1、A组 自主命题浙江卷题组,五年高考,1.(2019浙江,7,4分)设0a1.随机变量X的分布列是,则当a在(0,1)内增大时, ( ) A.D(X)增大 B.D(X)减小 C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大,答案 D 本题主要考查了离散型随机变量的分布列、期望与方差,考查了学生的运算求解 能力及逻辑推理能力,考查了数学运算的核心素养. 随机变量X的期望E(X)=0 +a +1 = , D(X)= = (a2-a+1) = + , 当a 时,D(X)单调递减,当x 时,D(X)单调递增,故选D.,易错警示 本题易出错的地方有两个:方差公式记忆错误致错; 计算方差时,运算过程出错.
2、,2.(2018浙江,7,4分)设0p1,随机变量的分布列是,则当p在(0,1)内增大时, ( ) A.D()减小 B.D()增大 C.D()先减小后增大 D.D()先增大后减小,答案 D 本题考查随机变量的分布列,期望、方差的计算及函数的单调性. 由题意得E()=0 +1 +2 = +p, D()= + + = (1+2p)2(1-p)+(1-2p)2+(3-2p)2p =-p2+p+ =- + . 由 得0p1, D()在 上单调递增,在 上单调递减,故选D.,3.(2017浙江,8,4分)已知随机变量i满足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2.若0D(2) C.E(1)
3、E(2),D(1)E(2),D(1)D(2),答案 A 本题考查随机变量的概念及其分布列,随机变量的期望、方差的计算,考查推理运 算能力,利用作差比较法比较两式的大小,构造函数,利用函数的单调性比较两式的大小. 解法一:E(1)=0(1-p1)+1p1=p1, 同理,E(2)=p2,又0p1p2, E(1)E(2). D(1)=(0-p1)2(1-p1)+(1-p1)2p1=p1- , 同理,D(2)=p2- .,D(1)-D(2)=p1-p2-( - )=(p1-p2)(1-p1-p2). 00, (p1-p2)(1-p1-p2)0. D(1)D(2).故选A. 解法二:同解法一知E(1)E
4、(2),D(1)=p1- ,D(2)=p2- , 令f(x)=x-x2,则f(x)在 上为增函数,0p1p2 ,f(p1)f(p2),即D(1)D(2).故选A.,考点一 离散型随机变量及其分布列,B组 统一命题、省（区、市）卷题组,1.(2019天津理,16,13分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为 .假定 甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立. (1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望; (2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的 天数恰好
5、多2”,求事件M发生的概率.,解析 本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,互斥事件和相互独立事件的概 率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,重点考查数学建模、数 学运算的核心素养.满分13分. (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为 ,故X B ,从而P(X=k)= ,k=0,1,2,3. 所以,随机变量X的分布列为,随机变量X的数学期望E(X)=3 =2. (2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则YB ,且M=X=3,Y=1X=2, Y=0. 由题意知事件X=3,Y=1与X=2,Y=0互斥,且事
6、件X=3与Y=1,事件X=2与Y=0均相互 独立, 从而由(1)知P(M)=P(X=3,Y=1X=2,Y=0)=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X= 2)P(Y=0)= + = .,思路分析 (1)观察关键词“均”“互不影响”“相互独立”,判断XB(n,p),从而利用二项分 布求出分布列与期望.(2)先将“天数恰好多2”用数学语言表示,即 或 从而利用 互斥与相互独立事件的概率计算公式求解.,解后反思 本题关键是将实际问题转化为数学问题.,2.(2017课标全国理,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 4元,售价每瓶6
7、元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经 验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最 高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月 份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:,以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位: 瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?,解析
8、本题考查随机变量的分布列,数学期望. (1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知 P(X=200)= =0.2,P(X=300)= =0.4,P(X=500)= =0.4. 因此X的分布列为,(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200n500. 当300n500时, 若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n; 若最高气温位于区间20,25),则Y=6300+2(n-300)-4n=1 200-2n; 若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此EY=2n0.4+(1 200-2n)0.
9、4+(800-2n)0.2=640-0.4n. 当200n300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n; 若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n.所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.,3.(2017天津理,16,13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且 在各路口遇到红灯的概率分别为 , , . (1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望; (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车
10、共遇到1个红灯的概率.,解析 本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,事件的相互独立性,互斥事件的概 率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. (1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=0)= = , P(X=1)= 1- 1- + 1- 1- + = , P(X=2)= + + = , P(X=3)= = . 所以,随机变量X的分布列为,随机变量X的数学期望E(X)=0 +1 +2 +3 = . (2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为 P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0) =P
11、(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0) = + = . 所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为 .,技巧点拨 解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个 值时对应的概率,因而理解随机变量取值的意义是解决这类问题的必要前提.,4.(2017山东理,18,12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影 响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙 种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有 6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B
12、3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另 5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率; (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.,解析 本题考查离散型随机变量的分布列,期望. (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M, 则P(M)= = . (2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则 P(X=0)= = , P(X=1)= = , P(X=2)= = , P(X=3)= = , P(X=4)= = . 因此X的分布列为,X的数学期望是 EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=
13、2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0+1 +2 +3 +4 =2.,解后反思 (1)求离散型随机变量X的分布列的步骤: 理解X的含义,写出X所有可能的取值; 求X取每个值时的概率; 写出X的分布列. (2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取各个值时对应的概率,在求解时,要注意 应用计数原理,古典概型概率公式等知识.,5.(2015天津,16,13分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参 加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从 这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种
14、子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A 发生的概率; (2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.,解析 (1)由已知,有 P(A)= = . 所以,事件A发生的概率为 . (2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4. P(X=k)= (k=1,2,3,4). 所以,随机变量X的分布列为,随机变量X的数学期望E(X)=1 +2 +3 +4 = .,评析 本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件,离散型随机变量的分布列与数 学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.属中等难度题.,6.(2015重庆,17,13分)端午节吃粽子是我
15、国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2 个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率; (2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.,解析 (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)= = . (2)X的所有可能取值为0,1,2,且 P(X=0)= = ,P(X=1)= = , P(X=2)= = . 综上知,X的分布列为,故E(X)=0 +1 +2 = .,7.(2015陕西,19,12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关, 对其容量为100的
16、样本进行统计,结果如下:,(1)求T的分布列与数学期望ET; (2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘 教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.,解析 (1)由统计结果可得T的频率分布为,以频率估计概率得T的分布列为,从而ET=250.2+300.3+350.4+400.1=32(分钟). (2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同. 设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于 “刘教授在路途中的时间不超过70分钟”. 解法一:P(A)=
17、P(T1+T270)=P(T1=25,T245)+P(T1=30,T240)+P(T1=35,T235)+P(T1=40,T23 0) =0.21+0.31+0.40.9+0.10.5=0.91. 解法二:P( )=P(T1+T270)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40) =0.40.1+0.10.4+0.10.1=0.09. 故P(A)=1-P( )=0.91.,1.(2018课标全国理,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方 式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4
18、)P(X=6),则p= ( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3,考点二 均值与方差,答案 B 本题考查相互独立事件及二项分布. 由题知XB(10,p),则DX=10p(1-p)=2.4,解得p=0.4或0.6.又P(X=4)0.5,p=0.6,故选B.,2.(2016四川,12,5分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次 试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是 .,答案,解析 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,至少有一枚硬币正面向上的概率为1- = ,且XB , 均值是2 = .,评析 判断X服从二项分布是解题的关键.,3.(2018课标全国理,20,
19、12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用 户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20 件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率 都为p(0p1),且各件产品是不是不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0. (2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产 品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿 费用. (i)若不对该箱余下的产品作检验
20、,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?,解析 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)= p2(1-p)18. 因此f (p)= 2p(1-p)18-18p2(1-p)17=2 p(1-p)17(1-10p). 令f (p)=0,得p=0.1,当p(0,0.1)时, f (p)0; 当p(0.1,1)时, f (p)400,故应该对余下的产品作检验.,考点一 离散型随机变量及其分布列,C组 教师专用题组,1.(2016山东,19,12分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由
21、甲、乙各猜一个 成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分; 如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是 ,乙每轮猜对的概率是 ;每 轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: (1)“星队”至少猜对3个成语的概率; (2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X).,解析 (1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,记事件C:“甲第二轮猜 对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,记事件E:“星队至少猜对3个成语”. 由题意,E=ABCD+ BCD+A CD+AB D+ABC
22、 , 由事件的独立性与互斥性,得 P(E)=P(ABCD)+P( BCD)+P( CD)+P( D)+P( ) =P(A)P(B)P(C)P(D)+P( )P(B)P(C)P(D)+P(A)P( )P(C)P(D)+P(A)P(B)P( )P(D)+P(A)P(B)P (C)P( ) = +2 = . 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为 . (2)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性,得 P(X=0)= = ,P(X=1)=2 = = , P(X=2)= + + + = , P(X=3)= + = = , P(X=4)=2 = = , P(X=6)=
23、 = = . 可得随机变量X的分布列为,所以数学期望E(X)=0 +1 +2 +3 +4 +6 = .,评析 本题考查了随机事件发生的概率及离散型随机变量的分布列与数学期望,确定随机 变量可能的取值是解题的关键.属于中档题.,2.(2015湖北,20,12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品,生产1吨A产品需鲜牛奶 2吨,使用设备1小时,获利1 000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1 200元. 要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12 小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布
24、列为,该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是 一个随机变量. (1)求Z的分布列和均值; (2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率.,解析 (1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x吨,y吨,相应的获利为z元,则有 目标函数为z=1 000x+1 200y. 当W=12时,表示的平面区域如图1,三个顶点分别为 A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0). 当z=1 000x+1 200y变形为y=- x+ , 当x=2.4,y=4.8时,直线l:y=- x+ 在y轴上的截距最大, 最大获
25、利Z=zmax=2.41 000+4.81 200=8 160. 当W=15时,表示的平面区域如图2,三个顶点分别为 A(0,0),B(3,6),C(7.5,0). 将z=1 000x+1 200y变形为y=- x+ ,当x=3,y=6时,直线l:y=- x+ 在y轴上的截距最大, 最大获利Z=zmax=31 000+61 200=10 200. 当W=18时,表示的平面区域如图3, 四个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).,将z=1 000x+1 200y变形为y=- x+ , 当x=6,y=4时,直线l:y=- x+ 在y轴上的截距最大, 最大获利Z=zmax
26、=61 000+41 200=10 800. 故最大获利Z的分布列为,因此,E(Z)=8 1600.3+10 2000.5+10 8000.2=9 708. (2)由(1)知,一天最大获利超过10 000元的概率 p1=P(Z10 000)=0.5+0.2=0.7, 由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为p=1-(1-p1)3=1-0.33=0.973.,评析 本题考查了线性规划,离散型随机变量的分布列与均值及概率的计算等基础知识.考 查运用概率知识解决实际问题的能力.,3.(2015四川,17,12分)某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名
27、女 生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相 当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布 列和数学期望.,解析 (1)由题意知,参加集训的男、女生各有6名. 参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为 = . 因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1- = . (2)根据题意,X的可能取值为1,2,3. P(X=1)= = , P(X=2)= = , P(X=
28、3)= = . 所以X的分布列为,因此,X的数学期望为 E(X)=1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3) =1 +2 +3 =2.,评析 本题主要考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础 知识,考查运算求解能力、应用意识,考查运用概率解决实际问题的能力.,4.(2015湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽 奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个 球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获 奖. (1)求顾客抽奖1次能获奖的
29、概率; (2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学 期望.,解析 (1)记事件A1=从甲箱中摸出的1个球是红球, A2=从乙箱中摸出的1个球是红球, B1=顾客抽奖1次获一等奖, B2=顾客抽奖1次获二等奖, C=顾客抽奖1次能获奖. 由题意,A1与A2相互独立,A1 与 A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1 + A2,C=B1+B2. 因为P(A1)= = ,P(A2)= = , 所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)= = , P(B2)=P(A1 + A2)=P(A1 )+P( A2) =P(A1)P( )+P
30、( )P(A2) =P(A1)1-P(A2)+1-P(A1)P(A2) = + = . 故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)= + = .,(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为 ,所以XB . 于是P(X=0)= = , P(X=1)= = , P(X=2)= = , P(X=3)= = . 故X的分布列为,X的数学期望为E(X)=0 +1 +2 +3 = .,1.(2017课标全国理,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放 回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX= .,考点二
31、 均值与方差,答案 1.96,解析 本题主要考查二项分布. 由题意可知XB(100,0.02),由二项分布可得DX=1000.02(1-0.02)=1.96.,2.(2018天津理,16,13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分 层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. (i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望; (ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,
32、也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.,解析 本题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加 法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. (1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽 取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人. (2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=k)= (k=0,1,2,3). 所以,随机变量X的分布列为,随机变量X的数学期望E(X)=0 +1 +2 +3 = . (ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2
33、人”;事件C为“抽取 的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=BC,且B与C互斥. 由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1), 故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)= . 所以,事件A发生的概率为 .,名师点睛 超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到某类个体的个数.超几何分 布的特点: (1)考察对象分两类; (2)已知各类对象的个数; (3)从中抽取若干个个体,考察某类个体个数X的概率分布. 超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.,考点一 离散型随机变量及其分布列,三年模拟,A组 201720
34、19年高考模拟考点基础题组,1.(2019浙江高考信息优化卷(一),5)已知随机变量YB(n,p),且E(Y)=2.4,D(Y)=1.68,则此二项分 布是 ( ) A.B(3,0.8) B.B(8,0.3) C.B(6,0.4) D.B(4,0.6),答案 B 因为YB(n,p),所以E(Y)=np=2.4,D(Y)=np(1-p)=1.68,解得n=8,p=0.3,故选B.,2.(2019浙江诸暨高三上期末,3)随机变量的分布列为,则其数学期望E= ( ) A.1 B.2 C.3 D.不能确定,答案 B 由题意知,2a+b=1,E=a+2b+3a=2(2a+b)=2,故选B.,3.(201
35、9浙江高考信息优化卷(四),13)随机变量的分布如下:,则b= ,D的最大值为 .,答案 ;,解析 易知 +b+a+ =1,故b= ;D=E2-(E)2= - ,0a ,D的最大值为 .,4.(2019浙江杭州高级中学高三上期中,11)已知随机变量的分布列为,则的数学期望E为 ,的方差D为 .,答案 2;0.8,解析 由题意可知E=10.4+20.2+30.4=2, D=(2-1)20.4+(2-2)20.2+(2-3)20.4=0.8.,1.(2019浙江金丽衢第一次联考,9)五人进行过关游戏,每人随机出现左路和右路两种选择.若 选择同一条路的人数超过2,则他们每人得1分;若选择同一条路的人
36、数小于3,则他们每人得0 分.记小强游戏得分为,则E= ( ) A. B. C. D.,考点二 均值与方差,答案 B 由题意知,随机变量的可能取值为0和1, 则P(=0)= = , 且P(=1)= = , 由数学期望的定义知,E=0 +1 = ,故选B.,2.(2019浙江三校第一次联考(4月),5)已知随机变量满足P(=0)=x,P(=1)=1-x,若0x ,则 ( ) A.E随着x的增大而增大,D随着x的增大而增大 B.E随着x的增大而减小,D随着x的增大而增大 C.E随着x的增大而减小,D随着x的增大而减小 D.E随着x的增大而增大,D随着x的增大而减小,答案 B 由题意可知E=1-x,
37、D=x(1-x)=-x2+x. 由一次函数和二次函数的性质知, 当0x 时,E随着x的增大而减小,D随着x的增大而增大,故选B.,3.(2019浙江金丽衢第二次联考,6)甲和乙两人独立地从五门选修课程中任选三门进行学习,记 两人所选课程相同的门数为,则E()为 ( ) A.1.2 B.1.5 C.1.8 D.2,答案 C 的可能取值为1,2,3, P(=1)= = = , P(=2)= = = , P(=3)= = = , 故E()=1 +2 +3 =1.8. 故选C.,4.(2019浙江宁波高三上期末,8)已知是离散型随机变量,则下列结论错误的是 ( ) A.P P B.E()2E(2) C
38、.D()=D(1-) D.D(2)=D(1-)2,答案 D 对于A,由| ,得- , 由2 ,得- , 因为 是 的真子集,所以A正确; 因为D()=E(2)-E()20, 所以E()2E(2),所以B正确; 因为D(1-)=(-1)2D()=D(),所以C正确,D错误.,5.(2019浙江浙南联盟高三上期末,8)已知随机变量X的分布列如下表:,其中a,b,c0,若X的方差D(X) 对所有a(0,1-b)都成立,则 ( ) A.0b B.0b C. b1 D. b1,答案 D 由X的分布列可得,E(X)=-a+c,又a+b+c=1, 所以X的方差D(X)=(-1+a-c)2a+(a-c)2b+
39、(1+a-c)2c =(a-c)2(a+b+c)-2(a-c)2+a+c=-(a-c)2+a+c =-(2a-1+b)2+1-b=-4 +1-b. 因为a(0,1-b),所以当且仅当a= 时,D(X)取到最大值1-b. 又D(X) 对所有a(0,1-b)都成立, 所以1-b ,解得b ,所以 b1.故选D.,易错警示 1.方差公式及其运算;2.函数模型的建立;3.分布列中概率的范围.,6.(2019浙江绍兴数学调测(3月),7)袋中有m个红球,n个白球,p个黑球(5nm1,p4),从中任 取1个球(每个球取到的机会均等),设1表示取出红球的个数,2表示取出白球的个数,则 ( ) A.E(1)E
40、(2),D(1)D(2) B.E(1)E(2),D(1)D(2) D.E(1)E(2),D(1)D(2),答案 D 设P1,P2分别为取到红球和白球的概率,则P1= ,P2= ,故E(1)= ,E(2)= . nm,E(1)m1,p4, P1P2 . 由f(x)=x(1-x)在 上单调递增,可得D(1)D(2).故选D.,7.(2019浙江名校协作体联考(2月),8)连续掷一枚质地均匀的骰子3次,各次互不影响,记为出现 6点的次数,则D()= ( ) A. B. C. D.,答案 D 连续掷一枚质地均匀的骰子3次,各次互不影响,所以B ,所以D()=3 = .,思路分析 解决本题的关键是得到随
41、机变量B ,进而利用二项分布的方差公式D()=np (1-p)求解即可.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:25分钟 分值:50分 一、选择题(每小题4分,共32分),1.(2019浙江温州普通高中高考适应性测试(2月),6)随机变量 X 的分布列如下表所示,则D(X)= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 B 由题意得a= ,则E(X)=0 +2 +4 =2,E(X2)=0 +22 +42 =6, 所以D(X)=E(X2)-E(x)2=6-4=2,故选B.,2.(2019浙江金华十校联考(4月),7)设0p1,随机变量的分布列是,则当p在(0,1)内增大时,下列说
42、法正确的是 ( ) A.E减小,D减小 B.E减小,D增大 C.E增大,D减小 D.E增大,D增大,答案 A 由期望和方差的定义可知, E= +2 =1- , D=E2-(E)2= +22 - =- - +1=- (p+1)2+ . 由一次函数和二次函数的性质可知,p在(0,1)内增大时,E减小,D减小,故选A.,3.(2019浙江台州高三上期末,7)一个袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球1个、黑球2 个,现随机等可能地取出小球.当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球个数为1;当无放回 依次取出两个小球时,记取出的红球个数为2,则 ( ) A.E1D2 C.E1=E2,D1E2,D1D
43、2,答案 B 由题意得,P(1=0)= = ,P(1=1)= = ,P(1=2)= = ; P(2=0)= = ,P(2=1)= = , 从而E1= ,D1= ;E2= ,D2= , 所以E1=E2,D1D2,故选B.,4.(2019浙江高考“超级全能生”联考(2月),6)已知随机变量满足下列分布列:,当p(0,1)且不断增大时,下列说法正确的是 ( ) A.E()增大,D()增大 B.E()减小,D()减小 C.E()增大,D()先增大后减小 D.E()增大,D()先减小后增大,答案 A 本题考查离散型随机变量的数学期望、方差. 由题意得E()=-1 +0 +1 = , D()= + + =
44、 ,所以当0p1,且p不断增大 时,E()增大,D()增大,故选A.,解题关键 掌握数学期望、方差的计算公式是解题的关键.,5.(2019浙江高考数学仿真卷,8)随机变量X的分布列如下表所示,离散型随机变量Y=2X-1,则DY的值是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 由题意得x=1- - = , 所以EX=0 +1 +2 = , EX2=0 +1 +4 = , 所以DX=EX2-(EX)2= - = ,从而DY=4DX= .故选B.,6.(2019浙江高考数学仿真卷(三),6)甲乙两个袋中有大小相同且数量相同的小球各4个,且每个 袋中红球均为n个,黄球均为(4-n)个,现从两个袋中分别
45、取一个球,取出一个红球得2分,取出一 个黄球得1分,记两个袋中取球得到的总分数为随机变量,若E= ,则方差D= ( ) A. B. C. D.,答案 A 由题意可知P(=2)= = ,P(=3)= + = , P(=4)= = , 故E=2 +3 +4 = ,解得n=1, 所以D= + + = . 故选A.,7.(2019浙江高考数学仿真卷(二),7)已知数列an满足a1=0,且对任意nN*,an+1等概率地取an+1 或an-1.设an的值为随机变量n,则 ( ) A.E(|3|)=2 B.D(|3|)=2 C.P(2 019=0)P(2 019=2) D.P(2 019=0)P(2 017
46、=0),答案 D P(2 019=0)= P(2 019=0)+ P(2 017=2)+ P(2 017=-2) P(2 019=0)+ P(2 017=0),P(2 019=0)P(2 017=0).,8.(2019浙江高考数学仿真卷(一),7)已知,为随机变量,且012,则下列命题中正确 的个数是 ( ) EE(3-);EE;D=D(1-);0D . A.4 B.3 C.2 D.1,答案 A 命题:E1,E(3-)=3-E2,命题正确; 命题:E1E,命题正确; 命题:D(1-)=(-1)2D=D,命题正确; 命题:显然有D0, 又D=E2-(E)2E-(E)2=- + ,命题正确. 综上
47、,选A.,9.(2019浙江“超级全能生”9月联考,15)随机变量X的分布列为,其中a,b,c,d成等差数列(ab),则P(|X|=3)= ,D(X)的取值范围为 .,二、填空题(共18分),解析 a,b,c,d成等差数列,a+d=c+b= , P(|X|=3)=a+d= . 由题意可得a+3c=1,即c= - a, b= -c= + a,d= -a, 则E(X)=-3a-b+c+3d=- a+ , D(X)=aE(X)+32+dE(X)-32+bE(X)+12+cE(X)-12, 即D(X)=- + =- +5, 0a , D(X)的取值范围为 .,答案 ;,10.(2018浙江杭州高三教学质检,12)在一次随机试验中,事件A发生的概率为p,事件A发生的次 数为,则期望E()= ,方差D()的最
