1、第2课时等比数列前n项和公式的应用学习目标1.能够把实际问题转化成数列问题.2.进一步熟悉通过建立数列模型并应用数列模型解决实际问题的过程知识点等比数列前n项和的实际应用1解应用问题的核心是建立数学模型2一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型3注意问题是求什么(n，an，Sn)注意：(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答(2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确(3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系(4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求1有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，
2、现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A6秒钟 B7秒钟C8秒钟 D9秒钟2某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为()A1.14a B11(1.151)aC1.15a D10(1.161)a3画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，这样共画了10个正方形，则这10个正方形的面积和等于_4某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)_.一、等比数列前n项和在几何中
3、的应用例1如图所示，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆如此下去，前n个内切圆的面积和为_反思感悟此类几何问题可以转化为等比数列模型，利用等比数列的有关知识解决，要注意步骤的规范性跟踪训练1侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长是m，有人说，如此下去，蜘蛛网的长度也是无限的增大，那么，试问，侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？设侏罗纪蜘蛛网的长度为Sn，则()ASn无限大 BSn0，即2 0005 0000，化简得5n2n7
4、0，设xn，代入上式得5x27x20，解此不等式，得x1(舍去)即n0，也为递增数列，又，为递增数列又1012，11.2512.则第10年年初需要更新该生产线例3解(1)由题意，得a12 000(150%)d3 000d，a2a1(150%)da1d4 500d，an1an(150%)dand.(2)由(1)，得anan1dd2an2ddn1a1d.整理，得ann1(3 000d)2dn1(3 0003d)2d.由题意，得am4 000，即m1(3 0003d)2d4 000.解得d.故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m3)年企业的剩余资金为4 000万元跟踪训练3解(1)设第n年的旅游
5、业收入估计为an万元，则a1400，a2a1a1，a3a2a2，an1anan ，即数列an是公比为的等比数列，Sn1 600，即前n年旅游业总收入为1 600万元(2)由(1)知Sn1 600，令Sn8 000，即1 6008 000，n6，即lgnlg 6，n8，大约第9年后，旅游业总收入超过8 000万元1.答案B解析设最下层的浮雕像的数量为a1，依题意有公比q2，n7，S71 016，解得a18，则an82n12n2(1n7，nN*)，所以a527128.2.答案B解析由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列an，且a1100，q，an102；乌龟爬行的总距离为Sn(米)3.答案D解析
6、由题意可知此人每天走的路程构成等比数列an，且公比为，由题意和等比数列的求和公式可得378，解得a1192，所以第一天走了192里4.答案8892解析足球第1次落地经过的路程为32；足球第2次落地经过的路程为3232264；足球第3次落地经过的路程为64322280；足球第4次落地经过的路程为80323288；足球第5次落地经过的路程为88324292.5.答案9解析最底层正方体的棱长为1，则该正方体的除底面外的表面积为5125；第二个正方体的棱长为1，它的侧面积为42，第3个小正方形的边长为2，它的侧面积为422；第n个小正方形的边长为n1，它的侧面积为42(n1)4n1，则它们的表面积为5
7、45499.1.答案A解析森林中原有木材量为a，一年后为a(125%)，两年后为a(125%)2，五年后为a(125%)5.2.答案A解析记2018年为第一年，第n年退耕an万亩，则an为等比数列，且a1a，公比q110%，则问题转化为求数列an的前8项和，所以数列an的前8项和为10a(1.181)所以到2025年一共退耕10a(1.181)万亩3.答案D解析设1997年总产值为1，由于我国工农业总产值从1997年到2017年的20年间翻了两番，说明2017年的工农业总产值是1997年工农业总产值的4倍，则(1x)204.4.答案C解析由题意可得，基础工资是以2 100元为首项，以210元为
8、公差的等差数列，绩效工资以2 000元为首项，以1.1为公比的等比数列，则此人2021年每月的基础工资为2 100210(121)4 410(元)，每月的绩效工资为2 0001.1115 706.23(元)，则此人2021年的年薪为12(4 4105 706.23)12.14(万元)5.答案C解析由题意知小明第1次还款a元后，还欠本金及利息为6 000(10.5%)a元，第2次还款a元后，还欠本金及利息为6 000(10.5%)2a(10.5%)a元，第3次还款a元后，还欠本金及利息为6 000(10.5%)3a(10.5%)2a(10.5%)a元，以此类推，则第12次还款a元后，还欠本金及利
9、息为6 000(10.5%)12a(10.5%)11a(10.5%)a元，此时已全部还清，则6 000(10.5%)12a(10.5%)11a(10.5%)a0，即6 000(10.5%)12，解得a514(元)6.答案6.6解析由题意可知，第一年要比上年增长10%，那么第一年产值就是110%1.1，第二年又比第一年增加10%，所以第二年产值是1.12，以此类推，第五年产值是1.15，总产量为1.11.121.15110.66.6.7.答案17 386解析农民人均收入来源于两部分，一是工资收入为7 800(16%)67 8001.06611 076(元), 二是其他收入为5 35061606
10、310(元)，因此，2021年该地区农民人均收入为11 0766 31017 386(元)8.答案ap2a(1p)5(1p)解析依题意，2019年1月1日存款a元后，帐户中一共有a(1p)a(ap2a)元；银行利息为单利计息，故2022年1月1日可取出钱的总数为a(1p)4a(1p)3a(1p)2a(1p)，a(1p)5(1p)9.解(1)由题意得，a2100 000(15%)2m(15%)m110 2502.05m.(2)因为100 000(15%)101.059m1.058mm，所以100 0001.0510，解得m12 950.10.解(1)设今年人口为b人，则10年后人口为b(14.9
11、)101.05b.1年后的住房面积为a(110%)x1.1ax，2年后的住房面积为(1.1ax)(110%)x1.12a1.1xx1.12ax(11.1)，3年后的住房面积为(1.12a1.1xx)(110%)x1.13ax(11.11.12)，10年后的住房面积a1.110x(11.11.121.19)2.6ax2.6a16x.所以2.解得x.(2)全部拆除旧房还需a16(年)11.答案B解析设“衰分比”为q，甲获得的奖金为a1，则a1a1(1q)a1(1q)2a1(1q)368 780.a1a1(1q)236 200，解得q0.1，a120 000，故a1(1q)314 580.12.答案
12、D解析由题意知，第1年至此后第n(nN*)年的累计投入为82(n1)2n6(千万元)，第1年至此后第n(nN*)年的累计净收入为12n1n1(千万元)，f(n)n1(2n6)n2n7(千万元)f(n1)f(n)，当n3时，f(n1)f(n)0，故当n4时，f(n)单调递减；当n4时，f(n1)f(n)0，故当n4时，f(n)单调递增又f(1)0，f(7)721172140，f(8)823252320.该项目将从第8年开始并持续赢利该项目将从2023年开始并持续赢利13.答案C解析设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为an万元(n1,2,3，10)，则所以解得故a10a1q91 536.依题意
13、x1 5361 700，即x164.所以总费用为10xa1a2a1010x10x3 0694 709万元14.答案2 997.75解析设程先生在第n个月时还欠银行贷款an万元，每月固定还款x万元，则anan1(10.5%)x，a050，ank1.005(an1k)，an1.005an10.005k.所以k200x，an200x是公比为1.005的等比数列，即an200x(a0200x)1.005n.由a3600得0200x(50200x)1.005360.利用答案(1)9.1万元(2)2315.解析(1)由题意：5Ae6%n，A5e6%n.当n10时，本利和为A5e6%n5e0.69.1(万元
14、)(2)由题意得B2.设n年后共有本利和超过一百万元，则n年后：第一年年初的投资所得为A12e6%n.第二年年初的投资所得为A22e6%(n1)以此类推：第n年年初的投资所得为An2e6%.则满n年后，基金共有本利和为A1A2An2e6%n2e6%(n1)2e6%2.由题意得2100，n，n22.7.故至少满23年基金共有本利和超过一百万元计算器可以求得x0.299 775，即每月还款2 997.75元16.解(1)由题意得：m(11%)12(11%)11(11%)12m1.02120 000，可知(11%)，(11%)2，(11%)12成等比数列，根据等比数列前n项和公式得(11%)12(1
15、1%)11(11%)，m12.24m120 000，解得m210 774.79.(2)由题意设共贷款78m(元)，则m1(11%)122(11%)1112(11%)78m1.02120 000，令S121(11%)122(11%)1112(11%)，则S12121.01111.012101.01311.0112，1.01得101S12121.012111.013101.01411.0113，得0.01S12121.01(11.01211.01311.0113)，S1212101，m78m1.02120 000，解得2.182 132m120 000，m54 992.09，78m4 289 383.04，故贺先生应贷款4 289 383.04元，才能使得用最终投资所得的钱还清后，还有120 000的余额去旅游
