1、考点 矩阵与变换,五年高考,自主命题江苏卷题组,1.(2019江苏,21A,10分)已知矩阵A= . (1)求A2; (2)求矩阵A的特征值.,解析 本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识,考查运算求解能力. (1)因为A= ,所以A2= = = . (2)矩阵A的特征多项式为 f()= =2-5+4. 令f()=0,解得A的特征值1=1,2=4.,2.(2018江苏,21B,10分)已知矩阵A= . (1)求A的逆矩阵A-1; (2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P(3,1),求点P的坐标.,解析 本题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识,考查运算求解能力. (1)解法一:因为A=
2、 ,det(A)=22-13=10,所以A可逆. 从而A-1= . 解法二:设A-1= , 则AA-1=E(E为二阶单位矩阵), = ,得到a=2,b=-3,c=-1,d=2, A-1= . (2)设P(x,y),则 = , 所以 =A-1 = . 因此,点P的坐标为(3,-1).,3.(2017江苏,21B,10分)已知矩阵A= ,B= . (1)求AB; (2)若曲线C1: + =1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.,解析 本题主要考查矩阵的乘法、线性变换等基础知识,考查运算求解能力. (1)因为A= ,B= , 所以AB= = . (2)设Q(x0,y0)为曲线C
3、1上的任意一点,它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x,y), 则 = ,即 所以 因为点Q(x0,y0)在曲线C1上,则 + =1, 从而 + =1,即x2+y2=8. 因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2:x2+y2=8.,4.(2016江苏,21B,10分)已知矩阵A= ,矩阵B的逆矩阵B-1= ,求矩阵AB.,解析 解法一:设B= , 则B-1B= = , 即 = , 故 解得 所以B= . 因此,AB= = . 解法二:因为B-1= ,所以B=(B-1)-1= = . 因此,AB= = .,5.(2015江苏,21B,10分)已知x,yR,向量= 是矩阵A= 的属于特征
4、值-2的一个特征向 量,求矩阵A以及它的另一个特征值.,解析 由已知,得A=-2,即 = = , 则 即 所以矩阵A= . 从而矩阵A的特征多项式f()=(+2)(-1), 所以矩阵A的另一个特征值为1.,教师专用题组 考点 矩阵与变换,1.(2014江苏,21B,10分)已知矩阵A= ,B= ,向量= ,x,y为实数,若A=B,求x+y的 值.,解析 由已知,得A= = ,B= = . 因为A=B,所以 = .故 解得 所以x+y= .,2.(2014福建,21,14分)已知矩阵A的逆矩阵A-1= . (1)求矩阵A; (2)求矩阵A-1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.,解析 (1
5、)因为矩阵A是矩阵A-1的逆矩阵,且|A-1|=22-11=30, 所以A= = . (2)矩阵A-1的特征多项式为f()= =2-4+3=(-1)(-3), 令f()=0,得矩阵A-1的特征值为1=1或2=3, 所以1= 是矩阵A-1的属于特征值1=1的一个特征向量, 2= 是矩阵A-1的属于特征值2=3的一个特征向量.,3.(2013福建,21(1),7分)已知直线l:ax+y=1在矩阵A= 对应的变换作用下变为直线l:x+by=1. (1)求实数a,b的值; (2)若点P(x0,y0)在直线l上,且A = ,求点P的坐标.,解析 (1)设直线l:ax+y=1上任意点M(x,y)在矩阵A对
6、应的变换作用下的像是M(x,y). 由 = = ,得 又点M(x,y)在l上,所以x+by=1,即x+(b+2)y=1, 依题意得 解得 (2)由A = ,得 解得y0=0. 又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=1. 故点P的坐标为(1,0).,评析 本题主要考查矩阵、矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.,4.(2013江苏,21B,10分)已知矩阵A= ,B= ,求矩阵A-1B.,解析 设矩阵A的逆矩阵为 ,则 = , 即 = , 故a=-1,b=0,c=0,d= ,从而A的逆矩阵为A-1= , 所以A-1B= = .,5.(2012江苏,21B,10分)已知矩
7、阵A的逆矩阵A-1= ,求矩阵A的特征值.,解析 因为A-1A=E,所以A=(A-1)-1. 因为A-1= ,所以A=(A-1)-1= , 于是矩阵A的特征多项式为f()= =2-3-4. 令f()=0,解得A的特征值1=-1,2=4.,评析 本题主要考查矩阵的基础知识,考查运算求解能力.,6.(2011江苏,21B,10分)已知矩阵A= ,向量= .求向量,使得A2=.,解析 A2= = . 设= .由A2=,得 = ,从而 解得x=-1,y=2,所以= .,评析 本题考查矩阵运算法则等基础知识,对运算能力有一定的要求,属中等难度题.,7.(2011福建,21(1),7分)设矩阵M= (其中
8、a0,b0). (1)若a=2,b=3,求矩阵M的逆矩阵M-1; (2)若曲线C:x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C: +y2=1,求a,b的值.,解析 (1)设矩阵M的逆矩阵M-1= , 则MM-1= .又M= , 所以 = , 所以2x1=1,2y1=0,3x2=0,3y2=1, 即x1= ,y1=0,x2=0,y2= , 故所求的逆矩阵M-1= . (2)设曲线C上任意一点P(x,y),它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P(x,y),则 = ,即 又点P(x,y)在曲线C上,所以 +y2=1, 则 +b2y2=1为曲线C的方程.,又已知曲线C的方程x2+y2=1,
9、故 又a0,b0,所以,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2019无锡期末,21A)设旋转变换矩阵A= ,若 A= ,求ad-bc的值.,解析 A= , = , 得 (6分) 即a=-4,b=3,c=2,d=-1. (8分) ad-bc=(-4)(-1)-23=-2. (10分),2.(2019金陵中学检测,21B)若点A(2,1)在矩阵M= 对应变换作用下得到点B(4,5),求矩阵M 的逆矩阵.,解析 由题意得M = ,即 = ,所以 解得 所以M= . (5分) 解法一:因为detM= =-7, 所以M-1= = . (10分) 解法二:设M-1= ,由M-1M
10、= ,得 = ,所以 解得c= ,d= ,e= , f=- , 所以M-1= . (10分),3.(2019苏中、苏北七市第二次调研,21A)已知m,nR,向量= 是矩阵M= 的属于特征 值3的一个特征向量,求矩阵M及另一个特征值.,解析 由题意得,M=3,即 = = , 所以m=2,n=1,即矩阵M= . (5分) 矩阵M的特征多项式f()= =(-1)2-4=0, 解得矩阵M的另一个特征值=-1. (10分),4.(2019苏北三市(徐州、连云港、淮安)期末,21A)已知矩阵A= ,B= ,求A-1B.,解析 由公式易得A-1= . (5分) 所以A-1B= = . (10分),5.(20
11、19苏州期末,21A)已知矩阵M= 的逆矩阵M-1= ,求实数m,n.,解析 由于MM-1= = = , 所以 解得,6.(2019南京、盐城期末,21A)直线l:2x-y+3=0经过矩阵M= 变换后还是直线l,求矩阵M的 特征值.,解析 设直线l上一点(x,y)经矩阵M变换后得到点(x,y), 所以 = ,即 因为变换后的直线还是直线l,所以将点(x,y)代入直线l的方 程, 得2ax-(x+dy)+3=0,即(2a-1)x-dy+3=0, 所以 解得 (6分) 所以矩阵M的特征多项式f()= = (-1),令f()=0, 解得= 或=1,所以矩阵M的特征值为 与1. (10分),解答题(共
12、80分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：45分钟 分值：80分),1.(2019苏锡常镇四市教学情况调查二,21A)已知矩阵A= ,其逆矩阵A-1= ,求A2.,解析 因为AA-1= ,即 = , 所以 (2分) 解得a=1,b= ,c=- ,则A= . (5分) 所以A2= = . (10分),2.(2019南京期初调研,21A)已知矩阵A= ,向量= . (1)若向量= 满足A=,求x,y的值; (2)求A-1.,解析 (1)因为矩阵A= ,向量= ,= ,且A=, 所以A= = = . (3分) 所以 解得 (5分) (2)因为矩阵M= (ad-bc0)的逆矩阵为
13、M-1= ,且矩阵A= , 所以A-1= . (10分),3.(2019南京三模,21A)已知矩阵M= . (1)求M2; (2)求矩阵M的特征值和特征向量.,解析 (1)M2= = . (4分) (2)矩阵M的特征多项式f()= =(-1)(-3). 令f()=0,解得M的特征值为1=1,2=3. (6分) 当=1时, = ,得 令x=1,则y=-1,于是矩阵M属于特征值1的一个特征向量为 . (8分) 当=3时, =3 ,得 令x=1,则y=1,于是矩阵M属于特征值3的一个特征向量为 . 因此,矩阵M的特征值为1,3,分别对应的一个特征向量为 , . (10分),4.(2019南师大附中期
14、中,21A)已知二阶矩阵M= 的特征值=-2所对应的一个特征向量e = . (1)求矩阵M; (2)设曲线C在矩阵M作用下得到的曲线C的方程为x2+y2=1,求曲线C的方程.,解析 (1)因为Me=e,所以 =-2 . (2分) 所以 所以 所以M= . (5分) (2)设曲线C上任意一点P(x,y)在矩阵M作用下得到曲线x2+y2=1上的一点P(x,y), 则 = ,即 (7分) 又因为点P(x,y)在曲线x2+y2=1上,所以x2+y2=1,即(-x+y)2+(2x)2=1. 整理得5x2-2xy+y2-1=0. 所以曲线C的方程为5x2-2xy+y2-1=0. (10分),5.(2019
15、南通基地学校3月联考,21A)已知二阶矩阵A有特征值=-4,其对应的一个特征向量为e= ,并且矩阵A对应的变换将点(1,2)变换成点(8,4),求矩阵A.,解析 设所求二阶矩阵A= . 由题意得Ae=-4e,且A = . (5分) 所以 解得 所以A= . (10分),6.(2019泰州期末,21A)已知矩阵M= 的一个特征值为-2,向量= ,求M.,解析 f()= =2-(x-1)-(x+5)=0,将=-2代入上式,解得x=3, 所以M= ,所以M= = .,7.(2019苏中、苏北七大市三模,21A)已知a,b,c,dR,矩阵A= 的逆矩阵A-1= .若曲线 C在矩阵A对应的变换作用下得到
16、曲线y=2x+1,求曲线C的方程.,解析 由题意得,AA-1= ,即 = = , 所以a=1,b=1,c=2,d=0, 即矩阵A= . (5分) 设P(x,y)为曲线C上的任意一点,在矩阵A对应的变换作用下变为点P(x,y), 则 = ,即 (8分) 由已知条件可知,P(x,y)满足y=2x+1,整理得2x-5y+1=0, 所以曲线C的方程为2x-5y+1=0. (10分),8.(2019江都中学、华罗庚中学等13校联考,21A)求曲线|x|+|y|=1在矩阵M= 对应的变换作 用下得到的曲线所围成图形的面积.,解析 设点(x0,y0)为曲线|x|+|y|=1上的任意一点,在矩阵M= 对应的变换作用下得到的点为 (x,y),则 = ,所以 (5分) 所以曲线|x|+|y|=1在矩阵M= 对应的变换作用下得到的曲线为|x|+3|y|=1,所围成的图形为 菱形,其面积为 2 = . (10分),
