1、A组 自主命题北京卷题组,五年高考,考点一 向量的线性运算及几何意义,1.(2015北京,13,5分)在ABC中,点M,N满足 =2 , = .若 =x +y ,则x= ,y= .,答案 ;-,解析 由 =2 知M为AC上靠近C的三等分点,由 = 知N为BC的中点,作出草图如下: 则有 = ( + ), 所以 = - = ( + )- = - , 又因为 =x +y ,所以x= ,y=- .,思路分析 由已知作出草图,用 、 表示 、 ,代入 = - 中,化简可求得x,y 的值.,2.(2014北京,10,5分)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且a+b=0(R),则|= .,答案
2、,解析 a+b=0,即a=-b,|a|=|b|. |a|=1,|b|= ,|= .,思路分析 先根据已知得到|a|,|b|的关系,然后计算|.,3.(2013北京,13,5分)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=a+b(,R),则 = .,答案 4,解析 以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系,令每个小正方形的边长为1个单 位,则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a= =(-1,1),b= =(6,2),c= =(-1,-3).由c=a+b可得 解得 所以 =4.,思路分析 注意到网格线,先将某点设为原点,建立直角坐标系,利用平面向量的坐标运算构造 方程
3、组求值.,评析 本题主要考查平面向量的基本定理和坐标运算,考查学生的运算求解能力和解析法在 向量中的应用,构建关于和的方程组是求解本题的关键.,考点二 平面向量的基本定理及向量的坐标运算,1.(2014北京,3,5分)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b= ( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9),答案 A 由a=(2,4)知2a=(4,8),所以2a-b=(4,8)-(-1,1)=(5,7).故选A.,2.(2019北京文,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,则m= .,答案 8,解析 本题考查两向量垂直的充要条件和向量的
4、坐标运算,考查了方程的思想方法. ab,ab=(-4,3)(6,m)=-24+3m=0, m=8.,易错警示 容易把两向量平行与垂直的条件混淆.,3.(2011北京,10,5分)已知向量a=( ,1),b=(0,-1),c=(k, ).若a-2b与c共线,则k= .,答案 1,解析 a-2b=( ,3)与c=(k, )共线, 3k= ,故k=1.,失分警示 混淆两向量共线与两向量垂直的充要条件,造成失分.,评析 本题考查了向量的坐标运算和向量共线的充要条件.解题的关键是利用向量共线的充 要条件列出关于k的方程,本题属容易题.,B组 统一命题省(区、市)卷题组,考点一 向量的线性运算及几何意义,
5、1.(2018课标,6,5分)在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则 = ( ) A. - B. - C. + D. +,答案 A 本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义. E是AD的中点, =- , = + =- + ,又D为BC的中点, = ( + ),因此 =- ( + )+ = - ,故选A.,题型归纳 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)考查向量加法或减法的几何意义. (2)求已知向量的和或差.一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则;求首 尾相连的向量的和用三角形法则. (3)与三角形综合,求参数的值.求出向量的和或差,与已知条件中的式子比
6、较,求得参数. (4)与平行四边形综合,研究向量的关系.画出图形,找出图中的相等向量、共线向量,将所求向 量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.,2.(2015课标全国,13,5分)设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数= .,答案,解析 由于a,b不平行,所以可以以a,b作为一组基底,于是a+b与a+2b平行等价于 = ,即= .,考点二 平面向量的基本定理及向量的坐标运算,1.(2016课标全国,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则m= ( ) A.-8 B.-6 C.6 D.8,答案 D 由题可得a+b=(4,m-2),又(a+b)b,4
7、3-2(m-2)=0,m=8.故选D.,2.(2015课标,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量 =(-4,-3),则向量 = ( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4),答案 A 解法一:根据题意得 =(3,1), = - =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A. 解法二:设C(x,y),则 =(x,y)-(0,1)=(x,y-1)=(-4,-3), 解得x=-4,y=-2, 故 =(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).,3.(2015广东,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形, =(1,-2),
8、 = (2,1),则 = ( ) A.5 B.4 C.3 D.2,答案 A 四边形ABCD是平行四边形, = + =(3,-1), =23+1(-1)=5. 选A.,4.(2019浙江,17,6分)已知正方形ABCD的边长为1.当每个i(i=1,2,3,4,5,6)取遍1时,|1 +2 +3 +4 +5 +6 |的最小值是 ,最大值是 .,答案 0;2,解析 本题考查平面向量的坐标表示及坐标运算,在向量的坐标运算中涉及多个未知数据以 此来考查学生的数据处理能力,数学运算及数据分析的核心素养. 如图,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), =(1,0),
9、=(0,1), =(-1,0), =(0,-1), =(1,1), =(-1,1), 故|1 +2 +3 +4 +5 +6 | =|(1-3+5-6,2-4+5+6)| = .(*),显然(*)式中第一个括号中的1,3与第二个括号中的2,4的取值互不影响,只需讨论5与6的 取值情况即可, 当5与6同号时,不妨取5=1,6=1, 则(*)式即为 ,1,2,3,4-1,1,1=3,2-4=-2(2=-1,4=1)时,(*)式取最小值0,当|1-3|=2(如1=1,3=-1),2- 4=2(2=1,4=-1)时,(*)式取最大值2 , 当5与6异号时,不妨取5=1,6=-1,则(*)式即为 . 同理
10、可得最小值仍为0,最大值仍为2 , 综上,最小值为0,最大值为2 .,解题关键 本题未知量比较多,所以给学生的第一感觉是难,而实际上注意到图形为规则的正 方形,i(i=1,2,3,4,5,6)的取值只有两种可能(1或-1),这就给建系及讨论i的值创造了条件,也是求 解本题的突破口.,5.(2019上海,9,5分)过曲线y2=4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2=4x交于A、B,A在B 上方,M为抛物线上一点, = +(-2) ,则= .,答案 3,解析 由题意可得A(1,2),B(1,-2),设M的坐标为(x,y),由 = +(-2) 得(x,y)=(1,2)+(-2) (1,-2)=
11、(2-2,4),因为M在抛物线上,所以16=4(2-2),解得=3.,6.(2018课标全国,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则= .,答案,解析 由题意得2a+b=(4,2),因为c=(1,),c(2a+b),所以4-2=0,解得= .,7.(2017山东,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,).若ab,则= .,答案 -3,解析 本题考查向量平行的条件. a=(2,6),b=(-1,),ab, 2-6(-1)=0,=-3.,8.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m
12、,nR),则m-n的值为 .,答案 -3,解析 由a=(2,1),b=(1,-2), 可得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n), 由已知可得 解得 从而m-n=-3.,C组 教师专用题组,考点一 向量的线性运算及几何意义 (2017课标全国,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 ( ) A.ab B.|a|=|b| C.ab D.|a|b|,答案 A 本题考查向量的有关概念. 由|a+b|=|a-b|的几何意义知,以向量a、b为邻边的平行四边形为矩形,所以ab.故选A.,一题多解 将|a+b|=|a-b|两边分别平方得|a|2+2ab+|b|2=
13、|a|2-2ab+|b|2,即ab=0,故ab.故选A.,考点二 平面向量的基本定理及向量的坐标运算,1.(2016四川,9,5分)已知正三角形ABC的边长为2 ,平面ABC内的动点P,M满足| |=1, = ,则| |2的最大值是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,0),C(2 ,0),B( ,3). 设P(x,y),| |=1,x2+y2=1, = ,M为PC的中点, M ,| |2= + = + -3y+9= -3y+9= -3y,又-1y1,当y=-1时,| |2取得最大值,且最大值为 .,思路分析 由ABC为正三角形,
14、| |=1,考虑到用建立平面直角坐标系的方法来解决向量问 题.,评析 本题考查了向量的坐标运算,运用了转化与化归思想.,2.(2015湖南,8,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则| + + |的最大值为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9,答案 B 解法一:由圆周角定理及ABBC,知AC为圆的直径. 故 + =2 =(-4,0)(O为坐标原点). 设B(cos ,sin ), =(cos -2,sin ), + + =(cos -6,sin ),| + + |= = =7,当 且仅当cos =-1时取等号,此时B(-1,0),故| +
15、+ |的最大值为7.故选B. 解法二:同解法一得 + =2 (O为坐标原点),又 = + ,| + + |=|3 + | 3| |+| |=32+1=7,当且仅当 与 同向时取等号,此时B点坐标为(-1,0),故| + + | max=7.故选B.,3.(2014安徽,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量a,b,|a|=|b|=1,ab=0,点Q满足 = (a+ b).曲线C=P| =acos +bsin ,02,区域=P|0r| |R,rR.若C为两段分离 的曲线,则 ( ) A.1rR3 B.1r3R C.r1R3 D.1r3R,答案 A 根据题意不妨设a=(1,0),b=(0,
16、1), = (a+b)=( , ), =acos +bsin =(cos ,sin ), 易知曲线C为单位圆,区域表示以Q为圆心,内径为r,外径为R的圆环,且C为两段分离的曲 线, 结合图形可知,单位圆与圆环的内外边界相交,即 1rR3.故选A.,评析 本题考查了向量的坐标表示、三角函数等知识;考查了综合分析能力、运算推理能 力、数形结合能力,由几何意义进行转化是突破难点的关键.,4.(2015四川,2,5分)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x= ( ) A.2 B.3 C.4 D.6,答案 B a与b共线, 26=4x,x=3,故选B.,5.(2016课标,13,5分)已
17、知向量a=(m,4),b=(3,-2),且ab,则m= .,答案 -6,解析 因为ab,所以 = ,解得m=-6.,易错警示 容易把两个向量平行与垂直的条件混淆.,评析 本题考查了两个向量平行的充要条件.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点一 向量的线性运算及几何意义,1.(2017北京海淀一模,6)在ABC中,点D满足 =2 - ,则( ) A.点D不在直线BC上 B.点D在BC的延长线上 C.点D在线段BC上 D.点D在CB的延长线上,答案 D =2 - = + - = + . 如图,以B为始点,作 = ,连接AD, 则 + = + = = . D和D重合,即点D
18、在CB的延长线上,故选D.,思路分析 根据条件易得 = + ,作 = ,连接AD,故可说明点D和D重合,即点D在 CB的延长线上.,2.(2018北京西城一模,5)已知O是正方形ABCD的中心.若 = + ,其中,R,则 = ( ) A.- B.-2 C.- D.,答案 B = - = - = -( - )= - ,故=1,=- ,所以 =-2,故选B.,3.(2019北京东城一模文,4)设E为ABC的边AC的中点, =m +n ,则m,n的值分别为 ( ) A.-1, B. ,-1 C.- ,1 D.1,答案 A 如图: = + , =- . 在ABC中,E为AC的中点, 所以 = . 所以
19、 =- + ,即m=-1,n= . 故选A.,考点二 平面向量的基本定理及向量的坐标运算,1.(2019北京海淀期末文,4)已知向量a=(2,0),b=(t,1)且ab=|a|,则a-b= ( ) A.(1,1) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(-1,-1),答案 B ab=(2,0)(t,1)=2t=|a|=2,t=1,a-b=(1,-1),故选B.,2.(2018北京海淀一模,2)已知向量a=(1,2),b=(-1,0),则a+2b= ( ) A.(-1,2) B.(-1,4) C.(1,2) D.(1,4),答案 A a+2b=(1,2)+2(-1,0)=(-1,2),故选A.
20、,3.(2018北京西城二模,5)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若向量a+b与c共线,则实 数= ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2,答案 D 如图,建立平面直角坐标系xOy,则a=(1,1),b=(0,-1),c=(2,1),a+b=(,-1).=2(- 1),解得=2,故选D.,4.(2019北京延庆一模,11)如图,正方形ABCD中,E为DC的中点,若 = + ,则+的值为 .,答案 0,解析 因为 = + , = + ,所以 = + =( + )+ = +(+) ,所以+=0.,解后反思 本题中用不共线的向量 与 来表示向量 和 ,然后用向量的数乘与加法 求解;本
21、题也可建立平面直角坐标系,用平面向量的坐标运算求得.,5.(2019北京丰台一模,9)已知平面向量a=(1,-3),b=(-2,m),且ab,那么m= .,答案 6,解析 ab,1m=(-3)(-2),m=6.,6.(2019北京朝阳期末,10)已知四边形ABCD的顶点在边长为1的正方形网格中的位置如图所 示,则 = .,答案 7,解析 建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,2),B(4,4),C(7,2),D(3,0), 则 =(7,0), =(1,4),所以 =7.,思路分析 建立合适的平面直角坐标系,将 , 用坐标表示出来,进行向量数量积的坐标运 算即可.,7.(2019北京朝阳一模
22、文,9)已知平面向量a=(2,-1),b=(1,x),若ab,则x= .,答案 -,解析 因为ab,所以2x=-1,解得x=- .,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:25分钟 分值:45分 一、选择题(每小题5分,共35分),1.(2018北京东城二模,5)设a,b是非零向量,则“|a+b|=|a|-|b|”是“ab”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 A 充分性:|a+b|=|a|-|b|a+b|2=(|a|-|b|)2a2+b2+2ab=|a|2+|b|2-2|a|b|2|a|b|cos=-2 |a|b|c
23、os=-1=,ab,故充分性成立. 必要性:当a,b同向时,|a+b|=|a|+|b|a|-|b|,故必要性不成立.故选A.,2.(2017北京丰台一模,4)设E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且 = , = , 如果 =m +n (m,n为实数),那么m+n的值为 ( ) A.- B.0 C. D.1,答案 C 如图所示, = + = + = + ( - )=- + ,m=- ,n= ,m+n= .,3.(2018北京门头沟一模,6)在直角梯形ABCD中,ABCD,DAB=90,且AB=2CD=2AD=2,P是 BC的中点,则 =( ) A. B.3 C.2 D.,答案 C 以
24、A为原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,1),A(0,0),P ,所以 = , = ,所以 = - =2,故选C.,4.(2018北京顺义二模,7)已知O是正ABC的中心.若 = + ,其中,R,则 的值为 ( ) A.- B.- C.- D.2,答案 C 如图,取AB的中点D,由已知得 = = ( + )= ( + )= ( - ). = - , = - , =- , 故选C.,5.(2019北京丰台一模文,6)已知正ABC的边长为4,点D为边BC的中点,点E满足 = ,那么 的值为 ( ) A.- B.-1 C.1 D.3,答案 B 以D为原点,BC所在直线为x
25、轴,DA所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B(-2,0),C (2,0),A(0,2 ), = ,E(0, ), =(-2,- )(2,- )=-4+3=-1.故选B.,6.(2019北京丰台二模,7)已知点P是边长为2的正方形ABCD所在平面内一点,若| - - |= 1,则| |的最大值是 ( ) A.2 -1 B.2 C.2 +1 D.2 +2,答案 C 以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,设P(x, y),则A(0,0),B(2,0),D(0,2),从而 =(x,y), =(2,0), =(0,2), - - =(x-2,y-2),所以| -
26、- |= =1,因而点P在以点C(2,2)为圆心,1为半径的圆上,所以| |max=|AC|+1=2 +1.故选C.,解后反思 由于是与正方形有关的问题,因而建立平面直角坐标系后用向量的坐标运算易得 点P的轨迹是圆,然后转化为圆外点与圆上点的距离问题.,7.(2019北京东城二模,3)已知向量a与b不共线,且 =a+mb(m1), =na+b.若A,B,C三点共线, 则实数m,n满足的条件为 ( ) A.m+n=1 B.m+n=-1 C.mn=1 D.mn=-1,答案 C 若A,B,C三点共线,则有 = ,即a+mb=(na+b),所以 所以mn=1.故选C.,二、填空题(每小题5分,共10分
27、) 8.(2018北京朝阳期末,11)在ABCD中,E,F分别为边BC,CD的中点,若 =x +y (x,yR), 则x+y= .,答案,解析 如图,延长AF交BC的延长线于G, 则ADFGCF, 所以AF=GF,即AF= AG. 设 = + (B,E,G三点共线), 则+=1. 所以由 = 得x+y= .,解题关键 熟练掌握平面向量的基本定理是关键.,9.(2019北京东城期末,12)在菱形ABCD中,若BD= ,则 的值为 .,答案,解析 如图,设ACBD=O. 由题意知ACBD,CODB, =0, =( + ) = + =0+ | | |= 3= .,小题巧解 本题也可将菱形特殊化成正方
28、形来做,这样小题就可以巧解,避免了“小题大做”.,C组 20172019年高考模拟应用创新题组,1.(2019北京丰台期末文,8)如图,在平面直角坐标系xOy中,O是正六边形A1A2A6的中心,若A1 ,则点A3的纵坐标为 ( ) A. B. C. D.,答案 C 设A3(x,y),则由| |=| |,得到x2+y2= + =1, 由cos= =cos =- ,得(x,y) =- , x+y=-2,解得y= 或y = (舍去),故选C.,方法总结 利用正六边形的性质得| |=| |和= ,进而利用方程的思想可以解 出答案.,2.(2019北京海淀零模,14)已知A、B为函数y=f(x)(xa,
29、b)的图象的两个端点,M(x,y)是f(x)的图 象上的任意一点,其中x=a+(1-)b,0,1,又已知向量 = +(1-) ,若不等式| |k 恒成立,则称函数f(x)在a,b上“k阶线性近似”.若函数f(x)=x- 在1,2上“k阶线性近似”,则 实数k的取值范围为 .,答案 k -,解析 由x=a+(1-)b,a=1,b=2,得x=2-,0,1. 由 = +(1-) ,整理得 - =( - ), 即 = ,0,1,可知N在线段AB上,同时N点横坐标为2-,所以M,N两点横坐标相等. 因为函数f(x)=x- 在1,2上“k阶线性近似”,所以此时A(1,0),B . AB所在直线的方程为y= (x-1), |MN|=|ym-yn|= = - (当且仅当x= 时,取等号). x1,2,x= 时,| |max= - ,k - .,
