开式公式可知,含x2y7的项可表示为x xy7-y x2y6,故(x-y)(x+y)8的展开式中x2y 7的系数为 - = - =8-28=-20.,6.(2014课标,13,5分)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a= .(用数字填写答案),答案,解析 Tr+1= x10-rar,令10-r=7,得r=3, a3=15,即 a3=15,a3= ,a= .,7.(2014大纲全国,
15、13,5分) 的展开式中x2y2的系数为 .(用数字作答),答案 70,解析 Tr+1= =(-1)r ,令 得r=4. 所以展开式中x2y2的系数为(-1)4 =70.,8.(2014山东,14,5分)若 的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为 .,答案 2,解析 Tr+1= (ax2)6-r = a6-rbrx12-3r, 令12-3r=3,则r=3. a3b3=20,即ab=1. a2+b22ab=2,即a2+b2的最小值为2.,评析 本题考查二项式定理及基本不等式的综合应用.考查学生推理论证及运算求解能力.,9.(2014安徽,13,5分)设a0,n是大于1的自然数, 的
16、展开式为a0+a1x+a2x2+anxn.若点Ai (i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a= .,答案 3,解析 根据题意知a0=1,a1=3,a2=4, 结合二项式定理得 即 解得a=3.,10.(2014湖北,2,5分)若二项式 的展开式中 的系数是84,则实数a= ( ) A.2 B. C.1 D.,答案 C Tr+1= (2x)7-r =27-r ar . 令2r-7=3,则r=5. 由22 a5=84得a=1,故选C.,11.(2014浙江,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f (
17、0,3)=( ) A.45 B.60 C.120 D.210,答案 C 在(1+x)6的展开式中,xm的系数为 ,在(1+y)4的展开式中,yn的系数为 ,故f(m,n)= .从而f(3,0)= =20, f(2,1)= =60, f(1,2)= =36, f(0,3)= =4,故选C.,12.(2014四川,2,5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为 ( ) A.30 B.20 C.15 D.10,答案 C 在(1+x)6的展开式中,含x2的项为T3= x2=15x2,故在x(1+x)6的展开式中,含x3的项的系 数为15.,评析 本题考查二项展开式中求指定项的系数,属容易题.但
18、在(1+x)6前面乘以x后,易误求T4= x3.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点 二项式定理的应用,1.(2017北京海淀二模,2)二项式 的展开式的第二项是 ( ) A.6x4 B.-6x4 C.12x4 D.-12x4,答案 D 展开式的第二项为T2= x5 =-12x4,故选D.,2.(2019北京朝阳一模,3) 的展开式中的常数项为 ( ) A.-12 B.-6 C.6 D.12,答案 C Tr+1= (-x)r= (-1)rx2r-4, 当2r-4=0,即r=2时,此项为常数项, 即T3= (-1)2=6,故选C.,3.(2019北京丰台期末,10)(2
19、x-1)5的展开式中x2的系数为 .,答案 -40,解析 Tr+1= (2x)5-r(-1)r= (-1)r25-rx5-r,令r=3,得系数为-22 =-40.,4.(2019北京西城二模,9)在二项式(1-x)5的展开式中,x2的系数是 .,答案 10,解析 Tk+1= 15-k(-x)k,令k=2,从而有T2+1= 13(-x)2=10x2,所以x2的系数是10.,易错警示 二项式定理的考查中注意“项的系数”与“二项式系数”的区别.,5.(2018北京海淀二模,10)在 的展开式中,x3的系数为 .,答案 10,解析 的展开式的通项为Tr+1= x5-r(2x-1)r= 2rx5-2r,
20、 当5-2r=3,即r=1时, 2r=52=10.故x3的系数为10.,解后反思 关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题:(1)考查二项展 开式的通项Tr+1= an-rbr(可以考查某一项,也可考查某一项的系数);(2)考查各项系数和与各项 的二项式系数和;(3)二项展开式的应用.,6.(2019北京通州期末,12) 的展开式中含x2的项的系数是 .,答案 15,解析 的展开式的通项为Tr+1= (-1)rx6-2r,令6-2r=2,解得r=2.故展开式中含x2的项的系 数为 (-1)2=15.,思路分析 根据题意列出展开式的通项公式,令x的幂指数为2,求出r的值,即可求出
21、展开式中 含x2的项的系数.,7.(2019北京大兴期末,10) 的展开式中,常数项的值为 .,答案 84,解析 Tr+1= (x2)9-r = x18-2rx-r= x18-3r,令r=6,得常数项为 =84.,8.(2019北京东城一模, 9)在( -x)6的展开式中,x2的系数是 .(用数字作答),答案 60,解析 Tr+1= ( )6-r(-x)r,令r=2得,T3= ( )4(-x)2=60x2,系数为60.,9.(2017北京顺义二模,10)在 的展开式中,x7的系数为 .(用数字作答),答案 7,解析 由题意可得Tr+1= (x2)8-r = x16-3r,令16-3r=7,得r
22、=3,x7的系数为 =7.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:30分钟 分值:55分 一、选择题(每小题5分,共15分),1.(2018北京东城二模,3)在 的展开式中,x3的系数为10,则实数a等于 ( ) A.-1 B. C.1 D.2,答案 D Tr+1= x5-r = arx5-2r,当5-2r=3时,r=1,a =10,a=2.故选D.,思路分析 准确地掌握二项式定理的内容及有关概念,正确运用二项式定理的通项是解题的 关键.,2.(2019清华中学生标准学术能力试卷,6)在(1+x)3+(1+x)4+(1+x)10的展开式中x2的系数为 ( ) A.119 B.12
23、0 C.164 D.165,答案 C 根据二项式定理,展开式的通项中x2的系数为 + + + = + + + + + -1= + + + -1= -1=164,故选C.,3.(2019北京海淀二模,4)在(x-2)5的展开式中,x2的系数是 ( ) A.-80 B.-10 C.5 D.40,答案 A Tk+1= x5-k(-2)k,令5-k=2,得k=3,从而有T3+1= x5-3(-2)3=-80x2,所以x2的系数是-80,故 选A.,二、填空题(每小题5分,共40分) 4.(2018北京通州摸底,10)二项式 的展开式中的常数项是 .,答案 -160,解析 的展开式中的常数项为 (2x)
24、3 =-160.,5.(2018北京门头沟一模,9)在 的展开式中,x6的系数是 .,答案 15,解析 根据通项公式Tr+1= (-1)rx12-3r,令12-3r=6,得r=2,所以x6的系数为 (-1)2=15.,6.(2018北京海淀期末,12)已知(5x-1)n的展开式中,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 641,则n= .,答案 6,解析 当x=1时,各项系数的和为(51-1)n=4n,二项式系数的和为2n,易得 =64,所以n=6.,7.(2018北京石景山期末,12)设常数aR,若 的二项展开式中x7项的系数为-10,则a= .,答案 -2,解析 的展开式的通项Tr+1=
25、x10-2r = x10-3rar, 令10-3r=7,得r=1,x7项的系数是a , x7项的系数是-10,a =-10,解得a=-2.,8.(2019北京首师大附中一模,9)若 的展开式中的二项式系数和为64,则n等于 ,该 展开式中的常数项为 .,答案 6;15,解析 由 的展开式中的二项式系数和为64,可得2n=64,n=6. 由于 = ,所以展开式的通项为 Tr+1= x12-2rx-r= x12-3r, 令12-3r=0,得r=4,故该展开式中的常数项为 = =15.,9.(2018北京朝阳二模,11)若 的展开式的二项式系数之和为8,则n= ,展开式中含 项的系数为 .(用数字作
26、答),答案 3;-1,解析 由二项式系数和公式可得,2n=8,所以n=3, 所以 的展开式的通项为Tr+1= (x3)3-r = (-1)rx9-4r, 当9-4r=-3,即r=3时,T4= (-1)3x-3=- , 所以含 项的系数为-1.,思路分析 利用二项式系数和为2n,列出方程求n,利用二项展开式的通项公式求出通项,令x的 指数为-3,求出展开式中含 项的系数.,10.(2017北京东城一模,10)在 的展开式中,常数项为 .(用数字作答),答案 40,解析 展开式的通项为Tr+1= (x2)5-r = 2rx10-5r,令10-5r=0,则r=2,故常数项为 22=40.,11.(2019北京延庆一模,13)已知f(x)=(2x-1)4,设(2x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a1+2a2+3a3+4a4= .,答案 8,解析 由Tk+1= an-kbk,得T1= (2x)4(-1)0=16x4,T2= (2x)3(-1)1=-32x3,T3= (2x)2(-1)2=24x2,T4= (-1)3=-8x,所以a1+2a2+3a3+4a4=(-8)+224+3(-32)+416=8.,
