1、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回第二节第二节 洛必达法则洛必达法则洛洛必必达达法法则则型型未未定定式式解解法法型型及及一一、:00 三、小结三、小结 思考题思考题 型型未未定定式式解解法法二二、00,1,0,0 第1页，共21页。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回洛必达法则洛必达法则型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、:00 定义定义.00)()(lim)()()()(型未定式型未定式或或常把这种极限称为常把这种极限称为在通在通可能存在、也可能不存可能存在、也可能不存极限极限大，那末大，那末都趋于零或都趋于无穷都趋于零或都趋于无穷与与时，两个函数时，两个函数或
2、或如果当如果当 xFxfxFxfxaxxax例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()(第2页，共21页。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回;)()(,)1(都趋于零及函数时当设xFxfax 定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.);()()(lim)3(或为无穷大存在xFxfax;0)()()(,)2(xFxFxfa且都存在及点的某去心邻域内在.)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax那
3、末第3页，共21页。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回证证定义定义 f(a)=F(a)=0 ,),(0 xaU内任取一点内任取一点在在,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa,)(),(11件件满足柯西中值定理的条满足柯西中值定理的条xFxf则有则有)()()()()()(aFxFafxfxFxf )()(Ff )(之间之间与与在在ax,aax 时时当当,)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(lim)()(limAFfFfxFxfaaxax第4页，共21页。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回.,该法则仍然成立时当x使用
4、洛必达法则，即使用洛必达法则，即定理的条件，可以继续定理的条件，可以继续满足满足型，且型，且仍属仍属如果如果)(),(00)()(xFxfxFxf .)()(lim)()(lim)()(lim xFxfxFxfxFxfaxaxax.)()(lim)()(limxFxfxFxfxx 第5页，共21页。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx.1 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23)00()00(第6
5、页，共21页。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx .1 例例4 4解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原式原式.1)00()(axbxxcoscoslim0 axbxbbxaxaxcoscoslim0第7页，共21页。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsinco
6、s23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 .3)(第8页，共21页。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好它求极限方法结合使用，效果更好.例例6 6解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式2203tanlimxxx22031seclimxxx 2203limxxx.31 第9页，共21页。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回型未定式解法型未定式解法
7、二、二、00,1,0,0 例例7 7解解.lim2xxex 求求)0(xexx2lim 原式原式2limxxe.关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型型 .),00()(型型 0.1步骤步骤:,10 .0100 或或第10页，共21页。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)(0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 .0 型型 .2步骤步骤:xxxxxsincos2sinlim0第11页，共21页。上页上页下页下页返回
8、返回上页上页下页下页返回返回步骤步骤:型型00,1,0.3 ln01ln0ln010ln00使指数部分化为运用对数恒等式aea.0 例例9 9解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e.1 xxxe1lnlim0 xxxeln0lim第12页，共21页。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例1010解解.lim111xxx 求求)1(xxxe11ln1lim原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1111解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0,)(cot)ln(cotln1ln1
9、xxxex运用对数恒等式得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 ,1 .1 e原式原式xxxeln111lim第13页，共21页。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例1212解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原式原式.1 注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件第14页，共21页。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回三、小结洛必达法则洛必达法则型型00,1
10、,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 第15页，共21页。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思考题思考题设设)()(limxgxf是是不不定定型型极极限限，如如果果)()(xgxf 的的极极限限不不存存在在，是是否否)()(xgxf的的极极限限也也一一定定不不存存在在？举举例例说说明明.第16页，共21页。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思考题解答思考题解答不一定不一定例例,sin)(xxxf xxg)(显然显然 )()(limxgxfx1cos1limxx 极限不存在极限不存在但但 )()(limxgxfxx
11、xxxsinlim 1 极限存在极限存在第17页，共21页。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、一、填空题：填空题：1 1、洛必达法则除了可用于求洛必达法则除了可用于求“00”，及”，及“”两种”两种类型的未定式的极限外，也可通过变换解决类型的未定式的极限外，也可通过变换解决_，_，_，_，_，等型的未定式，等型的未定式的求极限的问题的求极限的问题.2 2、xxx)1ln(lim0=_.=_.3 3、xxx2tanln7tanlnlim0=_.=_.练练 习习 题题第18页，共21页。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回二、二、用洛必达法则求下列极限：用洛必达法则求
12、下列极限：1 1、22)2(sinlnlimxxx ；2 2、xxxarctan)11ln(lim；3 3、xxx2cotlim0；4 4、)1112(lim21 xxx；5 5、xxxsin0lim；6 6、xxxtan0)1(lim；7 7、xxx)arctan2(lim .第19页，共21页。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回三、三、讨论函数讨论函数 0,0,)1()(2111xexexxfxx当当当当,在在处处点点0 x的连续性的连续性.第20页，共21页。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、一、1 1、00,0,1,0 ；2 2、1 1；3 3、1.1.二、二、1 1、81；2 2、1 1；3 3、21；4 4、21；5 5、1 1；6 6、1 1；7 7、2e.三、连续三、连续.练习题答案练习题答案第21页，共21页。
