1、4.4数学归纳法学习目标1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的命题. 知识点数学归纳法1数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当nn0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)以当“nk(kN*，kn0)时命题成立”为条件，推出“当nk1时命题也成立”只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立这种证明方法叫做数学归纳法2数学归纳法的证明形式记P(n)是一个关于正整数n的命题我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：条件：(1) P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k1)也为真结论：P
2、(n)为真3. 数学归纳法中的两个步骤在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当nn0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k1)也为真只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n01)真P(k)真，P(k1)真，从而完成证明1应用数学归纳法证明数学命题时n01.()2用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，缺一不可()3推证nk1时可以不用nk时的假设. ()一、证明恒等式例1用数学归纳法证明1(nN*)反思感悟用数学归纳法证明等式的策略应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：(1)nn0时，等式的结构(2
3、)nk到nk1时，两个式子的结构：nk1时的代数式比nk时的代数式增加(或减少)的项这时一定要弄清三点：代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项代数式相邻两项之间的变化规律代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系跟踪训练1求证：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*)二、证明不等式例2用数学归纳法证明：<1(n2，nn*) n="">k(k为正整数)，则n0k1.(2)证明不等式的第二步中，从nk到nk1的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式
4、：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立，得nk1时成立，主要方法有比较法、放缩法等跟踪训练2求证：(n2)三、归纳猜想证明例3数列an中，a11，a2，且an1(n2，nN*)，求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明反思感悟(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”(2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”高中阶段与数
5、列结合的问题是最常见的问题这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式跟踪训练3已知数列bn的首项b11，其前n项和Bn(n1)bn，求数列bn的通项公式1用数学归纳法证明等式123(n3)(nN*)，验证n1时，左边应取的项是()A1 B12C123 D12342在数列an中，an1，则ak1等于()Aak BakCak Dak3用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假设n2k1时正确，再推n2k3正确B假设n2k1时正确，再推n2k1正确C假设nk时正确，再推nk1正确D假设nk(k1)，再推nk2时正确(以
6、上kN*)4用数学归纳法证明：123n2，则当nk1时，左端在nk时的左端加上 &nb
7、sp; 1知识清单：(1)数学归纳法的概念(2)数学归纳法的步骤2方法归纳：归纳猜想证明3常见误区：(1)对题意理解不到位导致n0的取值出错；(2)推证当nk1时忽略nk时的假设1用数学归纳法证明3nn3(n3，nN)，第一步应验证()An1 Bn2 &
8、nbsp;Cn3 Dn42已知n为正偶数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证()Ank1时等式成立Bnk2时等式成立Cn2k2时等式成立Dn2(k2)时等式成立3某个命题与正整数有关，如果当nk(kN*)时，该命题成立，那么可推得当nk1时，该命题也成立现在已知当n5时，该命题成立，那么可推导出()A当n6时命题不成立B当n6时命题成立C当n4时命题不成立D当n4时命题成立4用数学归纳法证明不等式(nN*)的过程中，由nk到nk1时，不等式左边的变化情况为()A增加B增加C增加，减少D增加，减少5在数列an中，a12，an1(nN*
9、)，依次计算a2，a3，a4归纳推测出数列an的通项公式为()A. B.C. D.6设f(n)1(nN*)，那么f(n1)f(n) .7证明：假设当nk(kN*)时等式成立，即242kk2k，那么242k2(k1)k2k2(k1)(k1)2(k1)，即当nk1时等式也成立因此对于任意nN*等式都成立以上用数学归纳法证明“242nn2n(nN*)”的过程中的错误为
10、; 8已知Sn，nN*，则S1 ，S2 ，S3 ，S4 ，猜想Sn &n
11、bsp;.9证明：1(nN*)10 求证：(n2，nN*)11对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(k1且kN*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，当nk1时，不等式成立，则上述证法()A过程全部正确Bn1验证不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确12记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k) .13已知f(n)1(nN*)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k1)f
12、(2k) .14用数学归纳法证明34n152n1(nN)能被8整除，当nk1时，34(k1)152(k1)1应变形为 15在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点则这n条直线将它们所在的平面分成 &
13、nbsp; 个区域16试比较2n2与n2的大小(nN*)，并用数学归纳法证明你的结论参考答案 例1证明(1)当n1时，左边1，右边，命题成立(2)假设当nk(k1，kN*)时，命题成立，即1，那么当nk1时，左边1.上式表明当nk1时，命题也成立由(1)(2)知，命题对一切正整数均成立跟踪训练1证明(1)当n1时，左边12223，右边3，等式成立(2)假设当nk时，等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2
14、(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1时，等式也成立综上所述，等式对任何nN*都成立例2证明(1)当n2时，左边，右边1.明显<，所以不等式成立(2)假设nk(k2，kN*)时， 不等式成立，即<1，则当nk1时，<111<11. 1="" 2="" 3="" .="" 2.="" 3.="" 4.="" 1.="" n.
15、="" d="" b="">，1>1,1>，1>2,1>，由此猜测第n个不等式为 (nN*)答案1>1.答案C解析由题意知，n的最小值为3，所以第一步验证n3是否成立2.答案B解析因为已知n为正偶数，故当nk时，下一个偶数为k2.3.答案B4.答案C5.答案B解析a12，a2，a3，a4，
16、可推测an.6.答案解析注意末项与首项，所以f(n1)f(n).7.答案缺少步骤归纳奠基8.答案解析当n1时，S1；当n2时，S2；当n3时，S3；当n4时，S4.观察猜想得Sn.9.证明(1)当n1时，左边，右边1，等式成立(2)假设当nk(k1，kN*)时，等式成立，即1，那么当nk1时，左边111.所以当nk1时，等式也成立根据(1)和(2)，可知等式对任意nN*都成立10.证明(1)当n2时，左边，不等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时不等式成立，即.则当nk1时，.所以当nk1时不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式对一切n2，nN*都成立11.答案D解析在nk1时，没有应用
17、nk时的归纳假设，不是数学归纳法12.答案解析由凸k边形变为凸k1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k1)f(k).13.答案解析f(2k1)1f(2k)，f(2k1)f(2k).14.答案81(34k152k1)5652k1(或25(34k152k1)5634k1)解析34(k1)152(k1)134k552k38134k12552k18134k18152k15652k181(34k152k1)5652k1.15.答案(n2，nN*)解析(1)n2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立(2)假设当nk(k2，kN*)时，k条直线将平面分成块不同的区域当nk1时，设其中的一条直线为l，
18、其余k条直线将平面分成块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域为k1块从而k1条直线将平面分成k1块区域所以nk1时命题也成立由(1)(2)可知，原命题成立16.解当n1时，2124>n21，当n2时，2226>n24，当n3时，23210>n29，当n4时，24218>n216，由此可以猜想，2n2>n2(nN*)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，左边2124，右边1，所以左边>右边，所以原不等式成立当n2时，左边2226，右边224，所以左边>右边；当n3时，左边23210，右边329，所以左边>右边(2)假设nk时(k3且kN*)时，不等式成立，即2k2>k2.那么nk1时，2k1222k22(2k2)2>2k22.又2k22(k1)2k22k3(k3)(k1)0，即2k22(k1)2，故2k12>(k1)2成立根据(1)和(2)，原不等式对于任意nN*都成立
