1、考点一 平面向量的数量积,A组 自主命题浙江卷题组,五年高考,1.(2017浙江,10,4分)如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于 点O.记I1= ,I2= ,I3= ,则 ( ) A.I1I2I3 B.I1I3I2 C.I3I1I2 D.I2I1I3,答案 C 本题考查向量的数量积,共线向量定理,解三角形,考查运算能力和逻辑推理能力.,如图,建立直角坐标系,则B(0,0),A(0,2),C(2,0). 设D(m,n), 由AD=2和CD=3,得 从而有n-m= 0,nm. 从而DBC45,又BCO=45,BOC为锐角. 从而AOB为钝角.故I
2、10. 又OA1), =-2 (21), 从而I3= =12 =12I1, 又121,I10,I30,I3I1,I3I1I2.故选C.,2.(2016浙江文,15,4分)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,ab=1.若e为平面单位向量,则|ae|+|be|的最 大值是 .,答案,解析 由已知易得a,b所成角为60,如图. 设向量e与a所成角为,e与b所成角为, 则与的关系为=60-(e在区域)或=60+(e在区域)或=300-(e在区域)或=-60 (e在区域).,|ae|+|be|=cos +2cos =2cos + sin = sin(+),其中tan = ,则30, +60+,
3、|ae|+|be|的最大值为 . 同理可得另三种情况下所求的最大值均为 .,故|ae|+|be|的最大值为 .,1.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为 ,向量b满足 b2-4eb+3=0,则|a-b|的最小值是 ( ) A. -1 B. +1 C.2 D.2-,考点二 向量的综合应用,答案 A 设 =a, =b, =e,以O为原点, 方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系,则E (1,0).不妨设A点在第一象限,a与e的夹角为 ,点A在从原点出发,倾斜角为 ,且在第一象 限内的射线上.设B(x,y),由b2-4eb+3=0,得x2+y2-
4、4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即点B在圆(x-2)2+y2=1上运 动.而 =a-b,|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心(2,0)到射线y= x (x0)的距离减去圆的半径,所以|a-b|min= -1.选A.,一题多解 将b2-4eb+3=0转化为b2-4eb+3e2=0, 即(b-e)(b-3e)=0,(b-e)(b-3e). 设 =e, =a, =b, =3e, =2e,则 , 点B在以M为圆心,1为半径的圆上运动,如图. |a-b|=| |,|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心M到射线OA的距离 减去圆的半径. | |=2,A
5、OM= ,|a-b|min=2sin -1= -1.,2.(2017浙江,15,6分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 .,答案 4;2,解析 本题考查向量的线性运算、坐标运算,向量的几何意义,向量绝对值不等式,利用基本不 等式求最值,利用三角代换求最值,考查逻辑推理能力和运算求解能力. 解法一:|a+b|+|a-b|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2, 且|a+b|+|a-b|(a+b)-(a-b)|=2|b|=4, |a+b|+|a-b|4,当且仅当a+b与a-b反向时取等号,此时|a+b|+|a-b|取最小值4. = = , |
6、a+b|+|a-b|2 . 当且仅当|a+b|=|a-b|时取等号,此时ab=0. 故当ab时,|a+b|+|a-b|有最大值2 .,解法二:设x=|a+b|,由|a|-|b|a+b|a|+|b|, 得1x3. 设y=|a-b|,同理,1y3. 而x2+y2=2a2+2b2=10, 故可设x= cos , cos ,y= sin , sin . 设1,2为锐角,且sin 1= ,sin 2= , 则有12,又01 2 , 则x+y= (cos +sin )=2 sin , 1+ + 2+ ,而 1+ 2+ , 故当+ = ,即= 时,x=y,此时|a+b|=|a-b|, 所以当ab时,x+y=
7、|a+b|+|a-b|有最大值2 .,. 又sin =sin = = , 故当=1或=2时,x=3,y=1或x=1,y=3,此时ab, x+y=|a+b|+|a-b|有最小值4. 解法三:设b=(2,0),a=(x,y),则x2+y2=1. 故|a+b|+|a-b|= +,= + = + = = , 0x21, 当x=0,即ab时, |a+b|+|a-b|有最大值2 ; 当x2=1,即ab时,|a+b|+|a-b|有最小值4.,解法四:设x=|a+b|,由|a|-|b|a+b|a|+|b|, 得1x3.设y=|a-b|,同理可得1y3. 又x2+y2=2a2+2b2=10. 故可转化为线性规划
8、问题“已知 求x+y的最大值和最小值.” 其可行域为图中弧AB,平移直线x+y=0,显然过A、B点时,x+y有最小值4. 与圆弧相切时,切点为C( , ),x+y有最大值2 ,则|a+b|+|a-b|的最小值为4,最大值为2 .,3.(2016浙江,15,4分)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若对任意单位向量e,均有|ae|+|be| ,则ab的最 大值是 .,答案,解析 对任意单位向量e,均有 |ae|+|be|ae+be|=|(a+b)e|,|a+b| ,当且仅当a+b与e 共线时,等号成立.a2+2ab+b26,又|a|=1,|b|=2,ab ,即ab的最大值为 .,考点一 平面
9、向量的数量积,B组 统一命题、省（区、市）卷题组,1.(2019课标全国文,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|= ( ) A. B.2 C.5 D.50,答案 A 本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的计算;考查数学运算的核心素养. a=(2,3),b=(3,2),a-b=(-1,1),|a-b|= = ,故选A.,一题多解 a=(2,3),b=(3,2),|a|2=13,|b|2=13,ab=12,则|a-b|= = = .故选A.,2.(2019课标全国理,3,5分)已知 =(2,3), =(3,t),| |=1,则 = ( ) A.-3 B.-2 C.2
10、D.3,答案 C 本题考查了平面向量的坐标表示以及数量积和模的求解;通过模的运算,考查了方 程的思想方法.考查的核心素养为数学运算. = - =(1,t-3), | |= =1,t=3, =(2,3)(1,0)=2.,思路分析 先利用| |=1求出t的值,再利用数量积的坐标运算求出数量积.,3.(2019课标全国理,7,5分)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 本题考查向量的运算及向量的夹角;考查学生的运算求解能力;考查了数形结合思 想;考查的核心素养是数学建模和数学运算. 解法一:因为(a-b)b,所以(a-b)
11、b=ab-|b|2=0,又因为|a|=2|b|,所以2|b|2cos-|b|2=0,即cos = ,又知0,所以= ,故选B. 解法二:如图,令 =a, =b,则 = - =a-b,因为(a-b)b,所以OBA=90,又|a|=2|b|,所以 AOB= ,即= .故选B.,思路分析 本题可由两向量垂直的充要条件建立方程求解;也可以将两向量放在直角三角形 中,由题设直接得到两向量的夹角.,4.(2018课标全国理,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)= ( ) A.4 B.3 C.2 D.0,答案 B 本题考查平面向量的运算. 因为|a|=1,ab=-1,所以a(
12、2a-b)=2|a|2-ab=212-(-1)=3.故选B.,5.(2017课标全国,12,5分)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则 ( + )的最小值是 ( ) A.-2 B.- C.- D.-1,答案 B 本题考查向量的坐标运算,考查利用数形结合的方法求解最值问题. 以AB的中点为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图, 则A(-1,0),B(1,0),C(0, ),设P(x,y),取BC的中点D,则D . ( + )=2 =2(-1-x,-y) =2 =2 . 因此,当x=- ,y= 时, ( + )取得最小值,为2 =- ,故选B.,解后反思 本题通
13、过向量的坐标运算,将“数”与“形”的问题相互转化,充分体现了数形结 合的思想方法.,6.(2016课标全国,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则m= ( ) A.-8 B.-6 C.6 D.8,答案 D 由题意可得a+b=(4,m-2),(a+b)b,43-2(m-2)=0,m=8.故选D.,7.(2016北京,4,5分)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 D 当|a|=|b|0时,|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)
14、2ab=0ab,推不出|a|=|b|.同样,由|a|=|b| 也不能推出ab.故选D.,解后反思 由向量加法、减法的几何意义知,当a、b不共线,且|a|=|b|时,a+b与a-b垂直;当ab 时,|a+b|=|a-b|.,评析 本题考查向量的模及运算性质,属容易题.,8.(2016天津,7,5分)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE 并延长到点F,使得DE=2EF,则 的值为 ( ) A.- B. C. D.,答案 B 建立平面直角坐标系,如图. 则B ,C ,A ,所以 =(1,0). 易知DE= AC,则EF= AC= ,因为FEC=60,所以点F的
15、坐标为 , 所以 = , 所以 = (1,0)= .故选B.,疑难突破 若利用公式ab=|a|b|cos求解十分困难,则可以考虑建立平面直角坐标系,利 用坐标运算求解.确定点F的坐标是解题的关键.,评析 本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积.考查运算求解能力和数形结合思想.,9.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos= .若n(tm+n),则实数t的值为 ( ) A.4 B.-4 C. D.-,答案 B 因为n(tm+n),所以tmn+n2=0,所以mn=- ,又4|m|=3|n|,所以cos= = =- = ,所以t=-4.故选B.,评析 本题主要考查了
16、非零向量垂直的充要条件和夹角公式,属中档题.,10.(2015福建,9,5分)已知 ,| |= ,| |=t.若点P是ABC所在平面内的一点,且 = + ,则 的最大值等于 ( ) A.13 B.15 C.19 D.21,答案 A 以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B (t 0),C(0,t),P(1,4), = (-1,t-4)=17- 17-22=13 ,故 的最大值为13,故选A.,11.(2019课标全国文,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos= .,答案 -,解析 本题考查平面向量夹角的计算,通过向量的坐标运算考查学生的
17、运算求解能力,体现运 算法则与运算方法的素养要素. 由题意知cos= = =- .,12.(2019北京文,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,则m= .,答案 8,解析 本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运算,考查了方程的思想方法. ab,ab=(-4,3)(6,m)=-24+3m=0, m=8.,易错警示 容易把两向量平行与垂直的条件混淆.,13.(2019课标全国理,13,5分)已知a,b为单位向量,且ab=0,若c=2a- b,则cos= .,答案,解析 本题主要考查平面向量的数量积、模长及平面向量夹角的计算;通过向量的数量积、 夹角的求解考查学生运算求解
18、的能力,体现了数学运算的核心素养. |a|=|b|=1,ab=0, ac=a(2a- b)=2a2- ab=2, |c|=|2a- b|= = =3. cos= = .,小题巧解 不妨设a=(1,0),b=(0,1),则c=2(1,0)- (0,1)=(2,- ),cos= = .,方法总结 利用数量积求解向量模的处理方法: a2=aa=|a|2或|a|= ; |ab|= .,14.(2018北京文,9,5分)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a(ma-b),则m= .,答案 -1,解析 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算. a=(1,0),b=(-1,m),a2=1,ab=-1,
19、由a(ma-b)得a(ma-b)=0,即ma2-ab=0, 即m-(-1)=0,m=-1.,15.(2017北京文,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则 的最大 值为 .,答案 6,解析 解法一: 表示 在 方向上的投影与| |的乘积,当P在B点时, 有最大 值,此时 =23=6. 解法二:设P(x,y),则 =(2,0)(x+2,y)=2x+4,由题意知-1x1,x=1时, 取最大值6, 的最大值为6.,16.(2017山东理,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若 e1-e2与e1+e2的夹角为60,则实 数的值是 .,答案,解析 本
20、题考查向量的坐标运算和向量的夹角公式. 由题意不妨设e1=(1,0),e2=(0,1),则 e1-e2=( ,-1),e1+e2=(1,).根据向量的夹角公式得cos 60= = = ,所以 -= ,解得= .,疑难突破 根据“e1,e2是互相垂直的单位向量”将原问题转化为向量的坐标运算是解决本题 的突破口.,易错警示 对向量的夹角公式掌握不牢而致错.,17.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.动点E和F分 别在线段BC和DC上,且 = , = ,则 的最小值为 .,答案,解析 如图,以A为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则
21、B(2,0),C ,D . 由 = 得E ,由 = 得F . 从而 = = + + +2 = 当且仅当= 时,取等号 .,1.(2018北京理,6,5分)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“ab”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,考点二 向量的综合应用,答案 C 本题主要考查平面向量的数量积的应用以及充分、必要条件的判断. |a-3b|=|3a+b|a-3b|2=|3a+b|2a2-6ab+9b2=9a2+6ab+b22a2+3ab-2b2=0,又|a|=|b|=1,ab=0 ab,故选C.,方法总结 平面
22、向量模的问题的处理方法: 通常是进行平方,转化成平面向量的数量积问题解决.,2.(2018天津理,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1. 若点E为边CD上的动点,则 的最小值为 ( ) A. B. C. D.3,答案 A 本题主要考查数量积的综合应用. 解法一:如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(1,0), B ,C(0, ),令E(0,t),t0, , =(-1,t) =t2- t+ ,t0, ,当t =- = 时, 取得最小值,( )min= - + = .故选A. 解法二:令 = (01
23、),由已知可得DC= , = + , = + = + + , =( + )( + + ) = +| |2+ +2| |2 =32- + .,当=- = 时, 取得最小值 .故选A.,方法总结 向量的最值问题常用数形结合的方法和函数的思想方法求解,建立函数关系时,可 用平面向量基本定理,也可利用向量的坐标运算.,3.(2016课标全国,3,5分)已知向量 = , = ,则ABC= ( ) A.30 B.45 C.60 D.120,答案 A cosABC= = ,所以ABC=30,故选A.,4.(2016四川,10,5分)在平面内,定点A,B,C,D满足| |=| |=| |, = = =-2,
24、动点P,M满足| |=1, = ,则| |2的最大值是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 由| |=| |=| |及 = = DBCA,DCAB,DACB,且 ADC=ADB=BDC=120,ABC为正三角形,设| |=a,则a2cos 120=-2a=2AC=2 OC=3,如图建立平面直角坐标系xOy,则A(- ,0),B( ,0),C(0,3).由 = P,M,C三点共线且M为PC的中点,设P(x,y),由| |=1 (x+ )2+y2=1, 令 则 即P(sin - ,cos ), M , | |2= (sin -3 )2+(3+cos )2= 37-(6 sin -6cos )
25、= (37+1,2)= . | |2的最大值为 .,疑难突破 本题的难点是如何找出| |2与变量之间的关系,突破之处是抓住| |=1(x+ )2 +y2=1,然后将坐标参数化,从而将问题转化为求asin +bcos = sin(+)的最大值问题.,5.(2015湖南,8,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则| + + |的最大值为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9,答案 B 解法一:由圆周角定理及ABBC,知AC为圆的直径. 故 + =2 =(-4,0)(O为坐标原点). 设B(cos ,sin ), =(cos -2,sin ), +
26、 + =(cos -6,sin ),| + + |= = =7,当 且仅当cos =-1时取等号,此时B(-1,0),故| + + |的最大值为7.故选B. 解法二:同解法一得 + =2 (O为坐标原点),又 = + ,| + + |=|3 + | 3| |+| |=32+1=7,当且仅当 与 同向时取等号,此时B点坐标为(-1,0),故| + + | max=7.故选B.,评析 本题考查向量的坐标运算,向量的模等基础知识,对能力要求较高.,6.(2019天津文,14,5分)在四边形ABCD中,ADBC,AB=2 ,AD=5,A=30,点E在线段CB的延 长线上,且AE=BE,则 = .,答案
27、 -1,解析 本题主要考查平面几何知识的应用、解三角形、向量的坐标运算及数量积的求解;考 查学生数形结合思想的应用以及运算求解能力;通过向量的不同表现形式更全面考查了学生 逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养. 解法一:BAD=30,ADBC,ABE=30, 又EA=EB,EAB=30, 在EAB中,AB=2 ,EA=EB=2. 以A为坐标原点,直线AD为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.,则A(0,0),D(5,0),E(1, ),B(3, ), =(2,- ), =(1, ), =(2,- )(1, )=-1. 解法二:同解法一,求出EB=EA=2, 以 , 为一组基底, 则 = - ,
28、 = + = - , =( - ) = - + - = 52 -12- 25=-1.,7.(2019江苏,12,5分)如图,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若 =6 ,则 的值是 .,解析 本题考查平面向量基本定理、向量的线性运算、平面向量的数量积等有关知识,考查 学生的抽象概括能力和运算求解能力,考查的核心素养为数学运算. 过D作DFEC,交AB于F. D为BC的中点,F为BE的中点, 又BE=2EA,EF=EA, 又DFEO,AO= AD, = = ( + ). = ( + ) = .,答案, =6 , = - + , =3 ,| |= | |,
29、 = .,一题多解 由于题目中对BAC没有限制,所以不妨设BAC=90,AB=c,AC=b,建立如图所示 的平面直角坐标系. 则E ,D , 易得lAD:y= x,lEC: + =1,联立得 解得 则O . 由 =6 得6 =0,c2=3b2,c= b, = .,考点一 平面向量的数量积,C组 教师专用题组,1.(2015安徽,8,5分)ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足 =2a, =2a+b,则下列 结论正确的是 ( ) A.|b|=1 B.ab C.ab=1 D.(4a+b),答案 D b= - = ,|b|=| |=2,故A错; =22cos 60=2,即-2ab=2,ab
30、=- 1,故B、C都错;(4a+b) =(4a+b)b=4ab+b2=-4+4=0,(4a+b) ,故选D.,2.(2015山东,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,ABC=60,则 = ( ) A.- a2 B.- a2 C. a2 D. a2,答案 D =( + ) = + = a2+a2= a2.,3.(2015重庆,6,5分)若非零向量a,b满足|a|= |b|,且(a-b)(3a+2b),则a与b的夹角为 ( ) A. B. C. D.,答案 A (a-b)(3a+2b),(a-b)(3a+2b)=03|a|2-ab-2|b|2=03|a|2-|a|b|cos-2|b|2=0. 又
31、|a|= |b|, |b|2- |b|2cos-2|b|2=0. cos= .0,= .选A.,4.(2017课标全国文,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,则m= .,答案 2,解析 ab,ab=0,又a=(-2,3),b=(3,m),-6+3m=0,解得m=2.,5.(2017课标全国理,13,5分)已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .,答案 2,解析 解法一(公式法):由题意知ab=|a|b|cos 60=21 =1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4ab= 4+4+4=12.所以|a+2b|=2 .
32、解法二(坐标法):根据已知条件建立恰当的坐标系,由题意,不妨取a=(2,0),b= ,则a+2b= (3, ),所以|a+2b|= =2 .,6.(2016课标全国,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .,答案 -2,解析 由|a+b|2=|a|2+|b|2,知ab,ab=m+2=0,m=-2.,7.(2015湖北,11,5分)已知向量 ,| |=3,则 = .,答案 9,解析 , =0, 即 ( - )=0, = =9.,8.(2016江苏,13,5分)如图,在ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点, =4, =-1,
33、则 的值是 .,答案,解析 由已知可得 = + = + = - = ( - )- ( + )= - , = + = + = - = ( - )- ( + )= - , = + = + = ( - )- ( + ) = - , = + = + = ( - )- ( + )= - , 因为 =4,所以 =4, 则 = = - - + = - ( + )= 4- ( + )=-1, 所以 + = ,从而 = =- - + =- ( + )+ =- + 4 = = .,思路分析 合理选择“基底”,把相关向量用“基底”表示出来,进而求得向量的数量积.,9.(2015广东,16,12分)在平面直角坐标系x
34、Oy中,已知向量m= ,n=(sin x,cos x),x . (1)若mn,求tan x的值; (2)若m与n的夹角为 ,求x的值.,解析 (1)因为mn,所以mn= sin x- cos x=0. 即sin x=cos x,又x ,所以tan x= =1. (2)易求得|m|=1,|n|= =1. 因为m与n的夹角为 , 所以cos = = . 则 sin x- cos x=sin = . 又因为x ,所以x- . 所以x- = ,解得x= .,1.(2018天津文,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,MON=120, =2 , =2 ,则 的值为 ( ) A.-15 B
35、.-9 C.-6 D.0,考点二 向量的综合应用,答案 C 本题考查向量的运算. 解法一:连接OA. = - =3 -3 =3( - )-3( - )=3( - ), =3( - ) =3( -| |2)=3(21cos 120-12)=3(-2)=-6.故选C. 解法二:在ABC中,不妨设A=90,取特殊情况ONAC,以A为坐标原点,AB,AC所在直线分 别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,因为MON=120,ON=2,OM=1,所以O ,C ,M ,B . 故 = =- - =-6.故选C.,2.(2017课标全国文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+
36、b与a垂直,则m= .,答案 7,解析 本题考查向量数量积的坐标运算. a=(-1,2),b=(m,1),a+b=(m-1,3),又(a+b)a, (a+b)a=-(m-1)+6=0,解得m=7.,3.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量 , , 的模分别为1,1, , 与 的夹角 为,且tan =7, 与 的夹角为45.若 =m +n (m,nR),则m+n= .,答案 3,解析 本题考查平面向量基本定理及其应用,平面向量的夹角及其应用等知识. 解法一:tan =7,0, cos = ,sin = , 与 的夹角为, = , =m +n ,| |=| |=1,| |= ,
37、= , 又 与 的夹角为45, = = , 又cosAOB=cos(45+)=cos cos 45-sin sin 45 = - =- , =| | |cosAOB=- , 将其代入得m- n= , - m+n=1, 两式相加得 m+ n= , 所以m+n=3. 解法二:过C作CMOB,CNOA,分别交线段OA,OB的延长线于点M,N, 则 =m , =n , 由正弦定理得 = = , | |= ,由解法一知,sin = ,cos = , | |= = = , | |= = = ,又 =m +n = + ,| |=| |=1, m= ,n= , m+n=3.,4.(2015江苏,14,5分)设
38、向量ak= cos ,sin +cos (k=0,1,2,12),则 (akak+1)的值为 .,答案 9,解析 由ak= (k=0,1,2,12)得ak+1= (k =0,1,2,11), 故akak+1= cos ,sin +cos cos ,sin +cos =cos cos + sin +cos =cos cos +sin sin +sin cos +cos sin +cos cos =cos +sin +cos,=cos +sin + cos cos - sin =cos +sin + - sin = +sin + cos - sin = + sin + cos + cos - si
39、n,= + sin + cos = + sin , 其中cos = ,sin = , 所以 (ak ak+1) = + + + sin + =12 =9 .,考点一 平面向量的数量积,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2019浙江金丽衢第一次联考,2)已知向量a=(4, ),b=(1,5 ),则向量a,b的夹角为 ( ) A.30 B.45 C.60 D.90,答案 C cos= = = ,从而=60,故选C.,2.(2019浙江宁波北仑中学高三模拟(一),4)设向量a, b满足: |a|=1,|b|=2, a(a+b)=0, 则a与b的夹 角是 ( ) A.30
40、B.60 C.90 D.120,答案 D 由题意得,a(a+b)=|a|2+ab=1+|a|b|cos=1+2cos=0,则cos=- ,故a与 b的夹角是120,故选D.,3.(2019浙江嵊州高三上期末,7)如图,在ABC中,AB=2AC,BAC= ,P1,P2,P3是边BC的四等 分点,记I1= ,I2= ,I3= ,则 ( ) A.I1I2I3 B.I2I1I3 C.I2I3I1 D.I3I2I1,答案 C 因为 = ( + ),所以I1= ( + ),I3= ( + ),故只需判断 , , 之间的大小关系.不妨令AC=1,AB=2,则由余弦定理可得BC= ,作ADBC, 由勾股定理容
41、易得到P3位于点D的右侧,故AP3B为锐角,显然有 ,故I2I3I1, 选C.,4.(2019浙江高考数学仿真卷,9)已知向量|a|=2且b2-2ab-3a2=0,则(b-a)b的最大值是 ( ) A.24 B.34 C.36 D.40,答案 A b2-2ab-3a2=(b+a)(b-3a)=0. 令u=b+a,v=b-3a,则uv=0,u-v=4a,3u+v=4b, (u-v)2=64,即u2+v2=64, (b-a)b= = u2+824,故选A.,5.(2019浙江金丽衢第一次联考,15)若等边ABC的边长为2 ,平面内一点M满足: = + ,则 = .,答案 -2,解析 由题意可知,
42、=( - )( - )= =- + - =-2.,6.(2019浙江杭州二模(4月),16)已知向量a=(1,2),平面向量b满足(2a+b)a= |b|,则(b-4a)b的最 小值等于 .,答案 20,解析 由题意得2a2+ab= |b|, 因为|ab| |b|,所以- |b| |b|-2a2 |b|,解得|b| , 所以(b-4a)b=b2-4ab=|b|2-4( |b|-2a2)=|b|2-4 |b|+40= +2020.,7.(2019浙江诸暨高三上期末,15)已知|a|=3,|a-b|=|a-2b|,则|b|的最大值为 .,答案 2,解析 设a与b的夹角为.将|a-b|=|a-2b|
43、两边平方,化简,解得|b|=2cos ,|b|2,当且仅当cos =1 时取等号.,8.(2019浙江宁波北仑中学高三模拟(二),17)如图,C,D在半径为1的O上,线段AB是O的直 径,则 的取值范围是 .,答案,解析 由题意得 =( + ) =- ,显然当DC,DB均为O的直径时, 取 得最大值4, 取BC的中点M,由极化恒等式可知 = - = + -1 -1 -1 =- , 故 .,1.(2019浙江高考信息优化卷(三),7)设为两个非零向量a,b的夹角,且0 ,已知对任意实数t (-1,1),|b+ta|无最小值,则以下说法正确的是 ( ) A.若和|b|确定,则|a|唯一确定 B.若
44、和|b|确定,则|a|无最大值 C.若确定,则|a|b| D.若不确定,则|a|b|,考点二 向量的综合应用,答案 D 记y=|b+ta|2=|a|2t2+2tab+|b|2,则对称轴为t=- =- 0. 由题意知y关于t的二次函数在t(-1,1)上无最小值, 则- -1, 即|a|b|cos 恒成立,当和|b|确定时,|a|有最大值,|a|不唯一. 无论取何值,都有|a|b|,故A,B,C错误,D正确,故选D.,2.(2019浙江学军中学高三上期中,9)若单位向量a,b的夹角为钝角,|b-ta|(tR)的最小值为 , 且(c-a)(c-b)=0,则c(a+b)的最大值为 ( ) A. B.
45、C. D.3,答案 B 不妨取a=(1,0),b=(cos ,sin ) ,则|b-ta|= = = , ,cos (-1,0), 当t=cos 时,|b-ta|取得最小值 ,sin = . ,= ,b= . 设c=(x,y),(c-a)(c-b)=0,c2-c(a+b)+ab=0,c(a+b)=c2- .,由(c-a)(c-b)=0,可得(x-1,y) =x2- x- +y2- y=0, + = , |c| + = ,c(a+b)=c2- - = , c(a+b)的最大值为 ,故选B.,3.(2019浙江名校协作体联考(2月),9)若平面向量a,b,e满足|a|=2,|b|=3,|e|=1,且ab-e(a+b)+1=0,则 |a-b|的最小值是 ( ) A.1 B.2 -1 C.2 D.,答案 B 解法一:由ab-e(a+b)+1=0知,ab+1=e(a+b),所以|ab+1|=|e(a+b)|a+b|, 上式两边平方得(ab+1)2a2+b2+2ab=13+2ab, 所以-2 ab2 , 从而|a-b|= = 2 -1, 故选B. 解法二:设a= ,b=
