1、考点一 平面向量的线性运算及几何意义,统一命题、省(区、市)卷题组,五年高考,1.(2017课标全国文,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 ( ) A.ab B.|a|=|b| C.ab D.|a|b|,答案 A 本题考查向量加法的几何意义,向量模的概念. 解法一:由向量加法的几何意义知,|a+b|=|a-b|等价于以向量a,b为邻边的平行四边形的对角线 相等,则该平行四边形是矩形,所以ab. 解法二:由|a+b|=|a-b|得a2+2ab+b2=a2-2ab+b2,即ab=0,则ab,故选A.,2.(2017北京理,6,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数,使得m=n
2、”是“mn0”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 A 由存在负数,使得m=n,可得m、n共线且反向,夹角为180,则mn=-|m|n|0,故充分 性成立.由mn0,可得m,n的夹角为钝角或180,故必要性不成立.故选A.,3.(2015课标,7,5分)设D为ABC所在平面内一点, =3 ,则 ( ) A. =- + B. = - C. = + D. = -,答案 A = + = + + = + = + ( - )=- + .故选A.,4.(2015陕西,7,5分)对任意向量a,b,下列关系式中 的是 ( ) A.|ab|a|
3、b| B.|a-b|a|-|b| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)(a-b)=a2-b2,答案 B |ab|=|a|b|cos|a|b|,故A正确;由向量的运算法则知C,D也正确;当b=-a0 时,|a-b|a|-|b|,B错误.故选B.,评析 本题考查向量的运算法则等知识,考查逻辑推理能力.,1.(2017课标全国理,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切 的圆上.若 = + ,则+的最大值为 ( ) A.3 B. 2 C. D.2,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,答案 A 本题考查向量的运算. 分别以CB、CD所在的直线为x轴、
4、y轴建立直角坐标系,则A(2,1),B(2,0),D(0,1).点P在以C为 圆心且与BD相切的圆上,可设P . 则 =(0,-1), =(-2,0), = . 又 = + , =- sin +1,=- cos +1, +=2- sin - cos =2-sin(+), 其中tan = , (+)max=3.,2.(2019浙江,17,6分)已知正方形ABCD的边长为1.当每个i(i=1,2,3,4,5,6)取遍1时,|1 +2 +3 +4 +5 +6 |的最小值是 ,最大值是 .,答案 0;2,解析 本题考查平面向量的坐标表示及坐标运算,在向量的坐标运算中涉及多个未知数据以 此来考查学生的数
5、据处理能力,数学运算及数据分析的核心素养. 如图,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), =(1,0), =(0,1), =(-1,0), =(0,-1), =(1,1), =(-1,1), 故|1 +2 +3 +4 +5 +6 | =|(1-3+5-6,2-4+5+6)| = .(*),显然(*)式中第一个括号中的1,3与第二个括号中的2,4的取值互不影响,只需讨论5与6的 取值情况即可, 当5与6同号时,不妨取5=1,6=1,则(*)式即为 , 1,2,3,4-1,1,1=3,2-4=-2(2=-1,4=1)时,(*)式取最小值0,当|1-3|=2(
6、如1=1,3=-1),2- 4=2(2=1,4=-1)时,(*)式取最大值2 , 当5与6异号时,不妨取5=1,6=-1,则(*)式即为 . 同理可得最小值仍为0,最大值仍为2 , 综上,最小值为0,最大值为2 .,解题关键 本题未知量比较多,所以给学生的第一感觉是难,而实际上注意到图形为规则的正 方形,i(i=1,2,3,4,5,6)的取值只有两种可能(1和-1),这就给建系及讨论i的值创造了条件,也是求 解本题的突破口.,3.(2019上海,9,5分)过曲线y2=4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2=4x交于A、B,A在B 上方,M为抛物线上一点, = +(-2) ,则= .,答案
7、 3,解析 由题意可得A(1,2),B(1,-2),设M的坐标为(x,y),由 = +(-2) 得(x,y)=(1,2)+(-2) (1,-2)=(2-2,4),因为M在抛物线上,所以16=4(2-2),解得=3.,4.(2018课标全国理,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则= .,答案,解析 由已知得2a+b=(4,2).又c=(1,),c(2a+b),所以4-2=0,解得= .,5.(2017山东文,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,).若ab,则= .,答案 -3,解析 a=(2,6),b=(-1,),ab, 2-6(-
8、1)=0,=-3.,6.(2015北京,13,5分)在ABC中,点M,N满足 =2 , = .若 =x +y ,则x= ,y= .,答案 ;-,解析 由 =2 知M为AC上靠近C的三等分点,由 = 知N为BC的中点,作出草图: 则有 = ( + ),所以 = - = ( + )- = - , 又因为 =x +y ,所以x= ,y=- .,7.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,nR),则m-n的值为 .,答案 -3,解析 由a=(2,1),b=(1,-2),可得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n), 由
9、已知可得 解得 从而m-n=-3.,教师专用题组,1.(2015四川,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,| |=6,| |=4.若点M,N满足 =3 , = 2 ,则 = ( ) A.20 B.15 C.9 D.6,答案 C 依题意有 = + = + , = + = - = - ,所以 = = - =9.故选C.,2.(2017天津文,14,5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若 =2 , = - (R),且 =-4,则的值为 .,答案,解析 本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积运算. 由 =2 得 = + , 所以 = ( - )= - + - , 又 =32cos 6
10、0=3, =9, =4, 所以 =-3+ -2= -5=-4,解得= .,思路分析 根据 =2 得 = + ,利用 =-4以及向量的数量积建立关于的 方程,从而求得的值.,一题多解 以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,因为AB=3,AC=2,A= 60,所以B(3,0),C(1, ),又 =2 ,所以D ,所以 = ,而 = - =(1, )-(3,0)=(-3, ),因此 = (-3)+ = -5=-4,解得= .,3.(2015课标,13,5分)设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数= .,答案,解析 由于a,b不平行,所以可以以a,b作为一组基底,于是
11、a+b与a+2b平行等价于 = ,即= .,考点一 平面向量的线性运算及几何意义,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2019浙江学军中学高三上期中,3)设a,b是不共线的两个非零向量,已知 =2a+pb, = a-b, 若三点A,B,C共线,则p的值为 ( ) A.2 B.4 C.-2 D.-4,答案 D 因为A,B,C三点共线,所以 = (0),故有 = ,则p=-4,故选D.,2.(2019浙江高考信息优化卷(五),7)已知ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足 = , =(1-) ,R,若 =- ,则= ( ) A. B. C. D.,答案 A 如图,
12、设 =b, =c,则|b|=|c|=2,且bc=2, 又 = + =-b+(1-)c, = + =-c+b, 由 =- 知,-b+(1-)c(-c+b)=(-1)|c|2-|b|2+(-2+1)bc=- , 即4(-1)-4+2(-2+1)=- , 整理得42-4+1=0,即(2-1)2=0,解得= ,选A.,3.(2019浙江宁波效实中学高三上期中,12)已知平面向量a=(2,1),b=(-1,m).若ab,则m= ; 若ab,则m= .,答案 - ;2,解析 ab2m+1=0,m=- ; ab-2+m=0,m=2.,4.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),12)已知平行四边形ABCD
13、,| |=2| |=2,且 =1, = , =2 ,则 = ; 若DE和AF交于点M,且 =x +y ,则x+y= .,答案 ;,解析 =( + )( - )= = - - = . 设 = ,由 = + ,得 = + , 设 =m ,则 =m +(1-m) ,则 从而= ,故 = + x+y= .,5.(2019浙江宁波效实中学高三上期中,15)在OAB中,已知| |= ,| |=1,AOB=45,点P满 足 = + ,其中2+=3,则| |的最小值为 .,答案,解析 在OAB中,由正弦定理易得sinOAB=1,故OAB是等腰直角三角形.将OB、OA分别 延长至点C、D,使得OC=3OB=3
14、,OD= OA= .故由条件得 = + .又 + =1,故点P在直线CD上.在OCD中,用两次余弦定理,解得CD= ,cosOCD= ,则sin OCD= . 易知| |取到最小值时,OPCD.此时| |=| |sinOCD= .,. 考点二 平面向量基本定理及坐标表示 (2019浙江宁波效实中学高三上期中,6)已知ABC中, = , =2 ,若CD,BE相交于点P, 则 = ( ) A. + B. - C. + D. -,答案 B 如图, 易得SBDE=SADE=SBCE,DP=PC, = = - = - ,选B.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:15分钟 分值:26分
15、一、选择题(每小题4分,共8分),1.(2019浙江高考信息优化卷(一),2)已知a=(1,2),b=(2,x),若a+b与a-b平行,则实数x的值为 ( ) A.4 B.1 C.-4 D.-1,答案 A 由题意得a+b=(3,x+2),a-b=(-1,2-x), 由平行条件得3(2-x)=-(x+2),解得x=4.故选A.,2.(2019浙江绍兴数学调测(3月),8)如图,圆O是边长为2的正方形ABCD的内切圆,若P,Q是圆O 上两个动点,则 的取值范围是 ( ) A.-3-2 ,0 B.-3-2 ,-1 C.-5,0 D.-5,-1,答案 A =( - )( - )= - - + = -
16、- . = , =- - -1- 2-2-1=-3-2 ,当且仅当A,Q,P,C共线时取等号(如图). 又 , 0.故选A.,3.(2019浙江宁波高三上期末,14)在ABC中,D为边BC的中点,经过AD的中点E的直线交边AB, AC于点M,N,若 =m , =n ,则m+n= ;该直线将原三角形分成两部分,则三角形 AMN与四边形BCNM面积之比的最小值是 .,二、填空题(共18分),答案 4;,解析 如图,= ( + )= + = + , 因为M,E,N三点共线,所以 + =1,即m+n=4; = = ,则问题转化为求 的最大值, 而 = = =mn =4,所以 = .,4.(2019浙江
17、高考数学仿真卷,17)如图,在扇形OAB中,AOB=60,C为 上的一个动点(不含端 点),若 =x +y ,且z=x+y无最大值,则实数的取值范围是 .,解析 当=0时,z=x(0,1),无最大值,符合题意; 当0时, =x +y =x +y =x +y ,其中 = ,如图所示,答案 2,+),易知当点E在线段MN上时(不含端点),此时存在与AE平行且与圆弧相切(切点不在端点)的直 线,其中M为线段OB的中点,N为OA的垂线与直线OB的延长线的交点,因此若z=x+y不存在最 大值,则只需点E在线段MN外,即0 或 2,解得0 或2. 综上所述,实数的取值范围是 2,+).,5.(2019浙江
18、杭州高三上期末,17)设O为ABC的外接圆圆心,若存在正实数k,使得 = +k ,则k的取值范围是 .,答案,解析 连接BO,CO,如图所示,因为 = +k ,所以 =k , 令OA=OB=OC=R(R为ABC外接圆的半径),显然OA+OCAC= BO,即2R Rk .,6.(2017浙江金华十校调研,16)设单位向量a,b的夹角为,且 ,若对任意的(x,y)(x,y)| xa+yb|=1,x,y0,都有|x+2y| 成立,则ab的最小值为 .,答案,解析 |xa+yb|2=x2+y2+2xycos =1. 令t=x+2y ,即x=t-2y, 代入x2+y2+2xycos =1得 (5-4cos )y2+(2cos -4)ty+t2-1=0. 所以0(cos2-1)t2+5-4cos 0t2 , 所以 cos ,所以ab=cos . 经检验,此时x,y0,符合要求.,
