1、五年高考,A组 自主命题江苏卷题组,1.(2019江苏,9,5分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD 的体积是 .,答案 10,解析 本题考查长方体、三棱锥的体积公式,考查学生的空间想象能力、运算求解能力,考查 的核心素养是直观想象、数学运算. 因为长方体的体积是120,所以2SBCDCC1=120, 则SBCDCC1=60.所以VE-BCD= SBCDEC= SBCD CC1= 60=10.,评析 本题通过长方体考查体积之间的关系,通过体积公式,找出底面面积与高的关系,不需要 求出具体的底面面积和高是多少.,2.(2018江苏,10,5
2、分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .,答案,解析 本题考查组合体体积的计算. 多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成,其中正四棱锥的底面边长为 ,高为1,其体积 为 ( )21= ,多面体的体积为 .,名师点睛 解题的关键要认清空间中的点、线、面的位置关系,要重点掌握直线与直线、直 线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系.对于一些常见的几何体,如棱长为a的正方体或 正四面体,要会求相关线段的长度、有关面积与体积,掌握好特殊几何体,能更好地提升空间想 象能力.,3.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切
3、.记 圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则 的值是 .,答案,解析 设圆柱内切球的半径为R,则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R,高为2R, = = .,名师点睛 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略: (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法 进行求解.,4.(2015江苏,9,5分)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的 圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱 各一个,则
4、新的底面半径为 .,答案,解析 原两个几何体的总体积V= 524+228= .由题意知新圆锥的高为4,新圆柱的 高为8,且它们的底面半径相同,可设两几何体的底面半径均为r(r0),则 r24+r28= ,解得r2=7,从而r= .,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,考点一 空间几何体的表面积,1.(2018课标全国理,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为 ,SA与圆锥 底面所成角为45.若SAB的面积为5 ,则该圆锥的侧面积为 .,答案 40 ,解析 本题考查了圆锥的性质和侧面积的计算,考查了异面直线所成的角和线面角. 因为母线SA与圆锥底面所成的角为45,所以圆锥
5、的轴截面为等腰直角三角形.设底面圆的半 径为r,则母线长l= r.在SAB中,cosASB= ,所以sinASB= .因为SAB的面积为5 , 即 SASBsinASB= r r =5 ,所以r2=40,故圆锥的侧面积为rl= r2=40 .,疑难突破 利用底面半径与母线的关系,以及SAB的面积值求出底面半径是解题的突破口.,2.(2018课标全国文改编,5,5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平 面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 .,答案 12,解析 本题主要考查圆柱的表面积及圆柱的轴截面. 设圆柱的底面半径为r,高为h,由题意可知2r
6、=h=2 ,圆柱的表面积S=2r2+2rh=4+8=12.,解题关键 正确理解圆柱的轴截面及熟记圆柱的表面积公式是解决本题的关键.,3.(2018课标全国理改编,12,5分)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都 相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为 .,答案,解析 本题主要考查空间直线与平面的位置关系及其所成角问题. 由正方体的性质及题意可得,正方体共顶点的三条棱所在直线与平面所成的角均相等.如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知棱AB,AD,AA1所在直线与平面A1BD所成的角均相等,所以平 面A1BD,当平面趋近点A时,截面图形的面积趋近于0;当平面经过正方体
7、的中心O时,截面图 形为正六边形,其边长为 ,截面图形的面积为6 = ;当平面趋近于C1时,截面 图形的面积趋近于0,所以截面图形面积的最大值为 .,解题关键 利用正方体的性质,将每条棱所在直线与平面所成角转化为共顶点的三条棱所在 直线与平面所成角是解决本题的关键.,4.(2017课标全国文,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O 的表面积为 .,答案 14,解析 本题考查长方体和球的性质,考查了球的表面积公式. 由题意知长方体的体对角线为球O的直径,设球O的半径为R,则(2R)2=32+22+12=14,得R2= ,所以 球O的表面积为4R2=14.,
8、疑难突破 明确长方体的体对角线为球的直径是求解的关键.,易错警示 易因用错球的表面积公式而致错.,5.(2017课标全国文,16,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直 径.若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为 .,答案 36,解析 由题意作出图形,如图. 设球O的半径为R,由题意知SBBC,SAAC,又SB=BC,SA=AC,则SB=BC=SA=AC= R.连接 OA,OB, 则OASC,OBSC,因为平面SCA平面SCB,平面SCA平面SCB=SC,所以OA平面SCB,所 以OAOB,则AB= R, 所以
9、ABC是边长为 R的等边三角形,设ABC的中心为O1,连接OO1,CO1. 则OO1平面ABC,CO1= R= R,则OO1= = R, 则VS-ABC=2VO-ABC=2 ( R)2 R= R3=9,所以R=3. 所以球O的表面积S=4R2=36.,6.(2017课标全国文,18,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90. (1)证明:平面PAB平面PAD; (2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱锥P-ABCD的体积为 ,求该四棱锥的侧面积.,解析 本题考查立体几何中面面垂直的证明和几何体侧面积的计算. (1)证明:由已知BAP=CDP=90, 得
10、ABAP,CDPD. 由于ABCD,故ABPD, 从而AB平面PAD. 又AB平面PAB, 所以平面PAB平面PAD. (2)在平面PAD内作PEAD,垂足为E.,由(1)知,AB平面PAD, 故ABPE,可得PE平面ABCD. 设AB=x,则由已知可得AD= x,PE= x. 故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD= ABADPE= x3. 由题设得 x3= ,故x=2. 从而PA=PD=2,AD=BC=2 ,PB=PC=2 . 可得四棱锥P-ABCD的侧面积为 PAPD+ PAAB+ PDDC+ BC2sin 60=6+2 .,方法总结 1.面面垂直的证明 证明两个平面互相垂直,可以在一
11、个平面内找一条直线l,证明直线l垂直于另一个平面.,2.线面垂直的证明 (1)证明直线l垂直于平面内的两条相交直线. (2)若已知两个平面垂直,则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.,3.几何体的体积 柱体的体积V=S底h. 锥体的体积V= S底h.,4.几何体的表面积 直棱柱的侧面积S侧=C底l,其他几何体一般要对各个侧面、底面逐个分析求解面积,最后求和.,考点二 空间几何体的体积,1.(2019课标全国理改编,12,5分)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC, ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,CEF=90,则球O的体积为 .,答
12、案 ,解析 本题考查线面垂直的位置关系、三棱锥的性质和球的体积公式,考查空间想象能力和 数学运算能力,考查的核心素养是直观想象和数学建模. 解法一:E、F分别是PA、AB的中点,EFPB. CEF=90,EFEC,PBEC, 又三棱锥P-ABC为正三棱锥,PBAC,从而PB平面PAC,三条侧棱PA、PB、PC两两 垂直. ABC是边长为2的正三角形,PA=PB=PC= , 则球O是棱长为 的正方体的外接球,设球O的半径为R, 则2R= ,R= ,球O的体积V= R3= .,解法二:令PA=PB=PC=2x(x0),则EF=x,连接FC,由题意可得FC= .在PAC中,cosAPC= = . 在
13、PEC中,EC2=PC2+PE2-2PCPEcosEPC=4x2+x2-22xx =x2+2,在FEC中,CEF= 90,FC2=EF2+EC2,即x2+2+x2=3,x= ,PA=PB=PC=2x= . AB=BC=CA=2,三棱锥P-ABC的三个侧面为等腰直角三角形,PA、PB、PC两两垂直,故 球O是棱长为 的正方体的外接球,设球O的半径为R,则2R= ,R= ,球O的体积V= R3= .,解题关键 三棱锥与球的切、接问题,关键是确定三棱锥的特殊性.本题中确定三棱锥的侧棱 长是关键.通常情况下,把空间问题转化为平面问题后通过解三角形完成,充分利用平行、垂直 的特殊位置关系更有利于解题.,
14、2.(2019课标全国理,16,5分)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为 长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H 分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损 耗,制作该模型所需原料的质量为 g.,答案 118.8,解析 本题考查长方体、四棱锥的体积公式;考查学生的空间想象能力和运算能力,以及应用 意识与数形结合的思想;考查的核心素养是直观想象和数学运算. 依题意,知该模型是长方体中挖去一个四棱锥,故其体积 V=V长方体-V四棱锥=
15、664- 463=132(cm3). 又制作该模型所需的原料密度为0.9 g/cm3, 故制作该模型所需原料的质量为0.9132=118.8(g).,易错警示 计算被挖去的四棱锥底面面积时,容易误认为四边形HEFG为正方形,由勾股定理 求得HE= = ,错认为底面面积为13.,3.(2019天津理,11,5分)已知四棱锥的底面是边长为 的正方形,侧棱长均为 .若圆柱的一个 底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的 体积为 .,答案,解析 本题考查了圆柱、正四棱锥的性质,通过计算圆柱的底面半径、高、体积考查学生的 空间想象能力和转化思想方法的应用,体现了
16、直观想象的核心素养. 如图所示,圆柱的高O1O= PO= = =1,圆柱的底面半径r= AO= .所以圆 柱的体积V=r2O1O= 1= .,4.(2019课标全国文,16,5分)已知ACB=90,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到ACB两边 AC,BC的距离均为 ,那么P到平面ABC的距离为 .,答案,解析 本题主要考查直线与平面垂直的判定与性质,点到平面距离的计算等知识点;考查了考 生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力;考查的核心素养为直观想象. 设PO平面ABC于O,PEAC于E,PFBC于F, 连接OE、OF、OC, PO平面ABC,POAC, 又POPE=P,AC平面PO
17、E, ACOE, 同理有BCOF,四边形OECF为矩形,PC=PC且PE=PF, RtPECRtPFC,EC=FC= =1, 四边形OECF是边长为1的正方形, OC= , 在RtPOC中,PO= = .,思路分析 设PO平面ABC,作PEAC,PFBC,根据线面垂直的判定与性质判定四边形 OECF为矩形,根据RtPECRtPFC,得出EC=FC,进而判断出四边形OECF是正方形,从而 得出OC的长,进一步在RtPOC中求出PO的长,即点P到平面ABC的距离.,5.(2018课标全国文改编,10,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所 成的角为3
18、0,则该长方体的体积为 .,答案 8,解析 本题主要考查长方体的体积及直线与平面所成的角. 如图,由长方体的性质可得AB平面BCC1B1, BC1为直线AC1在平面BCC1B1内的射影, AC1B为直线AC1与平面BCC1B1所成的角, 即AC1B=30, 在RtABC1中,AB=2,AC1B=30,BC1=2 , 在RtBCC1中,CC1= = =2 , 该长方体的体积V=222 =8 .,易错警示 不能准确理解线面角的定义,无法找出直线与平面所成的角,从而导致失分.,方法总结 用定义法求线面角的步骤: (1)找出斜线上的某一点在平面内的射影; (2)连接该射影与直线和平面的交点即可得出线面
19、角; (3)构建直角三角形,求解得出结论.,6.(2018课标全国理改编,10,5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等 边三角形且其面积为9 ,则三棱锥D-ABC体积的最大值为 .,答案 18,解析 本题考查空间几何体的体积. 设ABC的边长为a,则SABC= aasin 60=9 ,解得a=6(负值舍去).ABC的外接圆半径r满足 2r= ,得r=2 ,球心到平面ABC的距离为 =2.所以点D到平面ABC的最大距离 为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为 9 6=18 .,7.(2018天津理,11,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,
20、除面ABCD外,该正方体其余各面 的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为 .,答案,解析 本题主要考查正方体的性质和正四棱锥的体积. 由题意知四棱锥的底面EFGH为正方形,其边长为 ,即底面面积为 ,由正方体的性质知,四 棱锥的高为 .故四棱锥M-EFGH的体积V= = .,8.(2018天津文,11,5分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积 为 .,答案,解析 本题主要考查正方体的性质和四棱锥的体积. 四棱锥的底面BB1D1D为矩形,其面积为1 = , 又点A1到底面BB1D1D的距离,即四棱锥A1-BB1D
21、1D的高为 A1C1= ,所以四棱锥A1-BB1D1D的 体积为 = .,9.(2017课标全国理改编,8,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个 球的球面上,则该圆柱的体积为 .,答案,解析 本题考查球的内接圆柱的体积. 设圆柱的底面半径为r,则r2+ =12,解得r= , V圆柱= 1= .,10.(2017课标全国理,16,5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰 三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FA
22、B,使得D,E,F重合,得 到三棱锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为 .,答案 4,解析 由题意知折叠以后三棱锥的直观图如图所示. 连接CO并延长交AB于H,连接DO、DH.则DO平面ABC. 令OH=x cm,则OC=2x cm,DH=(5-x)cm,得OD= = cm,AB=2 x cm. 则VD-ABC= = x2 = x2 cm3, 令f(x)= x2 , 则f (x)= = , 则当x(0,2)时, f(x)单调递增,当x(2,2.5)时, f(x)单调递减,所以当x=2时,体积取最大值,为 4 =4 cm3.,方法总结 求解立体几何中的最值问题时,注
23、意先要引入自变量x,再根据几何体的点、线、 面的位置关系表示几何体中的相关量,进而建立目标函数,最后利用函数的性质来求解最值.,11.(2017天津理改编,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面 积为18,则这个球的体积为 .,答案 ,解析 本题考查正方体的表面积及外接球的体积. 设这个正方体的棱长为a,由题意可知6a2=18,所以a= ,所以这个正方体的外接球半径R= a = ,所以这个正方体外接球的体积V= R3= = .,方法总结 找几何体外接球球心的方法:1.构造长方体(或正方体),将原几何体的外接球转化 成长方体(或正方体)的外接球,进而易得球心位置;2
24、.找几何体底面的外心O1,过O1作底面的垂 线l1,再找几何体一侧面的外心O2,过O2作该侧面的垂线l2,则l1与l2的交点即为外接球的球心.,12.(2016课标全国理,11,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是 .,答案,解析 易知AC=10.设底面ABC的内切圆的半径为r,则 68= (6+8+10)r,所以r=2,因为2r =43,所以当球与三棱柱的上、下底面相切时,体积最大,所以最大球的直径2R=3,则R= ,此时 球的体积V= R3= .,13.(2016浙江,14,4分)如图,在ABC中,AB
25、=BC=2,ABC=120.若平面ABC外的点P和线段AC 上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是 .,答案,解析 已知PD=DA,PB=BA,故PDB可看作是由ADB沿BD向上翻折而成的.当BD与AC不 垂直时,无论折叠到何种位置,PD都不垂直于BD,从而PD不垂直于平面ABC,因此VP-BCD SBCD PD;当BDAC时,折叠到PDDC时,VP-BCD= SBCDPD.不妨设AD=x,易知AC=2 ,ACB=30, 则VP-BCD SBCDPD= 2(2 -x)sin 30x= (2 -x)x , 当且仅当x= ,即BDAC时取到最大值,故四面体PBCD的
26、最大体积为 .,14.(2015山东改编,7,5分)在梯形ABCD中,ABC= ,ADBC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕 AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 .,答案,解析 如图,此几何体是底面半径为1,高为2的圆柱挖去一个底面半径为1,高为1的圆锥,故所 求体积V=2- = .,评析 本题主要考查几何体的体积及空间想象能力.,15.(2017课标全国文,19,12分)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,AD=CD. (1)证明:ACBD; (2)已知ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体 ABCE与四面体A
27、CDE的体积比.,解析 (1)证明:取AC的中点O,连接DO,BO. 因为AD=CD,所以ACDO. 又由于ABC是正三角形,所以ACBO. 从而AC平面DOB,故ACBD. (2)连接EO. 由(1)及题设知ADC=90,所以DO=AO. 在RtAOB中,BO2+AO2=AB2. 又AB=BD,所以 BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90. 由题设知AEC为直角三角形,所以EO= AC. 又ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO= BD. 故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的 ,四面体ABCE的体积为 四面体ABCD的体积的 ,即四面体
28、ABCE与四面体ACDE的体积之比为11.,C组 教师专用题组,考点一 空间几何体的表面积,1.(2019课标全国理,16,5分)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形 状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体” (图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对 称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方 体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面,其棱长为 .(本题第一空2分,第二空 3分) 图1 图2,答案 26; -1,解析 本题考查空间几何体的结构特征,
29、空间几何体的直观图等知识;考查空间想象能力,运算 求解能力和应用意识;考查的核心素养为直观想象和数学运算.通过金石文化体现和弘扬中华 优秀传统文化. 半正多面体面数从上至下依次为1,8,8,8,1,故共有1+8+8+8+1=26个面.半正多面体的所有顶点 都在同一个正方体表面上,如图1,该正方体被半正多面体顶点A,B,C所在平面截得的图形如图 2.八边形ABCDEFGH为正八边形. 图1 图2,设AB=a,则1=2 a+a,解得a= -1.,解题关键 将半正多面体顶点所在的正方体画出是关键,再选取合适的截面即可求解.,思路分析 该题是多面体切接问题,尽量选取多个顶点所在的截面ABCDEFGH,
30、并确定其形状 为正八边形,根据边之间的关系列出方程求解即可.,疑难突破 将半正多面体放置在相应的正方体中,有更强的对称性和直观性,解题将有突破性 的进展.,2.(2015课标全国改编,9,5分)已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点. 若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为 .,答案 144,解析 SOAB是定值,且VO-ABC=VC-OAB, 当OC平面OAB时,VC-OAB最大,即VO-ABC最大.设球O的半径为R,则(VO-ABC)max= R2R= R3=3 6,R=6,球O的表面积S=4R2=462=144.,思路分析 由OAB的面积为定值分析
31、出当OC平面OAB时,三棱锥O-ABC的体积最大,从而 根据已知条件列出关于R的方程,进而求出R值,利用球的表面积公式即可求出球O的表面积.,3.(2014山东,13,5分)一个六棱锥的体积为2 ,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则 该六棱锥的侧面积为 .,答案 12,解析 设六棱锥的高为h,斜高为h0.因为该六棱锥的底面是边长为2的正六边形,所以底面面积 为 22sin 606=6 ,则 6 h=2 ,得h=1,所以h0= =2,所以该六棱锥的侧面积为 226=12.,4.(2013课标全国,15,5分,0.246)已知正四棱锥O-ABCD的体积为 ,底面边长为 ,则以O 为球心,
32、OA为半径的球的表面积为 .,答案 24,解析 设底面中心为E,则|AE|= |AC|= ,体积V= |AB|2|OE|=|OE|= ,|OA|2=|AE|2+| OE|2=6.从而以OA为半径的球的表面积S=4|OA|2=24.,评析 本题考查了正四棱锥和球,考查了表面积和体积,考查了空间想象能力和运算求解能力. 计算错误是失分的主要原因.,考点二 空间几何体的体积,1.(2014陕西改编,5,5分)已知底面边长为1,侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面 上,则该球的体积为 .,答案,解析 如图为正四棱柱AC1.根据题意得AC= ,对角面ACC1A1为正方形,外接球直径2R= A1C=
33、2,R=1,V球= .,2.(2014江苏,8,5分,0.84)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2,体积分别为V1、V2,若它们的 侧面积相等,且 = ,则 的值是 .,答案,解析 设圆柱甲的底面半径为r1,高为h1,圆柱乙的底面半径为r2,高为h2. 由题意得 = = , = . 又S甲侧=S乙侧,即2r1h1=2r2h2, = = , 故 = = = = .,评析 考查立体几何中侧面积、体积公式,考查运算和恒等变形的能力.,3.(2013江苏,8,5分,0.557)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱 锥F-ADE的体积为V1,三棱柱
34、A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1V2= .,答案,解析 由题意知,三棱锥F-ADE与三棱柱A1B1C1-ABC的高之比为 ,底面积之比为 ,故V1V2= = .,4.(2013课标全国理改编,6,5分,0.593)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器 高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果 不计容器的厚度,则球的体积为 .,答案 cm3,解析 设球心为O,正方体上底面中心为A,上底面一边的中点为B,在RtOAB中,|OA|=R-2(cm), |AB|=4(cm),|OB|=R(cm),由R2=(R-2)2+42得R=5,
35、 V球= R3= (cm3).,评析 本题考查了正方体和球的组合体,考查了空间想象能力.利用勾股定理求出球半径R是 解题的关键.,5.(2012江苏,7,5分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥A-BB1D1 D的体积为 cm3.,答案 6,解析 解法一: = 332=3(cm3), = 332=9(cm3), = - =6(cm3). 解法二:连接AC交BD于点O,则ACBD,ACBB1, AC平面BB1D1D, AO即为四棱锥A-BB1D1D的高, = 3 2 =6(cm3).,6.(2012课标全国,11,5分)已知三棱锥S-AB
36、C的所有顶点都在球O的球面上,ABC是边长为1的 正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为 .,答案,解析 设ABC外接圆的圆心为O1,则|OO1|= = = . 三棱锥S-ABC的高为2|OO1|= . 所以三棱锥S-ABC的体积V= = .,7.(2014福建,19,12分)如图,三棱锥A-BCD中,AB平面BCD,CDBD. (1)求证:CD平面ABD; (2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.,解析 (1)证明:AB平面BCD,CD平面BCD, ABCD. 又CDBD,ABBD=B,AB平面ABD,BD平面ABD, CD平面ABD. (2)
37、解法一:由AB平面BCD,得ABBD. AB=BD=1,SABD= . M是AD的中点,SABM= SABD= . 由(1)知,CD平面ABD, 三棱锥C-ABM的高h=CD=1, 因此三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VC-ABM= SABMh= . 解法二:如图,过点M作MNBD交BD于点N,由AB平面BCD知,平面ABD平面BCD, 又平面ABD平面BCD=BD, 所以MN平面BCD,且MN= AB= , 又CDBD,BD=CD=1, SBCD= . 三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD = ABSBCD- MNSBCD= .,评析 本题主要考查空间中直线与直
38、线、直线与平面、平面与平面的位置关系及几何体的 体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想.,8.(2014江西,19,12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1BC,A1BBB1. (1)求证:A1CCC1; (2)若AB=2,AC= ,BC= ,问AA1为何值时,三棱柱ABC-A1B1C1体积最大,并求此最大值.,解析 (1)证明:由AA1BC知BB1BC,又BB1A1B, 故BB1平面BCA1,则BB1A1C, 又BB1CC1,所以A1CCC1. (2)解法一:设AA1=x, 在RtA1BB1中,A1B= = . 同理,A1C= = . 在A
39、1BC中,cosBA1C= =- ,sinBA1C= , 所以 = A1BA1CsinBA1C= . 从而三棱柱ABC-A1B1C1的体积V= AA1= . 因为x = = ,故当x= = ,即AA1= 时,体积V取到最大值 . 解法二:过A1作BC的垂线,垂足为D,连接AD. 由于AA1BC,A1DBC,故BC平面AA1D,BCAD. 又BAC=90, 所以SABC= ADBC= ABAC,得AD= . 设AA1=x,在RtAA1D中, A1D= = , = A1DBC= .,从而三棱柱ABC-A1B1C1的体积V= AA1= . 因为x = = , 故当x= = ,即AA1= 时,体积V取
40、到最大值 .,评析 本题考查线线、线面垂直的判定,空间几何体的体积及其最值的求解,考查学生的空间 想象能力、推理论证能力和运算求解能力,正确表示几何体的体积是解决本题的关键.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点一 空间几何体的表面积,1.(2019南京、盐城二模,9)已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等,高为 ,则该正四棱锥的 表面积为 .,答案 4 +4,解析 设棱长为2x(x0),则斜高为 x,所以( )2+x2=( x)2,解得x=1,所以棱长为2,表面积为S =4+4 22sin 60=4 +4.,名师点睛 1.求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面
41、问题,即空间图形平面化,这 是解决立体几何问题的出发点.2.求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本 的柱、锥、台体,先求这些柱、锥、台体相应面的面积,再通过求和求得几何体的表面积.,2.(2019海安中学检测,8)若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2,则其母线与轴的夹角的 大小为 .,答案,解析 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则 S侧面积=rl, S轴截面= 2r , =2, l2= r2,即l= r. 设母线与轴所成的角为, 则sin = = ,又0 ,= .,3.(2019扬州中学3月检测,6)已知圆锥的体积为 ,母线与底面所成角为 ,则该圆锥的表面 积为 .,答案 3
42、,解析 设圆锥的底面半径为r,高为h, 则 r2h= ,r2h= , 又母线与底面所成角为 ,h= r, r=1,h= , 圆锥的母线长为2. 圆锥的表面积为rl+r2=3.,名师点睛 计算旋转体的侧面积时,一般采用转化的方法来进行,即将侧面展开为平面图形, “化曲为直”来解决.因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.,4.(2019苏锡常镇四市教学情况调查一)已知圆柱的轴截面的对角线为2,则这个圆柱的侧面积 的最大值为 .,答案 2,解析 设圆柱的底面半径为r,高为h,那么4r2+h2=4, 圆柱的侧面积为2rh =2(当且仅当h=2r时取等号).,考点二 空间几何体的体
43、积,1.(2019海安期中,9)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,则三棱 锥O-A1BC1的体积为 .,答案,解析 连接AC,因为O为正方形ABCD的中心,所以AC必过点O, 所以 = - - - = 8- 22- 222 =4- - = .,2.(2019苏州3月检测,9)四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD是矩形,AB=2,AD=3,PA= ,点E为棱CD上一点,则三棱锥E-PAB的体积为 .,答案,解析 底面ABCD是矩形,E在CD上, SABE= ABAD= 23=3. 由PA平面ABCD可得VE-PAB=VP-ABE= SA
44、BEPA= 3 = .,名师点睛 求体积的两种方法: 割补法:求一些不规则几何体的体积时,常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决. 等积法:等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是平面图形(或几何体)的面积(或体 积)通过已知条件可以得到,等积法可以用来求解平面图形的高或几何体的高,特别是在求三 角形的高和三棱锥的高时,这一方法回避了通过具体作图得到三角形或三棱锥的高,而通过直 接计算得到高的数值.,3.(2019苏锡常镇四市教学情况调查二,17)某工厂拟制造一个如图所示的容积为36立方米的 有盖圆锥形容器. (1)若该容器的底面半径为6米,求该容器的表面积; (2)当容器的高为多少
45、米时,制造该容器的侧面用料最省?,解析 设圆锥形容器的底面半径为r米,高为h米,母线为l米,侧面积为S平方米,容积为V立方米, 则V=36. (1)由r=6,V= r2h=36,得h=3, (1分) 所以S=rl=r =6 =18 , (2分) 又底面积为r2=36(平方米), (3分) 故该容器的表面积为(18 +36)=18(2+ )(平方米). (4分) 答:该容器的表面积为18(2+ )平方米. (5分) (2)由V= r2h=36,得r2= = ,其中h0. 所以S=rl=r = = = = . (8分) 记f(h)= +h,则f (h)=- +1= ,令f (h)=0,得h=6.
46、(10分) 当h(0,6)时, f (h)0, f(h)在(6,+)上单调递增. (12分) 所以,当h=6时, f(h)最小,此时S最小. (13分) 答:当容器的高为6米时,制造该容器的侧面用料最省. (14分),一、填空题(每小题5分,共35分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：30分钟 分值：50分),1.(2019七市第二次调研,10)设P,A,B,C为球O表面上的四个点,PA,PB,PC两两垂直,且PA=2 m, PB=3 m,PC=4 m,则球O的表面积为 m2.,答案 29,解析 如图,将三棱锥P-ABC置于长方体中,该长方体的外接球就是经过P,A,B,C
47、四点的球, PA=2 m,PB=3 m,PC=4 m,长方体的体对角线的长为 = m,即外接球的直 径2R= m,可得R= m, 因此,球O的表面积S=4R2=4 =29 m2.,2.(2019苏州期末,9)如图,某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何 体,该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆,与底面相对的顶点在半球面上,则被挖去的 正三棱锥体积为 .,答案 2,解析 底面正三角形的边长为22cos 30=2 , 底面正三角形的面积S= 2 2 sin 60=3 ,三棱锥的高h=2, 则正三棱锥的体积V= 3 2=2 .,3.(2019如皋检测,8)如图所示的几何体是一个五面体,四边形ABCD为矩形,AB=4,BC=2,且MN AB,MN=3,ADM与BCN都是正三角形,则此五面体的体积为 .,答案,解析 因为
